TeXedores --- TUL-Análisis Matemático

Funciones Lebesgue-integrables

En el capítulo anterior definimos la integral de una función continua con soporte compacto. Nuestro objetivo es extender la noción de integrabilidad a una clase más amplia de funciones.

Empezaremos considerando aquellas funciones $g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}}$ que son supremos puntuales de sucesiones no decrecientes de funciones $g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. Denotaremos por $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ al conjunto de tales funciones. En virtud de la monotonía de la integral es razonable definir \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g:=\sup_{k\in \mathbb{N}}\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}. \end{equation*} Un resultado debido a Dini (ver Teorema 12.2) garantiza que esta integral está bien definida. Análogamente consideraremos el conjunto $\mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ de aquellas funciones $h\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{-\infty \right\}}$ que son ínfimos puntuales de sucesiones no crecientes de funciones $h_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y definiremos \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}h:=\inf_{k\in \mathbb{N}}\int_{\mathbb{R}^{n}}h_{k}. \end{equation*} Para aquellas funciones que pertenecen a $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})=\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})\cap \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ ambas integrales coinciden con la integral definida en el capítulo anterior.

En general, estas integrales no tienen por qué ser finitas. Más aún, el conjunto $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})\cup \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ no es un espacio vectorial. Estos inconvenientes se resuelven del siguiente modo: considera el conjunto $\mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ de todas aquellas funciones $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ para las cuales \begin{align*} -\infty &\menorque\sup \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}h:h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n}),\text{ }h\leq f\right\}\\&{}=\inf \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}g:g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n}),\text{ }g\geq f\right\} \menorque\infty . \end{align*} Estas funciones se llaman Lebesgue-integrables y su integral se define como \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f:={}&\sup \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}h:h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n}),\text{ }h\leq f\right\}\\ {}={}&\inf \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}g:g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n}),\text{ }g\geq f\right\} . \end{align*}

Esta definición resulta complicada de manejar. Demostraremos que una función es Lebesgue-integrable si se puede aproximar, en un sentido adecuado, por una sucesión de funciones continuas con soporte compacto, y que su integral de Lebesgue es el límite de las integrales de dicha sucesión. Esta caracterización permite extender de manera sencilla las propiedades que demostramos en el capítulo anterior a este contexto más general. Probaremos que el conjunto $\mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ es un espacio vectorial, que la integral es lineal y monótona y que continúa satisfaciendo la fórmula de cambio lineal de variable. Los teoremas fundamentales de la teoría de integración de Lebesgue se demostrarán en el siguiente capítulo.

La integral de una función semicontinua

Considera el siguiente ejemplo.

Sea $f_{k}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ la función \begin{equation*} f_{k}(t):= \begin{cases} kt & \text{si $t\in \left[ 0,\frac{1}{k}\right]$,}\\ 1 & \text{si $t\in \left[ \frac{1}{k},1-\frac{1}{k}\right]$,}\\ k(1-t) & \text{si $t\in \left[ 1-\frac{1}{k},1\right]$},\\ 0 & \text{si $t\notin[0,1]$.} \end{cases} \end{equation*}

Nota que $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R})$, que $f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y que, para cada $t\in \mathbb{R}$, \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}(t)= \begin{cases} 1 & \text{si $t\in (0,1)$,} \\ 0 & \text{si $t\notin (0,1)$.} \end{cases} \end{equation*} Además, como \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}f_{k}=1-\tfrac{1}{k}, \end{equation*} se tiene que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}}f_{k}=1. \end{equation*}

El ejemplo anterior sugiere la posibilidad de extender la integral a aquellas funciones $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ que son el límite puntual de una sucesión creciente de funciones continuas con soporte compacto, definiéndola como el límite de las integrales de una tal sucesión. Para ello requerimos probar que dicho límite no depende de la sucesión elegida. El siguiente resultado nos permitirá obtener esa conclusión.

En general, no es cierto que, si una sucesión de funciones continuas converge puntualmente a una función continua en un espacio compacto, entonces converge uniformemente (ver Ejemplo 5.13). Sin embargo, Dini demostró que esta afirmación sí es cierta si la sucesión es no decreciente.

Ulisse Dini

Ulisse Dini (1845-1918) nació en Pisa, Italia. Estudió en la Scuola Normale Superiore, donde fue alumno de Enrico Betti, y en París, donde fue alumno de Charles Hermite y Joseph Bertrand. Fue profesor de la Universidad de Pisa y rector de la Scuola Normale Superiore.

[Dini] Sea $K$ un espacio métrico compacto y sean $f,f_{k}\in \mathcal{C}^{0}(K)$ tales que \begin{equation*} f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f_{k}\leq f_{k+1}\leq \cdots \end{equation*} y \begin{equation*} f_{k}(x)\rightarrow f(x)\text{ para cada }x\in K. \end{equation*} Entonces $f_{k}\rightarrow f$ uniformemente en $K$.

Definimos $g_{k}:=f-f_{k}$. Entonces $g_{k}\geq g_{k+1}\geq 0$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }g_{k}(x)=0\qquad \forall x\in K. \end{equation*} Sea $\varepsilon >0$. Para cada $x\in K$ elegimos $k_{x}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} g_{k}(x)\menorque\frac{\varepsilon }{2}\qquad \forall k\geq k_{x}. \end{equation*} Además, como $g_{k_{x}}$ es continua, existe $\delta_{x}>0$ tal que \begin{equation*} \left\vert g_{k_{x}}(y)-g_{k_{x}}(x)\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{2}\qquad\text{si }d_{K}(y,x)\menorque\delta_{x}. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} g_{k}(y)\leq g_{k_{x}}(y)\leq \left\vert g_{k_{x}}(y)-g_{k_{x}}(x)\right\vert +g_{k_{x}}(x)\menorque\varepsilon \text{\qquad si }k\geq k_{x}\text{ y }d_{K}(y,x)\menorque\delta_{x}. \end{equation*} Como $K$ es compacto, existen $x_{1},\dots,x_{n}\in K$ tales que \begin{equation*} K\subset B_{K}(x_{1},\delta_{x_{1}})\cup \cdots \cup B_{K}(x_{n},\delta _{x_{n}}). \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} g_{k}(y)\menorque\varepsilon \qquad \forall k\geq \max \left\{k_{x_{1}},\dots,k_{x_{n}}\right\},\text{ }\forall y\in K. \end{equation*} Esto prueba que $f_{k}\rightarrow f$ uniformemente en $K$.

Una consecuencia importante del teorema de Dini es la siguiente.

Sean $f,f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tales que \begin{equation*} f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f_{k}\leq f_{k+1}\leq \cdots \end{equation*} y \begin{equation*} f_{k}(x)\rightarrow f(x)\text{ para cada }x\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} Entonces \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}

Observa que, si $f(x)=0=f_{1}(x)$, entonces $f_{k}(x)=0$ para todo $k\in \mathbb{N}$. En consecuencia, $\sop(f_{k})\subset$ $\sop(f)$ $\cup $$\sop(f_{1})=:K$ para todo $k\in \mathbb{N}$. Por el Teorema 12.2, $f_{k}\rightarrow f$ uniformemente en $K$ y, por tanto, en $\mathbb{R}^{n}$. Aplicando el Lema 11.11, concluimos que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Si $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $f_{k}\leq f_{k+1}$, por la monotonía de la integral se tiene que $\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k+1}$. De modo que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\sup_{k\in \mathbb{N}}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\in \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}. \end{equation*} El siguiente resultado es consecuencia del Corolario 12.3.

Si $f_{k},g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ cumplen que $f_{k}\leq f_{k+1}$ y $g_{k}\leq g_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y $\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}(x)=\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}(x)$ para cada $x\in \mathbb{R}^{n}$, entonces \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}. \end{equation*}

Fija $k\in \mathbb{N}$ y, para cada $j\in \mathbb{N}$, considera la función $h_{j}:=\min \left\{f_{k},g_{j}\right\}$. Entonces $h_{j}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ (ver Ejercicio 11.34), $ h_{j}\leq h_{j+1}$, $ f_{k}(x)=\sup_{j\in \mathbb{N}}h_{j}(x)=\lim_{k\rightarrow \infty }h_{j}(x)$ para cada $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $ h_{j}\leq g_{j}$. Aplicando el Corolario 12.3 obtenemos \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\lim_{j\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}h_{j}\leq \lim_{j\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{j}\qquad \forall k\in \mathbb{N}\text{.} \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \lim_{j\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{j}. \end{equation*} Intercambiando $f_{k}$ y $g_{k}$ obtenemos el resultado.

Denotamos por $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ al conjunto de todas las funciones $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ tales que existe una sucesión de funciones $(f_{k})$ en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ que cumple que $f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y$ \sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=f$.

Si $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ definimos la integral de $f$ en $\mathbb{R}^{n}$ como \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f:=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\in \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}, \end{equation*} donde $(f_{k})$ es una sucesión de funciones en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tales que $f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y $ \sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=f$.

El Corolario 12.4 asegura que la integral de $f$ en $\mathbb{R}^{n}$ no depende de la sucesión elegida. En particular, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\subset \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, podemos tomar $f_{k}=f$. Esto prueba que, para funciones en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, la integral dada por la Definición 12.5 coincide con la introducida en el capítulo precedente.

A continuación daremos una descripción más accesible del conjunto $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$. El siguiente lema muestra que las funciones que pertenecen a $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ son semicontinuas inferiormente (ver Definición 4.22).

Sea $X$ un espacio métrico. El supremo puntual de un conjunto de funciones $f_{i}\colon X\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}}$, $i\in \mathcal{I}$, es la función \begin{equation*} \sup_{i\in \mathcal{I}}f_{i}\colon X\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}} \end{equation*} definida como \begin{equation*} \bigl( \sup_{i\in \mathcal{I}}f_{i}\bigr) (x):=\sup_{i\in \mathcal{I}}f_{i}(x)\text{.} \end{equation*}

Si $X$ es un espacio métrico y $f_{i}\colon X\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}}$ es s.c.i. para todo $i\in \mathcal{I}$, entonces $\sup_{i\in \mathcal{I}}f_{i}$ es s.c.i.

Sean $x_{0}\in X$ y $c\menorque\left( \sup_{i\in \mathcal{I}}f_{i}\right) (x_{0})$. Escogemos $i_{0}\in \mathcal{I}$ tal que $c\menorque f_{i_{0}}(x_{0})$. Como $f_{i_{0}}$ es s.c.i., existe $\delta \mayorque 0$ tal que \begin{equation*} c\menorque f_{i_{0}}(x)\qquad\text{si }d_{X}(x,x_{0})\menorque\delta . \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} c\menorque f_{i_{0}}(x)\leq \bigl( \sup_{i\in \mathcal{I}}f_{i}\bigr) (x)\qquad\text{si }d_{X}(x,x_{0})\menorque\delta . \end{equation*} Esto prueba que $\sup_{i\in \mathcal{I}}f_{i}$ es s.c.i.

