Sean \varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R} una función de clase \mathcal{C}^{1} definida en un abierto \Omega de \mathbb{R}^{n}, y c\in \mathbb{R}. Queremos obtener información sobre la estructura del conjunto de soluciones \xi \in \Omega de la ecuación \begin{equation} \varphi (\xi )=c,\label{ec} \end{equation} al que denotaremos por \begin{equation*} M:=\left\{\xi \in \Omega :\varphi (\xi )=c\right\}. \end{equation*}
Veamos un ejemplo. Si \varphi \colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R} es la función \varphi (x,y)=x^{2}-y^{2} entonces para c<0 el conjunto M tiene dos componentes: una de ellas es la gráfica de la función x\mapsto \sqrt{x^{2}-c} y la otra es la gráfica de x\mapsto -\sqrt{x^{2}-c}. Análogamente, si c>0, el conjunto M tiene dos componentes: la gráfica de la función y\mapsto \sqrt{c+y^{2}} y la de la función y\mapsto -\sqrt{c+y^{2}}. En cambio, si c=0, no existe ninguna vecindad de (0,0) en \mathbb{R}^{2} cuya intersección con M sea la gráfica de alguna función. \begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/hip-c-menor.tikz}\qquad \input{./figuras-tikz/hip-c-mayor.tikz}\qquad \input{./figuras-tikz/hip-c-igual.tikz} \caption{}\label{fig:10.1} \end{figure}
Nota que \nabla \varphi (x,y)\neq (0,0) si (x,y)\neq (0,0). En este caso, la recta perpendicular a \nabla \varphi (x,y) es tangente a M en el punto (x,y), es decir, M se parece a dicha recta en una vecindad del punto.
Los conjuntos M de soluciones de (\ref{ec}) que tienen la propiedad de que \nabla \varphi (\xi )\neq 0 para todo \xi \in M se llaman variedades. El teorema de la función implícita asegura que, si M es una variedad entonces, en una vecindad de cada punto \xi \in M, M es la gráfica de una función cuyo dominio es un abierto en el subespacio de \mathbb{R}^{n} ortogonal a \nabla \varphi (\xi ) y cuyo codominio es el espacio generado por \nabla \varphi (\xi ). \begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/figuraCap10-1.tikz} \caption{}\label{fig:10.2} \end{figure}
En particular, cerca de \xi , M se parece a \mathbb{R}^{n-1}. Esto permite extender conceptos y resultados del cálculo diferencial a las variedades.
En las aplicaciones interesa a menudo encontrar mínimos o máximos locales de una cierta función g\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R} sobre una variedad M. El teorema de la función implícita proporciona un criterio sencillo para detectarlos: si \xi \in M es un máximo o un mínimo local de g en M, entonces \nabla g(\xi ) es perpendicular al espacio tangente a M en \xi . Por ejemplo, si g(x,y,z):=z es la función que a cada punto de \mathbb{R}^{3} le asocia su altura respecto al plano xy, los máximos y mínimos locales de g sobre una superficie M en \mathbb{R}^{3} tienen la propiedad de que el plano tangente a M en tales puntos es paralelo al plano xy. \begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/plano-tangente.tikz} \caption{}\label{fig:10.3} \end{figure}
Los resultados anteriores son válidos también en espacios de Banach y tienen aplicaciones importantes en ese contexto, por ejemplo, para probar la existencia de soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales no lineales\footnote{ Consulta, por ejemplo,~\cite{Ambrosetti}.}.
Sean Y un espacio de Banach, \Omega un subconjunto abierto de Y, \varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m} una función de clase \mathcal{C}^{1} y c\in \mathbb{R}^{m}. Como mencionamos en la introducción, nos interesa obtener información sobre la estructura del conjunto de soluciones u\in \Omega de la ecuación \begin{equation} \varphi (u)=c,\label{ecua} \end{equation} al que denotaremos por \begin{equation*} M:=\left\{u\in \Omega :\varphi (u)=c\right\}. \end{equation*} Veamos el siguiente ejemplo.
Observa que \nabla \varphi (\xi )=2\xi , por lo que T_{\xi }M=\left\{y\in \mathbb{R}^{n}:y\cdot \nabla \varphi (\xi )=0\right\}.
Queremos obtener una condición suficiente para que el conjunto de soluciones de la ecuación (\ref{ecua}) sea, localmente, la gráfica de una función. El siguiente concepto jugará un papel fundamental.
