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Teoremas fundamentales de la teoría de integración

En este capítulo expondremos los teoremas fundamentales de la teoría de integración de Lebesgue.

El cálculo efectivo de integrales múltiples depende en gran medida de la posibilidad de reducirlo al cálculo sucesivo de integrales en dimensiones menores. El teorema de Fubini afirma que la integral de una función integrable $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ se puede obtener integrando coordenada a coordenada, es decir, si $1\leq m\menorque n$ entonces $\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}f(x,y)dx\biggr) dy. \end{equation*}$ Este resultado requiere de ciertas precauciones ya que la función $x\mapsto f(x,y)$ puede no ser integrable para ciertas $y\in \mathbb{R}^{n-m}$ . El teorema de Fubini afirma que el conjunto de tales $y$ ’s tiene medida $0$ .

Los conjuntos integrables de medida $0$ se llaman conjuntos nulos. Veremos que si dos funciones coinciden fuera de un conjunto nulo y una de ellas es integrable, entonces la otra lo es y las integrales de ambas coinciden. Es decir, podemos sustituir de manera arbitraria los valores de una función en un conjunto nulo sin que esto altere ni la integrabilidad de la función ni el valor de su integral.

Estudiaremos también la posibilidad de intercambiar al límite por la integral, es decir, de obtener la integral del límite puntual de una sucesión de funciones integrables como el límite de las integrales de dichas funciones. Este es un asunto de gran relevancia en el análisis matemático y tiene múltiples aplicaciones. La ausencia de buenas condiciones que permitan este intercambio es el motivo que llevó a sustituir la integral de Riemann por la integral de Lebesgue. Para la integral de Riemann la posibilidad de intercambiar al límite por la integral está estrechamente ligada a la convergencia uniforme mientras que, para la integral de Lebesgue, los teoremas que permiten este intercambio contienen hipótesis considerablemente más débiles.

Los dos teoremas fundamentales sobre convergencia en la teoría de integración de Lebesgue son el teorema de convergencia monótona de Levi y el teorema de convergencia dominada de Lebesgue. El primero afirma que, si la sucesión de funciones integrables $(f_{k})$ es no decreciente y el supremo de sus integrales está acotado, entonces su límite puntual $f$ es integrable y $\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \label{inter} \end{equation}$ El segundo afirma que, si una sucesión $(f_{k})$ de funciones integrables converge puntualmente a una función $f$ y si tales funciones están dominadas puntualmente por una función integrable $g$ , es decir, si $\left\vert f_{k}\right\vert \leq g$ para todo $k$ , entonces $f$ es integrable y se cumple ( $\ref{inter}$ ). Un tercer resultado importante, que se obtiene a partir del teorema de convergencia monótona y se usa para probar el teorema de convergencia dominada, es el lema de Fatou, que da condiciones para la integrabilidad del límite inferior de una sucesión de funciones.

Usando estos resultados de convergencia, demostraremos el teorema de cambio de variable para funciones integrables a partir del resultado correspondiente para funciones continuas con soporte compacto.

Conjuntos nulos

Por simplicidad, escribiremos $\left\vert X\right\vert$ en vez de vol $_{n}(X)$ .

Se dice que un subconjunto

$Z$ de

$\mathbb{R}^{n}$ es nulo si es

$Z$ integrable y

$\left\vert Z\right\vert =0$ .

Observa que

$Z$ es nulo si y sólo si

$\int^{\ast }1_{Z}=0$ , ya que en ese caso

$\begin{equation*} 0\leq \int_{\ast }1_{Z}\leq \int^{\ast }1_{Z}=0 \end{equation*}$ y, en consecuencia,

$1_{Z}$ es integrable y

$\left\vert Z\right\vert =\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{Z}=0$ .

Si $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ y $f_{k}\geq 0$ , la sucesión de sumas parciales $\sum_{k=1}^{m}f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ es no decreciente. Denotamos al supremo puntual de esta sucesión de funciones por $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty }f_{k}:=\sup_{m\in \mathbb{N}}\left( \sum_{k=1}^{m}f_{k}\right) \colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}. \end{equation*}$ El siguiente lema juega un papel importante en el estudio de las propiedades de los conjuntos nulos.