El siguiente resultado caracteriza a los elementos de $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$.

Sea $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}}$. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

$f$ es s.c.i. y existe un compacto $K\subset \mathbb{R}^{n}$ tal que \begin{equation*} f(x)\geq 0\qquad \forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus K. \end{equation*}
Existen funciones $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tales que $f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y \begin{equation*} f=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}. \end{equation*}

(b)$\Rightarrow $(a): Sean $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tales que $f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y $f=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$. El Lema 12.6 asegura que $f$ es s.c.i. Por otra parte, como $f\geq f_{1}$, se tiene que \begin{equation*} f(x)\geq 0\qquad \forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus \sop(f_{1}). \end{equation*} Esto prueba que $f$ cumple (a).

(a)$\Rightarrow $(b): Sea $f$ s.c.i. y tal que $f(x)\geq 0$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus K$, con $K\neq \emptyset $ compacto. Por el Teorema 4.29, $f$ alcanza su mínimo en $K$. Por tanto, existe $M\in \mathbb{N}$ tal que

\begin{equation*} f(x)>-M\qquad \forall x\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} Sea \begin{equation*} \mathcal{N}:=\left\{(\xi ,\varepsilon ,q)\in \mathbb{Q}^{n}\times \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}:\quad \varepsilon >0,\quad q>-M,\quad f(x)>q\text{ }\forall x\in B(\xi ,\varepsilon )\right\}, \end{equation*} donde $B(\xi ,\varepsilon ):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert x-\xi \right\Vert \menorque\varepsilon \right\}$. Para cada $\nu =(\xi ,\varepsilon ,q)\in \mathcal{N}$ escogemos $r_{\nu }\in (\varepsilon ,\infty )$ tal que $K\subset B(\xi ,r_{\nu })$ y definimos $g_{\nu }\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ como \begin{equation*} g_{\nu }(x):= \begin{cases} q & \text{si }\left\Vert x-\xi \right\Vert \leq \frac{\varepsilon }{2}, \\ -\frac{2(q+M)}{\varepsilon }\left\Vert x-\xi \right\Vert +2q+M & \text{si }\frac{\varepsilon }{2}\leq \left\Vert x-\xi \right\Vert \leq \varepsilon , \\ -M & \text{si }\varepsilon \leq \left\Vert x-\xi \right\Vert \leq r_{\nu }, \\ -M(r_{\nu }+1-\left\Vert x-\xi \right\Vert ) & \text{si }r_{\nu }\leq \left\Vert x-\xi \right\Vert \leq r_{\nu }+1, \\ 0 & \text{si }r_{\nu }+1\leq \left\Vert x-\xi \right\Vert . \end{cases} \end{equation*}

Por construcción, $g_{\nu }\leq f$. Probemos que $\sup_{\nu \in \mathcal{N}}g_{\nu }=f$.

En efecto, como $f$ es s.c.i., dados $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $q\in \mathbb{Q} $ con $-M0$ tal que \begin{equation*} q

El conjunto $\mathcal{N}$ es numerable. Numeramos sus elementos $\mathcal{N}=\left\{\nu_{1},\nu_{2},\dots\right\}$ y definimos \begin{equation*} f_{k}:=\sup \left\{g_{\nu_{1}},\dots,g_{\nu_{k}}\right\}. \end{equation*} Entonces $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ (ver Ejercicio 11.34), $f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y $f=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$.

Como consecuencia de la proposición anterior se tiene que \begin{align*} \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})=\bigl\{f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}: &f\text{ es s.c.i. y }\exists K\text{ compacto}\\ &\text{tal que }f(x)\geq 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus K\bigr\}. \end{align*}

Procediendo de manera análoga, definiremos la integral de funciones $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{-\infty \right\}$ que son el límite puntual de una sucesión decreciente de funciones continuas con soporte compacto.

El ínfimo puntual de un conjunto de funciones $f_{i}\colon X\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{-\infty \right\}}$, $i\in \mathcal{I}$, definidas en un espacio métrico $X$ es la función \begin{equation*} \inf_{i\in \mathcal{I}}f_{i}\colon X\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{-\infty \right\}} \end{equation*} dada por \begin{equation*} \left( \inf_{i\in \mathcal{I}}f_{i}\right) (x):=\inf_{i\in \mathcal{I}}f_{i}(x)\text{.} \end{equation*}

Nota que, si definimos $-(-\infty ):=\infty $, las funciones semicontinuas inferior y superiormente (ver Definición 4.23) se relacionan como sigue: \begin{equation} f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{-\infty \right\}\text{ es s.c.s. }\quad \Longleftrightarrow \quad -f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}\text{ es s.c.i.}\label{sci-scs} \end{equation} Esta relación, junto con el Lema 12.6, implica que el ínfimo puntual de una familia de funciones semicontinuas superiormente es semicontinuo superiormente. Además, se tienen los siguientes resultados.

Si $f_{k},g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ son tales que $f_{k}\geq f_{k+1}$ y $g_{k}\geq g_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y $\inf_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=\inf_{k\in \mathbb{N}}g_{k}$, entonces \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}. \end{equation*}

Esta afirmación es consecuencia inmediata del Corolario 12.4, aplicado a las sucesiones $(-f_{k})$ y $(-g_{k})$, y la relación (\ref{sci-scs}).

Sea $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{-\infty \right\}$. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

$f$ es s.c.s. y existe un compacto $K\subset \mathbb{R}^{n}$ tal que \begin{equation*} f(x)\leq 0\qquad \forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus K. \end{equation*}
Existen funciones $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tales que $f_{k}\geq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y \begin{equation*} f=\inf_{k\in \mathbb{N}}f_{k}. \end{equation*}

De la relación (\ref{sci-scs}) y la Proposición 12.7 se sigue inmediatamente este resultado.

Denotamos por \begin{align*} \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n}):=\bigl\{f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{-\infty \right\}: &f\text{ es s.c.s. y }\exists K\text{ compacto}\\ &\text{tal que }f(x)\leq 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus K\bigr\}. \end{align*}

Sea $f\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$. Definimos la integral de $f$ en $\mathbb{R}^{n}$ como \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f:=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\in \mathbb{R}\cup \left\{-\infty \right\}, \end{equation*} donde $(f_{k})$ es una sucesión de funciones en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tales que $f_{k}\geq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y $\inf_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=f$.

La Proposición 12.9 asegura que tal sucesión $(f_{k})$ existe y el Corolario 12.8 asegura que la integral de $f$ en $\mathbb{R}^{n}$ no depende de la sucesión elegida. En particular, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\subset \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, podemos tomar $f_{k}=f$. Esto prueba que, para funciones en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, la integral dada por la Definición 12.10 coincide que la introducida en el capítulo precedente. Más aún, como \begin{equation*} \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})\cap \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})=\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}), \end{equation*} las integrales dadas por las Definiciones 12.5 y 12.10 coinciden en $\mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})\cap \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$.

Propiedades de la integral de funciones semicontinuas

Probaremos algunas propiedades importantes de la integral. Empezamos con la siguiente observación sencilla. Como antes, convenimos que $-(-\infty ):=\infty $.

$f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ si y sólo si $-f\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$. En este caso, \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=-\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( -f\right) . \end{equation*}

Observa que $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, $f_{k}\leq f_{k+1}$ y $\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=f$ si y sólo si $-f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, $-f_{k}\geq -f_{k+1}$ y $\inf_{k\in \mathbb{N}}(-f_{k})=-f$. Por el Teorema 11.7, \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=-\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( -f_{k}\right) . \end{equation*} Pasando al límite obtenemos la identidad deseada.

Si $f,g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ o $f,g\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $\lambda \in [0,\infty )$, definimos \begin{equation*} \left( f+g\right) (x):=f(x)+g(x),\qquad \left( \lambda f\right) (x):=\lambda f(x), \end{equation*} donde \begin{alignat*}{4} a+\infty &:=\infty &\quad&\text{y}& \infty +a&:=\infty &\quad&\forall a\in \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}, \\ a+\left( -\infty \right) &:=-\infty &&\text{y} &\quad\left( -\infty \right) +a&:=-\infty &&\forall a\in \mathbb{R}\cup \left\{-\infty \right\}, \\ \lambda \left( \infty \right) &:=\infty &&\text{y}&\lambda \left( -\infty \right)&:=-\infty &&\forall \lambda \in (0,\infty ), \\ 0\left( \pm \infty \right) &:=0. && && && \end{alignat*} Estas definiciones no son arbitrarias: $\infty $ es, por definición, el supremo de cualquier sucesión no decreciente y no acotada de números reales. Si a una sucesión de este tipo le sumamos un número real, o si la multiplicamos por un número positivo, obtenemos nuevamente una sucesión de este tipo. Mientras que, si la multiplicamos por $0$, obtenemos la sucesión constante igual a $0$. Las otras definiciones se obtienen de manera análoga. Nota, en cambio, que “$\infty -\infty$” no está definido.

Ni $\mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ ni $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ son espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple lo siguiente.

Si $f,g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $\lambda \in [0,\infty )$, entonces $f+g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, $\lambda f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( f+g\right) =\int_{\mathbb{R}^{n}}f+\int_{\mathbb{R}^{n}}g\qquad\text{y}\qquad \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \lambda f\right) =\lambda \int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}
Si $f,g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $f\leq g$, entonces \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*}

Ambas afirmaciones también son ciertas si reemplazamos $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ por $\mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$.

Demostraremos ambas afirmaciones para $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$. El resultado para $\mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ se obtiene aplicando el Lema 12.11.

(a): Si $f_{k},g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ son tales que $f_{k}\leq f_{k+1}$, $g_{k}\leq g_{k+1}$, $\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=f$ y $ \sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}=g$, entonces \begin{equation*} f_{k}+g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}),\qquad f_{k}+g_{k}\leq f_{k+1}+g_{k+1},\qquad \sup_{k\in \mathbb{N}}\left( f_{k}+g_{k}\right) =f+g, \end{equation*} y para $\lambda \in [0,\infty )$ \begin{equation*} \lambda f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}),\qquad \lambda f_{k}\leq \lambda f_{k+1},\qquad \sup_{k\in \mathbb{N}}\left( \lambda f_{k}\right) =\lambda f. \end{equation*} Del Teorema 12.7 se sigue que $f+g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $\lambda f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, y las identidades \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( f+g\right) =\int_{\mathbb{R}^{n}}f+\int_{\mathbb{R}^{n}}g\qquad\text{y}\qquad \int_{\mathbb{R}^{n}}\lambda f=\lambda \int_{\mathbb{R}^{n}}f \end{equation*} son consecuencia de las correspondientes identidades para las funciones $f_{k},g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ (ver Teorema 11.7).

