El teorema de la función implícita
Sean $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ una función de clase $\mathcal{C}^{1}$ definida en un abierto $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$, y $c\in \mathbb{R}$. Queremos obtener información sobre la estructura del conjunto de soluciones $\xi \in \Omega $ de la ecuación \begin{equation} \varphi (\xi )=c,\label{ec} \end{equation} al que denotaremos por \begin{equation*} M:=\left\{\xi \in \Omega :\varphi (\xi )=c\right\}. \end{equation*}
Veamos un ejemplo. Si $\varphi \colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ es la función $\varphi (x,y)=x^{2}-y^{2}$ entonces para $c<0$ el conjunto $M$ tiene dos componentes: una de ellas es la gráfica de la función $x\mapsto \sqrt{x^{2}-c}$ y la otra es la gráfica de $x\mapsto -\sqrt{x^{2}-c}$. Análogamente, si $c>0$, el conjunto $M$ tiene dos componentes: la gráfica de la función $y\mapsto \sqrt{c+y^{2}}$ y la de la función $y\mapsto -\sqrt{c+y^{2}}$. En cambio, si $c=0$, no existe ninguna vecindad de $(0,0)$ en $\mathbb{R}^{2}$ cuya intersección con $M$ sea la gráfica de alguna función. \begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/hip-c-menor.tikz}\qquad \input{./figuras-tikz/hip-c-mayor.tikz}\qquad \input{./figuras-tikz/hip-c-igual.tikz} \caption{}\label{fig:10.1} \end{figure}
Nota que $\nabla \varphi (x,y)\neq (0,0)$ si $(x,y)\neq (0,0)$. En este caso, la recta perpendicular a $\nabla \varphi (x,y)$ es tangente a $M$ en el punto $(x,y), $es decir, $M$ se parece a dicha recta en una vecindad del punto.
Los conjuntos $M$ de soluciones de (\ref{ec}) que tienen la propiedad de que $\nabla \varphi (\xi )\neq 0$ para todo $\xi \in M$ se llaman variedades. El teorema de la función implícita asegura que, si $M$ es una variedad entonces, en una vecindad de cada punto $\xi \in M$, $ M$ es la gráfica de una función cuyo dominio es un abierto en el subespacio de $\mathbb{R}^{n}$ ortogonal a $\nabla \varphi (\xi )$ y cuyo codominio es el espacio generado por $\nabla \varphi (\xi )$. \begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/figuraCap10-1.tikz} \caption{}\label{fig:10.2} \end{figure}
En particular, cerca de $\xi $, $M$ se parece a $\mathbb{R}^{n-1}$. Esto permite extender conceptos y resultados del cálculo diferencial a las variedades.
En las aplicaciones interesa a menudo encontrar mínimos o máximos locales de una cierta función $g\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ sobre una variedad $M$. El teorema de la función implícita proporciona un criterio sencillo para detectarlos: si $\xi \in M$ es un máximo o un mínimo local de $g$ en $M$, entonces $\nabla g(\xi )$ es perpendicular al espacio tangente a $M$ en $\xi $. Por ejemplo, si $g(x,y,z):=z$ es la función que a cada punto de $\mathbb{R}^{3}$ le asocia su altura respecto al plano $xy$, los máximos y mínimos locales de $g$ sobre una superficie $M$ en $\mathbb{R}^{3}$ tienen la propiedad de que el plano tangente a $M$ en tales puntos es paralelo al plano $xy$. \begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/plano-tangente.tikz} \caption{}\label{fig:10.3} \end{figure}
Los resultados anteriores son válidos también en espacios de Banach y tienen aplicaciones importantes en ese contexto, por ejemplo, para probar la existencia de soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales no lineales\footnote{ Consulta, por ejemplo,~\cite{Ambrosetti}.}.
El teorema de la función implícita
Sean $Y$ un espacio de Banach, $\Omega $ un subconjunto abierto de $Y$, $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ una función de clase $\mathcal{C}^{1}$ y $c\in \mathbb{R}^{m}$. Como mencionamos en la introducción, nos interesa obtener información sobre la estructura del conjunto de soluciones $u\in \Omega $ de la ecuación \begin{equation} \varphi (u)=c,\label{ecua} \end{equation} al que denotaremos por \begin{equation*} M:=\left\{u\in \Omega :\varphi (u)=c\right\}. \end{equation*} Veamos el siguiente ejemplo.