El subespacio vectorial \begin{equation*} T_{u}M:=\ker \varphi^{\prime }(u)=\left\{v\in Y:\varphi^{\prime }(u)v=0\right\} \end{equation*} de Y se llama el espacio tangente a M \index{espacio!tangente}en el punto u\in M.
Nota que, si M=\emptyset , entonces c es un valor regular de \varphi . Si c es un valor regular de \varphi y M\neq \emptyset , necesariamente \dim Y\geq m. Observa además que, dado que \varphi^{\prime }(u)\colon Y\rightarrow \mathbb{R}^{m} es continua, el espacio tangente T_{u}M es un subespacio cerrado de Y y, por tanto, es un espacio de Banach.
Este ejemplo incluye a la función \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}, considerada en el Ejemplo \ref{ejesfera}, y es un caso particular del siguiente ejemplo.
Nota que \varphi^{\prime }(\xi )y=\left( \nabla \varphi_{1}(\xi )\cdot y,\ldots ,\nabla \varphi _{m}(\xi )\cdot y\right) , así que y\in T_{\xi }M si y sólo si \nabla \varphi_{j}(\xi )\cdot y=0 para todo j=1,\ldots ,m.
Si queremos expresar localmente a M como la gráfica de una función definida en un subconjunto abierto del espacio tangente, necesitamos primero expresar a Y como un producto de espacios de Banach de la forma T_{u}M\times W_{u}. Si Y=\mathbb{R}^{n} podemos simplemente tomar a W_{u} como el complemento ortogonal de T_{u}M.
Desde un punto de vista puramente algebraico, todo subespacio V de un espacio vectorial Y tiene un espacio complementario, es decir, existe un subespacio W de Y tal que Y es linealmente isomorfo a V\times W. Sin embargo, si Y es un espacio de Banach de dimensión infinita y V es cerrado en Y, ni W es necesariamente cerrado en Y, ni Y es necesariamente homeomorfo a V\times W.
En el caso particular que estamos considerando sí podemos expresar a Y como T_{u}M\times W_{u} de manera apropiada. Se tiene el siguiente resultado.
Para probar que W es cerrado en Y tomemos una sucesión (y_{k}) en W tal que y_{k}\rightarrow y en Y. Como ST es continua, se tiene que y_{k}=STy_{k}\rightarrow STy. En consecuencia, y=STy\in W. Esto prueba que W es cerrado en Y.
De la Proposición~\ref{complemento} se desprende que, si c es un valor regular de \varphi entonces, para cada u\in M, existe un subespacio cerrado W_{u} de Y tal que la función \begin{equation*} \iota \colon T_{u}M\times W_{u}\rightarrow Y,\text{\qquad }\iota (v,w):=v+w, \end{equation*} es un isomorfismo de Banach. El teorema de la función implícita, que enunciaremos a continuación, garantiza que M se puede expresar localmente como la gráfica de una función cuyo dominio es un abierto de T_{u}M y cuyo codominio es W_{u}.
\begin{enumerate} \item[(I) ] El conjunto de soluciones $(v,w)\in B_{V}(v_{0},\delta )\times B_{W}(w_{0},\eta )$ de la ecuación \begin{equation*} \varphi (v,w)=c \end{equation*} coincide con la gráfica de $f$, \begin{equation*} \text{graf}(f):=\left\{(v,f(v)):v\in B_{V}(v_{0},\delta )\right\}. \end{equation*} En particular, f(v_{0})=w_{0} y f(v)\in B_{W}(w_{0},\eta ) para todo v\in B_{V}(v_{0},\delta ).
\item[(II) ] Para todo v\in B_{V}(v_{0},\delta ) se cumple que \partial_{2}\varphi (v,f(v)) es un isomorfismo de Banach y \begin{equation*} f^{\prime }(v)=-\left[ \partial_{2}\varphi (v,f(v))\right]^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (v,f(v)). \end{equation*} \end{enumerate}
Pospondremos la demostración de este teorema para la Sección \ref{sec10-4} de este capítulo, y procederemos a presentar algunas consecuencias importantes.