(b): Si $f,g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, $f\leq g$, y $f_{k},g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ son tales que $f_{k}\leq f_{k+1}$, $g_{k}\leq g_{k+1}$, $\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=f$ y $\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}=g$, definimos \begin{equation*} h_{k}:=\min \left\{f_{k},g_{k}\right\}. \end{equation*} Entonces $h_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, $\ h_{k}\leq h_{k+1} $, $ \sup_{k\in \mathbb{N}}h_{k}=f$ y $\ h_{k}\leq g_{k}$. De la monotonía de la integral para funciones en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}) $ (ver Teorema 11.7) se sigue que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f:=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}h_{k}\leq \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}=:\int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*} Esto concluye la demostración.

Una consecuencia que nos será de utilidad más adelante es la siguiente.

Si $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f-g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}(f-g)=\int_{\mathbb{R}^{n}}f-\int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*}

El Lema 12.11 y la Proposición 12.12 implican que $-g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, $f-g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}(f-g)=\int_{\mathbb{R}^{n}}f+\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( -g\right) =\int_{\mathbb{R}^{n}}f-\int_{\mathbb{R}^{n}}g, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Se cumple además lo siguiente.

Si $A\in GL(n,\mathbb{R})$, $\zeta \in \mathbb{R}^{n}$ y $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, entonces la función $x\mapsto f(Ax+\zeta )$ pertenece a $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(Ax+\zeta )\left\vert \det A\right\vert dx=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)dy. \end{equation*} La afirmación también es cierta si reemplazamos $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ por $\mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$.

Si $f=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$ con $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $f_{k}\leq f_{k+1}$, y si denotamos por $\varphi (x):=Ax+\zeta $, entonces $f_{k}\circ \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, $ f_{k}\circ \varphi \leq f_{k+1}\circ \varphi $ y $ f\circ \varphi =\sup_{k\in \mathbb{N}}\left( f_{k}\circ \varphi \right) $. Así que $f\circ \varphi \in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y el resultado es consecuencia inmediata del Teorema 11.19.

Para $1\leq m\menorque n$, identificamos a $\mathbb{R}^{n}$ con $\mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^{n-m}$ y denotamos a un punto $x\in \mathbb{R}^{n}$ como $x=(y,z)$ con $y\in \mathbb{R}^{m}$ y $z\in \mathbb{R}^{n-m}$.

Si $g\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}}$, $h\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}}$, $g\geq 0$ y $h\geq 0$, definimos $g\odot h\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}}$ como \begin{equation*} \left( g\odot h\right) (y,z):=g(y)h(z), \end{equation*} donde $(\mathbb{\infty )(\infty )}:=\mathbb{\infty }$.

Sean $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{m})$ y $h\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n-m})$ tales que $g\geq 0$ y $h\geq 0$. Entonces $g\odot h\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g\odot h\right) =\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}g\biggr) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}h\biggr) . \end{equation*} La afirmación también es cierta si reemplazamos $\mathcal{S}_{\ast }$ por $\mathcal{S}^{\ast }$.

Demostraremos el resultado para $\mathcal{S}_{\ast }$. La demostración para $\mathcal{S}^{\ast }$ es más sencilla.

Sean $g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{m})$ y $h_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n-m})$ tales que $g_{k}\leq g_{k+1}$, $h_{k}\leq h_{k+1} $, $ g=\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}$ y $h=\sup_{k\in \mathbb{N}}h_{k}$. Sustituyendo, de ser necesario, $g_{k}$ por $\max \left\{g_{k},0\right\}$ y $h_{k}$ por $\max \left\{h_{k},0\right\}$, podemos suponer que $g_{k}\geq 0$ y $h_{k}\geq 0$. Se tiene entonces que $g_{k}\odot h_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, $\ g_{k}\odot h_{k}\leq g_{k+1}\odot h_{k+1}$ y $g\odot h=\sup_{k\in \mathbb{N}}(g_{k}\odot h_{k})$. Usando el Ejercicio 11.37 obtenemos \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g\odot h\right) &=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g_{k}\odot h_{k}\right) \\ &=\lim_{k\rightarrow \infty }\left[ \biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}g_{k}\biggr) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}h_{k}\biggr) \right] =\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}g\biggr) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}h\biggr) , \end{align*} como afirma el enunciado.

El siguiente resultado asegura que la integral se obtiene integrando sucesivamente respecto a cada variable.

Dada una función $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ y un punto $z\in \mathbb{R}^{n-m}$, denotamos por $f^{z}\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ a la función \begin{equation*} f^{z}(y):=f(y,z). \end{equation*}

[Teorema de Fubini para funciones semicontinuas] Sean $1\leq m\menorque n$ y $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$. Entonces, para cada $z\in \mathbb{R}^{n-m}$, la función $f^{z}$ pertenece a $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{m})$, la función $F\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ dada por \begin{equation*} F(z):=\int_{\mathbb{R}^{m}}f^{z} \end{equation*} pertenece a $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n-m})$ y \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}F=\int_{\mathbb{R}^{n}}f.\label{fub0} \end{equation} La afirmación también es cierta si reemplazamos $\mathcal{S}_{\ast }$ por $\mathcal{S}^{\ast }$ y $\infty $ por $-\infty $.

Probaremos la afirmación para $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$. La afirmación para $f\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ se obtiene aplicando el Lema 12.11.

Sea $(f_{k})$ una sucesión en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $f_{k}\leq f_{k+1}$ \ y $ f=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$. Entonces, para cada $z\in \mathbb{R}^{n-m}$, se cumple que $f_{k}^{z}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{m})$, $f_{k}^{z}\leq f_{k+1}^{z}$ \ y $ f^{z}=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}^{z}$. En consecuencia, $f^{z}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{m})$ y \begin{equation} F(z):=\int_{\mathbb{R}^{m}}f^{z}=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{m}}f_{k}^{z}=\lim_{k\rightarrow \infty }F_{k}(z),\label{Flim} \end{equation} donde $F_{k}\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R}$ es la función dada por \begin{equation*} F_{k}(z):=\int_{\mathbb{R}^{m}}f_{k}^{z}. \end{equation*} Esta función es continua (ver Lema 11.2). Además, si $\sop(f_{k})\subset [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ y $z\notin [a_{m+1},b_{m+1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$, entonces $f_{k}^{z}=0$ y, en consecuencia, $F_{k}(z)=0$. Por tanto, $F_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n-m})$. De la monotonía de la integral se sigue que $F_{k}\leq F_{k+1}$ y la igualdad (\ref{Flim}) afirma que $F=\sup_{k\in \mathbb{N}}F_{k}$. Esto implica que $F\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n-m})$ y \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}F=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n-m}}F_{k}.\label{fub1} \end{equation} Por otra parte, de la definición de la integral en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ se sigue que \begin{align} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}F_{k}(z)dz &=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}f_{k}^{z}(y)dy\biggr) dz \notag \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}f_{k}(y,z)dy\biggr) dz \notag \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}. \label{fub2} \end{align} De las identidades (\ref{fub1}) y (\ref{fub2}) se obtiene \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}F=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Nota que, por la invariancia de la integral bajo isometrías (Proposición 12.14), podemos intercambiar el orden de las integrales en la proposición anterior, es decir, integrar primero respecto a $z$ y después respecto a $y$. Las identidades correspondientes (\ref{fub0}) suelen escribirse como \begin{align} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}f(y,z)dy\biggr) dz &=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y,z)dy\,dz \notag \\ &=\int_{\mathbb{R}^{m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}f(y,z)dz\biggr) dy.\label{idfub} \end{align}

Un primer resultado que permite el intercambio del límite puntual de funciones con la integral es el siguiente.

[Convergencia monótona para funciones semicontinuas] \label{cmsci}Sea $(f_{k})$ una sucesión en $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y $f:=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$. Entonces $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{equation*}

Para cada $k\in \mathbb{N}$, tomemos una sucesión $(f_{k,j})$ en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $f_{k,j}\leq f_{k,j+1}$ para todo $j\in \mathbb{N}$ y $f_{k}:=\sup_{j\in \mathbb{N}}f_{k,j}$. Observa que \begin{equation*} f_{i,j}\leq f_{i}\leq f_{k}\qquad \forall j\in \mathbb{N}\text{, }\forall i\leq k. \end{equation*} Definimos \begin{equation*} g_{k}:=\max_{i\leq k,\text{ }j\leq k}f_{i,j}. \end{equation*} Entonces $g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, $g_{k}\leq g_{k+1}$ y $g_{k}\leq f_{k}$ para todo $k\in \mathbb{N}$, y \begin{equation*} f=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=\sup_{i,j\in \mathbb{N}}f_{i,j}=\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}. \end{equation*} En consecuencia, $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y de la monotonía de la integral (Proposición 12.12) se sigue que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}\leq \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{equation*} Pasando al límite obtenemos que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}, \end{equation*} como afirma el enunciado.

El volumen de un conjunto

Aplicaremos las propiedades de la integral para calcular el volumen de algunos subconjuntos de $\mathbb{R}^{n}$. Empecemos definiendo este concepto.

La función característica (o función indicadora) de un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^{n}$ es la función \begin{equation*} 1_{X}(x):= \begin{cases} 1 & \text{si $x\in X$,} \\ 0 & \text{si $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus X$.} \end{cases} \end{equation*}

Es sencillo comprobar que la función $1_{X}$ es s.c.i si y sólo si $X $ es abierto en $\mathbb{R}^{n}$, y es s.c.s. si y sólo si $X$ es cerrado en $\mathbb{R}^{n}$. En consecuencia, \begin{align} 1_{X} &\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})\text{ si y sólo si }X\text{ es abierto en }\mathbb{R}^{n},\label{indsci} \\ 1_{X} &\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})\text{ si y sólo si }X\text{ es compacto en }\mathbb{R}^{n}.\label{indscs} \end{align} Proponemos la demostración de estas afirmaciones como ejercicio [Ejercicio 12.48].

Si $X$ es un subconjunto abierto o $X$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$, definimos el volumen de $X$ en $\mathbb{R}^{n}$ como \begin{equation*} \vol_{n}(X):=\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{X} \;\in \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}. \end{equation*}

El volumen tiene las siguientes propiedades.