Observa que $\nabla \varphi (\xi )=2\xi $, por lo que $T_{\xi }M=\left\{y\in \mathbb{R}^{n}:y\cdot \nabla \varphi (\xi )=0\right\}$.
Queremos obtener una condición suficiente para que el conjunto de soluciones de la ecuación (\ref{ecua}) sea, localmente, la gráfica de una función. El siguiente concepto jugará un papel fundamental.
El subespacio vectorial \begin{equation*} T_{u}M:=\ker \varphi^{\prime }(u)=\left\{v\in Y:\varphi^{\prime }(u)v=0\right\} \end{equation*} de $Y$ se llama el espacio tangente a $M$ \index{espacio!tangente}en el punto $u\in M$.
Nota que, si $M=\emptyset $, entonces $c$ es un valor regular de $\varphi $. Si $c$ es un valor regular de $\varphi $ y $M\neq \emptyset $, necesariamente $\dim Y\geq m$. Observa además que, dado que $\varphi^{\prime }(u)\colon Y\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es continua, el espacio tangente $T_{u}M$ es un subespacio cerrado de $Y$ y, por tanto, es un espacio de Banach.
Este ejemplo incluye a la función $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$, considerada en el Ejemplo \ref{ejesfera}, y es un caso particular del siguiente ejemplo.
Nota que $\varphi^{\prime }(\xi )y=\left( \nabla \varphi_{1}(\xi )\cdot y,\ldots ,\nabla \varphi _{m}(\xi )\cdot y\right) $, así que $y\in T_{\xi }M$ si y sólo si $\nabla \varphi_{j}(\xi )\cdot y=0$ para todo $j=1,\ldots ,m$.
Si queremos expresar localmente a $M$ como la gráfica de una función definida en un subconjunto abierto del espacio tangente, necesitamos primero expresar a $Y$ como un producto de espacios de Banach de la forma $T_{u}M\times W_{u}$. Si $Y=\mathbb{R}^{n}$ podemos simplemente tomar a $W_{u} $ como el complemento ortogonal de $T_{u}M$.
Desde un punto de vista puramente algebraico, todo subespacio $V$ de un espacio vectorial $Y$ tiene un espacio complementario, es decir, existe un subespacio $W$ de $Y$ tal que $Y$ es linealmente isomorfo a $V\times W$. Sin embargo, si $Y$ es un espacio de Banach de dimensión infinita y $V$ es cerrado en $Y$, ni $W$ es necesariamente cerrado en $Y$, ni $Y$ es necesariamente homeomorfo a $V\times W$.
En el caso particular que estamos considerando sí podemos expresar a $Y$ como $T_{u}M\times W_{u}$ de manera apropiada. Se tiene el siguiente resultado.
Para probar que $W$ es cerrado en $Y$ tomemos una sucesión $(y_{k})$ en $W$ tal que $y_{k}\rightarrow y$ en $Y$. Como $ST$ es continua, se tiene que $y_{k}=STy_{k}\rightarrow STy$. En consecuencia, $y=STy\in W$. Esto prueba que $W$ es cerrado en $Y$.
De la Proposición~\ref{complemento} se desprende que, si $c$ es un valor regular de $\varphi $ entonces, para cada $u\in M$, existe un subespacio cerrado $W_{u}$ de $Y$ tal que la función \begin{equation*} \iota \colon T_{u}M\times W_{u}\rightarrow Y,\text{\qquad }\iota (v,w):=v+w, \end{equation*} es un isomorfismo de Banach. El teorema de la función implícita, que enunciaremos a continuación, garantiza que $M$ se puede expresar localmente como la gráfica de una función cuyo dominio es un abierto de $T_{u}M$ y cuyo codominio es $W_{u}$.
\begin{enumerate} \item[(I) ] El conjunto de soluciones $(v,w)\in B_{V}(v_{0},\delta )\times B_{W}(w_{0},\eta )$ de la ecuación \begin{equation*} \varphi (v,w)=c \end{equation*} coincide con la gráfica de $f$, \begin{equation*} \text{graf}(f):=\left\{(v,f(v)):v\in B_{V}(v_{0},\delta )\right\}. \end{equation*} En particular, $f(v_{0})=w_{0}$ y $f(v)\in B_{W}(w_{0},\eta )$ para todo $v\in B_{V}(v_{0},\delta )$.
