Teoremas fundamentales de la teoría de integración
En este capítulo expondremos los teoremas fundamentales de la
teoría de integración de Lebesgue.
El cálculo efectivo de integrales múltiples depende en gran
medida de la posibilidad de reducirlo al cálculo sucesivo de
integrales en dimensiones menores. El teorema de Fubini afirma que la
integral de una función integrable $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow
\mathbb{R}$ se puede obtener integrando coordenada a coordenada, es
decir, si $1\leq m\menorque n$ entonces
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}f(x,y)dx\biggr) dy.
\end{equation*}
Este resultado requiere de ciertas precauciones ya que la función
$x\mapsto f(x,y)$ puede no ser integrable para ciertas $y\in
\mathbb{R}^{n-m}$. El teorema de Fubini afirma que el conjunto de
tales $y$’s tiene medida $0$.
Los conjuntos integrables de medida $0$ se llaman conjuntos
nulos. Veremos que si dos funciones coinciden fuera de un conjunto
nulo y una de ellas es integrable, entonces la otra lo es y las
integrales de ambas coinciden. Es decir, podemos sustituir de manera
arbitraria los valores de una función en un conjunto nulo sin que
esto altere ni la integrabilidad de la función ni el valor de su
integral.
Estudiaremos también la posibilidad de intercambiar al límite
por la integral, es decir, de obtener la integral del límite
puntual de una sucesión de funciones integrables como el
límite de las integrales de dichas funciones. Este es un asunto
de gran relevancia en el análisis matemático y tiene
múltiples aplicaciones. La ausencia de buenas condiciones que
permitan este intercambio es el motivo que llevó a sustituir la
integral de Riemann por la integral de Lebesgue. Para la integral de
Riemann la posibilidad de intercambiar al límite por la integral
está estrechamente ligada a la convergencia uniforme mientras que,
para la integral de Lebesgue, los teoremas que permiten este
intercambio contienen hipótesis considerablemente más
débiles.
Los dos teoremas fundamentales sobre convergencia en la teoría de
integración de Lebesgue son el teorema de convergencia
monótona de Levi y el teorema de convergencia dominada de
Lebesgue. El primero afirma que, si la sucesión de funciones
integrables $(f_{k})$ es no decreciente y el supremo de sus integrales
está acotado, entonces su límite puntual $f$ es integrable y
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.
\label{inter}
\end{equation}
El segundo afirma que, si una sucesión $(f_{k})$ de funciones
integrables converge puntualmente a una función $f$ y si tales
funciones están dominadas puntualmente por una función
integrable $g$, es decir, si $\left\vert f_{k}\right\vert \leq g$ para
todo $k$, entonces $f$ es integrable y se cumple (\ref{inter}). Un
tercer resultado importante, que se obtiene a partir del teorema de
convergencia monótona y se usa para probar el teorema de
convergencia dominada, es el lema de Fatou, que da condiciones para la
integrabilidad del límite inferior de una sucesión de
funciones.
Usando estos resultados de convergencia, demostraremos el teorema de
cambio de variable para funciones integrables a partir del resultado
correspondiente para funciones continuas con soporte compacto.
Conjuntos nulos
Por simplicidad, escribiremos $\left\vert X\right\vert $ en vez de
vol$_{n}(X)$.
Se dice que un subconjunto $Z$ de $\mathbb{R}^{n}$ es nulo
si es $Z$ integrable y $\left\vert Z\right\vert
=0$.
Observa que $Z$ es nulo si y sólo si
$\int^{\ast }1_{Z}=0$, ya que en ese caso
\begin{equation*}
0\leq \int_{\ast }1_{Z}\leq \int^{\ast }1_{Z}=0
\end{equation*}
y, en consecuencia, $1_{Z}$ es integrable y $\left\vert Z\right\vert
=\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{Z}=0$.
Si $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ y
$f_{k}\geq 0$, la sucesión de sumas parciales
$\sum_{k=1}^{m}f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty
\right\}$ es no decreciente. Denotamos al supremo puntual de esta
sucesión de funciones por
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}:=\sup_{m\in \mathbb{N}}\left(
\sum_{k=1}^{m}f_{k}\right) \colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\infty \right\}.
\end{equation*}
El siguiente lema juega un papel importante en el estudio de las
propiedades de los conjuntos nulos.
Sean $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow
\mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ tales que $f_{k}\geq 0$. Entonces
\begin{equation*}
\int^{\ast }\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}\leq \sum_{k=1}^{\infty
}\int^{\ast }f_{k}.
\end{equation*}
Si $\int^{\ast }f_{k}=\infty $ para algún $k\in \mathbb{N}$, el
resultado es trivialmente cierto. Así pues, supongamos que
$\int^{\ast }f\in \mathbb{R}$ para todo $k\in \mathbb{N}$. Dada
$\varepsilon >0$, escogemos $g_{k}\in \mathcal{S}_{\ast
}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $g_{k}\geq f_{k}$ y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}\leq \int^{\ast }f_{k}+\frac{\varepsilon }{2^{k}}.
\end{equation*}
Entonces $\sum_{k=1}^{\infty }g_{k}\geq \sum_{k=1}^{\infty }f_{k}$.
De la Proposición
12.17 se sigue que $\sum_{k=1}^{\infty
}g_{k}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y
\begin{align*}
\int^{\ast }\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}\leq
\int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{k=1}^{\infty }g_{k}&=\lim_{m\rightarrow
\infty
}\int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{k=1}^{m}g_{k}\\
&=\lim_{m\rightarrow \infty
}\sum_{k=1}^{m}\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}=\sum_{k=1}^{\infty
}\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}\leq \left(\sum_{k=1}^{\infty }\int^{\ast
}f_{k}\right)+\varepsilon ,
\end{align*}
para toda $\varepsilon >0$. En consecuencia,
\begin{equation*}
\int^{\ast }\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}\leq \sum_{k=1}^{\infty
}\int^{\ast }f_{k},
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
Una primera consecuencia de este lema es la siguiente.
- Si $Z$ es nulo y $Y\subset Z$, entonces $Y$ es nulo.
- Si $\left\{Z_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es una familia numerable
de subconjuntos nulos de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $Z:=\cup
_{k=1}^{\infty }Z_{k}$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$.
(a) es consecuencia inmediata de la monotonía de la
integral superior.
(b): Observa que $1_{Z}\leq \sum_{k=1}^{\infty }1_{Z_{k}}$.
Aplicando la monotonía de la integral superior, el
Lema 13.3 y la Observación 13.2 obtenemos
\begin{equation*}
0\leq \int^{\ast }1_{Z}\leq \int^{\ast }\sum_{k=1}^{\infty }1_{Z_{k}}\leq
\sum_{k=1}^{\infty }\int^{\ast }1_{Z_{k}}=0.
\end{equation*}
En consecuencia, $Z$ es nulo.
En particular, se cumple lo siguiente.
Todo subconjunto numerable $N$ de $\mathbb{R}^{n}$
es nulo, pues cada punto de $N$ lo es.
Veamos otros ejemplos.
Si $1\leq m\menorque n$, $K$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{m}$ y
$f\colon K\rightarrow \mathbb{R}^{n-m}$ es una función continua,
entonces la gráfica de $f$,
\begin{equation*}
\graf(f):=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{n}:x\in K\text{, }y=f(x)\right\},
\end{equation*}
es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$.
Como $\graf(f)$ es la imagen de $K$ bajo la función continua
$g\colon K\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ dada por $g(x):=(x,f(x))$, se tiene
que graf$(f)$ es compacto. Por tanto, graf$(f)$ es un subconjunto
integrable de $\mathbb{R}^{n}$.
Dado que
\begin{equation*}
1_{\text{graf}(f)}(x,y)=
\begin{cases}
1_{\left\{f(x)\right\}}(y) & \text{si $x\in K$,} \\
0 & \text{si $x\notin K$,}
\end{cases}
\end{equation*}
para cada $x\in \mathbb{R}^{m}$ se tiene que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n-m}}1_{\text{graf}(f)}(x,y)dy=0.
\end{equation*}
Del teorema de Fubini para funciones semicontinuas (ver
Proposición 12.16) se sigue que
\begin{equation*}
\left\vert \text{graf}(f)\right\vert =\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{\text{graf}(f)}=\int_{\mathbb{R}^{m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}1_{\text{graf}(f)}(x,y)dy\biggr) dx=0,
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
Del ejemplo anterior y el teorema de la función implícita se
deduce que las subvariedades de $\mathbb{R}^{n}$ son subconjuntos
nulos [Ejercicio 13.47]. Veamos un caso particular.
La esfera $S^{n-1}(0,r):=\left\{x\in
\mathbb{R}^{n}:\left\Vert x\right\Vert =r\right\}$, $r\geq 0$, es un
subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$.
Sea $f\colon \bar{B}^{n-1}(0,r)\rightarrow
\mathbb{R}$ la función dada por $f(x):=\sqrt{r^{2}-\Vert x\Vert
^{2}}$, donde $\bar{B}^{n-1}(0,r):=\{x\in
\mathbb{R}^{n-1}:\Vert x\Vert \leq r\}$. Como
$S^{n-1}(0,r)=S^{+}\cup S^{-}$ con $S^{\pm }:=\graf(\pm f)$, del
ejemplo anterior y la Proposición
13.4 se sigue que
$S^{n-1}(0,r)$ es nulo.
$Z$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$ si y
sólo si para cada $\varepsilon >0$ existe un subconjunto abierto
$\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ tal que $Z\subset \Omega $ y
$\left\vert \Omega \right\vert \menorque\varepsilon $.
$\Rightarrow )$: Si $Z$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$
entonces $\int^{\ast }1_{Z}=0$. Por tanto, dado $\varepsilon >0$,
existe $g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $g\geq
1_{Z}$ y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}g\menorque\frac{\varepsilon }{2}.
\end{equation*}
Como $g$ es s.c.i., $\Omega :=g^{-1}(\frac{1}{2},\infty )$ es un
subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ (ver
Ejercicio
4.46) y, puesto que $g\geq 1_{Z}$, se tiene
que $Z\subset \Omega $. Finalmente, dado que $2g\geq 1_{\Omega }$,
se cumple que
\begin{equation*}
\left\vert \Omega \right\vert =\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{\Omega }\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}2g\menorque\varepsilon .
\end{equation*}
$\Leftarrow )$: Inversamente, si para cada $\varepsilon >0$ existe
un subconjunto abierto $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ tal que
$Z\subset \Omega $ y $\left\vert \Omega \right\vert \menorque\varepsilon $,
entonces
\begin{equation*}
0\leq \int^{\ast }1_{Z}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}1_{\Omega }\menorque\varepsilon
\qquad \forall \varepsilon >0.
\end{equation*}
En consecuencia, $Z$ es nulo.
Sea $X$ un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$. Decimos que una
propiedad $P(x)$ se cumple casi dondequiera (c.d.) en $X$,
o bien que se cumple para
casi todo (p.c.t.) $x\in
X$, si el conjunto
\begin{equation*}
\left\{x\in X:P(x)\text{ no se cumple}\right\}
\end{equation*}
es nulo.