La Proposición~\ref{complemento} asegura que, si c\in \mathbb{R}^{m} es un valor regular de \varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m}, entonces para cada u\in M existe un subespacio cerrado W_{u} de Y tal que la función \begin{equation*} \iota \colon T_{u}M\times W_{u}\rightarrow Y,\text{\qquad }\iota (v,w):=v+w, \end{equation*} es un isomorfismo de Banach. Identificando a Y con T_{u}M\times W_{u} mediante dicho isomorfismo, se obtiene que \partial _{2}\varphi (u)\equiv \varphi^{\prime }(u)\mid _{W_{u}}\colon W_{u}\rightarrow \mathbb{R}^{m} es un isomorfismo. Nota que W_{u} no es único. Para cualquier elección de W_{u} con las propiedades mencionadas se tiene el siguiente resultado, que es consecuencia inmediata del teorema de la función implícita.
Es importante hacer notar que, si la función \varphi del Teorema~\ref{teofi} y del Corolario~\ref{variedad} es de clase \mathcal{C}^{k}, entonces la función f también es de clase \mathcal{C}^{k} [Ejercicio~\ref{fiCk}].
Sean \Omega un subconjunto abierto de un espacio de Banach Y, \varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m} una función de clase \mathcal{C}^{1} , c\in \mathbb{R}^{m} y M:=\left\{u\in \Omega :\varphi (u)=c\right\}. El Corolario~\ref{variedad} permite caracterizar al espacio tangente como sigue.
\subset ): Inversamente, sea v\in T_{u}M. Si escribimos u=v_{0}+w_{0} con v_{0}\in T_{u}M y w_{0}\in W_{u}, el Corolario~\ref{variedad} asegura que existen \delta ,\eta >0 y una función f\colon B_{T_{u}M}(v_{0},\delta )\rightarrow W_{u} de clase \mathcal{C}^{1} tal que \begin{equation*} M\cap \left[ B_{T_{u}M}(v_{0},\delta )\times B_{W_{u}}(w_{0},\eta )\right] =\left\{v+f(v):v\in B_{T_{u}M}(v_{0},\delta )\right\} \end{equation*} y \begin{equation*} f^{\prime }(v_{0})=-\left[ \partial_{2}\varphi (u)\right]^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (u). \end{equation*} Escogemos \varepsilon >0 tal que v_{0}+tv\in B_{T_{u}M}(x_{0},\delta ) para todo t\in (-\varepsilon ,\varepsilon ) y definimos \sigma \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow Y como \begin{equation*} \sigma (t):=v_{0}+tv+f(v_{0}+tv). \end{equation*} Claramente, \sigma \in \Gamma_{u}(M). Como v\in T_{u}M se tiene que \partial_{1}\varphi (u)v=\varphi^{\prime }(u)v=0 y, en consecuencia, \begin{equation*} f^{\prime }(v_{0})v=-\left[ \partial_{2}\varphi (u)\right]^{-1}\left[ \partial_{1}\varphi (u)v\right] =0. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \sigma^{\prime }(0)=v+f^{\prime }(v_{0})v=v. \end{equation*} Esto prueba que T_{u}M\subset \left\{\sigma^{\prime }(0):\sigma \in \Gamma_{u}(M)\right\}.
Así pues, T_{u}M es el conjunto de velocidades en el punto u de todas las trayectorias continuamente diferenciables en M que pasan por u. Esto justifica llamarlo el espacio tangente a M en u. Nota que esta última caracterización no depende de la función \varphi .
Las subvariedades aparecen a menudo en las aplicaciones como restricciones de una función cuyos máximos y mínimos locales sobre la variedad interesa encontrar.
Los mínimos y máximos locales de una función en una variedad tienen la siguiente propiedad.
La Proposición~\ref{minespc} afirma que los máximos y mínimos locales son puntos críticos de g en M. Para Y=\mathbb{R}^{n} podemos caracterizar a los puntos críticos del siguiente modo.
Consideremos el conjunto de isomorfismos de Banach de V a W al que denotaremos \begin{equation*} \mathcal{H}(V,W):=\left\{T\in \mathcal{L}(V,W):T\text{ es isomorfismo de Banach}\right\}. \end{equation*} Un elemento de \mathcal{H}(V,W) \index{conjunto!de isomorfismos de Banach!\mathcal{H}(V,W)}es una función T\colon V\rightarrow W lineal, continua y biyectiva, cuyo inverso es lineal y continuo.