\item[(II) ] Para todo $v\in B_{V}(v_{0},\delta )$ se cumple que$ \partial_{2}\varphi (v,f(v))$ es un isomorfismo de Banach y \begin{equation*} f^{\prime }(v)=-\left[ \partial_{2}\varphi (v,f(v))\right]^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (v,f(v)). \end{equation*} \end{enumerate}
Pospondremos la demostración de este teorema para la Sección \ref{sec10-4} de este capítulo, y procederemos a presentar algunas consecuencias importantes.
La Proposición~\ref{complemento} asegura que, si $c\in \mathbb{R}^{m}$ es un valor regular de $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m}$, entonces para cada $u\in M$ existe un subespacio cerrado $W_{u}$ de $Y$ tal que la función \begin{equation*} \iota \colon T_{u}M\times W_{u}\rightarrow Y,\text{\qquad }\iota (v,w):=v+w, \end{equation*} es un isomorfismo de Banach. Identificando a $Y$ con $T_{u}M\times W_{u}$ mediante dicho isomorfismo, se obtiene que $\partial _{2}\varphi (u)\equiv \varphi^{\prime }(u)\mid _{W_{u}}\colon W_{u}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es un isomorfismo. Nota que $W_{u}$ no es único. Para cualquier elección de $W_{u}$ con las propiedades mencionadas se tiene el siguiente resultado, que es consecuencia inmediata del teorema de la función implícita.
Es importante hacer notar que, si la función $\varphi $ del Teorema~\ref{teofi} y del Corolario~\ref{variedad} es de clase $\mathcal{C}^{k}$, entonces la función $f$ también es de clase $\mathcal{C}^{k}$ [Ejercicio~\ref{fiCk}].
Extremos locales de una función diferenciable sobre una variedad
Sean $\Omega $ un subconjunto abierto de un espacio de Banach $Y$, $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ una función de clase $\mathcal{C}^{1} $, $c\in \mathbb{R}^{m}$ y $M:=\left\{u\in \Omega :\varphi (u)=c\right\}$. El Corolario~\ref{variedad} permite caracterizar al espacio tangente como sigue.
$\subset )$: Inversamente, sea $v\in T_{u}M$. Si escribimos $u=v_{0}+w_{0}$ con $v_{0}\in T_{u}M$ y $w_{0}\in W_{u}$, el Corolario~\ref{variedad} asegura que existen $\delta ,\eta >0$ y una función $f\colon B_{T_{u}M}(v_{0},\delta )\rightarrow W_{u}$ de clase $\mathcal{C}^{1}$ tal que \begin{equation*} M\cap \left[ B_{T_{u}M}(v_{0},\delta )\times B_{W_{u}}(w_{0},\eta )\right] =\left\{v+f(v):v\in B_{T_{u}M}(v_{0},\delta )\right\} \end{equation*} y \begin{equation*} f^{\prime }(v_{0})=-\left[ \partial_{2}\varphi (u)\right]^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (u). \end{equation*} Escogemos $\varepsilon >0$ tal que $v_{0}+tv\in B_{T_{u}M}(x_{0},\delta )$ para todo $t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$ y definimos $\sigma \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow Y$ como \begin{equation*} \sigma (t):=v_{0}+tv+f(v_{0}+tv). \end{equation*} Claramente, $\sigma \in \Gamma_{u}(M)$. Como $v\in T_{u}M$ se tiene que $\partial_{1}\varphi (u)v=\varphi^{\prime }(u)v=0$ y, en consecuencia, \begin{equation*} f^{\prime }(v_{0})v=-\left[ \partial_{2}\varphi (u)\right]^{-1}\left[ \partial_{1}\varphi (u)v\right] =0. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \sigma^{\prime }(0)=v+f^{\prime }(v_{0})v=v. \end{equation*} Esto prueba que $T_{u}M\subset \left\{\sigma^{\prime }(0):\sigma \in \Gamma_{u}(M)\right\}$.
Así pues, $T_{u}M$ es el conjunto de velocidades en el punto $u$ de todas las trayectorias continuamente diferenciables en $M$ que pasan por $u$. Esto justifica llamarlo el espacio tangente a $M$ en $u$. Nota que esta última caracterización no depende de la función $\varphi $.
Las subvariedades aparecen a menudo en las aplicaciones como restricciones de una función cuyos máximos y mínimos locales sobre la variedad interesa encontrar.
Los mínimos y máximos locales de una función en una variedad tienen la siguiente propiedad.
La Proposición~\ref{minespc} afirma que los máximos y mínimos locales son puntos críticos de $g$ en $M$. Para $Y=\mathbb{R}^{n}$ podemos caracterizar a los puntos críticos del siguiente modo.