La siguiente proposición asegura que, si modificamos una
función integrable sobre un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$,
la función obtenida sigue siendo integrable y su integral es la
misma.
Sean $f,g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\pm \infty \right\}$ tales que $f(x)=g(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$.
Si $f$ es integrable, entonces $g$ es integrable y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\int_{\mathbb{R}^{n}}g.
\end{equation*}
Sean $Z:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)\neq g(x)\right\}$, $h_{k}:=1_{Z}$ y
$h:=\sum_{k=1}^{\infty }h_{k}$, es decir, $h(x)=\infty $ si $x\in Z$
y $h(x)=0 $ si $x\notin Z$. Aplicando el Lema
13.3,\
obtenemos que
\begin{equation*}
\int^{\ast }h\leq \sum_{k=1}^{\infty }\int^{\ast }h_{k}=0.
\end{equation*}
Por otra parte, la Proposición
12.31 asegura que
existe una sucesión $(\varphi_{k})$ en
$\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert
=0.
\end{equation*}
Nota que $\left\vert g-\varphi_{k}\right\vert \leq h+\left\vert
f-\varphi_{k}\right\vert $. Por tanto,
\begin{equation*}
\int^{\ast }\left\vert g-\varphi_{k}\right\vert \leq \int^{\ast
}h+\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert =\int^{\ast }\left\vert
f-\varphi_{k}\right\vert
\end{equation*}
y, en consecuencia,
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert g-\varphi_{k}\right\vert
=0.
\end{equation*}
La Proposición
12.31 asegura entonces que $g$ es
integrable y que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}g=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f,
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
Además, una función integrable toma los valores $\pm \infty $
únicamente en un conjunto nulo. De hecho, se cumple lo siguiente.
Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\pm \infty \right\}$ satisface $\int^{\ast }\left\vert f\right\vert
\menorque\infty $, entonces $f(x)\in \mathbb{R}$ p.c.t. $x\in
\mathbb{R}^{n}$. En particular, si $f$ es integrable, entonces
$f(x)\in \mathbb{R}$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$.
Sea $Z:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)=\pm \infty \right\}$. Como $1_{Z}\leq
\varepsilon \left\vert f\right\vert $ para todo $\varepsilon >0$, se
tiene que
\begin{equation*}
\int^{\ast }1_{Z}\leq \varepsilon \int^{\ast }\left\vert f\right\vert \text{\qquad }\forall \varepsilon >0.
\end{equation*}
En consecuencia, $\int^{\ast }1_{Z}=0$ y, por tanto, $Z$ es
nulo. Esto prueba que $f(x)\in \mathbb{R}$ p.c.t. $x\in
\mathbb{R}^{n}$.
Si $f$ es integrable, entonces $\left\vert f\right\vert $ es
integrable (ver Proposición 12.32) y, por tanto,
$\int^{\ast }\left\vert f\right\vert \menorque\infty $. De la afirmación
anterior se sigue que $f(x)\in \mathbb{R}$ p.c.t. $x\in
\mathbb{R}^{n}$.
Las proposiciones anteriores nos permiten concluir lo siguiente.
Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\pm \infty \right\}$ es integrable, entonces la función
$\widetilde{f}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por
\begin{equation*}
\widetilde{f}(x):=
\begin{cases}
f(x) & \text{si $f(x)\menorque\infty$,} \\
0 & \text{si $f(x)=\pm \infty$,}
\end{cases}
\end{equation*}
es integrable, $\widetilde{f}(x)=f(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$
y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\widetilde{f}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f.
\end{equation*}
La Proposición
13.11 asegura que
$\widetilde{f}(x)=f(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$. De la
Proposición
13.10 se sigue entonces que
$\widetilde{f}$ es integrable y que las integrales de $f$ y
$\widetilde{f}$ coinciden.
Sea $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\pm \infty \right\}$ una sucesión de funciones tales que
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f_{k}\right\vert =0.
\end{equation*}
Entonces existe una subsucesión $(f_{k_{j}})$ de $(f_{k})$ tal
que $f_{k_{j}}(x)\rightarrow 0$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$.
Tomemos $k_{1}\menorque\cdots \menorque k_{j}\menorque k_{j+1}\menorque\cdots $ tales que
\begin{equation*}
\int^{\ast }|f_{k_{j}}|\text{ }\menorque\frac{1}{2^{j}}.
\end{equation*}
Por el Lema
13.3, se tiene que
\begin{equation*}
\int^{\ast }\sum_{j=1}^{\infty }|f_{k_{j}}|\text{ }\leq
\sum_{j=1}^{\infty }\int^{\ast }|f_{k_{j}}|\text{ }\leq 1.
\end{equation*}
La Proposición
13.11 asegura entonces que existe un
subconjunto nulo $Z$ de $\mathbb{R}^{n}$ tal que
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{\infty }|f_{k_{j}}(x)|\text{ }\menorque\infty \text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z.
\end{equation*}
En consecuencia, $f_{k_{j}}(x)\rightarrow 0$ para todo $x\in
\mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$.
En la proposición anterior no es posible concluir que la sucesión
$(f_{k})$ converge puntualmente a $0$ c.d. en $\mathbb{R}^{n}$:
existen ejemplos de sucesiones tales que
$\lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f_{k}\right\vert
=0$\
pero $\left( f_{k}(x)\right) $ no converge para ningún $x$ en un
conjunto de medida positiva
[Ejercicio 13.51].
Una consecuencia importante de la proposición anterior es la
siguiente.
Sea $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\pm \infty \right\}$. Entonces, $\int^{\ast }\left\vert f\right\vert =0$
si y sólo si $f(x)=0$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$. En
particular, si $f$ es integrable y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f\right\vert =0,
\end{equation*}
entonces $f(x)=0$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$.
$\Leftarrow )$: Si $f(x)=0$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$, la
Proposición
13.10 asegura que $\left\vert f\right\vert
$ es integrable y $\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f\right\vert =0$.
$\Rightarrow )$: Inversamente, si $\int^{\ast }\left\vert
f\right\vert =0$, aplicando la Proposición 13.13 a la
sucesión $f_{k}:=f$, obtenemos que $f(x)=0$ p.c.t. $x\in
\mathbb{R}^{n}$.
El teorema de Fubini
Ahora queremos investigar si es posible calcular la integral de una
función integrable $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\pm \infty \right\} $ integrando coordenada a coordenada. El primer
problema con el que nos topamos es que, si $f$ es integrable, $1\leq
m\menorque n$, y $y\in \mathbb{R}^{n-m}$, la función
$f^{y}\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ dada
por
\begin{equation*}
f^{y}(x):=f(x,y)
\end{equation*}
no necesariamente es integrable. Veamos un ejemplo.
Sea $1\leq m\menorque n$. Puesto que $\mathbb{R}^{m}\times \left\{0\right\}$
es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$
[Ejercicio 13.46], la función
$1_{\mathbb{R}^{m}\times \left\{0\right\}}$ es integrable en
$\mathbb{R}^{n}$. Sin embargo,
$(1_{\mathbb{R}^{m}\times \left\{0\right\}})^{0}$
$=1_{\mathbb{R}^{m}}$ no es integrable en $\mathbb{R}^{m}$
(ver Corolario 12.23).
El teorema de Fubini afirma que este mal
comportamiento ocurre únicamente en un subconjunto nulo de
$\mathbb{R}^{n-m}$ y que la integral de una función integrable $f$
se puede calcular usando integrando sucesivamente respecto a cada
variable.
[Fubini]
\label{teofub}Sean
$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ una
función integrable y $1\leq m\menorque n$. Entonces existe un subconjunto
nulo $Z$ de $\mathbb{R}^{n-m}$ tal que, para todo $y\in
\mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z$, la función
$f^{y}\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$
dada por
\begin{equation*}
f^{y}(x):=f(x,y)
\end{equation*}
es integrable. La función $F\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow
\mathbb{R}$ dada por
\begin{equation*}
F(y):=
\begin{cases}
\int_{\mathbb{R}^{m}}f^{y} &
\text{si $y\in \mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z$,} \\
0 & \text{si $y\in Z$,}
\end{cases}
\end{equation*}
también es integrable y
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^{n-m}}F=\int_{\mathbb{R}^{n}}f.\label{fub}
\end{equation}
Sean $h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y
$g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que
$h\leq f\leq g$. El teorema de Fubini para funciones semicontinuas
(ver Proposición
12.16) asegura que
$h^{y}\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{m})$ y
$g^{y}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{m})$ para todo
$y\in \mathbb{R}^{n-m}$ y que las funciones
\begin{equation*}
H(y):=\int_{\mathbb{R}^{m}}h^{y}\text{\qquad y\qquad }G(y):=\int_{\mathbb{R}^{m}}g^{y}
\end{equation*}
cumplen que $H\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n-m})$, $G\in
\mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n-m})$,
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n-m}}H=\int_{\mathbb{R}^{n}}h\text{\qquad y\qquad }\int_{\mathbb{R}^{n-m}}G=\int_{\mathbb{R}^{n}}g.
\end{equation*}
Para cada $y\in \mathbb{R}^{n-m}$ denotamos por
\begin{equation*}
F_{1}(y):=\int_{\ast }f^{y}\text{\qquad y\qquad }F_{2}(y):=\int^{\ast }f^{y}.
\end{equation*}
Como $h^{y}\leq f^{y}\leq g^{y}$, se tiene que $H\leq F_{1}\leq
F_{2}\leq G$ (ver Lema
12.27). En consecuencia,
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}h=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}H\leq \int_{\ast }F_{i}\leq
\int^{\ast }F_{i}\leq \int_{\mathbb{R}^{n-m}}G=\int_{\mathbb{R}^{n}}g\text{,\qquad }i=1,2.
\end{equation*}
Dado que $f$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$, tomando el
ínfimo sobre las funciones $g\in \mathcal{S}_{\ast
}(\mathbb{R}^{n})$ tales que $g\geq f$ y el supremo sobre las
funciones $h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que
$h\leq f$, obtenemos
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \int_{\ast }F_{i}\leq \int^{\ast }F_{i}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}f,\text{\qquad }i=1,2.
\end{equation*}
En consecuencia, $F_{1}$ y $F_{2}$ son integrables en
$\mathbb{R}^{n-m}$ y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n-m}}F_{1}=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}F_{2}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f.
\end{equation*}
Por el Corolario
13.12,
$Z_i:=\left\{y\in\mathbb{R}^{n-m} : F_i(y)=\pm\infty\right\}$ es un
subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n-m}$,
la función
$\widetilde{F}_{i}\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por
\begin{equation*}
\widetilde{F}_{i}(y):=
\begin{cases}
F_{i}(y) & \text{si
$y\in\mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus(Z_1\cup Z_2)$,} \\[3pt]
0 & \text{si $y\in Z_1\cup Z_2$,}
\end{cases}
\end{equation*}
es integrable y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\widetilde{F}_{i}=\int_{\mathbb{R}^{n}}F_{i}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f,\text{\qquad }i=1,2.