Sean

$f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ tales que

$f_{k}\geq 0$ . Entonces

$\begin{equation*} \int^{\ast }\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}\leq \sum_{k=1}^{\infty }\int^{\ast }f_{k}. \end{equation*}$

$\int^{\ast }f_{k}=\infty$ para algún

$k\in \mathbb{N}$ , el resultado es trivialmente cierto. Así pues, supongamos que

$\int^{\ast }f\in \mathbb{R}$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ . Dada

$\varepsilon >0$ , escogemos

$g_{k}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tal que

$g_{k}\geq f_{k}$ y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}\leq \int^{\ast }f_{k}+\frac{\varepsilon }{2^{k}}. \end{equation*}$ Entonces

$\sum_{k=1}^{\infty }g_{k}\geq \sum_{k=1}^{\infty }f_{k}$ . De la Proposición 12.17 se sigue que

$\sum_{k=1}^{\infty }g_{k}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y

$\begin{align*} \int^{\ast }\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{k=1}^{\infty }g_{k}&=\lim_{m\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{k=1}^{m}g_{k}\\ &=\lim_{m\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{m}\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}=\sum_{k=1}^{\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}\leq \left(\sum_{k=1}^{\infty }\int^{\ast }f_{k}\right)+\varepsilon , \end{align*}$ para toda

$\varepsilon >0$ . En consecuencia,

$\begin{equation*} \int^{\ast }\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}\leq \sum_{k=1}^{\infty }\int^{\ast }f_{k}, \end{equation*}$ como afirma el enunciado.

Una primera consecuencia de este lema es la siguiente.

Si $Z$ es nulo y $Y\subset Z$ , entonces $Y$ es nulo.
Si $\left\{Z_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es una familia numerable de subconjuntos nulos de $\mathbb{R}^{n}$ , entonces $Z:=\cup _{k=1}^{\infty }Z_{k}$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$ .

(a) es consecuencia inmediata de la monotonía de la integral superior.

(b): Observa que $1_{Z}\leq \sum_{k=1}^{\infty }1_{Z_{k}}$ . Aplicando la monotonía de la integral superior, el Lema 13.3 y la Observación 13.2 obtenemos $\begin{equation*} 0\leq \int^{\ast }1_{Z}\leq \int^{\ast }\sum_{k=1}^{\infty }1_{Z_{k}}\leq \sum_{k=1}^{\infty }\int^{\ast }1_{Z_{k}}=0. \end{equation*}$ En consecuencia, $Z$ es nulo.

En particular, se cumple lo siguiente.

Todo subconjunto numerable

$N$ de

$\mathbb{R}^{n}$ es nulo, pues cada punto de

$N$ lo es.

Veamos otros ejemplos.

$1\leq m\menorque n$ ,

$K$ es un subconjunto compacto de

$\mathbb{R}^{m}$ y

$f\colon K\rightarrow \mathbb{R}^{n-m}$ es una función continua, entonces la gráfica de

$f$ ,

$\begin{equation*} \graf(f):=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{n}:x\in K\text{, }y=f(x)\right\}, \end{equation*}$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n}$ .

Como

$\graf(f)$ es la imagen de

$K$ bajo la función continua

$g\colon K\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ dada por

$g(x):=(x,f(x))$ , se tiene que graf

$(f)$ es compacto. Por tanto, graf

$(f)$ es un subconjunto integrable de

$\mathbb{R}^{n}$ .

Dado que $\begin{equation*} 1_{\text{graf}(f)}(x,y)= \begin{cases} 1_{\left\{f(x)\right\}}(y) & \text{si $x\in K$,} \\ 0 & \text{si $x\notin K$,} \end{cases} \end{equation*}$ para cada $x\in \mathbb{R}^{m}$ se tiene que $\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}1_{\text{graf}(f)}(x,y)dy=0. \end{equation*}$ Del teorema de Fubini para funciones semicontinuas (ver Proposición 12.16) se sigue que $\begin{equation*} \left\vert \text{graf}(f)\right\vert =\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{\text{graf}(f)}=\int_{\mathbb{R}^{m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}1_{\text{graf}(f)}(x,y)dy\biggr) dx=0, \end{equation*}$ como afirma el enunciado.