Homeomorfismos lineales
Consideremos el conjunto de isomorfismos de Banach de $V$ a $W$ al que denotaremos \begin{equation*} \mathcal{H}(V,W):=\left\{T\in \mathcal{L}(V,W):T\text{ es isomorfismo de Banach}\right\}. \end{equation*} Un elemento de $\mathcal{H}(V,W)$ \index{conjunto!de isomorfismos de Banach!$\mathcal{H}(V,W)$}es una función $T\colon V\rightarrow W$ lineal, continua y biyectiva, cuyo inverso es lineal y continuo.
Si $T\in \mathcal{H}(V,V)$ denotamos por \begin{equation*} T^{0}:=I,\text{\qquad }T^{k}:=\underset{k\text{ veces}}{\undercbrace{T\circ \cdots \circ T}}, \end{equation*} donde $I$ es la identidad. Escribiremos $TS$ en vez de $T\circ S$ para denotar a la composición.
Probaremos que $\mathcal{H}(V,W)$ es un subconjunto abierto de $\mathcal{L}(V,W)$. Para ello usaremos el siguiente resultado.
Por último, observa que \begin{equation*} \left( I-S\right)^{-1}-I-S=\sum_{k=2}^{\infty }S^{k}=S^{2}\sum_{k=0}^{\infty }S^{k}=S^{2}\left( I-S\right)^{-1}. \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert ( I-S)^{-1}-I-S\right\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}\leq \frac{\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}^{2}}{1-\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}}. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \lim_{S\rightarrow 0}\frac{\left\Vert ( I-S)^{-1}-I-S\right\Vert _{\mathcal{L}(V,V)}}{\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}}\leq \lim_{S\rightarrow 0}\frac{\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}}{1-\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}}=0, \end{equation*} lo que demuestra la última afirmación del lema.
En la demostración del teorema de la función implícita usaremos el siguiente resultado.
\begin{enumerate} \item[(a)] $\mathcal{H}(V,W)$ es un subconjunto abierto de $\mathcal{L}(V,W). $
\item[(b)] La función \begin{equation*} \Phi \colon \mathcal{H}(V,W)\rightarrow \mathcal{L}(W,V),\text{\qquad }\Phi (T):=T^{-1}, \end{equation*} es diferenciable y su derivada en $T_{0}$ es \begin{equation*} \Phi^{\prime }(T_{0})T=-T_{0}^{-1}TT_{0}^{-1}. \end{equation*} \end{enumerate}
(b): Sean $T_{0}\in \mathcal{H}(V,W)$ y $T\in
\mathcal{L}(V,W)$ tal que $T\neq 0$ y $\Vert
T\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}
Demostración del teorema de la función implícita
Observa primero que basta probar el Teorema \ref{teofi} para $c=0$. En efecto: la función $\widetilde{\varphi }(v,w):=\varphi (v,w)-c$ cumple que $\widetilde{\varphi }(v_{0},w_{0})=0$ si y sólo si $\varphi (v_{0},w_{0})=c$, y $\partial_{i}\widetilde{\varphi }(v,w)=\partial_{i}\varphi (v,w)$ para todo $(v,w)\in \Omega $, $i=1,2$. Así que, si el teorema de la función implícita vale para $\widetilde{\varphi }$,\ también vale para $\varphi $.
En lo que resta de esta sección supondremos que $V,W,Z$ son espacios de Banach, $\Omega $es un subconjunto abierto de $V\times W$, $\varphi \colon \Omega \rightarrow Z$ es una función de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $, y $(v_{0},w_{0})$ es un punto de $\Omega $ tal que \begin{equation*} \varphi (v_{0},w_{0})=0\hspace{0.3in}\text{y\hspace{0.3in}}T_{0}:=\partial _{2}\varphi (v_{0},w_{0})\in \mathcal{H}(W,Z). \end{equation*}
Dado $(v,w)\in \Omega $, definimos \begin{equation*} \psi_{v}(w):=w-T_{0}^{-1}\varphi (v,w). \end{equation*} Observa que \begin{equation} \varphi (v,w)=0\text{\quad }\Longleftrightarrow \text{\quad }T_{0}^{-1}\varphi (v,w)=0\text{\quad }\Longleftrightarrow \text{\quad }\psi _{v}(w)=w.\label{fi=pf} \end{equation} Esto sugiere usar el teorema de punto fijo de Banach para obtener soluciones de la ecuación $\varphi (v,w)=0$. Empezaremos demostrando el siguiente lema.