\end{equation*}
Como $\widetilde{F}_{i}$ toma valores en $\mathbb{R}$ tiene sentido
considerar $\widetilde{F}_{2}-\widetilde{F}_{1}$ y, dado que
$\widetilde{F}_{2}-\widetilde{F}_{1}\geq 0$ y
$\int_{\mathbb{R}^{n-m}}(\widetilde{F}_{2}-\widetilde{F}_{1})=0$, el
Corolario
13.15 asegura que
\begin{equation*}
Z_{0}:=\left\{y\in
\mathbb{R}^{n-m}:\widetilde{F}_{1}(y)\neq
\widetilde{F}_{2}(y)\right\}
\end{equation*}
es nulo en $\mathbb{R}^{n-m}$. Entonces $Z:=Z_{0}\cup Z_{1}\cup Z_{2}$
es nulo en $\mathbb{R}^{n-m}$ y, como
\begin{equation*}
\widetilde{F}_{i}(y)=F_{i}(y)\text{\qquad y\qquad }-\infty \menorque\widetilde{F}_{1}(y)=\widetilde{F}_{2}(y)\menorque\infty \text{\qquad }\forall y\in \mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z,
\end{equation*}
de la definición de $F_{1}$ y $F_{2}$ se sigue que
\begin{equation*}
-\infty \menorque\int_{\ast }f^{y}=\int^{\ast }f^{y}\menorque\infty \text{\qquad }\forall
y\in \mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z.
\end{equation*}
Por tanto, $f^{y}$ es integrable y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{m}}f^{y}=F_{1}(y)=F_{2}(y)\text{\qquad }\forall y\in
\mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z.
\end{equation*}
Finalmente, como $F_{1}=F$ c.d. en $\mathbb{R}^{n-m}$ y $F_{1}$ es
integrable en $\mathbb{R}^{n-m}$, la Proposición
13.10
asegura que $F$ es integrable en $\mathbb{R}^{n-m}$ y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n-m}}F=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}F_{1}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f.
\end{equation*}
Esto concluye la demostración.
La identidad
(\ref{fub}) suele escribirse como
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y,z)\,dy\,dz=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}f(y,z)dy\biggr) dz.
\end{equation*}
Dado que el intercambio de variables $(y,z)\mapsto (z,y)$ es una
transformación ortogonal, el
Teorema 12.34
asegura que también
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y,z)\,dy\,dz=\int_{\mathbb{R}^{m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}f(y,z)dz\biggr) dy.
\end{equation*}
Teoremas de convergencia
Daremos a continuación varios criterios importantes que garantizan
la integrabilidad del límite puntual de funciones integrables y
la posibilidad de expresar a la integral de dicho límite como el
límite de las correspondientes integrales.
El siguiente ejemplo muestra que no es cierto, en general, que el
supremo puntual de una sucesión no decreciente de funciones
integrables sea integrable.
Si $f_{k}:=1_{B^{n}(0,k)}$ es la función
característica de la bola de radio $k$ con centro en el origen
en $\mathbb{R}^{n}$, entonces $f_{k}$ es integrable y $f_{k}\leq
f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$. Sin embargo,
$1_{\mathbb{R}^{n}}=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$ no es integrable.
Si el supremo puntual $f:=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$ de una
sucesión no decreciente $(f_{k})$ de funciones integrables es
integrable, entonces
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}f\menorque\infty .
\end{equation*}
El teorema que enunciaremos a continuación, afirma que basta con
que este límite sea finito para garantizar la integrabilidad de
$f$.
Nota que, si $(t_{k})$ es una sucesión no decreciente de
números reales entonces, para cualesquiera $k,i\in \mathbb{N}$, se
tiene que
\begin{equation*}
t_{k+i}-t_{k}=\sum_{j=k+1}^{k+i}\left( t_{j}-t_{j-1}\right) .
\end{equation*}
Tomando el límite cuando $i\rightarrow \infty $ concluimos que
\begin{equation}
\lim_{i\rightarrow \infty }t_{i}-t_{k}=\sum_{j=k+1}^{\infty }\left(
t_{j}-t_{j-1}\right) .\label{t-tk}
\end{equation}
Usaremos esta fórmula en la demostración del siguiente
resultado de Beppo Levi.
[de convergencia monótona]
Si
$f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es
integrable, $f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\menorque\infty ,
\end{equation*}
entonces $f:=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$ es integrable y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.
\end{equation*}
Como $f_{k}$ es integrable, la Proposición
13.11
asegura que el conjunto
\begin{equation*}
Z_{k}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f_{k}(x)=\pm \infty \right\}
\end{equation*}
es nulo para todo $k\in \mathbb{N}$. Por tanto, $Z:=\cup
_{k=1}^{\infty }Z_{k}$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$
(ver Proposición
13.4). Reemplazando los valores de
$f_{k}$ en $Z$ por $0$ obtenemos funciones cuyo supremo puntual
coincide con $f$ fuera de $Z$. Estas nuevas funciones también
son integrables y la integral de cada una de ellas coincide con la
de la función original (ver Proposición
13.10). Por
tanto, podemos suponer, sin perder generalidad, que $f_{k}$ toma
valores en $\mathbb{R}$.
De la fórmula (\ref{t-tk}) se sigue que
\begin{equation*}
f-f_{k}=\sum_{j=k+1}^{\infty }\left( f_{j}-f_{j-1}\right) .
\end{equation*}
Por tanto, usando el Lema 13.3 y la fórmula
(\ref{t-tk}), obtenemos
\begin{align*}
\int^{\ast }\left( f-f_{k}\right) &\leq \sum_{j=k+1}^{\infty
}\int^{\ast }(f_{j}-f_{j-1}) \\
&=\sum_{j=k+1}^{\infty }\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j}-\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j-1}\biggr) =\left( \lim_{i\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{i}\right) -\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.
\end{align*}
Como $\lim_{i\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{i}\menorque\infty$,
se tiene que
$\lim_{k\rightarrow \infty }\left( \left( \lim_{i\rightarrow \infty
}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{i}\right)
-\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\right) =0$ y, en consecuencia,
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left( f-f_{k}\right) =0.
\end{equation*}
Por otra parte, la Proposición 12.31 asegura que
existe $\varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que
\begin{equation}
\int^{\ast }\left\vert f_{k}-\varphi_{k}\right\vert \menorque\frac{1}{k}.\label{eqcm1}
\end{equation}
Por tanto,
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert
\leq \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-f_{k}\right\vert
+\lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f_{k}-\varphi
_{k}\right\vert =0.
\end{equation*}
Esto prueba que $f$ es integrable y que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}.
\end{equation*}
De la desigualdad (\ref{eqcm1}) se sigue que
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( f_{k}-\varphi
_{k}\right) =0,
\end{equation*}
lo que nos permite concluir que
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\lim_{k\rightarrow
\infty }\left[ \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( f_{k}-\varphi_{k}\right) +\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}\right] =\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f,
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
El análogo para sucesiones decrecientes de funciones también
es válido.
Si $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\pm \infty \right\}$ es integrable y $f_{k}\geq f_{k+1}$ para todo $k\in
\mathbb{N}$, y
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}>-\infty ,
\end{equation*}
entonces $f:=\inf_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$ es integrable y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.
\end{equation*}
Este resultado se obtiene aplicando el Teorema
13.20 a la
sucesión $(-f_{k})$.
Sea $X_{1}\subset \cdots \subset X_{k}\subset \cdots
$ una sucesión no decreciente de subconjuntos integrables de
$\mathbb{R}^{n}$. Si la sucesión $(\left\vert X_{k}\right\vert
)$ de sus medidas de Lebesgue en $\mathbb{R}^{n}$ está acotada,
entonces $\cup_{k=1}^{\infty }X_{k}$ es integrable y
\begin{equation*}
\left\vert \bigcup_{k=1}^{\infty }X_{k}\right\vert
=\lim_{k\rightarrow \infty }\left\vert X_{k}\right\vert .
\end{equation*}
Este resultado es consecuencia del Teorema
13.20 aplicado a la
sucesión de funciones características $1_{X_{k}}$, ya que
$\sup_{k\in \mathbb{N}}1_{X_{k}}=1_{\cup_{k=1}^{\infty }X_{k}}$.
Sea $X_{1}\supset \cdots \supset X_{k}\supset
\cdots $ una sucesión no creciente de subconjuntos integrables
de $\mathbb{R}^{n}$. Entonces $\cap_{k=1}^{\infty }X_{k}$ es
integrable y
\begin{equation*}
\left\vert \bigcap_{k=1}^{\infty }X_{k}\right\vert
=\lim_{k\rightarrow \infty }\left\vert X_{k}\right\vert .
\end{equation*}
Este resultado es consecuencia del Corolario
13.21 aplicado a
la sucesión de funciones características $1_{X_{k}}$, ya
que $\inf_{k\in \mathbb{N}}1_{X_{k}}=1_{\cap_{k=1}^{\infty
}X_{k}}$. Nota que $\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{X_{k}}\geq 0$.
Dadas funciones $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm
\infty \right\}$, denotamos por $\liminf_{k\rightarrow \infty
}f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ y
por $\limsup_{k\rightarrow \infty }f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow
\mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ a las funciones
\begin{equation*}
\Bigl( \liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}\Bigr) (x):=\liminf_{k\rightarrow
\infty }f_{k}(x),\text{\qquad }\Bigl( \limsup_{k\rightarrow \infty
}f_{k}\Bigr) (x):=\limsup_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x)
\end{equation*}
(ver Definición 4.26). El siguiente resultado,
debido a Fatou, da condiciones para la
integrabilidad de $\liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}$.
[Lema de Fatou]
Sea
$f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ una
sucesión de funciones integrables con las siguientes
propiedades:
- existe una función integrable
$g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ tal
que $f_{k}\geq g$ para todo $k\in \mathbb{N}$,
- existe $M\in \mathbb{R}$ tal que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq M\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
Entonces $\liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}$ es integrable y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}\leq
\liminf_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.
\end{equation*}
Fijemos $k\!\in\!\mathbb{N}$. Para cada $j\!\geq\! k$ definimos
$f_{j,k}\!:=\!\min \left\{f_{i}:k\leq i\leq j\right\}$. Entonces, $f_{j,k}$ es
integrable (ver Ejercicio
12.61), $f_{j,k}\geq f_{j+1,k}$
y $f_{j,k}\geq g$ para todo $j\in \mathbb{N}$. Por tanto,
\begin{equation*}
\lim_{j\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j,k}\geq \int_{\mathbb{R}^{n}}g>-\infty .
\end{equation*}
Por el Corolario
13.21, se tiene que $g_{k}:=\inf_{j\geq
k}f_{j,k}$ es integrable y
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}=\inf_{j\geq k}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j,k}\leq
\inf_{j\geq k}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j}\leq M,\label{fat}
\end{equation}
ya que $f_{j}\geq f_{j,k}$. Observa que $g_{k}=\inf_{j\geq
k}f_{j}$. Como $g_{k}\leq g_{k+1}$ para todo $k\in \mathbb{N}$, el
Teorema
13.20 asegura que $\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}$ es
integrable y, usando la desigualdad (\ref{fat}), obtenemos que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\sup_{k\in \mathbb{N}}\inf_{j\geq k}f_{j}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}=\sup_{k\in \mathbb{N}}\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}\leq \sup_{k\in \mathbb{N}}\inf_{j\geq k}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j},
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
El siguiente ejemplo muestra que, en general, no se cumple la igualdad
en el lema de Fatou, ni siquiera cuando la sucesión $(f_{k})$
converge puntualmente.