Del ejemplo anterior y el teorema de la función implícita se deduce que las subvariedades de $\mathbb{R}^{n}$ son subconjuntos nulos [Ejercicio 13.47]. Veamos un caso particular.

La esfera

$S^{n-1}(0,r):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert x\right\Vert =r\right\}$ ,

$r\geq 0$ , es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n}$ .

Sea

$f\colon \bar{B}^{n-1}(0,r)\rightarrow \mathbb{R}$ la función dada por

$f(x):=\sqrt{r^{2}-\Vert x\Vert ^{2}}$ , donde

$\bar{B}^{n-1}(0,r):=\{x\in \mathbb{R}^{n-1}:\Vert x\Vert \leq r\}$ . Como

$S^{n-1}(0,r)=S^{+}\cup S^{-}$ con

$S^{\pm }:=\graf(\pm f)$ , del ejemplo anterior y la Proposición 13.4 se sigue que

$S^{n-1}(0,r)$ es nulo.

$Z$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n}$ si y sólo si para cada

$\varepsilon >0$ existe un subconjunto abierto

$\Omega$ de

$\mathbb{R}^{n}$ tal que

$Z\subset \Omega$ y

$\left\vert \Omega \right\vert \menorque\varepsilon$ .

$\Rightarrow )$ : Si

$Z$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n}$ entonces

$\int^{\ast }1_{Z}=0$ . Por tanto, dado

$\varepsilon >0$ , existe

$g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tal que

$g\geq 1_{Z}$ y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g\menorque\frac{\varepsilon }{2}. \end{equation*}$ Como

$g$ es s.c.i.,

$\Omega :=g^{-1}(\frac{1}{2},\infty )$ es un subconjunto abierto de

$\mathbb{R}^{n}$ (ver Ejercicio 4.46) y, puesto que

$g\geq 1_{Z}$ , se tiene que

$Z\subset \Omega$ . Finalmente, dado que

$2g\geq 1_{\Omega }$ , se cumple que

$\begin{equation*} \left\vert \Omega \right\vert =\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{\Omega }\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}2g\menorque\varepsilon . \end{equation*}$

$\Leftarrow )$ : Inversamente, si para cada $\varepsilon >0$ existe un subconjunto abierto $\Omega$ de $\mathbb{R}^{n}$ tal que $Z\subset \Omega$ y $\left\vert \Omega \right\vert \menorque\varepsilon$ , entonces $\begin{equation*} 0\leq \int^{\ast }1_{Z}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}1_{\Omega }\menorque\varepsilon \qquad \forall \varepsilon >0. \end{equation*}$ En consecuencia, $Z$ es nulo.

Sea

$X$ un subconjunto de

$\mathbb{R}^{n}$ . Decimos que una propiedad

$P(x)$ se cumple casi dondequiera (c.d.) en

$X$ , o bien que se cumple para casi todo (p.c.t.)

$x\in X$ , si el conjunto

$\begin{equation*} \left\{x\in X:P(x)\text{ no se cumple}\right\} \end{equation*}$ es nulo.

La siguiente proposición asegura que, si modificamos una función integrable sobre un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$ , la función obtenida sigue siendo integrable y su integral es la misma.

Sean

$f,g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ tales que

$f(x)=g(x)$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ . Si

$f$ es integrable, entonces

$g$ es integrable y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*}$

Sean

$Z:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)\neq g(x)\right\}$ ,

$h_{k}:=1_{Z}$ y

$h:=\sum_{k=1}^{\infty }h_{k}$ , es decir,

$h(x)=\infty$ si

$x\in Z$ y

$h(x)=0$ si

$x\notin Z$ . Aplicando el Lema 13.3,\ obtenemos que

$\begin{equation*} \int^{\ast }h\leq \sum_{k=1}^{\infty }\int^{\ast }h_{k}=0. \end{equation*}$ Por otra parte, la Proposición 12.31 asegura que existe una sucesión

$(\varphi_{k})$ en

$\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert =0. \end{equation*}$ Nota que

$\left\vert g-\varphi_{k}\right\vert \leq h+\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert$ . Por tanto,

$\begin{equation*} \int^{\ast }\left\vert g-\varphi_{k}\right\vert \leq \int^{\ast }h+\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert =\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert \end{equation*}$ y, en consecuencia,

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert g-\varphi_{k}\right\vert =0. \end{equation*}$ La Proposición 12.31 asegura entonces que

$g$ es integrable y que

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f, \end{equation*}$ como afirma el enunciado.