\begin{enumerate} \item[(i)] $\bar{B}_{V}(v_{0},\delta )\times \bar{B}_{W}(w_{0},\eta )\subset \Omega $,
\item[(ii)] $\partial_{2}\varphi (v,w)\in \mathcal{H}(W,Z)$ \ para cualesquiera $v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta )$, $w\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta )$,
\item[(iii)] $\bigl\Vert \psi_{v}(w)-w_{0}\bigr\Vert <\eta $ \ para cualesquiera $v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta )$, $w\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta )$,
\item[(iv)] $\bigl\Vert \psi_{v}(w_{1})-\psi_{v}(w_{2})\bigr\Vert _{W}\leq \frac{3}{4}\bigl\Vert w_{1}-w_{2}\bigr\Vert_{W}$ \ para cualesquiera $v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta )$, $w_{1},w_{2}\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta )$. \end{enumerate}
Sean $v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta )$, $w_{1},w_{2}\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta )$. Entonces, $w_{t+1}:=(1-t)w_{1}+tw_{2}\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta )$ para todo $t\in [0,1]$. Del Corolario~\ref{cortvm} y la desigualdad (\ref{2}) se sigue que \begin{align*} &\bigl\Vert \psi_{v}(w_{1})-\psi_{v}(w_{2})\bigr\Vert_{W}\\ &\qquad{}=\bigl\Vert T_{0}^{-1}T_{0}[w_{1}-w_{2}]-T_{0}^{-1}\left[ \varphi (v,w_{1})-\varphi (v,w_{2})\right] \bigr\Vert_{W} \\ &\qquad{}\leq c_{0}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v_{0},w_{0})[w_{1}-w_{2}]-\varphi (v,w_{1})+\varphi (v,w_{2})\bigr\Vert_{Z} \\ &\qquad{}\leq c_{0}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v_{0},w_{0})[w_{1}-w_{2}]-\partial_{2}\varphi (v,w_{0})[w_{1}-w_{2}]\bigr\Vert_{Z} \\ &\qquad{}\qquad{}+c_{0}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v,w_{0})[w_{1}-w_{2}]-\varphi (v,w_{1})+\varphi (v,w_{2})\bigr\Vert_{Z} \\ &\qquad{}\leq c_{0}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v,w_{0})-\partial_{2}\varphi (v_{0},w_{0})\bigr\Vert_{\mathcal{L}(W,Z)}\bigl\Vert w_{1}-w_{2}\bigr\Vert_{W} \\ &\qquad{}\qquad{}+c_{0}\sup_{t\in [0,1]}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v,w_{t+1})-\partial_{2}\varphi (v,w_{0})\bigr\Vert_{\mathcal{L}(W,Z)}\bigl\Vert w_{1}-w_{2}\bigr\Vert_{W} \\ &\qquad{}<\tfrac{3}{4}\bigl\Vert w_{1}-w_{2}\bigr\Vert_{W}. \end{align*} En consecuencia, usando (\ref{3}) obtenemos \begin{align*} \bigl\Vert \psi_{v}(w)-w_{0}\bigr\Vert_{W} &\leq \bigl\Vert \psi _{v}(w)-\psi_{v}(w_{0})\bigr\Vert_{W}+\bigl\Vert \psi _{v}(w_{0})-w_{0}\bigr\Vert_{W} \\ &=\bigl\Vert \psi_{v}(w)-\psi_{v}(w_{0})\bigr\Vert_{W}+\bigl\Vert T_{0}^{-1}\varphi (v,w_{0})\bigr\Vert_{W} \\ &<\tfrac{3}{4}\bigl\Vert w-w_{0}\bigr\Vert_{W}+\tfrac{\eta }{4} \\ &\leq \eta \text{\qquad }\forall v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta ),\text{ }\forall w\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta ). \end{align*} Esto concluye la demostración.
\begin{enumerate} \item[(a)] Para cada $v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta )$ existe $f(v)\in B_{W}(w_{0},\eta )$ tal que \begin{equation*} \varphi (v,f(v))=0, \end{equation*} y $f(v)$ es el único elemento de $\bar{B}_{W}(w_{0},\eta )$ con esta propiedad.
\item[(b)] La función $f\colon B_{V}(v_{0},\delta )\rightarrow W$ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ y \begin{equation*} f^{\prime }(v)=-\left[ \partial_{2}\varphi (v,f(v))\right]^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (v,f(v))\text{\qquad }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta ). \end{equation*} \end{enumerate}
Antes de probar la afirmación (b) probaremos que la función $f\colon B_{V}(v_{0},\delta )\rightarrow W$ es continua.