Existen sucesiones $(f_{k})$ que satisfacen las
hipótesis del lema de Fatou para las cuales se cumple la
desigualdad estricta
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\liminf_{k\rightarrow \infty
}f_{k}\menorque\liminf_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.
\end{equation*}
Sea $f_{k}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ la función
$f_{k}(x):=\max \left\{k-k^{2}\left\vert x-\frac{1}{k}\right\vert ,0\right\}$.
Entonces $f_{k}$ es integrable, $f_{k}\geq 0$ y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}f_{k}=1\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}\text{.}
\end{equation*}
Como $\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x)=0$ para todo $x\in
\mathbb{R}$, se tiene que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}=0\menorque 1=\lim_{k\rightarrow
\infty }\int_{\mathbb{R}}f_{k}.
\end{equation*}
Es decir, en este caso no se da la igualdad.
Uno de los teoremas más importantes de la teoría de
integración es el teorema de convergencia dominada de
Lebesgue. Este teorema da una condición suficiente para la
integrabilidad del límite puntual de una sucesión de
funciones integrables: basta que la sucesión $(f_{k}) $ esté
dominada por una función integrable $g$, es decir, que $\left\vert
f_{k}(x)\right\vert \leq g(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$, para
que $\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}$ sea integrable. Dicha
condición asegura además que podemos intercambiar al
límite por la integral.
[de convergencia dominada]
Sean
$f,f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$
funciones con las siguientes propiedades:
- $f_{k}$ es integrable,
- $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$,
- existe una función integrable
$g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ tal
que, para cada $k\in \mathbb{N}$, se cumple que $\left\vert
f_{k}(x)\right\vert \leq g(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$.
Entonces $f$ es integrable y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.
\end{equation*}
Los conjuntos
\begin{align*}
Z_{-1} &:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:g(x)=\pm \infty \right\}, \\
Z_{0} &:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left( f_{k}(x)\right)
\text{ no converge a }f(x)\right\}, \\
Z_{k} &:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\vert f_{k}(x)\right\vert >g(x)\right\},
\end{align*}
son nulos. Por tanto, $Z:=\cup_{k=-1}^{\infty }Z_{k}$ es nulo. Nota
que $\left\vert f(x)\right\vert \leq g(x)\menorque\infty $ para todo $x\in
\mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$. Reemplazando $f_{k}(x)$, $f(x)$ y
$g(x)$ por $0$ para todo $x\in Z$, podemos suponer sin perder
generalidad que $f_{k}$, $f$ y $g$ toman valores en $\mathbb{R}$, y
que
\begin{equation}
\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x)=f(x)\text{\qquad y\qquad }\left\vert
f_{k}(x)\right\vert \leq g(x)\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}\text{, }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\text{.}\label{fat2}
\end{equation}
Como $f_{k}\geq -g$ y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g=:M\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N},
\end{equation*}
el lema de Fatou (ver Teorema
13.24) asegura que $f$ es
integrable y que
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.\label{cd2}
\end{equation}
Observa que las funciones $-f_{k}$ y $-f$ también satisfacen
(\ref{fat2}). Por tanto,
\begin{equation}
-\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\int_{\mathbb{R}^{n}}-f\leq \liminf_{k\rightarrow
\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}-f_{k}=-\limsup_{k\rightarrow \infty
}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.\label{cd3}
\end{equation}
De (\ref{cd2}) y (\ref{cd3}) se sigue que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \limsup_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}f.
\end{equation*}
En consecuencia,
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}
\end{equation*}
(ver Ejercicio
4.45). Esto concluye la demostración.
Observa que las sucesiones de funciones de los Ejemplos
11.8, 11.12,
13.19 y 13.25
no están dominadas por ninguna función integrable $g$
[Ejercicio 13.58].
La importancia del teorema de convergencia dominada quedará de
manifiesto en las múltiples aplicaciones que veremos en el resto
de estas notas. Concluimos esta sección con dos corolarios
interesantes de los teoremas de convergencia monóntona y
convergencia dominada. En las secciones siguientes daremos algunas
aplicaciones de ellos.
Sean $X_{1}\subset \cdots \subset X_{k}\subset \cdots
$ subconjuntos de $\mathbb{R}^{n}$, $X:=\bigcup_{k=1}^{\infty
}X_{k}$ y $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ una función tal que $f\mid
_{X_{k}}\in \mathfrak{L}(X_{k})$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X_{k}}\left\vert f\right\vert \menorque\infty .
\end{equation*}
Entonces $f\in \mathfrak{L}(X)$, $f\in \mathfrak{L}(X\smallsetminus
X_{k})$ para todo $k\in \mathbb{N}$,
\begin{equation*}
\int_{X}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X_{k}}f\text{\qquad y\qquad }\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X\smallsetminus X_{k}}\left\vert
f\right\vert =0.
\end{equation*}
Como hemos convenido (ver Notación
12.44), identificamos
a $f$ con su extensión trivial a $\mathbb{R}^{n}$. Denotamos por
$f_{k}:=f1_{X_{k}}$. Por hipótesis $f_{k}\in
\mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$. En consecuencia, $\left\vert
f_{k}\right\vert \in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y, como
$\left\vert f_{k}\right\vert \leq \left\vert f_{k+1}\right\vert $ y
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f_{k}\right\vert
=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X_{k}}\left\vert f\right\vert \menorque\infty ,
\end{equation*}
el teorema de convergencia monótona (ver Teorema
13.20)
asegura que $\vert f\vert\! =\!\sup_{k\in
\mathbb{N}}\vert f_{k}\vert $ es integrable.
Ahora, como $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ para todo
$x\in \mathbb{R}^{n}$ y
$\left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq \left\vert f(x)\right\vert $
para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $k\in \mathbb{N}$, el teorema de
convergencia dominada (ver Teorema 13.26) asegura que $f$ es
integrable y que
\begin{equation*}
\int_{X}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X_{k}}f
\end{equation*}
Entonces $f-f_{k}=f1_{X\smallsetminus X_{k}}$ es integrable y, en
consecuencia, $\left\vert f-f_{k}\right\vert $ también lo
es. Puesto que $\left\vert f(x)-f_{k}(x)\right\vert \rightarrow 0$
para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $\left\vert
f(x)-f_{k}(x)\right\vert \leq 2\left\vert f(x)\right\vert $ para
todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $k\in \mathbb{N}$, el teorema de
convergencia dominada asegura que
\begin{equation*}
0=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X}\left\vert f-f_{k}\right\vert
=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X\smallsetminus X_{k}}\left\vert
f\right\vert ,
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
Sea $f_{j}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$
una sucesión de funciones integrables tales que
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f_{j}\right\vert
\menorque\infty .
\end{equation*}
Entonces la serie $\sum_{j=1}^{\infty }f_{j}$ converge c.d. en
$\mathbb{R}^{n}$ a una función integrable
$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ y
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\biggl\vert
f-\sum_{j=1}^{k}f_{j}\biggr\vert =0.
\end{equation*}
Denotemos por
\begin{equation*}
g_{k}:=\sum_{j=1}^{k}\left\vert f_{j}\right\vert \text{\qquad
y\qquad }g:=\sum_{j=1}^{\infty }\left\vert f_{j}\right\vert
=\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}.
\end{equation*}
Como $g_{k}$ es integrable, $g_{k}\leq g_{k+1}$ y
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}=\sum_{j=1}^{\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f_{j}\right\vert \menorque\infty ,
\end{equation*}
el teorema de convergencia monótona asegura que $g$ es
integrable. En consecuencia, por la Proposición
13.11,
existe un subconjunto nulo $Z$ de $\mathbb{R}^{n}$ tal que
\begin{equation*}
g(x):=\sum_{j=1}^{\infty }\left\vert f_{j}(x)\right\vert \menorque\infty
\text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z.
\end{equation*}
Esto implica que la serie $\sum_{j=1}^{\infty }f_{j}(x)$ converge
para todo $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$.
Definimos $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ como
\begin{equation*}
f(x):=
\begin{cases}
\sum_{j=1}^{\infty }f_{j}(x) & \text{si $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$,} \\
0 & \text{si $x\in Z$.}
\end{cases}
\end{equation*}
Entonces $\sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\rightarrow f(x)$ p.c.t. $x\in
\mathbb{R}^{n}$ y
\begin{equation*}
\biggl\vert \sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\biggr\vert \leq g(x)\text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n},\text{ }\forall k\in \mathbb{N}\text{.}
\end{equation*}
El teorema de convergencia dominada asegura entonces que $f$ es
integrable. En consecuencia, $f-\sum_{j=1}^{k}f_{j}$ es integrable
y, como
\begin{equation*}
f(x)-\sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\rightarrow 0\text{ \qquad }\forall x\in
\mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
\biggl\vert f(x)-\sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\biggr\vert \leq \left\vert
f(x)\right\vert +\biggl\vert \sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\biggr\vert \leq
\left\vert f(x)\right\vert +g(x)\text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n},\text{ }\forall k\in \mathbb{N}\text{,}
\end{equation*}
el teorema de convergencia dominada asegura que
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\biggl\vert
f-\sum_{j=1}^{k}f_{j}\biggr\vert =0,
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
La integral de funciones radiales
Sean $0\menorque a\menorque b\menorque\infty $. Considera el conjunto
\begin{equation*}
A^{n}(a,b):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:a\leq \left\Vert x\right\Vert \leq b\right\}.
\end{equation*}
Observa que $A^{n}(a,b)=\left[ \bar{B}^{n}(0,b)\smallsetminus
\bar{B}^{n}(0,a)\right] \cup S^{n-1}(0,a)$. De la Proposición
12.38
y los Ejemplos 12.25 y 13.7 se sigue
entonces que
\begin{equation*}
\vol_{n}(A^{n}(a,b))=(b^{n}-a^{n})\omega_{n},
\end{equation*}
donde $\omega_{n}$ es el volumen de la bola unitaria en
$\mathbb{R}^{n}$.
Se dice que una función $g\colon A^{n}(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ es
radial si su valor depende
únicamente de $\left\Vert x\right\Vert $, es decir, si
$g(x)=f(\left\Vert x\right\Vert )$ donde $f\colon [a,b]\rightarrow
\mathbb{R}$. El siguiente resultado afirma que, si $f$ es continua, la
integral de $g$ se puede calcular en términos de la integral de
Riemann de $f$.
[Integral de una función radial]
Si $f\colon [a,b]\rightarrow
\mathbb{R}$ es una función continua, entonces
\begin{equation*}
\int_{A^{n}(a,b)}f(\left\Vert x\right\Vert )dx=n\omega
_{n}\int_{a}^{b}f(t)t^{n-1}dt.