Si T\in \mathcal{H}(V,V) denotamos por \begin{equation*} T^{0}:=I,\text{\qquad }T^{k}:=\underset{k\text{ veces}}{\undercbrace{T\circ \cdots \circ T}}, \end{equation*} donde I es la identidad. Escribiremos TS en vez de T\circ S para denotar a la composición.
Probaremos que \mathcal{H}(V,W) es un subconjunto abierto de \mathcal{L}(V,W). Para ello usaremos el siguiente resultado.
Por último, observa que \begin{equation*} \left( I-S\right)^{-1}-I-S=\sum_{k=2}^{\infty }S^{k}=S^{2}\sum_{k=0}^{\infty }S^{k}=S^{2}\left( I-S\right)^{-1}. \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert ( I-S)^{-1}-I-S\right\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}\leq \frac{\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}^{2}}{1-\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}}. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \lim_{S\rightarrow 0}\frac{\left\Vert ( I-S)^{-1}-I-S\right\Vert _{\mathcal{L}(V,V)}}{\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}}\leq \lim_{S\rightarrow 0}\frac{\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}}{1-\bigl\Vert S\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,V)}}=0, \end{equation*} lo que demuestra la última afirmación del lema.
En la demostración del teorema de la función implícita usaremos el siguiente resultado.
\begin{enumerate} \item[(a)] $\mathcal{H}(V,W)$ es un subconjunto abierto de $\mathcal{L}(V,W). $
\item[(b)] La función \begin{equation*} \Phi \colon \mathcal{H}(V,W)\rightarrow \mathcal{L}(W,V),\text{\qquad }\Phi (T):=T^{-1}, \end{equation*} es diferenciable y su derivada en T_{0} es \begin{equation*} \Phi^{\prime }(T_{0})T=-T_{0}^{-1}TT_{0}^{-1}. \end{equation*} \end{enumerate}
(b): Sean T_{0}\in \mathcal{H}(V,W) y T\in
\mathcal{L}(V,W) tal que T\neq 0 y $\Vert
T\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}
Observa primero que basta probar el Teorema \ref{teofi} para c=0. En efecto: la función \widetilde{\varphi }(v,w):=\varphi (v,w)-c cumple que \widetilde{\varphi }(v_{0},w_{0})=0 si y sólo si \varphi (v_{0},w_{0})=c, y \partial_{i}\widetilde{\varphi }(v,w)=\partial_{i}\varphi (v,w) para todo (v,w)\in \Omega , i=1,2. Así que, si el teorema de la función implícita vale para \widetilde{\varphi },\ también vale para \varphi .
En lo que resta de esta sección supondremos que V,W,Z son espacios de Banach, \Omega es un subconjunto abierto de V\times W, \varphi \colon \Omega \rightarrow Z es una función de clase \mathcal{C}^{1} en \Omega , y (v_{0},w_{0}) es un punto de \Omega tal que \begin{equation*} \varphi (v_{0},w_{0})=0\hspace{0.3in}\text{y\hspace{0.3in}}T_{0}:=\partial _{2}\varphi (v_{0},w_{0})\in \mathcal{H}(W,Z). \end{equation*}
Dado (v,w)\in \Omega , definimos \begin{equation*} \psi_{v}(w):=w-T_{0}^{-1}\varphi (v,w). \end{equation*} Observa que \begin{equation} \varphi (v,w)=0\text{\quad }\Longleftrightarrow \text{\quad }T_{0}^{-1}\varphi (v,w)=0\text{\quad }\Longleftrightarrow \text{\quad }\psi _{v}(w)=w.\label{fi=pf} \end{equation} Esto sugiere usar el teorema de punto fijo de Banach para obtener soluciones de la ecuación \varphi (v,w)=0. Empezaremos demostrando el siguiente lema.