Sean $v_{1}\in B_{V}(v_{0},\delta )$ y $\varepsilon >0$. Como $\psi _{v}^{k}(f(v))=f(v)$, la afirmación (iv) del Lema~\ref{lemfi1} asegura que \begin{equation*} \bigl\Vert \psi_{v}^{k}(w_{0})-f(v)\bigr\Vert_{W}\leq \left( \tfrac{3}{4}\right)^{k}\bigl\Vert w_{0}-f(v)\bigr\Vert_{W}<\left( \tfrac{3}{4}\right) ^{k}\eta \text{\qquad }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta ). \end{equation*} Por tanto, existe $k_{0}\in \mathbb{N}$, independiente de $v$, tal que \begin{equation*} \bigl\Vert \psi_{v}^{k}(w_{0})-f(v)\bigr\Vert_{W}<\tfrac{\varepsilon }{3}\text{\qquad }\forall k\geq k_{0},\text{ }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta ). \end{equation*} La función $v\mapsto \psi_{v}(w_{0})=w_{0}-T_{0}^{-1}\varphi (v,w_{0})$ es continua en $B_{V}(v_{0},\delta )$. Por tanto, existe $\gamma >0$ tal que \begin{equation*} \bigl\Vert \psi_{v}^{k_{0}}(w_{0})-\psi_{v_{1}}^{k_{0}}(w_{0})\bigr\Vert _{W}<\tfrac{\varepsilon }{3}\text{\qquad }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta )\cap B_{V}(v_{1},\gamma ). \end{equation*} Concluimos que \begin{align*} \bigl\Vert f(v)-f(v_{1})\bigr\Vert_{W} &\leq \bigl\Vert f(v)-\psi _{v}^{k_{0}}(w_{0})\bigr\Vert_{W}+\bigl\Vert \psi_{v}^{k_{0}}(w_{0})-\psi _{v_{1}}^{k_{0}}(w_{0})\bigr\Vert_{W} \\ &\qquad{}+\bigl\Vert \psi_{v_{1}}^{k_{0}}(w_{0})-f(v_{1})\bigr\Vert_{W} \\ &<\varepsilon \text{\qquad }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta )\cap B_{V}(v_{1},\gamma ). \end{align*} Esto demuestra que $f$ es continua en $B_{V}(v_{0},\delta )$.
(b): Sean $v,v_{1}\in B_{V}(v_{0},\delta )$ y $\varepsilon >0$. Denotamos por \begin{equation*} w:=f(v),\text{\qquad }w_{1}:=f(v_{1}),\text{\qquad }T_{1}:=\partial _{1}\varphi (v_{1},w_{1}),\text{\qquad }T_{2}:=\partial_{2}\varphi (v_{1},w_{1}). \end{equation*} La afirmación (ii) del Lema~\ref{lemfi1} asegura que $T_{2}$ es un isomorfismo de Banach. Definimos \begin{equation*} c_{1}:=\bigl\Vert T_{2}^{-1}T_{1}\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,W)},\text{\qquad }c_{2}:=\bigl\Vert T_{2}^{-1}\bigr\Vert_{\mathcal{L}(Z,W)},\text{\qquad }\theta :=\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{c_{1}+1}\right\} . \end{equation*} Se sigue de (a) que $\varphi (v_{1},w_{1})=0=\varphi (v,w)$. En consecuencia, \begin{equation*} \varphi (v,w)-\varphi (v_{1},w_{1})-\varphi^{\prime }(v_{1},w_{1})(v-v_{1},w-w_{1})=-T_{1}(v-v_{1})-T_{2}(w-w_{1}) \end{equation*} y, como $\varphi $ es diferenciable en $(v_{1},w_{1})$, se tiene que \begin{equation} \lim_{(v,w)\rightarrow (v_{1},w_{1})}\frac{\bigl\Vert T_{1}(v-v_{1})+T_{2}(w-w_{1})\bigr\Vert_{Z}}{\bigl\Vert (v-v_{1},w-w_{1})\bigr\Vert_{V\times W}}=0.\label{7} \end{equation} De (\ref{7}) y de la continuidad de $f$ se sigue que existe $\gamma >0$ tal que $B_{V}(v_{1},\gamma )\subset B_{V}(v_{0},\delta )$ y \begin{equation*} \bigl\Vert T_{1}[v-v_{1}]+T_{2}[w-w_{1}]\bigr\Vert_{Z}<\tfrac{\theta }{2c_{2}}\left( \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}+\bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W}\right) \end{equation*} si $\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}<\gamma$. Así que, si $\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}<\gamma $, \begin{align} \bigl\Vert T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]+w-w_{1}\bigr\Vert_{W} &=\bigl\Vert T_{2}^{-1}\left[ T_{1}[v-v_{1}]+T_{2}\left[ w-w_{1}\right] \right] \bigr\Vert_{W} \notag \\ &<\tfrac{\theta }{2}\left( \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}+\bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W}\right)\label{5} \end{align} y, como $\theta\leq 