\end{equation*}
Para cada $k\in \mathbb{N}$ consideramos la partición
$a=a_{0}\menorque a_{1}\menorque\cdots \menorque a_{k}=b$ del intervalo $[a,b]$ tal que
$a_{j}-a_{j-1}=\frac{1}{k}(b-a)$. Por simplicidad denotamos por
$A:=A^{n}(a,b)$ y $A_{j}:=A^{n}(a_{j-1},a_{j})$. Entonces
$A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}$ y $A_{i}\cap A_{j}$ es nulo si
$i\neq j$ (ver Ejemplo
13.7). Por tanto,
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert A_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert
A_{k}\right\vert .
\end{equation*}
El teorema del valor medio aplicado a la función $t\mapsto
t^{n}$ asegura que existe $\xi_{j}\in (a_{j-1},a_{j})$ tal que
\begin{equation*}
a_{j}^{n}-a_{j-1}^{n}=n\xi_{j}^{n-1}(a_{j}-a_{j-1}).
\end{equation*}
Por tanto,
\begin{equation*}
\left\vert A_{j}\right\vert =(a_{j}^{n}-a_{j-1}^{n})\omega_{n}=n\xi
_{j}^{n-1}(a_{j}-a_{j-1})\omega_{n}.
\end{equation*}
Considera la función
\begin{equation*}
g_{k}:=\sum_{j=1}^{k}f(\xi_{j})1_{A_{j}}.
\end{equation*}
Se tiene que
\begin{equation*}
\int_{A}g_{k}=\sum_{j=1}^{k}f(\xi_{j})\left\vert A_{j}\right\vert
=n\omega_{n}\sum_{j=1}^{k}f(\xi_{j})\xi_{j}^{n-1}(a_{j}-a_{j-1}).
\end{equation*}
La suma que aparece en el término de la derecha es una suma de
Riemann para la integral de la función $t\mapsto f(t)t^{n-1}$ en
$[a,b]$. Por tanto, haciendo tender $k\rightarrow \infty $ obtenemos
\begin{equation}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{A}g_{k}=n\omega
_{n}\int_{a}^{b}f(t)t^{n-1}dt.\label{rad2}
\end{equation}
Demostraremos a continuación que
\begin{equation}
\int_{A}f(\left\Vert x\right\Vert )dx=\lim_{k\rightarrow \infty
}\int_{A}g_{k}(x)dx.\label{rad3}
\end{equation}
Como $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$, para cada
$\varepsilon >0$ existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
\left\vert f(t)-f(s)\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{\left\vert A\right\vert
}\text{\qquad si }\left\vert s-t\right\vert \menorque\frac{b-a}{k}\text{ con }k\geq
k_{0}.
\end{equation*}
En consecuencia, dado que $\left\vert f(\left\Vert x\right\Vert
)-g_{k}(x)\right\vert =\sum_{j=1}^{k}\left\vert f(\left\Vert
x\right\Vert )-f(\xi_{j})\right\vert 1_{A_{j}}(x)$ p.c.t. $x\in
A$, se tiene que
\begin{align*}
\int_{A}\left\vert f(\left\Vert x\right\Vert )-g_{k}(x)\right\vert dx
&=\sum_{j=1}^{k}\int_{A_{j}}\left\vert f(\left\Vert x\right\Vert )-f(\xi
_{j})\right\vert dx \\
&\leq \sum_{j=1}^{k}\frac{\varepsilon }{\left\vert A\right\vert }\left\vert
A_{j}\right\vert =\varepsilon \text{\qquad }\forall k\geq k_{0}.
\end{align*}
Esto demuestra (\ref{rad3}). Combinando las identidades (\ref{rad2})
y (\ref{rad3}) se obtiene la identidad deseada.
Si $\gamma \in \mathbb{R}$ y $0\menorque a\menorque b\menorque\infty $, entonces
\begin{equation*}
\int_{A^{n}(a,b)}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=
\begin{cases}
\frac{n}{n+\gamma }\omega_{n}\left( b^{n+\gamma }-a^{n+\gamma }\right) &
\text{si $\gamma +n\neq 0$,} \\
n\omega_{n}\left( \ln b-\ln a\right) & \text{si $\gamma +n=0$.}
\end{cases}
\end{equation*}
Por el teorema anterior,
\begin{equation*}
\int_{A^{n}(a,b)}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=n\omega
_{n}\int_{a}^{b}t^{\gamma +n-1}dt.
\end{equation*}
Calculando la integral de la derecha se obtiene el resultado.
Si $\gamma <0$ la función $x\mapsto \left\Vert x\right\Vert
^{\gamma }$ no está definida en $0$. Sin embargo, como $\left\{0\right\}$ es
un conjunto nulo, podemos extender esta función a una función
$\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ dándole cualquier valor en
$0$, por ejemplo $0$.
Si $\gamma \in \mathbb{R}$ y $r>0$, entonces
- la función $x\mapsto \left\Vert x\right\Vert^{\gamma
}$ es integrable en $\bar{B}^{n}(0,r)$ si y sólo si $\gamma
+n>0$ y, en ese caso,
\begin{equation*}
\int_{\left\Vert x\right\Vert \leq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=\frac{n\omega_{n}}{n+\gamma }r^{n+\gamma }\text{.}
\end{equation*}
- la función $x\mapsto \left\Vert x\right\Vert^{\gamma
}$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}\smallsetminus B^{n}(0,r)$ si y
sólo si $\gamma +n<0$ y, en ese caso,
\begin{equation*}
\int_{\left\Vert x\right\Vert \geq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=-\frac{n\omega_{n}}{n+\gamma }r^{n+\gamma }\text{.}
\end{equation*}
(a): Sea $\varepsilon >0$. Del Ejemplo
13.30 se
sigue que
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{A^{n}(\varepsilon ,r)}\left\Vert
x\right\Vert^{\gamma }dx=
\begin{cases}
\frac{n}{n+\gamma }\omega_{n}r^{n+\gamma } & \text{si $n+\gamma >0$,} \\
\infty & \text{si $n+\gamma \leq 0$.}
\end{cases}
\end{equation*}
Si $n+\gamma >0$, el Corolario
13.27 asegura que $x\mapsto
\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$ es integrable en
$\bar{B}^{n}(0,r)$ y que
\begin{equation*}
\int_{\left\Vert x\right\Vert \leq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma
}dx=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{A^{n}(\frac{1}{k},r)}\left\Vert
x\right\Vert^{\gamma }dx=\frac{n}{n+\gamma }\omega_{n}r^{n+\gamma }\text{.}
\end{equation*}
Supongamos ahora que $\gamma +n\leq 0$. Si $x\mapsto \left\Vert
x\right\Vert^{\gamma }$ fuera integrable en $\bar{B}^{n}(0,r)$,\
se tendría que
\begin{equation*}
\int_{A^{n}(\varepsilon ,r)}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx\leq
\int_{\left\Vert x\right\Vert \leq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma
}dx\menorque\infty \text{\qquad }\forall \varepsilon \in (0,r).
\end{equation*}
Esto es una contradicción.
La demostración de (b) es análoga [Ejercicio 13.68].
Anteriormente probamos que el producto de dos funciones integrables es
integrable si una de ellas es acotada (ver Lema 12.37). El
siguiente ejemplo muestra que esta última hipótesis es
importante.
El producto de funciones integrables no es
necesariamente integrable.
La función $f(x):=\left\Vert x\right\Vert^{-n/2}$ es integrable
en $\bar{B}^{n}(0,r)$, pero $f^{2}(x)=\left\Vert x\right\Vert^{-n}$
no lo es.
La Proposición 13.31 nos permite dar un criterio muy útil
de integrabilidad para funciones $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow
\mathbb{R}$ en términos de su comportamiento al $\infty
$. Empezamos introduciendo el siguiente concepto.
Sea $\Omega $ un subconjunto abierto de
$\mathbb{R}^{n}$. Una función $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$
es localmente integrable en $\Omega $
si, para todo subconjunto
compacto $K$ de $\Omega $, la función $f\mid_{K}\colon K\rightarrow
\mathbb{R}$ es integrable en $K$.
Observa que cualquier función continua
$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es localmente integrable (ver
Ejemplo 12.42). Denotamos por
\begin{equation}
\mathfrak{L}_{\loc}(\Omega ):=\left\{f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}:f\text{ es localmente integrable en }\Omega \right\}.\label{Lloc}
\end{equation}
Una consecuencia del Corolario 13.27 es la siguiente.
Sea $\Omega $ un subconjunto abierto de
$\mathbb{R}^{n}$. Entonces $f\in \mathfrak{L}(\Omega )$ si y
sólo si $f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\Omega )$ y $\int^{\ast
}\left\vert f\right\vert \menorque\infty $.
$\Rightarrow )$: Claramente, si $f\in \mathfrak{L}(\Omega )$,
entonces $f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\Omega )$ y $\int^{\ast
}\left\vert f\right\vert \menorque\infty $.
$\Leftarrow )$: Inversamente, supongamos que $f\in
\mathfrak{L}_{\loc}(\Omega )$ y $\int^{\ast }\left\vert f\right\vert
\menorque\infty $. Para cada $k\in \mathbb{N}$ definimos
\begin{equation*}
\Omega_{k}:=\left\{x\in \Omega :\left\Vert x\right\Vert \menorque k, \text{ dist}(x,\partial \Omega )>\tfrac{1}{k}\right\}.
\end{equation*}
Entonces $\overline{\Omega }_{k}\subset \overline{\Omega }_{k+1}$ y
$\Omega =\cup_{k=1}^{\infty }\overline{\Omega }_{k}$, donde
$\overline{\Omega }_{k}$ es la cerradura de $\Omega_{k}$ en
$\mathbb{R}^{n}$. Como $\overline{\Omega }_{k}$ es compacto, se
tiene que $f\mid_{\overline{\Omega }_{k}}\in
\mathfrak{L}(\overline{\Omega }_{k})$ y
\begin{equation*}
\int_{\overline{\Omega }_{k}}\left\vert f\right\vert \leq \int^{\ast
}\left\vert f\right\vert \menorque\infty \text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
Por el Corolario 13.27, $f\in \mathfrak{L}(\Omega )$.
[Criterio de integrabilidad]
Si $f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n})$ y existen $\varepsilon
>0$, $M\geq 0$ y $r>0$ tales que
\begin{equation*}
\left\vert f(x)\right\vert \leq \frac{M}{\left\Vert x\right\Vert
^{n+\varepsilon }}\text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus
B^{n}(0,r),
\end{equation*}
entonces $f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$.
Como $\left\vert f\right\vert =\left\vert f\right\vert
1_{\bar{B}^{n}(0,r)}+\left\vert f\right\vert
1_{\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \bar{B}^{n}(0,r)}$, se tiene que
\begin{align*}
\int^{\ast }\left\vert f\right\vert &\leq \int^{\ast }\left\vert
f\right\vert 1_{\bar{B}^{n}(0,r)}+\int^{\ast }\left\vert f\right\vert 1_{\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \bar{B}^{n}(0,r)} \\
&\leq \int_{\left\Vert x\right\Vert \leq r}\left\vert f\right\vert
+M\int_{\left\Vert x\right\Vert \geq r}\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert
^{n+\varepsilon }}dx\menorque\infty .