Además, una función integrable toma los valores $\pm \infty$ únicamente en un conjunto nulo. De hecho, se cumple lo siguiente.

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ satisface

$\int^{\ast }\left\vert f\right\vert \menorque\infty$ , entonces

$f(x)\in \mathbb{R}$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ . En particular, si

$f$ es integrable, entonces

$f(x)\in \mathbb{R}$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ .

Sea

$Z:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)=\pm \infty \right\}$ . Como

$1_{Z}\leq \varepsilon \left\vert f\right\vert$ para todo

$\varepsilon >0$ , se tiene que

$\begin{equation*} \int^{\ast }1_{Z}\leq \varepsilon \int^{\ast }\left\vert f\right\vert \text{\qquad }\forall \varepsilon >0. \end{equation*}$ En consecuencia,

$\int^{\ast }1_{Z}=0$ y, por tanto,

$Z$ es nulo. Esto prueba que

$f(x)\in \mathbb{R}$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ .

Si $f$ es integrable, entonces $\left\vert f\right\vert$ es integrable (ver Proposición 12.32) y, por tanto, $\int^{\ast }\left\vert f\right\vert \menorque\infty$ . De la afirmación anterior se sigue que $f(x)\in \mathbb{R}$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ .

Las proposiciones anteriores nos permiten concluir lo siguiente.

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es integrable, entonces la función

$\widetilde{f}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por

$\begin{equation*} \widetilde{f}(x):= \begin{cases} f(x) & \text{si $f(x)\menorque\infty$,} \\ 0 & \text{si $f(x)=\pm \infty$,} \end{cases} \end{equation*}$ es integrable,

$\widetilde{f}(x)=f(x)$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\widetilde{f}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}$

La Proposición 13.11 asegura que

$\widetilde{f}(x)=f(x)$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ . De la Proposición 13.10 se sigue entonces que

$\widetilde{f}$ es integrable y que las integrales de

$f$ y

$\widetilde{f}$ coinciden.

Sea

$f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ una sucesión de funciones tales que

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f_{k}\right\vert =0. \end{equation*}$ Entonces existe una subsucesión

$(f_{k_{j}})$ de

$(f_{k})$ tal que

$f_{k_{j}}(x)\rightarrow 0$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ .

Tomemos

$k_{1}\menorque\cdots \menorque k_{j}\menorque k_{j+1}\menorque\cdots$ tales que

$\begin{equation*} \int^{\ast }|f_{k_{j}}|\text{ }\menorque\frac{1}{2^{j}}. \end{equation*}$ Por el Lema 13.3, se tiene que

$\begin{equation*} \int^{\ast }\sum_{j=1}^{\infty }|f_{k_{j}}|\text{ }\leq \sum_{j=1}^{\infty }\int^{\ast }|f_{k_{j}}|\text{ }\leq 1. \end{equation*}$ La Proposición 13.11 asegura entonces que existe un subconjunto nulo

$Z$ de

$\mathbb{R}^{n}$ tal que

$\begin{equation*} \sum_{j=1}^{\infty }|f_{k_{j}}(x)|\text{ }\menorque\infty \text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z. \end{equation*}$ En consecuencia,

$f_{k_{j}}(x)\rightarrow 0$ para todo

$x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$ .

En la proposición anterior no es posible concluir que la sucesión

$(f_{k})$ converge puntualmente a

$0$ c.d. en

$\mathbb{R}^{n}$ : existen ejemplos de sucesiones tales que

$\lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f_{k}\right\vert =0$ \ pero

$\left( f_{k}(x)\right)$ no converge para ningún

$x$ en un conjunto de medida positiva [Ejercicio 13.51].

Una consecuencia importante de la proposición anterior es la siguiente.