1$, \begin{align*} \bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W} &\leq\bigl\Vert T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]+w-w_{1}\bigr\Vert_{W}+\bigl\Vert T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]\bigr\Vert_{W} \\ &{}\leq\tfrac{1}{2}\left( \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}+\bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W}\right) +c_{1}\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}, \end{align*} es decir, \begin{equation*} \bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W}\leq (2c_{1}+1)\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert _{V}\text{\qquad si }\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}<\gamma . \end{equation*} Combinando ésta con la desigualdad (\ref{5}) obtenemos que \begin{align*} \bigl\Vert f(v)-f(v_{1})+T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]\bigr\Vert_{W} &=\bigl\Vert w-w_{1}+T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]\bigr\Vert_{W} \\ &<\tfrac{\theta }{2}\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}+\tfrac{\theta }{2}\bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W} \\ &<\theta (c_{1}+1)\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V} \\ &\leq \varepsilon \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}\text{\qquad si }\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}<\gamma , \end{align*}
lo cual demuestra que $f$ es diferenciable en $v_{1}$ y que \begin{equation*} f^{\prime }(v_{1})=-\left[ \partial_{2}\varphi (v_{1},f(v_{1}))\right] ^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (v_{1},f(v_{1})). \end{equation*} Probaremos ahora que $f^{\prime }\colon B_{V}(v_{0},\delta )\rightarrow \mathcal{L}(V,W)$ es continua. Sean $v_{k},v\in B_{V}(v_{0},\delta )$ tales que $v_{k}\rightarrow v$ en $V$. Como $f$, $\partial _{1}\varphi $, $\partial_{2}\varphi $ y la función $T\mapsto T^{-1}$ son funciones continuas (ver Proposición~\ref{homeo}), se tiene que \begin{alignat*}{2} \partial_{1}\varphi (v_{k},f(v_{k})) &\longrightarrow \partial_{1}\varphi (v,f(v)) &\qquad& \text{en $\mathcal{L}(V,Z)$,} \\ \left[ \partial_{2}\varphi (v_{k},f(v_{k}))\right]^{-1} &\longrightarrow \left[ \partial_{2}\varphi (v,f(v))\right]^{-1} &&\text{en $\mathcal{L}(Z,W)$.} \end{alignat*} En consecuencia, \begin{equation*} -\left[ \partial_{2}\varphi (v_{k},f(v_{k}))\right]^{-1}\circ \partial _{1}\varphi (v_{k},f(v_{k}))\longrightarrow -\left[ \partial_{2}\varphi (v,f(v))\right]^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (v,f(v)) \end{equation*} en $\mathcal{L}(V,W)$ (ver Ejercicio~\ref{normcomp}), es decir, $f^{\prime }(v_{k})\rightarrow f(v) $ en $\mathcal{L}(V,W)$. Esto prueba que $f$ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $B_{V}(v_{0},\delta ).\medskip $
Ejercicios
\begin{enumerate} \item[(a)] Prueba que el espacio $\mathcal{H}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ es vacío si $m\neq n$ y es el espacio de matrices cuyo determinante es distinto de $0$ si $m=n$.
\item[(b)] Prueba que el determinante $\det \colon \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua y concluye que $\mathcal{H}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ es abierto en $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$.
\item[(c)] Si $n\leq m$, el espacio $\mathcal{M}\mathit{ono}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ de funciones lineales e inyectivas de $\mathbb{R}^{n}$ en $\mathbb{R}^{m}$ coincide con el espacio de matrices de $m\times n$ de rango $n$. Prueba que $\mathcal{M}\mathit{ono}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ es abierto en $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$.