\end{align*}
La existencia de las dos últimas integrales se sigue de que
$f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n})$ y de la
Proposición
13.31, respectivamente. La
Proposición
13.34 asegura que
$f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$.
El teorema de cambio de variable
El teorema de cambio de variable para funciones continuas con soporte
compacto (ver Teorema 11.25) se generaliza a funciones integrables
como sigue.
[de cambio de variable]
Sean $\Omega $ y
$\Omega^{\prime }$ subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^{n}$ y
$\varphi \colon \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$ un difeomorfismo de
clase $\mathcal{C}^{1}$. Entonces, $f\in \mathfrak{L}(\Omega
^{\prime })$ si y sólo si $(f\circ \varphi )\left\vert \det
\varphi^{\prime }\right\vert \in \mathfrak{L}(\Omega )$ y, en tal
caso, se cumple que
\begin{equation*}
\int_{\Omega }f(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert
dx=\int_{\Omega^{\prime }}f(y)dy.
\end{equation*}
Reduciremos la demostración de este teorema al caso en el que
$f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega^{\prime })$. Para ello requerimos el
siguiente resultado.
[Aproximación por funciones en
$\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$]
Si $\Omega $ es abierto en $\mathbb{R}^{n}$ y $f\in
\mathfrak{L}(\Omega )$ entonces existe una sucesión $f_{k}\in
\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\Omega }\left\vert f-f_{k}\right\vert =0.
\end{equation*}
Sea $\varepsilon >0$. Basta probar que existe $f_{\varepsilon }\in
\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que
\begin{equation*}
\int_{\Omega }\left\vert f-f_{\varepsilon }\right\vert \menorque\varepsilon .
\end{equation*}
Como convenimos (ver Notación
12.44), identificamos a $f$
con su extensión trivial a $\mathbb{R}^{n}$. Por la
Proposición
12.31 existe $g\in
\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f-g\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{3}.\label{apro1}
\end{equation}
Considera la sucesión no decreciente de subconjuntos abiertos y
acotados de $\Omega $,
\begin{equation*}
\Omega_{k}:=\left\{x\in \Omega :\left\Vert x\right\Vert \menorque k, \text{ dist}(x,\partial \Omega )>\tfrac{1}{k}\right\}.
\end{equation*}
Nota que $ \Omega =\cup_{k=1}^{\infty }\Omega_{k}$. Como $\Omega
_{k}$ es integrable se tiene que$ g\mid_{\Omega_{k}}\in
\mathfrak{L}(\Omega_{k})$ (ver Proposición
12.43), y
como además
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\Omega_{k}}\left\vert g\right\vert \leq
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert g\right\vert \menorque\infty ,
\end{equation*}
el Corolario
13.27 asegura que $g\in \mathfrak{L}(\Omega
\smallsetminus \Omega_{k})$ y que
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\Omega \smallsetminus \Omega
_{k}}\left\vert g\right\vert =0.
\end{equation*}
Escogemos $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation}
\int_{\Omega \smallsetminus \Omega_{k_{0}}}\left\vert g\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{3}.\label{apro2}
\end{equation}
Por simplicidad escribimos $\Omega_{0}:=\Omega_{k_{0}}$. Sea
$M:=\max_{x\in \overline{\Omega }_{0}}\left\vert g(x)\right\vert $.
Como $1_{\Omega_{0}}\in S_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, existe $h\in
\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $h\leq 1_{\Omega_{0}}$
y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( 1_{\Omega_{0}}-h\right) \menorque\frac{\varepsilon }{3M}.
\end{equation*}
Reemplazando $h$ por $\max \left\{0,h\right\}$, podemos suponer
además que $h\geq 0$. Entonces $h(x)=0$ para todo
$x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega_{0}$ y, en consecuencia,
$gh\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$. Más aún, usando el
Ejercicio
13.50 obtenemos
\begin{align*}
\int_{\Omega }\left\vert f-gh\right\vert &\leq \int_{\Omega }\left\vert
f-g\right\vert +\int_{\Omega \smallsetminus \Omega_{0}}\left\vert
g-gh\right\vert +\int_{\Omega_{0}}\left\vert g-gh\right\vert \\
&\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f-g\right\vert +\int_{\Omega
\smallsetminus \Omega_{0}}\left\vert g\right\vert +M\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( 1_{\Omega_{0}}-h\right) \menorque\varepsilon .
\end{align*}
Esto concluye la demostración.
Requerimos también información sobre la imagen de un conjunto
nulo bajo una función de clase $\mathcal{C}^{1}$. Se cumple lo
siguiente.
Si $\Omega $ es un subconjunto abierto de
$\mathbb{R}^{n}$ y $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es
de clase $\mathcal{C}^{1}$ entonces, para todo subconjunto nulo $Z$
de $\Omega , $el conjunto $\varphi (Z):=\left\{\varphi (z):z\in Z\right\}$ es
nulo.
Sea $\Omega_{k}:=\left\{x\in \Omega :\left\Vert x\right\Vert \menorque k,\:
\dist(x,\partial \Omega )>\frac{1}{k}\right\}$. Dado que la unión
numerable de conjuntos nulos es un conjunto nulo, basta probar que
$\varphi (Z\cap \Omega_{k})$ es nulo para cada $k\in \mathbb{N}$.
Fijemos $k\in \mathbb{N}$ y $\varepsilon >0$. Tomemos una familia
numerable de cubos $Q_{j}$, $j\in \mathbb{N}$, tales que
\begin{equation*}
Z\cap \Omega_{k}\subset \bigcup_{j\in \mathbb{N}}Q_{j}\subset
\Omega_{k}\qquad \text{y}\qquad \sum_{j=1}^{\infty }\left\vert
Q_{j}\right\vert \menorque\varepsilon .
\end{equation*}
Ésta se obtiene escogiendo un abierto $U$ tal que
$Z\cap \Omega _{k}\subset U\subset \Omega_{k}$ y
$\left\vert U\right\vert \menorque\varepsilon $ (ver
Proposición 13.8) y expresándolo como una unión de cubos,
$U=\bigcup_{j\in \mathbb{N}}Q_{j}$, tales que
int$\left( Q_{i}\right) \cap $ int$\left( Q_{j}\right) =\emptyset $
si $i\neq j$ (ver Ejercicio 13.45).
Como $\overline{\Omega }_{k}$ es compacto y $\varphi^{\prime
}\colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})$ es
continua, se tiene que
\begin{equation*}
M_{k}:=\sup_{x\in \overline{\Omega }_{k}}\left\Vert \varphi^{\prime
}(x)\right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})}\menorque\infty .
\end{equation*}
Del teorema del valor medio (ver Corolario 9.17) y las
desigualdades (\ref{compnormas}) se sigue entonces que, para
cualesquiera $x,y\in Q_j$,
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi (x)-\varphi (y)\right\Vert_{\infty }\leq \left\Vert
\varphi (x)-\varphi (y)\right\Vert \leq M_{k}\left\Vert x-y\right\Vert \leq
M_{k}\sqrt{n}\left\Vert x-y\right\Vert_{\infty }.
\end{equation*}
Esto implica que, si $Q_{j}$ es un cubo de semilado $\delta $,
entonces $\varphi (Q_{j})$ está contenido en un cubo de semilado
$M_{k}\sqrt{n}\delta $. Por tanto,
\begin{equation*}
\left\vert \varphi (Q_{j})\right\vert \leq M_{k}^{n}n^{n/2}\left\vert
Q_{j}\right\vert \qquad \forall j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
Nota que $\varphi (Q_{j})$ es compacto y, por tanto, integrable. Se
tiene entonces que
\begin{equation*}
\Biggl\vert \bigcup_{j=1}^{m}\varphi (Q_{j})\Biggr\vert \leq
\sum_{j=1}^{m}\left\vert \varphi (Q_{j})\right\vert \leq
M_{k}^{n}n^{n/2}\sum_{j=1}^{m}\left\vert Q_{j}\right\vert \leq
M_{k}^{n}n^{n/2}\varepsilon \qquad \forall m\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
El Corolario 13.22 asegura que $\bigcup_{j=1}^{\infty
}\varphi (Q_{j})$ es integrable y que
\begin{equation*}
\Biggl\vert \bigcup_{j=1}^{\infty }\varphi (Q_{j})\Biggr\vert
=\lim_{m\rightarrow \infty }\Biggl\vert \bigcup_{j=1}^{m}\varphi
(Q_{j})\Biggr\vert \leq M_{k}^{n}n^{n/2}\varepsilon .
\end{equation*}
Como $\varphi (Z\cap \Omega_{k})\subset \bigcup_{j=1}^{\infty
}\varphi (Q_{j})$, concluimos que
\begin{equation*}
\int^{\ast }1_{\varphi (Z\cap \Omega_{k})}\leq M_{k}^{n}n^{n/2}\varepsilon
\qquad \forall \varepsilon >0.
\end{equation*}
Esto prueba que $\varphi (Z\cap \Omega_{k})$ es nulo.
Estamos listos para demostrar el teorema de cambio de variable.
[Demostración del Teorema
13.36.] Sea $f\in
\mathfrak{L}(\Omega^{\prime })$. Por la Proposición
13.37
existe una sucesión $\left( f_{k}\right) $ en
$\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega^{\prime })$ tal que
\begin{equation}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\Omega^{\prime }}\left\vert
f-f_{k}\right\vert =0.\label{tcv1}
\end{equation}
Reemplazando a $(f_{k})$ por una subsucesión, podemos suponer
además que existe un subconjunto nulo $Z$ de $\mathbb{R}^{n}$ tal
que
\begin{equation*}
f_{k}(y)\rightarrow f(y)\qquad \forall y\in \Omega^{\prime }\smallsetminus Z
\end{equation*}
(ver Proposición
13.13). Denotemos por
\begin{equation*}
g_{k}:=(f_{k}\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert
\qquad \text{y}\qquad g:=(f\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime
}\right\vert .
\end{equation*}
Entonces, $g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$,
\begin{equation*}
g_{k}(x)\rightarrow g(x)\qquad \forall x\in \Omega \smallsetminus \varphi
^{-1}(Z)
\end{equation*}
y $\varphi^{-1}(Z)$ es nulo (ver Lema
13.38). El Teorema
11.25 asegura que
\begin{equation}
\int_{\Omega }g_{k}=\int_{\Omega }(f_{k}\circ \varphi )\left\vert \det
\varphi^{\prime }\right\vert =\int_{\Omega^{\prime }}f_{k},\label{tcv2}
\end{equation}
y que
\begin{align*}
\int_{\Omega }\left\vert g_{k}-g_{j}\right\vert &=\int_{\Omega }\left(
\left\vert f_{k}-f_{j}\right\vert \circ \varphi \right) \left\vert \det
\varphi^{\prime }\right\vert =\int_{\Omega^{\prime }}\left\vert
f_{k}-f_{j}\right\vert \\
&\leq \int_{\Omega^{\prime }}\left\vert f_{k}-f\right\vert +\int_{\Omega
^{\prime }}\left\vert f-f_{j}\right\vert .