Si $X\subset Y$ son subconjuntos de $\mathbb{R}^{n}$ y ambos son abiertos o ambos son compactos, entonces \begin{equation*} \vol_{n}(X)\leq \vol_{n}(Y). \end{equation*}
Sea $\varphi (x)=Ax+\zeta $ con $A\in GL(n,\mathbb{R})$, $\zeta \in \mathbb{R}^{n}$. Entonces $\varphi (X):=\left\{\varphi (x):x\in X\right\}$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ si $X$ lo es, y $\varphi (X)$ es compacto si $X$ lo es. En ambos casos, \begin{equation*} \vol_{n}(\varphi (X))=\left\vert \det A\right\vert \,\vol_{n}(X). \end{equation*}

(a): Si $X\subset Y$ entonces $1_{X}\leq 1_{Y}$. Además, $1_{X},1_{Y}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ si $X$ y $Y$ son abiertos, y $1_{X},1_{Y}\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ si $X$ y $Y$ son compactos. Así que en ambos casos podemos aplicar la afirmación (b) de la Proposición 12.12 para obtener la afirmación deseada.

(b): Como $\varphi $ es un homeomorfismo, $\varphi (X)$ es abierto si $X$ lo es y $\varphi (X)$ es compacto si $X$ lo es. Nota que $1_{\varphi (X)}\circ \varphi =1_{X}$. Las Proposiciones 12.12 y 12.14 aseguran entonces que \begin{equation*} \left\vert \det A\right\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}1_{X}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( 1_{\varphi (X)}\circ \varphi \right) \left\vert \det A\right\vert =\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{\varphi (X)}, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Veamos algunos ejemplos.

Si $U=\left( a_{1},b_{1}\right) \times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right) $ con $a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}$, $a_{i}\menorque b_{i}$, entonces \begin{equation*} \vol_{n}(U)=\prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}). \end{equation*}
Si $Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ con $a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}$, $a_{i}\leq b_{i}$, entonces \begin{equation*} \vol_{n}(Q)=\prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}). \end{equation*} En particular, si $a_{i}=b_{i}$ para algún $i=1,\dots,n$, entonces $\vol_{n}(Q)=0$.

(a): En el Ejemplo 12.1 probamos que \begin{equation*} \vol_{1}((0,1))=1. \end{equation*} Si $a,b\in \mathbb{R}$, $a\leq b$, y $\varphi \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es la función $\varphi (t):=(b-a)t+a$, entonces $\varphi ((0,1))=(a,b)$ y la Proposición 12.20 asegura que \begin{equation*} \vol_{1}((a,b))=b-a. \end{equation*} Observa que $1_{U}=1_{(a_{1},b_{1})}\odot \cdots \odot 1_{(a_{n},b_{n})}$. Aplicando la Proposición 12.15 obtenemos \begin{equation*} \vol_{n}(U)=\prod_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}}1_{(a_{i},b_{i})}=\prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}). \end{equation*}

(b): Dados $a,b\in \mathbb{R}$, $a\leq b$, para cada $k\in \mathbb{N}$ definimos $f_{k}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ como \begin{equation*} f_{k}(t):= \begin{cases} 1 & \text{si $t\in [a,b]$,} \\ k(t-a)+1 & \text{si $t\in [a-\frac{1}{k},a]$,} \\ k(b-t)+1 & \text{si $t\in [b,b+\frac{1}{k}]$,} \\ 0 & \text{si $t\notin [a-\frac{1}{k},b+\frac{1}{k}]$.} \end{cases} \end{equation*} Entonces $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R})$, $f_{k}\geq f_{k+1}$ y $ \inf_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=1_{[a,b]}$. Por tanto, \begin{equation*} \vol_{1}([a,b])=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}}f_{k}=\lim_{k\rightarrow \infty }\left( b-a+\tfrac{1}{k}\right) =b-a. \end{equation*} Como $1_{Q}=1_{[a_{1},b_{1}]}\odot \cdots \odot 1_{[a_{n},b_{n}]}$, aplicando la Proposición 12.15 obtenemos que \begin{equation*} \vol_{n}(Q)=\prod_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}}1_{[a_{i},b_{i}]}=\prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}), \end{equation*} como afirma el enunciado.

Si $X$ es un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^{n}$, o si $X$ es compacto, entonces $\vol_{n}(X)\menorque\infty $.

En ambos casos $X$ es acotado, así que existe $r\in (0,\infty )$ tal que $X\subset (-r,r)^{n}$. La Proposición 12.20 y el Ejemplo 12.21 aseguran que \begin{align*} \vol_{n}(X) &\leq \vol_{n}((-r,r)^{n})=\left( 2r\right) ^{n}\menorque\infty \qquad\text{si }X\text{ es abierto,} \\ \vol_{n}(X) &\leq \vol_{n}([-r,r]^{n})=\left( 2r\right) ^{n}\menorque\infty \qquad\text{si }X\text{ es compacto.} \end{align*} Esto concluye la demostración.

$\vol_{n}(\mathbb{R}^{n})=\infty $.

De la Proposición 12.20 y el Ejemplo 12.21 se sigue que \begin{equation*} \vol_{n}(\mathbb{R}^{n})\geq \vol_{n}((-r,r)^{n})=\left( 2r\right)^{n}\qquad \forall r>0. \end{equation*} Por tanto, vol$_{n}(\mathbb{R}^{n})=\infty $.

Una consecuencia importante del teorema de Fubini (Proposición 12.16) es el principio de Cavalieri, que afirma lo siguiente.

Bonaventura Cavalieri

Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) nació en Milán, Italia. Estudió teología en el monasterio de San Gerolamo en Milán y geometría en la Universidad de Pisa. Su método de los indivisibles para calcular áreas y volúmenes es un antecedente importante del cálculo moderno.

[Principio de Cavalieri] Sea $K$ un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$, $n\mayorque 1$. Para cada $t\in \mathbb{R}$, definimos \begin{equation*} K_{t}:=\left\{y\in \mathbb{R}^{n-1}:(y,t)\in K\right\}. \end{equation*} Entonces, la función $t\mapsto \vol_{n-1}(K_{t})$ pertenece a $\mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R})$ y \begin{equation*} \vol_{n}(K)=\int_{\mathbb{R}}\vol_{n-1}(K_{t})dt. \end{equation*}

Aplicamos la Proposición 12.16 con $m=1$ a la función $1_{K}$. Como $1_{K}^{t}=1_{K_{t}}$ para cada $t\in \mathbb{R}$, la función $F$ de la Proposición 12.16 es la función $F(t):=$ vol$_{n-1}(K_{t})$. Dicha proposición asegura que $F\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R})$ y que \begin{equation*} \vol_{n}(K)=\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{K}=\int_{\mathbb{R}}F=\int_{\mathbb{R}}\vol_{n-1}(K_{t})dt, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Usemos el principio de Cavalieri para calcular el volumen de la bola.

Sea $\bar{B}^{n}(0,r):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert x\right\Vert \leq r\right\}$, $r>0$. Entonces \begin{equation*} \omega_{n}:=\vol_{n}(\bar{B}^{n}(0,1))= \begin{cases} \frac{1}{k!}\pi^{k} & \text{si $n=2k$,}\\ \frac{2^{k+1}}{1\cdot 3\cdots (2k+1)}\pi^{k} & \text{si $n=2k+1$,} \end{cases} \end{equation*} y \begin{equation*} \vol_{n}(\bar{B}^{n}(0,r))=r^{n}\omega_{n}. \end{equation*}

Como $\bar{B}^{n}(0,r)=\left\{rx:x\in \bar{B}^{n}(0,1)\right\}$, la afirmación \begin{equation} \vol_{n}(\bar{B}^{n}(0,r))=r^{n}\omega_{n}\label{r-bola} \end{equation} es consecuencia de la Proposición 12.20. Ahora calcularemos $\omega_{n}$.

Si $n>1$, del principio de Cavalieri y la identidad (\ref{r-bola}) se sigue que \begin{align} \omega_{n} &=\int_{-1}^{1}\vol_{n-1}\left( \bar{B}^{n-1}(0,\sqrt{1-t^{2}})\right) dt \notag \\ &=\omega_{n-1}\int_{-1}^{1}\left( 1-t^{2}\right)^{\frac{n-1}{2}}dt. \label{cav} \end{align}

El cambio de variable $t=\cos x$ nos da \begin{equation*} c_{n}:=\int_{-1}^{1}\left( 1-t^{2}\right)^{\frac{n-1}{2}}dt=\int_{0}^{\pi }\sen^{n}x\text{ }dx. \end{equation*} Integrando por partes obtenemos que \begin{equation*} c_{2k}=\pi \prod_{i=1}^{k}\tfrac{2i-1}{2i}\qquad\text{y}\qquad c_{2k+1}=2\prod_{i=1}^{k}\tfrac{2i}{2i+1}. \end{equation*} Por tanto, $c_{n}c_{n-1}=\frac{2\pi }{n}$, lo que implica que \begin{equation} \omega_{n}=\omega_{n-1}c_{n}=\omega_{n-2}c_{n}c_{n-1}=\tfrac{2\pi }{n}\omega_{n-2}\qquad\text{si }n>2.\label{cav2} \end{equation} Como $\omega_{1}:=$ vol$_{1}([-1,1])=2$, de la ecuación (\ref{cav}) se sigue que $\omega_{2}=2c_{2}=\pi $. Iterando (\ref{cav2}) obtenemos que \begin{equation*} \omega_{2k}=\frac{1}{k!}\pi^{k}\qquad\text{y}\qquad \omega_{2k+1}=\frac{2^{k+1}}{1\cdot 3\cdots (2k+1)}\pi^{k}, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Funciones Lebesgue-integrables

Para definir la integral de Lebesgue haremos uso de los siguientes conceptos.

Para cualquier función $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ definimos la integral superior de $f$ como \begin{equation*} \int^{\ast }f:=\inf \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}g:g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n}),\text{ }g\geq f\right\} \in \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}, \end{equation*} y la integral inferior de $f$ como \begin{equation*} \int_{\ast }f:=\sup \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}h:h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n}),\text{ }h\leq f\right\} \in \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}. \end{equation*}

Observa que en ambos casos el conjunto cuyo ínfimo o cuyo supremo estamos tomando no es vacío, ya que la función constante $\infty $ pertenece a $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y la función constante $-\infty $ pertenece a $\mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$. Enunciamos a continuación algunas propiedades sencillas de estas integrales.