Sea

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ . Entonces,

$\int^{\ast }\left\vert f\right\vert =0$ si y sólo si

$f(x)=0$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ . En particular, si

$f$ es integrable y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f\right\vert =0, \end{equation*}$ entonces

$f(x)=0$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ .

$\Leftarrow )$ : Si

$f(x)=0$ p.c.t.

$x\in \mathbb{R}^{n}$ , la Proposición 13.10 asegura que

$\left\vert f\right\vert$ es integrable y

$\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f\right\vert =0$ .

$\Rightarrow )$ : Inversamente, si $\int^{\ast }\left\vert f\right\vert =0$ , aplicando la Proposición 13.13 a la sucesión $f_{k}:=f$ , obtenemos que $f(x)=0$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ .

El teorema de Fubini

Ahora queremos investigar si es posible calcular la integral de una función integrable $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ integrando coordenada a coordenada. El primer problema con el que nos topamos es que, si $f$ es integrable, $1\leq m\menorque n$ , y $y\in \mathbb{R}^{n-m}$ , la función $f^{y}\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ dada por $\begin{equation*} f^{y}(x):=f(x,y) \end{equation*}$ no necesariamente es integrable. Veamos un ejemplo.

Sea

$1\leq m\menorque n$ . Puesto que

$\mathbb{R}^{m}\times \left\{0\right\}$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n}$ [Ejercicio 13.46], la función

$1_{\mathbb{R}^{m}\times \left\{0\right\}}$ es integrable en

$\mathbb{R}^{n}$ . Sin embargo,

$(1_{\mathbb{R}^{m}\times \left\{0\right\}})^{0}$

$=1_{\mathbb{R}^{m}}$ no es integrable en

$\mathbb{R}^{m}$ (ver Corolario 12.23).

El teorema de Fubini afirma que este mal comportamiento ocurre únicamente en un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n-m}$ y que la integral de una función integrable $f$ se puede calcular usando integrando sucesivamente respecto a cada variable.

Guido Fubini

Guido Fubini (1879-1943) nació en Venecia. Estudió en la Scuola Normale Superiore de Pisa, donde fue alumno de Ulisse Dini y Luigi Bianchi. Fue profesor en el Politécnico y la Universidad de Turín.

[Fubini] \label{teofub}Sean

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ una función integrable y

$1\leq m\menorque n$ . Entonces existe un subconjunto nulo

$Z$ de

$\mathbb{R}^{n-m}$ tal que, para todo

$y\in \mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z$ , la función

$f^{y}\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ dada por

$\begin{equation*} f^{y}(x):=f(x,y) \end{equation*}$ es integrable. La función

$F\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por

$\begin{equation*} F(y):= \begin{cases} \int_{\mathbb{R}^{m}}f^{y} & \text{si $y\in \mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z$,} \\ 0 & \text{si $y\in Z$,} \end{cases} \end{equation*}$ también es integrable y

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}F=\int_{\mathbb{R}^{n}}f.\label{fub} \end{equation}$

Sean

$h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ y

$g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que

$h\leq f\leq g$ . El teorema de Fubini para funciones semicontinuas (ver Proposición 12.16) asegura que

$h^{y}\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{m})$ y

$g^{y}\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{m})$ para todo

$y\in \mathbb{R}^{n-m}$ y que las funciones

$\begin{equation*} H(y):=\int_{\mathbb{R}^{m}}h^{y}\text{\qquad y\qquad }G(y):=\int_{\mathbb{R}^{m}}g^{y} \end{equation*}$ cumplen que

$H\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n-m})$ ,

$G\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n-m})$ ,

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}H=\int_{\mathbb{R}^{n}}h\text{\qquad y\qquad }\int_{\mathbb{R}^{n-m}}G=\int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*}$ Para cada

$y\in \mathbb{R}^{n-m}$ denotamos por

$\begin{equation*} F_{1}(y):=\int_{\ast }f^{y}\text{\qquad y\qquad }F_{2}(y):=\int^{\ast }f^{y}. \end{equation*}$ Como

$h^{y}\leq f^{y}\leq g^{y}$ , se tiene que

$H\leq F_{1}\leq F_{2}\leq G$ (ver Lema 12.27). En consecuencia,

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}h=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}H\leq \int_{\ast }F_{i}\leq \int^{\ast }F_{i}\leq \int_{\mathbb{R}^{n-m}}G=\int_{\mathbb{R}^{n}}g\text{,\qquad }i=1,2. \end{equation*}$ Dado que

