Motivación

El siguiente problema guiará el desarrollo de la primera parte de este texto.

Precisemos esta pregunta. Una trayectoria de $p$ a $q$ en $X$ es una función continua $\sigma \colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ tal que \begin{equation*} \sigma (0)=p,\quad\sigma (1)=q\qquad\text{y}\qquad\sigma(t)\in X\quad\forall t\in [0,1]. \end{equation*} Su longitud se define como \begin{equation} \mathfrak{L}(\sigma):=\sup \Biggl\{ \sum_{k=1}^{m}\left\Vert \sigma (t_{k-1})-\sigma (t_{k})\right\Vert :0=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{m}=1,\:\: m\in \mathbb{N}\Biggr\}, \label{long} \end{equation} donde $\left\Vert x-y\right\Vert :=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}$ denota la distancia de $x$ a $y$.

Una trayectoria de $p$ a $q$ en $X$ es de longitud mínima si su longitud es menor o igual a la de todas las demás. Por ejemplo, si $X=\mathbb{R}^{n}$, la trayectoria $\sigma (t)=(1-t)p+tq$ cumple que $\mathfrak{L}(\sigma )=\left\Vert p-q\right\Vert $. De modo que $\sigma $ es una trayectoria de longitud mínima de $p$ a $q$ en $\mathbb{R}^{n}$.

Sin embargo, si $X\neq \mathbb{R}^{n}$ no siempre existe una trayectoria de longitud mínima, como lo muestra el siguiente ejemplo. Recuerda que, si $\sigma $ es continuamente diferenciable, entonces la longitud de $\sigma $ está dada por la integral \begin{equation*} \mathfrak{L}(\sigma)=\int_{0}^{1}\left\Vert \sigma^{\prime }(t)\right\Vert dt. \end{equation*}

Considera las trayectorias $\sigma_{k}(t)=\bigl(t,\frac{1}{k}\sen\pi t\bigr)$, $k\in \mathbb{N}$. Su longitud satisface \begin{align*} \mathfrak{L}(\sigma_{k}) &=\int_{0}^{1}\left\Vert \sigma_{k}^{\prime }\right\Vert =\int_{0}^{1}\sqrt{1+\left( \frac{\pi }{k}\right)^{2}\cos ^{2}\pi t}\text{ }dt \\ &<\int_{0}^{1}\left( 1+\frac{\pi }{k}\left\vert \cos \pi t\right\vert \right) dt=1+\frac{2}{k}. \end{align*}

Por tanto, $\lim_{k\rightarrow \infty }\mathfrak{L}(\sigma_{k})=1$. De modo que, si existiera una trayectoria de longitud mínima de $p$ a $q $ en $X$, ésta debería tener longitud $1$. Pero cualquier trayectoria de $p$ a $q$ en $\mathbb{R}^{2}$ de longitud $1$ pasa por el punto $(\frac{1}{2},0)$, que no pertenece a $X$.

Este ejemplo muestra que el Problema 1.1 no es un problema trivial. Para intentar resolverlo, empezaremos expresándolo como un problema de minimización.

Denotemos por $\mathcal{T}_{p,q}(X)$ al conjunto de todas las trayectorias de $p$ a $q$ en $X$. Podemos entonces considerar a la longitud como una función definida en dicho conjunto, es decir, \begin{equation*} \mathfrak{L}\colon \mathcal{T}_{p,q}(X)\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}},\qquad \mathfrak{L}(\sigma):=\text{longitud de $\sigma$.} \end{equation*} Diremos que la función $\mathfrak{L}$ alcanza su mínimo en $\mathcal{T}_{p,q}(X)$ si existe una trayectoria $\sigma_{0}\in \mathcal{T}_{p,q}(X)$ tal que \begin{equation*} \mathfrak{L}(\sigma_{0})\leq \mathfrak{L}(\sigma )\qquad\forall \sigma \in \mathcal{T}_{p,q}(X). \end{equation*} En estos términos el Problema 1.1 se expresa como sigue.

En los cursos de cálculo diferencial e integral tratamos un problema parecido y vimos el siguiente resultado.

Ahora bien, como $\mathcal{T}_{p,q}(X)$ es un conjunto de funciones y no de puntos en $\mathbb{R}^{n}$, no tiene sentido aplicar este teorema al problema que nos interesa. Pero sí podemos inspirarnos en él. El gran matemático francés Henri Poincaré afirmó lo siguiente:

“La matemática es el arte de nombrar de la misma manera cosas distintas.”

Entonces, ¿será posible pensar a las trayectorias como si fuesen puntos? ¿El Teorema 1.4 tendrá algún sentido para la función longitud? ¿Qué querría decir que la función $\mathfrak{L}\colon \mathcal{T}_{p,q}(X)\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}}$ es continua o que un subconjunto de $\mathcal{T}_{p,q}(X)$ es compacto?

El análisis matemático da respuesta a este tipo de preguntas. Profundiza en los conceptos y los resultados que aprendimos en cálculo, captura su esencia, y los extiende a otros espacios distintos del euclidiano. Muy especialmente, a espacios de funciones, como el conjunto de trayectorias $\mathcal{T}_{p,q}(X)$. Y a funciones como $\mathfrak{L}$, cuyo dominio no es un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$ sino un conjunto de funciones.

Los espacios de funciones aparecen de manera natural en muchos problemas de las matemáticas y de sus aplicaciones. Por ejemplo, las soluciones de una ecuación diferencial son funciones. Veremos que el análisis matemático nos permite demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.

En la primera parte de estas notas introduciremos y estudiaremos los conceptos de continuidad, compacidad y completitud en espacios muy generales. Estas nociones se definen a partir de un concepto muy sencillo: el concepto de distancia. Los conjuntos provistos de una distancia se llaman espacios métricos y son el objeto del siguiente capítulo. Veremos aplicaciones interesantes de esos conceptos y daremos una respuesta al Problema 1.1.