\end{align*}
De esta última desigualdad y la afirmación (\ref{tcv1}) se
sigue que existen $k_{1}\menorque\cdots \menorque k_{j}\menorque k_{j+1}\menorque\cdots $ tales que
\begin{equation*}
\int_{\Omega }\left\vert g_{k_{j+1}}-g_{k_{j}}\right\vert \menorque\frac{1}{2^{j}}.
\end{equation*}
En consecuencia, definiendo $g_{k_{0}}:=0$, concluimos que
\begin{equation*}
\sum_{j=0}^{\infty }\int_{\Omega }\left\vert
g_{k_{j+1}}-g_{k_{j}}\right\vert \menorque\infty ,
\end{equation*}
Observa que
\begin{equation*}
g_{k_{m}}=\sum_{j=0}^{m-1}(g_{k_{j+1}}-g_{k_{j}})
\end{equation*}
y que
\begin{equation*}
g(x)=\sum_{j=0}^{\infty }(g_{k_{j+1}}(x)-g_{k_{j}}(x))\text{\qquad }\forall x\in \Omega \smallsetminus \varphi^{-1}(Z).
\end{equation*}
El Corolario
13.28 asegura entonces que $g$ es integrable
y que
\begin{equation*}
\lim_{m\rightarrow \infty }\int_{\Omega }\left\vert g-g_{k_{m}}\right\vert
=0.
\end{equation*}
Por tanto, usando las identidades (\ref{tcv1}) y (\ref{tcv2}),
concluimos que
\begin{equation*}
\int_{\Omega }g=\lim_{m\rightarrow \infty }\int_{\Omega
}g_{k_{m}}=\lim_{m\rightarrow \infty }\int_{\Omega^{\prime
}}f_{k_{m}}=\int_{\Omega^{\prime }}f,
\end{equation*}
que es la identidad deseada.
Finalmente observa que, si $g:=(f\circ \varphi )\left\vert \det
\varphi^{\prime }\right\vert $, entonces
\begin{equation*}
f=(g\circ \varphi^{-1})\left\vert \det \left( \varphi^{-1}\right)^{\prime
}\right\vert .
\end{equation*}
En consecuencia, $f\in \mathfrak{L}(\Omega^{\prime })$ si $g\in
\mathfrak{L}(\Omega )$. Esto concluye la demostración.
Veamos una aplicación del teorema anterior.
[Coordenadas polares]
$f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{2})$ si y sólo si la función
$(r,\theta )\mapsto rf(r\cos \theta ,r\sen \theta )$ es integrable
en $[0,\infty )\times [0,2\pi ]$ y, en ese caso,
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{2}}f=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\infty }rf(r\cos \theta
,r\sen \theta )\,dr\,d\theta .
\end{equation*}
Sean $\Omega :=(0,\infty )\times (0,2\pi )$ y $\Omega^{\prime
}:=\mathbb{R}^{2}\smallsetminus \left\{(x,0):x\geq 0\right\}$. La función
$\varphi \colon \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$ dada por $\varphi
(r,\theta ):=(r\cos \theta ,r\sen \theta )$ es un difeomorfismo de
clase $\mathcal{C}^{1}$ y $\left\vert \det \varphi^{\prime
}(r,\theta )\right\vert =r$. Por el Teorema
13.36, $f\in
\mathfrak{L}(\Omega^{\prime })$ si y sólo si $(r,\theta
)\mapsto rf(\varphi (r,\theta ))$ es integrable en $\Omega $, y
\begin{equation*}
\int_{\Omega^{\prime }}f=\int_{\Omega }rf(\varphi (r,\theta ))\,dr\,d\theta
.
\end{equation*}
Como $\left( [0,\infty )\times [0,2\pi ]\right)
\smallsetminus \Omega $ y $ \mathbb{R}^{2}\smallsetminus \Omega
^{\prime }$ son subconjuntos nulos de $\mathbb{R}^{2}$, concluimos
que $f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{2})$ si y sólo si $(r,\theta
)\mapsto rf(r\cos \theta ,r\sen \theta )$ es integrable en
$[0,\infty )\times [0,2\pi ]$ y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{2}}f=\int_{\Omega^{\prime }}f=\int_{\Omega }rf(\varphi
(r,\theta ))\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\infty }rf(r\cos \theta
,r\sen \theta )\,dr\,d\theta ,
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
Ejercicios
Prueba que $[0,1]\smallsetminus \mathbb{Q}$ es integrable y calcula
su medida en $\mathbb{R}$.
El objetivo de este ejercicio es mostrar la existencia de
subconjuntos nulos no numerables de $[0,1]$. El conjunto de
Cantor $\mathfrak{C}$ se construye como
sigue: Al intervalo $[0,1]$ le quitamos su tercio medio
$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ y denotamos al conjunto restante por
\begin{equation*}
\mathfrak{C}_{1}:=[0,1]\smallsetminus \left( \tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right) .
\end{equation*}
A cada uno de los dos subintervalos cerrados de $\mathfrak{C}_{1}$
le quitamos su tercio medio y denotamos al conjunto restante por
\begin{equation*}
\mathfrak{C}_{2}:=\mathfrak{C}_{1}\smallsetminus \left( \left( \tfrac{1}{9},\tfrac{2}{9}\right) \cup \left( \tfrac{7}{9},\tfrac{8}{9}\right) \right) .
\end{equation*}
Continuando de esta manera, a cada uno de los $2^{k}$ subintervalos
cerrados de $\mathfrak{C}_{k}$ le quitamos su tercio medio y
denotamos al conjunto restante por $\mathfrak{C}_{k+1}$. Definimos
\begin{equation*}
\mathfrak{C}:=\bigcap_{k=1}^{\infty }\mathfrak{C}_{k}.
\end{equation*}
Prueba que $\mathfrak{C}$ es nulo y no es numerable.
Para cada $\varepsilon >0$, define de manera explícita un
subconjunto abierto integrable $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ tal que
$\mathbb{Q}^{n}\subset \Omega $ y $\left\vert \Omega \right\vert
\menorque\varepsilon $.
- Prueba que, si $Z$ es un subconjunto nulo de
$\mathbb{R}^{n}$, entonces $\mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$ es
denso en $\mathbb{R}^{n}$.
- ¿Es cierto que, si un subconjunto
integrable $X$ de $\mathbb{R}^{n}$ tiene medida positiva entonces
int$(X)\neq \emptyset $?
Prueba que $Z$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$ si y
sólo si $Z\cap Q$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$\
para todo rectángulo $Q\subset \mathbb{R}^{n}$.
Un
cubo es un rectángulo
$[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{N},b_{N}]$ tal que
$b_{i}-a_{i}=b_{1}-a_{1}\neq 0$ para todo $i=2,\dots,N$.
- Prueba que todo subconjunto abierto $\Omega $ de
$\mathbb{R}^{n}$ es la unión de una familia numerable de cubos
$Q_{k}$, $k\in \mathbb{N}$, tales que int$\left(
Q_{j}\right) \cap $ int$\left( Q_{k}\right) =\emptyset $
si $j\neq k$.
- Sean $\Omega $ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$
y $Z\subset \Omega $. Prueba que $Z$ es un subconjunto nulo de
$\mathbb{R}^{n}$ si y sólo si para cada $\varepsilon >0$
existe una familia numerable de cubos $Q_{k}$, $k\in \mathbb{N}$,
tales que
\begin{equation*}
Z\subset \bigcup_{k\in \mathbb{N}}Q_{k}\subset \Omega \text{\qquad
y\qquad }\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert Q_{k}\right\vert
\menorque\varepsilon .
\end{equation*}
(Sugerencia: Usa la Proposición 13.8 y el
inciso (a).)
- Prueba que, si $1\leq m\menorque n$, $ X$ es una unión
numerable de subconjuntos compactos de $\mathbb{R}^{m}$ y $\
f\colon X\rightarrow \mathbb{R}^{n-m}$ es una función continua,
entonces la gráfica de $f$,
\begin{equation*}
\graf(f):=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{n}:x\in X\text{, }y=f(x)\right\},
\end{equation*}
es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$.
- Prueba que, si $\Omega $ es abierto en $\mathbb{R}^{m}$ y
$f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n-m}$ es continua, entonces la
gráfica de $f$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$.
- Prueba que todo subespacio vectorial propio de
$\mathbb{R}^{n}$ es nulo.
Prueba que toda subvariedad $M$ de $\mathbb{R}^{n}$
(ver Definición 10.10) es un subconjunto nulo de
$\mathbb{R}^{n}$.
(Sugerencia: Usa el Teorema 10.7.)
Prueba que, si $\Omega $ es un subconjunto abierto de
$\mathbb{R}^{n}$, $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es de
clase $\mathcal{C}^{1}$ y $m>n$, entonces $\varphi (\Omega )$ es un
subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{m}$.
[Lema de Sard]
Sean $\Omega $ un subconjunto abierto de
$\mathbb{R}^{n}$ y $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una
función de clase $\mathcal{C}^{1}$. El conjunto
\begin{equation*}
K:=\left\{x\in \Omega :\det \varphi^{\prime }(x)=0\right\}
\end{equation*}
se llama el
conjunto de puntos críticos de $\varphi $,
su imagen $\varphi (K)$ se llama el
conjunto de valores
críticos de $\varphi $, y $\mathbb{R}^{n}\smallsetminus
\varphi (K)$ se llama el
conjunto de valores regulares de
$\varphi $. Demuestra las siguientes afirmaciones:
- El conjunto de valores críticos de $\varphi $ es un
subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$.
- El conjunto de valores regulares de $\varphi $ es denso
en $\mathbb{R}^{n}$.
Sean $X_{1},X_{2}$ subconjuntos integrables de
$\mathbb{R}^{n}$ tales que $X_{1}\cap X_{2}$ es nulo. Denotamos por
$X:=X_{1}\cup X_{2}$. Prueba que $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\pm \infty \right\}$ es integrable en $X$ si y sólo si $f\mid
_{X_{1}}$ es integrable en $X_{1}$ y $f\mid_{X_{2}}$ es integrable
en $X_{2}$ y que, en ese caso,
\begin{equation*}
\int_{X}f=\int_{X_{1}}f+\int_{X_{2}}f.
\end{equation*}
Considera la familia numerable de intervalos
cerrados
\begin{equation*}
\left[ 0,\tfrac{1}{2}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{1}{2},1\right] ,\text{ }\left[ 0,\tfrac{1}{3}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{2}{3},1\right] ,\text{ }\left[ 0,\tfrac{1}{4}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{3}{4},1\right] ,\text{ }\ldots
\end{equation*}
Sea $f_{k}$ la función característica del $k$-ésimo
intervalo de la lista.
- Prueba que
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}}\left\vert f_{k}\right\vert =0.