\begin{enumerate} \item[(i)] $\bar{B}_{V}(v_{0},\delta )\times \bar{B}_{W}(w_{0},\eta )\subset \Omega $,
\item[(ii)] \partial_{2}\varphi (v,w)\in \mathcal{H}(W,Z) \ para cualesquiera v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta ), w\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta ),
\item[(iii)] \bigl\Vert \psi_{v}(w)-w_{0}\bigr\Vert <\eta \ para cualesquiera v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta ), w\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta ),
\item[(iv)] \bigl\Vert \psi_{v}(w_{1})-\psi_{v}(w_{2})\bigr\Vert _{W}\leq \frac{3}{4}\bigl\Vert w_{1}-w_{2}\bigr\Vert_{W} \ para cualesquiera v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta ), w_{1},w_{2}\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta ). \end{enumerate}
Sean v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta ), w_{1},w_{2}\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta ). Entonces, w_{t+1}:=(1-t)w_{1}+tw_{2}\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta ) para todo t\in [0,1]. Del Corolario~\ref{cortvm} y la desigualdad (\ref{2}) se sigue que \begin{align*} &\bigl\Vert \psi_{v}(w_{1})-\psi_{v}(w_{2})\bigr\Vert_{W}\\ &\qquad{}=\bigl\Vert T_{0}^{-1}T_{0}[w_{1}-w_{2}]-T_{0}^{-1}\left[ \varphi (v,w_{1})-\varphi (v,w_{2})\right] \bigr\Vert_{W} \\ &\qquad{}\leq c_{0}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v_{0},w_{0})[w_{1}-w_{2}]-\varphi (v,w_{1})+\varphi (v,w_{2})\bigr\Vert_{Z} \\ &\qquad{}\leq c_{0}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v_{0},w_{0})[w_{1}-w_{2}]-\partial_{2}\varphi (v,w_{0})[w_{1}-w_{2}]\bigr\Vert_{Z} \\ &\qquad{}\qquad{}+c_{0}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v,w_{0})[w_{1}-w_{2}]-\varphi (v,w_{1})+\varphi (v,w_{2})\bigr\Vert_{Z} \\ &\qquad{}\leq c_{0}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v,w_{0})-\partial_{2}\varphi (v_{0},w_{0})\bigr\Vert_{\mathcal{L}(W,Z)}\bigl\Vert w_{1}-w_{2}\bigr\Vert_{W} \\ &\qquad{}\qquad{}+c_{0}\sup_{t\in [0,1]}\bigl\Vert \partial_{2}\varphi (v,w_{t+1})-\partial_{2}\varphi (v,w_{0})\bigr\Vert_{\mathcal{L}(W,Z)}\bigl\Vert w_{1}-w_{2}\bigr\Vert_{W} \\ &\qquad{}<\tfrac{3}{4}\bigl\Vert w_{1}-w_{2}\bigr\Vert_{W}. \end{align*} En consecuencia, usando (\ref{3}) obtenemos \begin{align*} \bigl\Vert \psi_{v}(w)-w_{0}\bigr\Vert_{W} &\leq \bigl\Vert \psi _{v}(w)-\psi_{v}(w_{0})\bigr\Vert_{W}+\bigl\Vert \psi _{v}(w_{0})-w_{0}\bigr\Vert_{W} \\ &=\bigl\Vert \psi_{v}(w)-\psi_{v}(w_{0})\bigr\Vert_{W}+\bigl\Vert T_{0}^{-1}\varphi (v,w_{0})\bigr\Vert_{W} \\ &<\tfrac{3}{4}\bigl\Vert w-w_{0}\bigr\Vert_{W}+\tfrac{\eta }{4} \\ &\leq \eta \text{\qquad }\forall v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta ),\text{ }\forall w\in \bar{B}_{W}(w_{0},\eta ). \end{align*} Esto concluye la demostración.
\begin{enumerate} \item[(a)] Para cada $v\in \bar{B}_{V}(v_{0},\delta )$ existe $f(v)\in B_{W}(w_{0},\eta )$ tal que \begin{equation*} \varphi (v,f(v))=0, \end{equation*} y $f(v)$ es el único elemento de $\bar{B}_{W}(w_{0},\eta )$ con esta propiedad.
\item[(b)] La función f\colon B_{V}(v_{0},\delta )\rightarrow W es de clase \mathcal{C}^{1} y \begin{equation*} f^{\prime }(v)=-\left[ \partial_{2}\varphi (v,f(v))\right]^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (v,f(v))\text{\qquad }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta ). \end{equation*} \end{enumerate}
Antes de probar la afirmación (b) probaremos que la función f\colon B_{V}(v_{0},\delta )\rightarrow W es continua.