Para toda $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$, \begin{equation*} \int_{\ast }f=-\int^{\ast }\left( -f\right) . \end{equation*}
Para toda $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$, \begin{equation*} \int_{\ast }f\leq \int^{\ast }f. \end{equation*}
Si $f_{1},f_{2}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ cumplen que $f_{1}\leq f_{2}$, entonces \begin{equation*} \int^{\ast }f_{1}\leq \int^{\ast }f_{2}\qquad\text{y}\qquad \int_{\ast }f_{1}\leq \int_{\ast }f_{2}. \end{equation*}
Si $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})\cup \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, entonces \begin{equation*} \int_{\ast }f=\int^{\ast }f=\int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}
Para cualesquiera $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ y $\lambda \in [0,\infty )$, \begin{equation*} \int^{\ast }\lambda f=\lambda \int^{\ast }f\qquad\text{y}\qquad \int_{\ast }\lambda f=\lambda \int_{\ast }f. \end{equation*}
Para cualesquiera $f_{1},f_{2}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow [0,\infty ]$ \begin{equation*} \int^{\ast }\left( f_{1}+f_{2}\right) \leq \int^{\ast }f_{1}+\int^{\ast }f_{2}. \end{equation*}

(a) es consecuencia inmediata del Lema 12.11.

(b): Basta probar que, si $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, $h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $h\leq g$, entonces \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}h\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*} Del Corolario 12.13 y la monotonía de la integral (Proposición 12.12) se sigue que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g-\int_{\mathbb{R}^{n}}h=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g-h\right) \geq 0. \end{equation*} Esta es la desigualdad deseada.

(c) es consecuencia inmediata de la definición.

(d): Sea $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$. La igualdad \begin{equation*} \int^{\ast }f=\int_{\mathbb{R}^{n}}f \end{equation*} es consecuencia inmediata de la definición de la integral superior. Sean $f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, tales que $f_{k}\leq f_{k+1}$ y $\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}=f$. En particular, $f_{k}\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $f_{k}\leq f$. De la definición de integral inferior y la afirmación (b) obtenemos \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \int_{\ast }f\leq \int^{\ast }f=\int_{\mathbb{R}^{n}}f, \end{equation*} es decir, \begin{equation*} \int_{\ast }f=\int^{\ast }f=\int_{\mathbb{R}^{n}}f\qquad \forall f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n}). \end{equation*} Si $f\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, las identidades correspondientes se siguen de éstas utilizando la afirmación (a) y el Lema 12.11.

(e): Si $\lambda =0$ el resultado es obvio. Supongamos que $\lambda >0$. Para toda $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $g\geq \lambda f$, se tiene que $\lambda^{-1}g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $\lambda^{-1}g\geq f$. Usando la Proposición 12.12 obtenemos \begin{equation*} \lambda \int^{\ast }f\leq \lambda \int_{\mathbb{R}^{n}}\lambda^{-1}g=\int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*} Se tiene entonces que \begin{equation*} \lambda \int^{\ast }f\leq \int^{\ast }\lambda f. \end{equation*} Reemplazando $f$ por $\lambda f$ y $\lambda $ por $\lambda^{-1}$ en la desigualdad anterior obtenemos \begin{equation*} \lambda^{-1}\int^{\ast }\lambda f\leq \int^{\ast }f, \end{equation*} es decir, \begin{equation*} \int^{\ast }\lambda f\leq \lambda \int^{\ast }f. \end{equation*} Esto prueba la igualdad para la integral superior. La igualdad para la integral inferior se obtiene aplicando la afirmación (a).

(f): Si $\int^{\ast }f_{1}=\infty $ o $\int^{\ast }f_{2}=\infty $ la desigualdad deseada se cumple trivialmente. Supongamos que $\int^{\ast }f_{1}\menorque\infty $ y $\int^{\ast }f_{2}\menorque\infty $. Sea $\varepsilon >0$ y sean $g_{1},g_{2}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que $g_{1}\geq f_{1}$, $g_{2}\geq f_{2}$, \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g_{1}\leq \biggl( \int^{\ast }f_{1}\biggr) +\frac{\varepsilon }{2}\qquad\text{y}\qquad \int_{\mathbb{R}^{n}}g_{2}\leq \left( \int^{\ast }f_{2}\right) +\frac{\varepsilon }{2}. \end{equation*} Entonces, $g_{1}+g_{2}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, $g_{1}+g_{2}\geq f_{1}+f_{2}$ y, sumando las desigualdades anteriores, obtenemos \begin{equation*} \int^{\ast }\left( f_{1}+f_{2}\right) \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g_{1}+g_{2}\right) \leq \biggl( \int^{\ast }f_{1}+\int^{\ast }f_{2}\biggr) +\varepsilon . \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \int^{\ast }\left( f_{1}+f_{2}\right) \leq \int^{\ast }f_{1}+\int^{\ast }f_{2}, \end{equation*} como se afirma en (f).

Una función $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es (Lebesgue-) integrable si \begin{equation*} -\infty \menorque\int_{\ast }f=\int^{\ast }f\menorque\infty . \end{equation*} En este caso, la integral (de Lebesgue) de $f$ se define como \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f:=\int_{\ast }f=\int^{\ast }f\text{ }\in \mathbb{R}. \end{equation*}

Henri Lebesgue

Henri Léon Lebesgue (1875-1941) nació en Beauvais, Oise, Francia. Estudió en la Sorbonne de Paris, donde fue alumno de Émile Borel. Introdujo su teoría de integración en 1902 en su tesis de doctorado titulada Integral, longitud y área.

Del Lema 12.27 se infiere lo siguiente:

Si $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})\cup \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f$ es Lebesgue-integrable si y sólo si la integral definida en la Sección 12.1 cumple que \begin{equation*} -\infty \menorque\int_{\mathbb{R}^{n}}f\menorque\infty . \end{equation*} En este caso, la integral de Lebesgue de $f$ coincide con dicha integral.
En particular, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f$ es Lebesgue-integrable y la integral de Lebesgue de $f$ coincide con la de la Definición 11.5.

La Definición 12.28 se puede reformular como sigue.

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es Lebesgue-integrable si y sólo si para cada $\varepsilon >0$ existen $h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que $h\leq f\leq g$, \begin{equation*} -\infty \menorque\int_{\mathbb{R}^{n}}h\text{,\qquad }\int_{\mathbb{R}^{n}}g\menorque\infty \qquad\text{y}\qquad 0\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g-\int_{\mathbb{R}^{n}}h\menorque\varepsilon . \end{equation*}

$\Rightarrow )$: Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es Lebesgue-integrable entonces, como su integral superior y su integral inferior son finitas, para cada $\varepsilon >0$, existen $h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que $h\leq f\leq g$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g\leq \int^{\ast }f+\frac{\varepsilon }{2}\menorque\infty \qquad\text{y}\qquad -\infty \menorque\int_{\ast }f-\frac{\varepsilon }{2}\menorque\int_{\mathbb{R}^{n}}h. \end{equation*} Dado que la integral superior y la integral inferior de $f$ coinciden, concluimos que \begin{equation*} 0=\int^{\ast }f-\int_{\ast }f\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g-\int_{\mathbb{R}^{n}}h\menorque\int^{\ast }f-\int_{\ast }f+\varepsilon =\varepsilon . \end{equation*} $\Leftarrow )$: Inversamente, si para cada $\varepsilon >0$ existen $h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que $h\leq f\leq g$, \begin{equation*} -\infty \menorque\int_{\mathbb{R}^{n}}h\text{,\qquad }\int_{\mathbb{R}^{n}}g\menorque\infty \qquad\text{y}\qquad \int_{\mathbb{R}^{n}}g-\int_{\mathbb{R}^{n}}h\menorque\varepsilon , \end{equation*} entonces \begin{equation*} -\infty \menorque\int_{\mathbb{R}^{n}}h\leq \int_{\ast }f\leq \int^{\ast }f\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g\menorque\infty \end{equation*} y, en consecuencia, \begin{equation*} 0\leq \int^{\ast }f-\int_{\ast }f\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g-\int_{\mathbb{R}^{n}}h\menorque\varepsilon \end{equation*} para todo $\varepsilon >0$. Esto prueba que $f$ es Lebesgue-integrable.

El siguiente resultado proporciona una caracterización muy útil de las funciones Lebesgue-integrables y permite expresar a su integral como el límite de integrales de funciones en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}) $.

Dada $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$, definimos $\left\vert f\right\vert \colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ como \begin{equation*} \left\vert f\right\vert (x):=\left\vert f(x)\right\vert , \end{equation*} donde $\left\vert \pm \infty \right\vert :=\infty $.

Sea $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$. Entonces $f$ es Lebesgue-integrable si y sólo si existe una sucesión $(\varphi_{k})$ en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert =0. \end{equation*} En ese caso, se cumple que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}. \end{equation*}

$\Rightarrow )$: Supongamos que $f$ es Lebesgue-integrable. Basta probar que, para cada $\varepsilon >0$, existe $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que \begin{equation} \int^{\ast }\left\vert f-\varphi \right\vert \menorque\varepsilon .\label{af1} \end{equation} Por el Lema 12.30 y el Corolario 12.13, existen $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que $h\leq f\leq g$ y \begin{equation*} -\infty \menorque\int_{\mathbb{R}^{n}}h,\qquad \int_{\mathbb{R}^{n}}g\menorque\infty \qquad\text{y}\qquad \int_{\mathbb{R}^{n}}(g-h)\menorque\frac{\varepsilon }{2}. \end{equation*} Por otra parte, de la definición de la integral para funciones en $\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ se sigue que existe $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $\varphi \leq g$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g-\varphi \right) \menorque\frac{\varepsilon }{2}. \end{equation*} Como \begin{equation*} \left\vert f-\varphi \right\vert (x)= \begin{cases} f(x)-\varphi (x)\leq g(x)-\varphi (x) &\text{si $f(x)\geq \varphi (x)$,} \\ \varphi (x)-f(x)\leq g(x)-h(x) &\text{si $f(x)\leq \varphi (x)$,} \end{cases} \end{equation*} se tiene que \begin{equation*} \left\vert f-\varphi \right\vert \leq (g-h)+(g-\varphi )\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n}). \end{equation*} Usando el Lema 12.27 y la Proposición 12.12, concluimos que \begin{equation*} \int^{\ast }\left\vert f-\varphi \right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left[ (g-h)+(g-\varphi )\right] =\int_{\mathbb{R}^{n}}(g-h)+\int_{\mathbb{R}^{n}}(g-\varphi )\menorque\varepsilon . \end{equation*} Esto prueba la afirmación (\ref{af1}).