$f$ es integrable en

$\mathbb{R}^{n}$ , tomando el ínfimo sobre las funciones

$g\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que

$g\geq f$ y el supremo sobre las funciones

$h\in \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ tales que

$h\leq f$ , obtenemos

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \int_{\ast }F_{i}\leq \int^{\ast }F_{i}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}f,\text{\qquad }i=1,2. \end{equation*}$ En consecuencia,

$F_{1}$ y

$F_{2}$ son integrables en

$\mathbb{R}^{n-m}$ y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}F_{1}=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}F_{2}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}$ Por el Corolario 13.12,

$Z_i:=\left\{y\in\mathbb{R}^{n-m} : F_i(y)=\pm\infty\right\}$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n-m}$ , la función

$\widetilde{F}_{i}\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por

$\begin{equation*} \widetilde{F}_{i}(y):= \begin{cases} F_{i}(y) & \text{si $y\in\mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus(Z_1\cup Z_2)$,} \\[3pt] 0 & \text{si $y\in Z_1\cup Z_2$,} \end{cases} \end{equation*}$ es integrable y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\widetilde{F}_{i}=\int_{\mathbb{R}^{n}}F_{i}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f,\text{\qquad }i=1,2. \end{equation*}$ Como

$\widetilde{F}_{i}$ toma valores en

$\mathbb{R}$ tiene sentido considerar

$\widetilde{F}_{2}-\widetilde{F}_{1}$ y, dado que

$\widetilde{F}_{2}-\widetilde{F}_{1}\geq 0$ y

$\int_{\mathbb{R}^{n-m}}(\widetilde{F}_{2}-\widetilde{F}_{1})=0$ , el Corolario 13.15 asegura que

$\begin{equation*} Z_{0}:=\left\{y\in \mathbb{R}^{n-m}:\widetilde{F}_{1}(y)\neq \widetilde{F}_{2}(y)\right\} \end{equation*}$ es nulo en

$\mathbb{R}^{n-m}$ . Entonces

$Z:=Z_{0}\cup Z_{1}\cup Z_{2}$ es nulo en

$\mathbb{R}^{n-m}$ y, como

$\begin{equation*} \widetilde{F}_{i}(y)=F_{i}(y)\text{\qquad y\qquad }-\infty \menorque\widetilde{F}_{1}(y)=\widetilde{F}_{2}(y)\menorque\infty \text{\qquad }\forall y\in \mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z, \end{equation*}$ de la definición de

$F_{1}$ y

$F_{2}$ se sigue que

$\begin{equation*} -\infty \menorque\int_{\ast }f^{y}=\int^{\ast }f^{y}\menorque\infty \text{\qquad }\forall y\in \mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z. \end{equation*}$ Por tanto,

$f^{y}$ es integrable y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{m}}f^{y}=F_{1}(y)=F_{2}(y)\text{\qquad }\forall y\in \mathbb{R}^{n-m}\smallsetminus Z. \end{equation*}$ Finalmente, como

$F_{1}=F$ c.d. en

$\mathbb{R}^{n-m}$ y

$F_{1}$ es integrable en

$\mathbb{R}^{n-m}$ , la Proposición 13.10 asegura que

$F$ es integrable en

$\mathbb{R}^{n-m}$ y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n-m}}F=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}F_{1}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}$ Esto concluye la demostración.

La identidad ( $\ref{fub}$ ) suele escribirse como

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(y,z)\,dy\,dz=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}f(y,z)dy\biggr) dz. \end{equation*}$ Dado que el intercambio de variables

$(y,z)\mapsto (z,y)$ es una transformación ortogonal, el Teorema 12.34 asegura que también

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(y,z)\,dy\,dz=\int_{\mathbb{R}^{m}}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}f(y,z)dz\biggr) dy. \end{equation*}$

Teoremas de convergencia

Daremos a continuación varios criterios importantes que garantizan la integrabilidad del límite puntual de funciones integrables y la posibilidad de expresar a la integral de dicho límite como el límite de las correspondientes integrales.