Sean v_{1}\in B_{V}(v_{0},\delta ) y \varepsilon >0. Como \psi _{v}^{k}(f(v))=f(v), la afirmación (iv) del Lema~\ref{lemfi1} asegura que \begin{equation*} \bigl\Vert \psi_{v}^{k}(w_{0})-f(v)\bigr\Vert_{W}\leq \left( \tfrac{3}{4}\right)^{k}\bigl\Vert w_{0}-f(v)\bigr\Vert_{W}<\left( \tfrac{3}{4}\right) ^{k}\eta \text{\qquad }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta ). \end{equation*} Por tanto, existe k_{0}\in \mathbb{N}, independiente de v, tal que \begin{equation*} \bigl\Vert \psi_{v}^{k}(w_{0})-f(v)\bigr\Vert_{W}<\tfrac{\varepsilon }{3}\text{\qquad }\forall k\geq k_{0},\text{ }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta ). \end{equation*} La función v\mapsto \psi_{v}(w_{0})=w_{0}-T_{0}^{-1}\varphi (v,w_{0}) es continua en B_{V}(v_{0},\delta ). Por tanto, existe \gamma >0 tal que \begin{equation*} \bigl\Vert \psi_{v}^{k_{0}}(w_{0})-\psi_{v_{1}}^{k_{0}}(w_{0})\bigr\Vert _{W}<\tfrac{\varepsilon }{3}\text{\qquad }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta )\cap B_{V}(v_{1},\gamma ). \end{equation*} Concluimos que \begin{align*} \bigl\Vert f(v)-f(v_{1})\bigr\Vert_{W} &\leq \bigl\Vert f(v)-\psi _{v}^{k_{0}}(w_{0})\bigr\Vert_{W}+\bigl\Vert \psi_{v}^{k_{0}}(w_{0})-\psi _{v_{1}}^{k_{0}}(w_{0})\bigr\Vert_{W} \\ &\qquad{}+\bigl\Vert \psi_{v_{1}}^{k_{0}}(w_{0})-f(v_{1})\bigr\Vert_{W} \\ &<\varepsilon \text{\qquad }\forall v\in B_{V}(v_{0},\delta )\cap B_{V}(v_{1},\gamma ). \end{align*} Esto demuestra que f es continua en B_{V}(v_{0},\delta ).
(b): Sean v,v_{1}\in B_{V}(v_{0},\delta ) y \varepsilon >0. Denotamos por \begin{equation*} w:=f(v),\text{\qquad }w_{1}:=f(v_{1}),\text{\qquad }T_{1}:=\partial _{1}\varphi (v_{1},w_{1}),\text{\qquad }T_{2}:=\partial_{2}\varphi (v_{1},w_{1}). \end{equation*} La afirmación (ii) del Lema~\ref{lemfi1} asegura que T_{2} es un isomorfismo de Banach. Definimos \begin{equation*} c_{1}:=\bigl\Vert T_{2}^{-1}T_{1}\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V,W)},\text{\qquad }c_{2}:=\bigl\Vert T_{2}^{-1}\bigr\Vert_{\mathcal{L}(Z,W)},\text{\qquad }\theta :=\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{c_{1}+1}\right\} . \end{equation*} Se sigue de (a) que \varphi (v_{1},w_{1})=0=\varphi (v,w). En consecuencia, \begin{equation*} \varphi (v,w)-\varphi (v_{1},w_{1})-\varphi^{\prime }(v_{1},w_{1})(v-v_{1},w-w_{1})=-T_{1}(v-v_{1})-T_{2}(w-w_{1}) \end{equation*} y, como \varphi es diferenciable en (v_{1},w_{1}), se tiene que \begin{equation} \lim_{(v,w)\rightarrow (v_{1},w_{1})}\frac{\bigl\Vert T_{1}(v-v_{1})+T_{2}(w-w_{1})\bigr\Vert_{Z}}{\bigl\Vert (v-v_{1},w-w_{1})\bigr\Vert_{V\times W}}=0.\label{7} \end{equation} De (\ref{7}) y de la continuidad de f se sigue que existe \gamma >0 tal que B_{V}(v_{1},\gamma )\subset B_{V}(v_{0},\delta ) y \begin{equation*} \bigl\Vert T_{1}[v-v_{1}]+T_{2}[w-w_{1}]\bigr\Vert_{Z}<\tfrac{\theta }{2c_{2}}\left( \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}+\bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W}\right) \end{equation*} si \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}<\gamma. Así que, si \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}<\gamma , \begin{align} \bigl\Vert T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]+w-w_{1}\bigr\Vert_{W} &=\bigl\Vert T_{2}^{-1}\left[ T_{1}[v-v_{1}]+T_{2}\left[ w-w_{1}\right] \right] \bigr\Vert_{W} \notag \\ &<\tfrac{\theta }{2}\left( \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}+\bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W}\right)\label{5} \end{align} y, como \theta\leq 