$\Leftarrow )$: Supongamos que existe una sucesión $(\varphi _{k})$ en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert =0. \end{equation*} Sea $\varepsilon >0$ y sea $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{2}\qquad\text{si }k\geq k_{0}. \end{equation*} Entonces, por definición de la integral superior, para cada $k\geq k_{0}$ existe $g_{k}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $g_{k}\geq \left\vert f-\varphi_{k}\right\vert $ y \begin{equation*} \int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}\menorque\frac{\varepsilon }{2}. \end{equation*} Por tanto, $g_{k}+\varphi_{k}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, $-g_{k}+\varphi_{k}\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $-g_{k}+\varphi_{k}\leq f\leq g_{k}+\varphi _{k}$. Aplicando el Lema 12.27 y la Proposición 12.12 obtenemos que \begin{align} -\infty &<-\frac{\varepsilon }{2}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}<-\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}=\int_{\ast }(-g_{k}+\varphi_{k})\leq \int_{\ast }f \notag \\ &\leq \int^{\ast }f\leq \int^{\ast }(g_{k}+\varphi_{k})=\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}\menorque\frac{\varepsilon }{2}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}\menorque\infty .\label{fin} \end{align} En consecuencia, \begin{equation*} 0\leq \int^{\ast }f-\int_{\ast }f\leq \varepsilon . \end{equation*} Concluimos que \begin{equation*} -\infty \menorque\int_{\ast }f=\int^{\ast }f\menorque\infty , \end{equation*} es decir, $f$ es Lebesgue-integrable.

Finalmente, se sigue de (\ref{fin}) que \begin{equation*} \left\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}f-\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi _{k}\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{2}\qquad \forall k\geq k_{0}. \end{equation*} Esto prueba que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k} \end{equation*} como afirma el enunciado.

Propiedades básicas de la integral de Lebesgue

Usaremos la Proposición 12.31 para probar algunas propiedades fundamentales de la integral de Lebesgue. Empecemos observando lo siguiente.

Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es Lebesgue-integrable, entonces $-f$ es Lebesgue-integrable y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( -f\right) =-\int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}
Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es Lebesgue-integrable, entonces $\left\vert f\right\vert $ es Lebesgue-integrable y \begin{equation*} \left\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}f\right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f\right\vert . \end{equation*}

(a): Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es Lebesgue-integrable, usando el Lema 12.27 obtenemos que \begin{equation*} \int^{\ast }\left( -f\right) =-\int_{\ast }f=-\int^{\ast }f=\int_{\ast }\left( -f\right) . \end{equation*} Esto demuestra la afirmación (a).

(b): La Proposición 12.31 asegura que existe una sucesión $(\varphi_{k})$ en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert =0. \end{equation*} Observa que $0\leq \left\vert \left\vert f\right\vert -\left\vert \varphi_{k}\right\vert \right\vert \leq \left\vert f-\varphi _{k}\right\vert $. Así que, por la monotonía de la integral superior, \begin{equation*} 0\leq \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert \left\vert f\right\vert -\left\vert \varphi_{k}\right\vert \right\vert \leq \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert =0. \end{equation*} La Proposición 12.31 asegura entonces que $\left\vert f\right\vert $ es Lebesgue-integrable y, junto con el Ejercicio 11.35, asegura además que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f\right\vert =\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi_{k}\right\vert \geq \lim_{k\rightarrow \infty }\left\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi _{k}\right\vert =\left\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}f\right\vert , \end{equation*} como afirma el enunciado.

Veremos más adelante que una función Lebesgue-integrable $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ sólo toma los valores $\pm \infty $ en un conjunto muy pequeño que no afecta el valor de la integral (ver Proposición 13.11). Por ello consideraremos en el resto de esta sección únicamente funciones que toman valores reales.

Denotemos por \begin{equation*} \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n}):=\left\{f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}:f\text{ es Lebesgue-integrable}\right\}. \end{equation*} El siguiente resultado afirma que $\mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ es un espacio vectorial y que la integral es una función lineal y monótona.

[Linealidad y monotonía]

Si $f_{1},f_{2}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y $\lambda_{1},\lambda_{2}\in \mathbb{R}$, entonces $\lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}\right) =\lambda_{1}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{1}+\lambda_{2}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{2}. \end{equation*}
Si $f,g\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y $f\leq g$, entonces \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*}

(a): Sean $f_{1},f_{2}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y $\lambda_{1},\lambda_{2}\in \mathbb{R}$. La Proposición 12.31 asegura que, para cada $k\in \mathbb{N}$, existen $\varphi_{1,k},\varphi_{2,k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tales que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f_{i}-\varphi _{i,k}\right\vert =0\qquad\text{para }i=1,2. \end{equation*} De las afirmaciones (c), (e) y (f) del Lema 12.27 se sigue que \begin{align*} 0&\leq \int^{\ast }\left\vert \lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}-\lambda _{1}\varphi_{1,k}-\lambda_{2}\varphi_{2,k}\right\vert\\ &\leq \left\vert \lambda_{1}\right\vert \int^{\ast }\left\vert f_{1}-\varphi _{1,k}\right\vert +\left\vert \lambda_{2}\right\vert \int^{\ast }\left\vert f_{2}-\varphi_{2,k}\right\vert . \end{align*} En consecuencia, \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert (\lambda_{1}f_{1}+\lambda _{2}f_{2})-(\lambda_{1}\varphi_{1,k}+\lambda_{2}\varphi _{2,k})\right\vert =0. \end{equation*} La Proposición 12.31 asegura entonces que $\lambda _{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}\right) &=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \lambda _{1}\varphi_{1,k}+\lambda_{2}\varphi_{2,k}\right) \\ &=\lim_{k\rightarrow \infty }\lambda_{1}\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi _{1,k}+\lim_{k\rightarrow \infty }\lambda_{2}\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi _{2,k}\\ &=\lambda_{1}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{1}+\lambda_{2}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{2}. \end{align*} Esto demuestra la linealidad.

(b): La monotonía es consecuencia inmediata de la Definición 12.28 y la afirmación (c) del Lema 12.27.

Ahora probaremos el teorema de cambio de variable para isometrías afines. El teorema de cambio de variable para difeomorfismos es más delicado. Lo demostraremos en el siguiente capítulo.

[Cambio lineal de variable] \label{cvlinleb}Sean $A\in GL(n,\mathbb{R})$ y $\zeta \in \mathbb{R}^{n}$. Si $f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ entonces la función $x\mapsto f(Ax+\zeta )$ pertenece a $\mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y se cumple que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(Ax+\zeta )\left\vert \det A\right\vert dx=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)dy. \end{equation*}

Sean $h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que $h\leq f\leq g$. Denotemos por $F(x):=Ax+\zeta $. Por la Proposición 12.14, $\left( h\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert \in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, $\left( g\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert \in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( h\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert =\int_{\mathbb{R}^{n}}h\qquad\text{y}\qquad \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert =\int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*} Por tanto, \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f &=\inf \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert :g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n}),\text{ }g\geq f\right\} , \\ &=\sup \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( h\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert :h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n}),\text{ }h\leq f\right\} . \end{align*} Por otra parte, como $\left( h\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert \leq \left( f\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert \leq \left( g\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert $ se tiene que \begin{gather*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( h\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert \leq \int_{\ast }\left( f\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert, \\ \int^{\ast }\left( f\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert . \end{gather*} En consecuencia, \begin{equation*} \int^{\ast }\left( f\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \int_{\ast }\left( f\circ F\right) \left\vert \det A\right\vert . \end{equation*} Del Lema 12.27 se sigue la igualdad y, por tanto, la integrabilidad de $f\circ F$ y la identidad deseada.

Si $1\leq m\menorque n$,\: $g\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}$ y $h\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R}$, definimos $g\odot h\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ como \begin{equation} \left( g\odot h\right) (y,z):=g(y)h(z),\qquad\text{donde }(y,z)\in \mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^{n-m}\equiv \mathbb{R}^{n}. \label{prodcomple} \end{equation} Se tiene el siguiente resultado.

Si $f_{1}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{m})$ y $f_{2}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n-m})$, $1\leq m\menorque n$, entonces $f_{1}\odot f_{2}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( f_{1}\odot f_{2}\right) =\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}f_{1}\biggr) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}f_{2}\biggr) . \end{equation*}

Por la Proposición 12.32, si $f_{1}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{m})$ y $f_{2}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n-m})$ entonces $\left\vert f_{1}\right\vert \in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{m})$ y $\left\vert f_{2}\right\vert \in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n-m})$. Por tanto, existe $M\in \mathbb{R}$ tal que \begin{equation*} \max \left\{ \int_{\mathbb{R}^{m}}\left\vert f_{1}\right\vert ,\text{ }\int_{\mathbb{R}^{n-m}}\left\vert f_{2}\right\vert \right\} \menorque M. \end{equation*} Elegimos $\tilde{g}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{m})$ tal que $\tilde{g}\geq \left\vert f_{1}\right\vert $ y \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{m}}\tilde{g}\menorque M.\label{prod1} \end{equation} Por otra parte, la Proposición 12.31 asegura que existen $\varphi_{1,k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{m})$, $\varphi_{2,k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n-m})$ tales que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{m}}\left\vert f_{1}-\varphi _{1,k}\right\vert =0\qquad\text{y}\qquad \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n-m}}\left\vert f_{2}-\varphi_{2,k}\right\vert =0. \end{equation*} Sea $\varepsilon >0$. Entonces existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que, para todo $k\geq k_{0}$, \begin{equation} \label{prod2} \begin{gathered} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}\left\vert \varphi_{2,k}\right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{m}}\left\vert f_{2}\right\vert +\int_{\mathbb{R}^{m}}\left\vert f_{2}-\varphi_{2,k}\right\vert \menorque M,\\ \int_{\mathbb{R}^{m}}\left\vert f_{1}-\varphi_{1,k}\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{2M}\qquad\text{y}\qquad \int_{\mathbb{R}^{n-m}}\left\vert f_{2}-\varphi_{2,k}\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{2M}. \end{gathered} \end{equation} Para cada $k\geq k_{0}$ elegimos $g_{1,k}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{m})$ y $g_{2,k}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n-m})$ de modo que $ g_{1,k}\geq \left\vert f_{1}-\varphi_{1,k}\right\vert $, $ g_{2,k}\geq \left\vert f_{2}-\varphi_{2,k}\right\vert $, \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{m}}g_{1,k}\menorque\frac{\varepsilon }{2M}\qquad\text{y}\qquad \int_{\mathbb{R}^{n-m}}g_{2,k}\menorque\frac{\varepsilon }{2M}\text{.}\label{prod3} \end{equation} Observa que \begin{align*} \bigl\vert f_{1}\odot f_{2}-\varphi_{1,k}\odot \varphi_{2,k}\bigr\vert &\leq \left( \left\vert f_{1}\right\vert \odot \left\vert f_{2}-\varphi _{2,k}\right\vert \right) +\left( \left\vert f_{1}-\varphi_{1,k}\right\vert \odot \left\vert \varphi_{2,k}\right\vert \right) \\ &\leq \left( \tilde{g}\odot g_{2,k}\right) +\left( g_{1,k}\odot \left\vert \varphi_{2,k}\right\vert \right) \end{align*} En consecuencia, usando el Lema 12.27, la Proposición 12.15 y las desigualdades (\ref{prod1}), (\ref{prod2}) y (\ref{prod3}) obtenemos \begin{align*} \int^{\ast }\bigl\vert f_{1}\odot f_{2}-{}&\varphi_{1,k}\odot \varphi _{2,k}\bigr\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \tilde{g}\odot g_{2,k}\right) +\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g_{1,k}\odot \left\vert \varphi _{2,k}\right\vert \right) \\ &=\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}\tilde{g}\biggr) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}g_{2,k}\biggr) +\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}g_{1,k}\biggr) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}\left\vert \varphi_{2,k}\right\vert \biggr) \\ &\menorque\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0}. \end{align*} De la Proposición 12.31 se sigue entonces que $f_{1}\odot f_{2}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y, usando el Ejercicio 11.37, obtenemos que\ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( f_{1}\odot f_{2}\right) &=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \varphi_{1,k}\odot \varphi_{2,k}\right) \\ &=\lim_{k\rightarrow \infty }\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}\varphi _{1,k}\biggr) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}\varphi_{2,k}\biggr) =\left( \int_{\mathbb{R}^{m}}f_{1}\right) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}f_{2}\biggr) , \end{align*} como afirma el enunciado.