\end{equation*}
- Prueba que $(f_{k}(x))$ no converge para ningún $x\in
[0,1]$.
- Exhibe una subsucesión $(f_{k_{j}})$ que converge a
$0$ c.d. en $\mathbb{R}$.
Prueba que si $Z$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{m}$
entonces, para cualquier subconjunto integrable $X$ de
$\mathbb{R}^{n}$, el conjunto $Z\times X$ es un subconjunto nulo de
$\mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^{n}$.
Considera la función $f\colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$
dada por
\begin{equation*}
f(x,y):=
\begin{cases}
\frac{x^{2}-y^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right)^{2}} & \text{si $(x,y)\in
(0,1)^{2}$,} \\
0 & \text{si $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\smallsetminus (0,1)^{2}$.}
\end{cases}
\end{equation*}
- Prueba que la función $x\mapsto f(x,y)$ es integrable
en $\mathbb{R}$ para todo $y\in \mathbb{R}$, la función
$y\mapsto f(x,y)$ es integrable en $\mathbb{R}$ para todo $x\in
\mathbb{R}$, y que las integrales
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}\biggl( \int_{\mathbb{R}}f(x,y)dx\biggr) dy,\text{\qquad }\int_{\mathbb{R}}\biggl( \int_{\mathbb{R}}f(x,y)dy\biggr) dx,
\end{equation*}
existen y son distintas.
- ¿Es $f$ una función integrable en
$\mathbb{R}^{2}$?
Considera la función $f\colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$
dada por
\begin{equation*}
f(x,y):=
\begin{cases}
y^{-2} & \text{si $0\menorque x\menorque y\menorque 1$,} \\
-x^{-2} & \text{si $0\menorque y\menorque x\menorque 1$,} \\
0 & \text{en los otros casos},
\end{cases}
\end{equation*}
y realiza un análisis análogo al del ejercicio anterior.
Usando el
Ejercicio 12.62 y el teorema de
Fubini prueba que, si $Q$ es un rectángulo en $\mathbb{R}^{n}$ y
$f\colon Q\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces la integral de
Lebesgue de $f$
(Definición 12.41) coincide con la
integral dada por la
Definición 11.3.
Prueba que, si $X_{k}$ es un subconjunto integrable
de $\mathbb{R}^{n}$ y
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert X_{k}\right\vert \menorque\infty ,
\end{equation*}
entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty }X_{k}$ es un subconjunto integrable
de $\mathbb{R}^{n}$ y
\begin{equation*}
\left\vert \bigcup_{k=1}^{\infty }X_{k}\right\vert \leq
\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert X_{k}\right\vert .
\end{equation*}
Prueba que, si $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm
\infty \right\}$ es integrable, $f_{k}\geq 0$ para todo $k\in \mathbb{N}$,
y
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\menorque\infty ,
\end{equation*}
entonces $\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}$ es integrable y
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{k=1}^{\infty
}f_{k}=\sum_{k=1}^{\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.
\end{equation*}
Prueba, sin usar el teorema de convergencia
dominada, que para las sucesiones de funciones $(f_{k})$ de los
Ejemplos 11.8, 11.12, 13.19,y 13.25
no existe ninguna función integrable
$g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty
\right\}$
tal que $\left\vert f_{k}\right\vert \leq g$ c.d. en
$\mathbb{R}^{n}$ para todo $k\in \mathbb{N}$.
Prueba que, si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es
integrable, entonces
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}\smallsetminus B^{n}(0,k)}f=0.
\end{equation*}
[Dependencia continua de un parámetro]
\label{dcp}Sean $Y\subset \mathbb{R}^{m}$, $y_{0}\in Y$ y
$f\colon \mathbb{R}^{n}\times Y\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$
con las siguientes propiedades:
- Para cada $y\in Y$, la función $x\mapsto f(x,y)$ es
integrable en $\mathbb{R}^{n}$.
- P.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$, la función $y\mapsto
f(x,y)$ es continua en $y_{0}$.
- Existe una función integrable
$g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ tal que,
para todo $y\in Y$,
\begin{equation*}
\left\vert f(x,y)\right\vert \leq g(x)\text{\qquad c.d. en }\mathbb{R}^{n}.
\end{equation*}
Prueba que la función $F\colon Y\rightarrow \mathbb{R}$, dada por
\begin{equation*}
F(y):=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x,y)dx,
\end{equation*}
es continua en $y_{0}$.
[Derivación bajo el signo de integral]
\label{dbi}Sea $f\colon \mathbb{R}^{n}\times (a,b)\rightarrow
\mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ una función con las siguientes
propiedades:
- Para cada $t\in (a,b)$, la función $x\mapsto f(x,t)$
es integrable en $\mathbb{R}^{n}$.
- P.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$, la función $t\mapsto
f(x,t)$ toma valores en $\mathbb{R}$ y es diferenciable en
$(a,b)$.
- Existe una función integrable
$g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ tal que,
para todo $t\in (a,b)$,
\begin{equation*}
\left\vert \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\right\vert \leq g(x)\text{\qquad c.d. en }\mathbb{R}^{n}.
\end{equation*}
Prueba que la función $F\colon (a,b)\rightarrow \mathbb{R}$, dada por
\begin{equation*}
F(t):=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x,t)dx,
\end{equation*}
es diferenciable en $(a,b)$ y que
\begin{equation*}
F^{\prime }(t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx.
\end{equation*}
Sea $f\in
\mathcal{C}_{c}^{1}(\mathbb{R}^{3}):=\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{3})\cap
\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{3})$. Prueba que la función
$F\colon \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$, dada por
\begin{equation*}
F(x):=\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{f(y)}{\left\Vert y-x\right\Vert }dy,
\end{equation*}
es de clase $\mathcal{C}^{1}$ y que sus derivadas parciales
están dadas por
\begin{equation*}
\frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x):=\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{1}{\left\Vert y-x\right\Vert }\frac{\partial f}{\partial y_{i}}(y)dy,\text{\qquad }i=1,2,3.
\end{equation*}
Sea $\left\{X_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ una familia de subconjuntos
integrables de $\mathbb{R}^{n}$ tales que $X_{j}\cap X_{i}$ es nulo
si $i\neq j$. Denotamos por $X:=\cup_{k=1}^{\infty }X_{k}$. Si
$f\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ es una función tal que $f\mid
_{X_{k}}\in \mathfrak{L}(X_{k})$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y
existe $M\in \mathbb{R}$ tal que
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{k}\int_{X_{j}}\left\vert f\right\vert \leq M\text{\qquad
}\forall k\in \mathbb{N},
\end{equation*}
prueba que $f\in \mathfrak{L}(X)$ y
\begin{equation*}
\int_{X}f=\sum_{j=1}^{\infty }\int_{X_{j}}f.
\end{equation*}
Prueba que, si $f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ es integrable,
$X_k$ es un subconjunto integrable de $\mathbb{R}^n$ y
$\lim_{k\to\infty}\vert X_k\vert=0$, entonces
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty} \int_{X_k} f=0.
\end{equation*}
Prueba que, para todo $r>0$, $1\leq i\leq n$,
\begin{equation*}
\int_{\bar{B}^{n}(0,r)}x_{i}^{2}\text{ }dx=\frac{\omega_{n}}{n+2}r^{n+2}.
\end{equation*}
(Sugerencia: Observa que, por la invariancia de la integral
bajo transformaciones ortogonales,
\begin{equation*}
\int_{\bar{B}^{n}(0,r)}x_{i}^{2}\text{ }dx=\int_{\bar{B}^{n}(0,r)}x_{j}^{2}\text{ }dx,
\end{equation*}
y calcula
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}\int_{\bar{B}^{n}(0,r)}x_{i}^{2}\text{ }dx.\text{)}
\end{equation*}
Para $0\leq a\menorque b\menorque\infty $ y $n$ par, calcula la integral
\begin{equation*}
\int_{A^{n}(a,b)}\exp (-\left\Vert x\right\Vert^{2})dx.
\end{equation*}
Para $0\menorque a\menorque b\menorque\infty $, calcula la integral
\begin{equation*}
\int_{A^{n}(a,b)}\ln (\left\Vert x\right\Vert )dx.
\end{equation*}
Sea $r>0$. Prueba que la función $x\mapsto
\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$ es integrable en
$\mathbb{R}^{n}\smallsetminus B^{n}(0,r)$ si y sólo si $\gamma
+n<0$ y, en ese caso,
\begin{equation*}
\int_{\left\Vert x\right\Vert \geq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=-\frac{n\omega_{n}}{n+\gamma }r^{n+\gamma }\text{.}
\end{equation*}
Prueba que la función $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$,
$ f(x):=\exp (-\left\Vert x\right\Vert^{2})$, es integrable en
$\mathbb{R}^{n} $ y que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp (-\left\Vert x\right\Vert^{2})dx=\pi^{n/2}.
\end{equation*}
¿Para qué números $\gamma >0$ es $x\mapsto
\left( \frac{1}{1-\left\Vert x\right\Vert^{2}}\right)^{\gamma }$
integrable en $B^{n}(0,1)$? Calcula la integral
\begin{equation*}
\int_{\left\Vert x\right\Vert \menorque 1}\left( \frac{1}{1-\left\Vert x\right\Vert
^{2}}\right)^{\gamma }dx
\end{equation*}
para tales $\gamma $.
Sean $a_{1},\dots,a_{m}$ puntos distintos en $\mathbb{R}^{n}$,
$m>n>1$, y sea $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, \
\begin{equation*}
f(x):=\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\left\Vert x-a_{i}\right\Vert }.
\end{equation*}
Prueba que $f$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$.
Prueba que, si $f\in
\mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{m})$ y $g\in
\mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n-m})$ con $1\leq m\menorque n$, entonces
$f\odot g\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n})$, donde $(f\odot
g)(x,y):=f(x)g(y)$ si $(x,y)\in \mathbb{R}^{m}\times
\mathbb{R}^{n-m}\equiv \mathbb{R}^{n}$.
[Coordenadas esféricas]
Sea $\varphi \colon [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi
]\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ la función $\varphi (r,\theta ,\phi
):=(r\sen \theta \cos \phi ,r\sen \theta \sen \phi ,r\cos \theta )$.
Entonces $f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{3})$ si y sólo si la
función $(r,\theta ,\phi )\mapsto f(\varphi (r,\theta ,\phi
))r^{2}\sen \theta $ es integrable en $[0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]$ y, en ese caso,
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{3}}f=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\infty
}f(r\sen \theta \cos \phi ,r\sen \theta \sen \phi ,r\cos \theta )r^{2}\sen
\theta \,dr\,d\theta \,d\phi \text{.}
\end{equation*}
[Coordenadas cilíndricas]
Enuncia y demuestra el teorema de cambio de variable para el cambio
de coordenadas $(r,\theta ,z)\mapsto (r\cos \theta ,r\sen \theta
,z)$.
Usando coordenadas esféricas calcula el volumen de la bola\break
$\bar{B}_{3}(0,r):=\left\{x\in \mathbb{R}^{3}:\left\Vert x\right\Vert
\leq r\right\}$.