\item[(d)] Análogamente, si $n\geq m$, prueba que el espacio $\mathcal{E}\mathit{pi}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ de funciones lineales y suprayectivas de $\mathbb{R}^{n}$ en $\mathbb{R}^{m}$ es abierto en $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$. \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] Para todo $(r,\theta )\in (0,\infty )\times \mathbb{R}$ existen un abierto $\Omega^{\prime }$ de $\mathbb{R}^{2}$ y un abierto $\Omega^{\prime \prime }$ de $(0,\infty )\times \mathbb{R}$ tales que $(r,\theta )\in \Omega^{\prime \prime }$, $\varphi (\Omega^{\prime \prime })=\Omega^{\prime }$ y la función \begin{equation*} \varphi \mid_{\Omega^{\prime \prime }}\colon \Omega^{\prime \prime }\rightarrow \Omega^{\prime } \end{equation*} es un homeomorfismo cuyo inverso $\psi :=\left( \varphi \mid _{\Omega^{\prime \prime }}\right)^{-1}\colon \Omega^{\prime }\rightarrow \Omega^{\prime \prime }$ es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$.
\item[(b)] La función $\varphi \colon (0,\infty )\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ no es un homeomorfismo. \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] $\varphi $ es diferenciable en $\mathbb{R}^{2}$,
\item[(b)] $\varphi^{\prime }(0,0)$ es la identidad de $\mathbb{R}^{2}$,
\item[(c)] $\varphi $ no es de clase $\mathcal{C}^{1}$en $\mathbb{R}^{2}$,
\item[(d)] $\varphi $ no es inyectiva en ningún abierto $\Omega $ que contiene a $(0,0)$. \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] Si $\varphi^{\prime }(x_{0})\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es inyectiva, entonces existen un abierto $\Omega ^{\prime }$ de $\mathbb{R}^{n}$ y un abierto $\Omega^{\prime \prime }$ de $\mathbb{R}^{m}$ tales que $x_{0}\in \Omega ^{\prime }\subset \Omega $ y $\varphi (\Omega^{\prime })\subset \Omega^{\prime \prime }$, y una función $\psi \colon \Omega ^{\prime \prime }\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ de clase $\mathcal{C}^{k}$ tal que \begin{equation*} \psi (\varphi (x_{1},\dots,x_{n}))=(x_{1},\dots,x_{n},0,\dots,0)\text{\qquad }\forall (x_{1},\dots,x_{n})\in \Omega^{\prime }. \end{equation*}
\item[(b)] Si $\varphi^{\prime }(x_{0})\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es suprayectiva, entonces existen un abierto $\Omega^{\prime }$ de $\mathbb{R}^{n}$ y una función $\eta \colon \Omega^{\prime }\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ de clase $\mathcal{C}^{k}$ tales que $x_{0}\in \Omega^{\prime }$, $\eta (x_{0})=x_{0}$, $\eta (\Omega^{\prime })\subset \Omega $ y \begin{equation*} \varphi (\eta (x_{1},\dots,x_{n}))=(x_{1},\dots,x_{m})\text{\qquad }\forall (x_{1},\dots,x_{n})\in \Omega^{\prime }. \end{equation*} \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] Encuentra los puntos críticos de la función $g(x,y,z)=z$ en $T$, y di cuáles de ellos son máximos o mínimos locales de $g $ en $T$.
\item[(b)] Encuentra los puntos críticos de la función $h(x,y,z)=y$ en $T$, y di cuáles de ellos son máximos o mínimos locales de $h $ en $T$. \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] Si existe $c>0$ tal que \begin{equation*} D^{2}\varphi (u_{0})(v,v)\geq c\text{\qquad }\forall v\in V\text{ con }\bigl\Vert v\bigr\Vert =1, \end{equation*} entonces $u_{0}$ es un mínimo local de $\varphi $, es decir, existe $\delta >0$ tal que $\varphi (u)\geq \varphi (u_{0})$ si $\bigl\Vert u-u_{0}\bigr\Vert <\delta $.
\item[(b)] Si existe $c<0$ tal que \begin{equation*} D^{2}\varphi (u_{0})(v,v)\leq c\text{\qquad }\forall v\in V\text{ con }\bigl\Vert v\bigr\Vert =1, \end{equation*} entonces $u_{0}$ es un máximo local de $\varphi $, es decir, existe $\delta >0$ tal que $\varphi (u)\leq \varphi (u_{0})$ si $\bigl\Vert u-u_{0}\bigr\Vert <\delta $. \end{enumerate}
(Sugerencia: Usa el teorema de Taylor.)
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