El siguiente ejemplo muestra que no es cierto, en general, que el supremo puntual de una sucesión no decreciente de funciones integrables sea integrable.

$f_{k}:=1_{B^{n}(0,k)}$ es la función característica de la bola de radio

$k$ con centro en el origen en

$\mathbb{R}^{n}$ , entonces

$f_{k}$ es integrable y

$f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ . Sin embargo,

$1_{\mathbb{R}^{n}}=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$ no es integrable.

Si el supremo puntual $f:=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$ de una sucesión no decreciente $(f_{k})$ de funciones integrables es integrable, entonces $\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}f\menorque\infty . \end{equation*}$ El teorema que enunciaremos a continuación, afirma que basta con que este límite sea finito para garantizar la integrabilidad de $f$ .

Nota que, si $(t_{k})$ es una sucesión no decreciente de números reales entonces, para cualesquiera $k,i\in \mathbb{N}$ , se tiene que $\begin{equation*} t_{k+i}-t_{k}=\sum_{j=k+1}^{k+i}\left( t_{j}-t_{j-1}\right) . \end{equation*}$ Tomando el límite cuando $i\rightarrow \infty$ concluimos que $\begin{equation} \lim_{i\rightarrow \infty }t_{i}-t_{k}=\sum_{j=k+1}^{\infty }\left( t_{j}-t_{j-1}\right) .\label{t-tk} \end{equation}$ Usaremos esta fórmula en la demostración del siguiente resultado de Beppo Levi.

Beppo Levi

Beppo Levi (1875-1961) nació en Turín, Italia y obtuvo el doctorado en la Universidad de Turín. En 1939 emigró a Argentina donde fue profesor de la Universidad Nacional del Litoral (hoy Universidad Nacional de Rosario).

[de convergencia monótona] Si

$f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es integrable,

$f_{k}\leq f_{k+1}$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ y

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\menorque\infty , \end{equation*}$ entonces

$f:=\sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$ es integrable y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{equation*}$

Como

$f_{k}$ es integrable, la Proposición 13.11 asegura que el conjunto

$\begin{equation*} Z_{k}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f_{k}(x)=\pm \infty \right\} \end{equation*}$ es nulo para todo

$k\in \mathbb{N}$ . Por tanto,

$Z:=\cup _{k=1}^{\infty }Z_{k}$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n}$ (ver Proposición 13.4). Reemplazando los valores de

$f_{k}$ en

$Z$ por

$0$ obtenemos funciones cuyo supremo puntual coincide con

$f$ fuera de

$Z$ . Estas nuevas funciones también son integrables y la integral de cada una de ellas coincide con la de la función original (ver Proposición 13.10). Por tanto, podemos suponer, sin perder generalidad, que

$f_{k}$ toma valores en

$\mathbb{R}$ .

De la fórmula ( $\ref{t-tk}$ ) se sigue que $\begin{equation*} f-f_{k}=\sum_{j=k+1}^{\infty }\left( f_{j}-f_{j-1}\right) . \end{equation*}$ Por tanto, usando el Lema 13.3 y la fórmula ( $\ref{t-tk}$ ), obtenemos $\begin{align*} \int^{\ast }\left( f-f_{k}\right) &\leq \sum_{j=k+1}^{\infty }\int^{\ast }(f_{j}-f_{j-1}) \\ &=\sum_{j=k+1}^{\infty }\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j}-\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j-1}\biggr) =\left( \lim_{i\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{i}\right) -\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{align*}$ Como $\lim_{i\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{i}\menorque\infty$ , se tiene que $\lim_{k\rightarrow \infty }\left( \left( \lim_{i\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{i}\right) -\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\right) =0$ y, en consecuencia, $\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left( f-f_{k}\right) =0. \end{equation*}$ Por otra parte, la Proposición 12.31 asegura que existe $\varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $\begin{equation} \int^{\ast }\left\vert f_{k}-\varphi_{k}\right\vert \menorque\frac{1}{k}.\label{eqcm1} \end{equation}$ Por tanto, $\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-\varphi_{k}\right\vert \leq \lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f-f_{k}\right\vert +\lim_{k\rightarrow \infty }\int^{\ast }\left\vert f_{k}-\varphi _{k}\right\vert =0. \end{equation*}$ Esto prueba que $f$ es integrable y que $\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}. \end{equation*}$

De la desigualdad ( $\ref{eqcm1}$ ) se sigue que $\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( f_{k}-\varphi _{k}\right) =0, \end{equation*}$ lo que nos permite concluir que $\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\lim_{k\rightarrow \infty }\left[ \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( f_{k}-\varphi_{k}\right) +\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}\right] =\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f, \end{equation*}$ como afirma el enunciado.