1, \begin{align*} \bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W} &\leq\bigl\Vert T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]+w-w_{1}\bigr\Vert_{W}+\bigl\Vert T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]\bigr\Vert_{W} \\ &{}\leq\tfrac{1}{2}\left( \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}+\bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W}\right) +c_{1}\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}, \end{align*} es decir, \begin{equation*} \bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W}\leq (2c_{1}+1)\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert _{V}\text{\qquad si }\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}<\gamma . \end{equation*} Combinando ésta con la desigualdad (\ref{5}) obtenemos que \begin{align*} \bigl\Vert f(v)-f(v_{1})+T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]\bigr\Vert_{W} &=\bigl\Vert w-w_{1}+T_{2}^{-1}T_{1}[v-v_{1}]\bigr\Vert_{W} \\ &<\tfrac{\theta }{2}\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}+\tfrac{\theta }{2}\bigl\Vert w-w_{1}\bigr\Vert_{W} \\ &<\theta (c_{1}+1)\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V} \\ &\leq \varepsilon \bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}\text{\qquad si }\bigl\Vert v-v_{1}\bigr\Vert_{V}<\gamma , \end{align*}
lo cual demuestra que f es diferenciable en v_{1} y que \begin{equation*} f^{\prime }(v_{1})=-\left[ \partial_{2}\varphi (v_{1},f(v_{1}))\right] ^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (v_{1},f(v_{1})). \end{equation*} Probaremos ahora que f^{\prime }\colon B_{V}(v_{0},\delta )\rightarrow \mathcal{L}(V,W) es continua. Sean v_{k},v\in B_{V}(v_{0},\delta ) tales que v_{k}\rightarrow v en V. Como f, \partial _{1}\varphi , \partial_{2}\varphi y la función T\mapsto T^{-1} son funciones continuas (ver Proposición~\ref{homeo}), se tiene que \begin{alignat*}{2} \partial_{1}\varphi (v_{k},f(v_{k})) &\longrightarrow \partial_{1}\varphi (v,f(v)) &\qquad& \text{en $\mathcal{L}(V,Z)$,} \\ \left[ \partial_{2}\varphi (v_{k},f(v_{k}))\right]^{-1} &\longrightarrow \left[ \partial_{2}\varphi (v,f(v))\right]^{-1} &&\text{en $\mathcal{L}(Z,W)$.} \end{alignat*} En consecuencia, \begin{equation*} -\left[ \partial_{2}\varphi (v_{k},f(v_{k}))\right]^{-1}\circ \partial _{1}\varphi (v_{k},f(v_{k}))\longrightarrow -\left[ \partial_{2}\varphi (v,f(v))\right]^{-1}\circ \partial_{1}\varphi (v,f(v)) \end{equation*} en \mathcal{L}(V,W) (ver Ejercicio~\ref{normcomp}), es decir, f^{\prime }(v_{k})\rightarrow f(v) en \mathcal{L}(V,W). Esto prueba que f es de clase \mathcal{C}^{1} en B_{V}(v_{0},\delta ).\medskip
\begin{enumerate} \item[(a)] Prueba que el espacio $\mathcal{H}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ es vacío si $m\neq n$ y es el espacio de matrices cuyo determinante es distinto de $0$ si $m=n$.
\item[(b)] Prueba que el determinante \det \colon \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R} es una función continua y concluye que \mathcal{H}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}) es abierto en \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}).
\item[(c)] Si n\leq m, el espacio \mathcal{M}\mathit{ono}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}) de funciones lineales e inyectivas de \mathbb{R}^{n} en \mathbb{R}^{m} coincide con el espacio de matrices de m\times n de rango n. Prueba que \mathcal{M}\mathit{ono}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}) es abierto en \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}).