El teorema de Fubini para funciones Lebesgue-integrables es más delicado. Lo posponemos para el siguiente capítulo.

Conjuntos integrables

Un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^{n}$ es integrable si $1_{X}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$. La medida de Lebesgue (o el volumen) de $X$ en $\mathbb{R}^{n}$\ se define como \begin{equation*} \vol_{n}(X):=\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{X} \end{equation*} Se suele usar también la notación $\left\vert X\right\vert $ o $\left\vert X\right\vert_{n}$ en vez de $\vol_{n}(X)$.

El Corolario 12.22 asegura que todo subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$ es integrable y todo subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^{n}$ es integrable. Si $\Omega $ es un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^{n}$, entonces su cerradura $\overline{\Omega }$ y su frontera $\partial \Omega :=\overline{\Omega }\smallsetminus \Omega $ son compactos y, por tanto, integrables. Para obtener otros ejemplos de conjuntos integrables usaremos el siguiente resultado.

Si $f,g\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y $g$ es acotada, entonces $fg\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$.

La Proposición 12.31 asegura que, para cada $k\in \mathbb{N}$, existe $\varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que \begin{equation*} \int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert \menorque\frac{1}{2k\left( \left\Vert g\right\Vert_{\infty }+1\right) }, \end{equation*} y que existe $\psi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que \begin{equation*} \int^{\ast }\left\vert g-\psi_{k}\right\vert \menorque\frac{1}{2k\left( \left\Vert \varphi_{k}\right\Vert_{\infty }+1\right) }. \end{equation*} Como \begin{equation*} \left\vert fg-\varphi_{k}\psi_{k}\right\vert \leq \left\vert f-\varphi _{k}\right\vert \left\vert g\right\vert +\left\vert \varphi_{k}\right\vert \left\vert g-\psi_{k}\right\vert \leq \left\Vert g\right\Vert_{\infty }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert +\left\Vert \varphi_{k}\right\Vert _{\infty }\left\vert g-\psi_{k}\right\vert , \end{equation*} se tiene que \begin{equation*} \int^{\ast }\left\vert fg-\varphi_{k}\psi_{k}\right\vert \leq \left\Vert g\right\Vert_{\infty }\biggl( \int^{\ast }\left\vert f-\varphi _{k}\right\vert \biggr) +\left\Vert \varphi_{k}\right\Vert_{\infty }\left( \int^{\ast }\left\vert g-\psi_{k}\right\vert \right) \menorque\frac{1}{k}. \end{equation*} Esto prueba que $fg\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$.

Veremos más adelante que el producto de funciones Lebesgue-integrables no necesariamente es integrable (ver Ejemplo 13.32).

Si $X$ y $Y$ son subconjuntos integrables de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $X\cap Y$, $X\cup Y$ y $X\smallsetminus Y$ son integrables y \begin{align*} \vol_{n}(X\cup Y) &=\vol_{n}(X)+\vol_{n}(Y)-\vol_{n}(X\cap Y), \\ \vol_{n}(X\smallsetminus Y) &=\vol_{n}(X)-\vol_{n}(X\cap Y). \end{align*}

Para cualesquiera subconjuntos $X$ y $Y$ de $\mathbb{R}^{n}$ se cumple que \begin{align} 1_{X\cap Y} &=1_{X}1_{Y},\label{med1} \\ 1_{X\cup Y} &=1_{X}+1_{Y}-1_{X\cap Y},\label{med2} \\ 1_{X\smallsetminus Y} &=1_{X}-1_{X\cap Y}.\label{med3} \end{align} Si $1_{X}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y $1_{Y}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$, el Lema 12.37 y la identidad (\ref{med1}) aseguran que $1_{X\cap Y}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$. Del Teorema 12.33 y las identidades (\ref{med2}) y (\ref{med3}) se sigue que $1_{X\cup Y}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$, $1_{X\smallsetminus Y}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y que son válidas las identidades del enunciado.

En consecuencia, si $K$ es compacto y $\Omega $ es abierto en $\mathbb{R}^{n} $, entonces $K\cap \Omega $ es integrable.

Si $X$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^{m}$ y $Y$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^{n-m}$, entonces $X\times Y$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^{n}$ y \begin{equation*} \vol_{n}(X\times Y)=\left( \vol_{m}(X)\right) \left( \vol_{n-m}(Y)\right) . \end{equation*}

Para cualesquiera subconjuntos $X$ y $Y$ de $\mathbb{R}^{n}$ se tiene que $1_{X\times Y}=1_{X}\odot 1_{Y}$. La afirmación es consecuencia de la Proposición 12.35.

Si $n>m$, identificamos a $\mathbb{R}^{m}$ con el subespacio $\mathbb{R}^{m}\times \left\{0\right\}$ de $\mathbb{R}^{n}$. La proposición anterior asegura que, si $X$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^{m}$, entonces $X\equiv X\times \left\{0\right\}$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^{n}$. Es decir, la integrabilidad de un conjunto no depende del espacio euclidiano que lo contiene. Pero su medida de Lebesgue sí, ya que vol$_{n}(X)=0$ para todo subconjunto integrable $X$ de $\mathbb{R}^{m}$.

La integral sobre un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$

Extenderemos ahora el concepto de integrabilidad a funciones definidas en un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^{n}$.

Dada $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ definimos $\bar{f}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ como \begin{equation} \bar{f}(x):= \begin{cases} f(x) & \text{si $x\in X$,} \\ 0 & \text{si $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus X$.} \end{cases}\label{exten} \end{equation} $\bar{f}$ se llama la extensión trivial de $f$ a $\mathbb{R}^{n}$.

Sea $X$ un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$. Una función $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es (Lebesgue-) integrable en $X$ si la función $\bar{f} $es (Lebesgue-)integrable en $\mathbb{R}^{n}$. La integral (de Lebesgue) de $f$ en $X$ se define como \begin{equation*} \int_{X}f:=\int_{\mathbb{R}^{n}}\bar{f}. \end{equation*}

Denotamos por \begin{equation} \mathfrak{L}(X):=\left\{f\colon X\rightarrow \mathbb{R}:f\text{ es Lebesgue-integrable en }X\right\}.\label{leb} \end{equation} Identificando a $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ con su extensión $\bar{f}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, se tiene que $\mathfrak{L}(X)$ es un subespacio vectorial de $\mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$.

Si $K$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$ y $f\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces $f\in \mathfrak{L}(K)$.

Sean $a:=\min_{x\in K}f$ y $b:=\max_{x\in K}f$. Definimos $g\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ como $g(x):=f(x)-a$. Como $g\geq 0$, se tiene que $\bar{g}\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ [Ejercicio 12.47]. Entonces \begin{equation*} 0\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\bar{g}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}(b-a)1_{K}=(b-a)\vol_{n}(K)\menorque\infty . \end{equation*} De la Observación 12.29 se sigue que $\bar{g}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$. Puesto que $K$ es integrable, se tiene entonces que $\bar{f}=\bar{g}+a1_{K}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$. Por tanto, $f\in \mathfrak{L}(K)$.

Si $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es Lebesgue-integrable en $X$ y $Y$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^{n}$ tal que $Y\subset X$, entonces la restricción de $f$ a $Y$, \begin{equation*} f\mid_{Y}\colon Y\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}, \end{equation*} es Lebesgue-integrable en $Y$ y se cumple que \begin{equation*} \int_{Y}\left( f\mid_{Y}\right) =\int_{X}f1_{Y}. \end{equation*}

Observa que $\overline{f\mid_{Y}}=\bar{f}1_{Y}$. Así que este resultado es consecuencia inmediata del Lema 12.37.

En adelante denotaremos simplemente por $f$, en vez de $\bar{f}$, a la extensión trivial de $f$ a $\mathbb{R}^{n}$.
Si $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es Lebesgue-integrable en $X$ y $Y$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^{n}$ tal que $Y\subset X$, denotamos por \begin{equation*} \int_{Y}f:=\int_{Y}\left( f\mid_{Y}\right) . \end{equation*}
Si $X=(a,b)$ con $-\infty \leq a\menorque b\leq \infty $, escribimos \begin{equation*} \int_{a}^{b}f:=\int_{(a,b)}f. \end{equation*}
En adelante diremos simplemente que $f$ es integrable en $X$, en vez de decir que es Lebesgue-integrable en $X$, y llamaremos a la integral de Lebesgue simplemente la integral. Análogamente nos referiremos simplemente a la medida en vez de la medida de Lebesgue.