\item[(d)] Análogamente, si n\geq m, prueba que el espacio \mathcal{E}\mathit{pi}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}) de funciones lineales y suprayectivas de \mathbb{R}^{n} en \mathbb{R}^{m} es abierto en \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}). \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] Para todo $(r,\theta )\in (0,\infty )\times \mathbb{R}$ existen un abierto $\Omega^{\prime }$ de $\mathbb{R}^{2}$ y un abierto $\Omega^{\prime \prime }$ de $(0,\infty )\times \mathbb{R}$ tales que $(r,\theta )\in \Omega^{\prime \prime }$, $\varphi (\Omega^{\prime \prime })=\Omega^{\prime }$ y la función \begin{equation*} \varphi \mid_{\Omega^{\prime \prime }}\colon \Omega^{\prime \prime }\rightarrow \Omega^{\prime } \end{equation*} es un homeomorfismo cuyo inverso $\psi :=\left( \varphi \mid _{\Omega^{\prime \prime }}\right)^{-1}\colon \Omega^{\prime }\rightarrow \Omega^{\prime \prime }$ es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$.
\item[(b)] La función \varphi \colon (0,\infty )\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{2} no es un homeomorfismo. \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] $\varphi $ es diferenciable en $\mathbb{R}^{2}$,
\item[(b)] \varphi^{\prime }(0,0) es la identidad de \mathbb{R}^{2},
\item[(c)] \varphi no es de clase \mathcal{C}^{1}en \mathbb{R}^{2},
\item[(d)] \varphi no es inyectiva en ningún abierto \Omega que contiene a (0,0). \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] Si $\varphi^{\prime }(x_{0})\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es inyectiva, entonces existen un abierto $\Omega ^{\prime }$ de $\mathbb{R}^{n}$ y un abierto $\Omega^{\prime \prime }$ de $\mathbb{R}^{m}$ tales que $x_{0}\in \Omega ^{\prime }\subset \Omega $ y $\varphi (\Omega^{\prime })\subset \Omega^{\prime \prime }$, y una función $\psi \colon \Omega ^{\prime \prime }\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ de clase $\mathcal{C}^{k}$ tal que \begin{equation*} \psi (\varphi (x_{1},\dots,x_{n}))=(x_{1},\dots,x_{n},0,\dots,0)\text{\qquad }\forall (x_{1},\dots,x_{n})\in \Omega^{\prime }. \end{equation*}
\item[(b)] Si \varphi^{\prime }(x_{0})\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m} es suprayectiva, entonces existen un abierto \Omega^{\prime } de \mathbb{R}^{n} y una función \eta \colon \Omega^{\prime }\rightarrow \mathbb{R}^{n} de clase \mathcal{C}^{k} tales que x_{0}\in \Omega^{\prime }, \eta (x_{0})=x_{0}, \eta (\Omega^{\prime })\subset \Omega y \begin{equation*} \varphi (\eta (x_{1},\dots,x_{n}))=(x_{1},\dots,x_{m})\text{\qquad }\forall (x_{1},\dots,x_{n})\in \Omega^{\prime }. \end{equation*} \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] Encuentra los puntos críticos de la función $g(x,y,z)=z$ en $T$, y di cuáles de ellos son máximos o mínimos locales de $g $ en $T$.
\item[(b)] Encuentra los puntos críticos de la función h(x,y,z)=y en T, y di cuáles de ellos son máximos o mínimos locales de h en T. \end{enumerate}
\begin{enumerate} \item[(a)] Si existe $c>0$ tal que \begin{equation*} D^{2}\varphi (u_{0})(v,v)\geq c\text{\qquad }\forall v\in V\text{ con }\bigl\Vert v\bigr\Vert =1, \end{equation*} entonces $u_{0}$ es un mínimo local de $\varphi $, es decir, existe $\delta >0$ tal que $\varphi (u)\geq \varphi (u_{0})$ si $\bigl\Vert u-u_{0}\bigr\Vert <\delta $.
\item[(b)] Si existe c<0 tal que \begin{equation*} D^{2}\varphi (u_{0})(v,v)\leq c\text{\qquad }\forall v\in V\text{ con }\bigl\Vert v\bigr\Vert =1, \end{equation*} entonces u_{0} es un máximo local de \varphi , es decir, existe \delta >0 tal que \varphi (u)\leq \varphi (u_{0}) si \bigl\Vert u-u_{0}\bigr\Vert <\delta . \end{enumerate}
(Sugerencia: Usa el teorema de Taylor.)
planta baja del edificio nuevo • instituto de matemáticas • unam
55 5622 4496 • 55 5622 4545