Ejercicios

Prueba que, si $K$ es un espacio métrico compacto y $f,f_{k}\in \mathcal{C}^{0}(K)$ son tales que $f_{1}\geq \cdots \geq f_{k}\geq f_{k+1}\geq \cdots $ y $ f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ para cada $x\in K$, entonces $f_{k}\rightarrow f$ uniformemente en $K$.

Prueba que, si $f_{k}\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, $f_{k}\geq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y $f:=\inf_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$, entonces $f\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{equation*}

Sea $X\subset \mathbb{R}^{n}$. Dada una función $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ considera su extensión trivial $\bar{f}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, dada por \begin{equation*} \bar{f}(x):= \begin{cases} f(x) & \text{si $x\in X$,} \\ 0 & \text{si $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus X$.} \end{cases} \end{equation*}

Si $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ es continua y $f\geq 0$, prueba que

si $X$ es abierto, entonces $\bar{f}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$,
si $X$ es compacto, entonces $\bar{f}\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$.

(Sugerencia: Usa el Ejercicio 4.46.)

Sea $X\subset \mathbb{R}^{n}$. Demuestra que

$1_{X}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ si y sólo si $X $ es abierto en $\mathbb{R}^{n}$,
$1_{X}\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ si y sólo si $X $ es compacto en $\mathbb{R}^{n}$.

Si $A$ es una matriz de $n\times n$ (no necesariamente invertible) y$ \zeta \in \mathbb{R}^{n}$, considera la función afín $\varphi \colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ dada por $\varphi (x):=Ax+\zeta $. Prueba que, si $K$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $\varphi (K)$ es integrable y \begin{equation*} \vol_{n}(\varphi (K))=\left\vert \det A\right\vert \vol_{n}(K). \end{equation*}
Prueba que, si $K$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$ y $\lambda \in \mathbb{R}$, entonces $\lambda K:=\left\{\lambda x:x\in K\right\}$ es integrable y \begin{equation*} \vol_{n}(\lambda K)=\left\vert \lambda \right\vert^{n}\vol_{n}(K). \end{equation*}

Sean $\xi_{0},\xi_{1},\dots,\xi_{n}\in \mathbb{R}^{n}$. Prueba que el paralelogramo \begin{equation*} P:=\left\{\xi_{0}+t_{1}\xi_{1}+\cdots +t_{n}\xi_{n}:t_{i}\in \left[ 0,1\right] \text{ }\forall i=1,\dots,n\right\} \end{equation*} es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$ y que \begin{equation*} \vol_{n}(P)=\left\vert \det (\xi_{1}\cdots \xi_{n})\right\vert . \end{equation*} (Sugerencia: Usa el Ejercicio 12.49.)

Sean $K$ un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n-1}$ y $a\in (0,\infty )$. Usando el principio de Cavalieri, calcula el volumen en $\mathbb{R}^{n}$ del cilindro \begin{equation*} K\times [0,a]:=\left\{(y,t)\in \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}:y\in K,\text{ }t\in [0,a]\right\} \end{equation*} en términos de $a$ y $\vol_{n-1}(K)$.

Sean $K$ un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n-1}$ y $a\in [0,\infty )$. Calcula el volumen en $\mathbb{R}^{n}$ del cono \begin{equation*} C:=\left\{((1-t)y,ta)\in \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}:y\in K,\text{ }t\in [0,1]\right\} \end{equation*} en términos de $a$ y $\vol_{n-1}(K)$. (Sugerencia: Usa el principio de Cavalieri.)

Sean $\xi_{0},\xi_{1},\dots,\xi_{n}\in \mathbb{R}^{n}$. Calcula el volumen en $\mathbb{R}^{n}$ del simplejo \begin{equation*} \Sigma (\xi_{0},\xi_{1},\dots,\xi_{n}):=\left\{ \sum_{i=0}^{n}t_{i}\xi _{i}\in \mathbb{R}^{n}:t_{i}\geq 0\text{ y }\sum_{i=0}^{n}t_{i}=1\right\} . \end{equation*} (Sugerencia: Calcula primero el volumen de $\Sigma (0,e_{1},\dots,e_{n}) $ para la base canónica $\left\{e_{1},\dots,e_{n}\right\}$ de $R^{n}$, y aplica el Ejercicio 12.49 para obtener el caso general.)

Calcula el volumen en $\mathbb{R}^{n}$ del elipsoide \begin{equation*} E:=\left\{ x\in \mathbb{R}^{n}:\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}\leq 1\right\} \end{equation*} con semiejes $a_{1},\dots,a_{n}\in (0,\infty )$. (Sugerencia: Usa el Ejemplo 12.25 y el Ejercicio 12.49.)

Sean $K$ un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$ y $f\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua tal que $f\geq 0$. Sea \begin{equation*} G^{f}:=\left\{(x,t)\in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}:x\in K,\text{ }0\leq t\leq f(x)\right\} \end{equation*} el conjunto de puntos bajo la gráfica de $f$.

Prueba que $G^{f}$ es compacto y que \begin{equation*} \vol_{n+1}(G^{f})=\int_{K}f. \end{equation*} (Sugerencia: Aplica la Proposición 12.16.)
Usa la afirmación (a) y el Ejemplo 12.25 para calcular la integral de la función \begin{equation*} f(x):= \begin{cases} \sqrt{1-\left\Vert x\right\Vert^{2}} & \text{si $\left\Vert x\right\Vert \leq 1$,} \\ 0 & \text{si $\left\Vert x\right\Vert \geq 1$,} \end{cases} \end{equation*} del Ejercicio 11.44.

Si $X$ y $Y$ son subconjuntos integrables de $\mathbb{R}^{n}$ demuestra las siguientes afirmaciones:

Si $X\subset Y$ entonces $\vol_{n}(X)\leq vol_{n}(Y)$.
$\vol_{n}(Y\smallsetminus X)\geq \vol_{n}(Y)-\vol_{n}(X)$.
Si $X\subset Y$ entonces $\vol_{n}(Y\smallsetminus X)=\vol_{n}(Y)-\vol_{n}(X)$.

Prueba que, si $X$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^{n}$ y $\vol_{n}(X)>0$ entonces, para cada $\alpha >1$, existe un subconjunto abierto $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ tal que \begin{equation*} X\subset \Omega \qquad\text{y}\qquad \vol_{n}(\Omega )\menorque\alpha\vol_{n}(X). \end{equation*} (Sugerencia: Toma $\varepsilon :=\frac{\alpha -1}{\alpha +1}$, observa que existe $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $g\geq 1_{X}$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g<(1+\varepsilon )\vol_{n}(X), \end{equation*} y define $\Omega :=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:g(x)>1-\varepsilon \right\}$.)

Prueba que, si $Y$ es un subconjunto integrable y acotado de $\mathbb{R}^{n}$ y $\vol_{n}(Y)>0$ entonces, para cada $\beta <1$, existe un subconjunto compacto $K$ de $\mathbb{R}^{n}$ tal que \begin{equation*} K\subset Y\qquad\text{y}\qquad \beta\vol_{n}(Y)\menorque\vol_{n}(K). \end{equation*} (Sugerencia: Elige un rectángulo $Q$ tal que $Y\subset Q$ y aplica el ejercicio anterior al conjunto $X:=Q-Y$.)

Prueba que, si $\Omega $ es un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^{n}$ y $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua y acotada, entonces $f\in \mathfrak{L}(\Omega )$ y \begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert f\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }\vol_{n}(\Omega ). \end{equation*}
Si omitimos la hipótesis de que $\Omega $ sea acotado, ¿es cierto que $f\in \mathfrak{L}(\Omega )$?
Si omitimos la hipótesis de que $f$ sea acotada, ¿es cierto que $f\in \mathfrak{L}(\Omega )$?

Dada $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, definimos $f^{+},f^{-}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ como \begin{equation*} f^{+}(x):=\max \left\{f(x),0\right\}\text{,\qquad }f^{-}(x):=\max \left\{-f(x),0\right\}. \end{equation*} Prueba que $f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ si y sólo si $f^{+}$ $\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y $f^{-}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$. (Sugerencia: Observa que $f=f^{+}-f^{-}$ y $\left\vert f\right\vert =f^{+}+f^{-}.)$

Prueba que, si $f,g\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $\max \left\{f,g\right\}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y $\min \left\{f,g\right\}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$.

Prueba que, si $-\infty \menorque a\menorque b\menorque \infty $ y $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces la integral de $f$ dada por la Definición 12.41 coincide con la integral usual de Riemann $\int_{a}^{b}f$.

Prueba que, si $X$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^{n}$, la función constante con valor $c\in \mathbb{R}$ es integrable en $X$ y \begin{equation*} \int_{X}c=c\vol_{n}(X). \end{equation*}

[Funciones Riemann-integrables] Sea $\mathcal{E}(\mathbb{R}^{n})$ el espacio vectorial generado por las funciones características de los rectángulos en $\mathbb{R}^{n}$, es decir, los elementos de $\mathcal{E}(\mathbb{R}^{n})$ son funciones de la forma \begin{equation*} \vartheta =\sum_{i=1}^{m}c_{i}1_{Q_{i}}, \end{equation*} donde $Q_{i}$ es un rectángulo y $c_{i}\in \mathbb{R}$. Se les llama funciones escalonadas.

Prueba que toda función escalonada es Lebesgue-integrable y que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\vartheta =\sum_{i=1}^{m}c_{i}\vol_{n}(Q_{i}). \end{equation*}
Una función $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es Riemann-integrable si, para cada $\varepsilon >0$, existen $\vartheta_{1},\vartheta_{2}\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^{n})$ tales que $\vartheta_{1}\leq f\leq \vartheta_{2}$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\vartheta_{2}-\int_{\mathbb{R}^{n}}\vartheta _{1}\menorque\varepsilon . \end{equation*} Prueba que, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f$ es Riemann-integrable.
Si $f$ es Riemann-integrable, su integral de Riemann $I(f)$ se define como \begin{align*} I(f): &=\inf \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}\vartheta :\vartheta \in \mathcal{E}(\mathbb{R}^{n}),\text{ }\vartheta \geq f\right\} \\ &=\sup \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}}\vartheta :\vartheta \in \mathcal{E}(\mathbb{R}^{n}),\text{ }\vartheta \leq f\right\} . \end{align*} Prueba que toda función Riemann-integrable $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es Lebesgue-integrable y \begin{equation*} I(f)=\int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}
Sea $X=\mathbb{Q}\cap [0,1]$. Prueba que $1_{X}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ no es Riemann-integrable. En el siguiente capítulo probaremos que esta función sí es Lebesgue-integrable (ver Ejemplo 13.5).

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