El análogo para sucesiones decrecientes de funciones también es válido.

$f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es integrable y

$f_{k}\geq f_{k+1}$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ , y

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}>-\infty , \end{equation*}$ entonces

$f:=\inf_{k\in \mathbb{N}}f_{k}$ es integrable y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{equation*}$

Este resultado se obtiene aplicando el Teorema 13.20 a la sucesión

$(-f_{k})$ .

Sea

$X_{1}\subset \cdots \subset X_{k}\subset \cdots$ una sucesión no decreciente de subconjuntos integrables de

$\mathbb{R}^{n}$ . Si la sucesión

$(\left\vert X_{k}\right\vert )$ de sus medidas de Lebesgue en

$\mathbb{R}^{n}$ está acotada, entonces

$\cup_{k=1}^{\infty }X_{k}$ es integrable y

$\begin{equation*} \left\vert \bigcup_{k=1}^{\infty }X_{k}\right\vert =\lim_{k\rightarrow \infty }\left\vert X_{k}\right\vert . \end{equation*}$

Este resultado es consecuencia del Teorema 13.20 aplicado a la sucesión de funciones características

$1_{X_{k}}$ , ya que

$\sup_{k\in \mathbb{N}}1_{X_{k}}=1_{\cup_{k=1}^{\infty }X_{k}}$ .

Sea

$X_{1}\supset \cdots \supset X_{k}\supset \cdots$ una sucesión no creciente de subconjuntos integrables de

$\mathbb{R}^{n}$ . Entonces

$\cap_{k=1}^{\infty }X_{k}$ es integrable y

$\begin{equation*} \left\vert \bigcap_{k=1}^{\infty }X_{k}\right\vert =\lim_{k\rightarrow \infty }\left\vert X_{k}\right\vert . \end{equation*}$

Este resultado es consecuencia del Corolario 13.21 aplicado a la sucesión de funciones características

$1_{X_{k}}$ , ya que

$\inf_{k\in \mathbb{N}}1_{X_{k}}=1_{\cap_{k=1}^{\infty }X_{k}}$ . Nota que

$\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{X_{k}}\geq 0$ .

Dadas funciones $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ , denotamos por $\liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ y por $\limsup_{k\rightarrow \infty }f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ a las funciones $\begin{equation*} \Bigl( \liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}\Bigr) (x):=\liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x),\text{\qquad }\Bigl( \limsup_{k\rightarrow \infty }f_{k}\Bigr) (x):=\limsup_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x) \end{equation*}$ (ver Definición 4.26). El siguiente resultado, debido a Fatou, da condiciones para la integrabilidad de $\liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}$ .

Pierre Fatou

Pierre Joseph Louis Fatou (1878-1929) nació en Lorient, Francia. Estudió matemáticas en la École Normale Supérieure de Paris y trabajó como astrónomo en el observatorio de París.

[Lema de Fatou] Sea

$f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ una sucesión de funciones integrables con las siguientes propiedades:

existe una función integrable $g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ tal que $f_{k}\geq g$ para todo $k\in \mathbb{N}$ ,
existe $M\in \mathbb{R}$ tal que $\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq M\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Entonces $\liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}$ es integrable y $\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{equation*}$

Fijemos

$k\!\in\!\mathbb{N}$ . Para cada

$j\!\geq\! k$ definimos

$f_{j,k}\!:=\!\min \left\{f_{i}:k\leq i\leq j\right\}$ . Entonces,

$f_{j,k}$ es integrable (ver Ejercicio 12.61),

$f_{j,k}\geq f_{j+1,k}$ y

$f_{j,k}\geq g$ para todo

$j\in \mathbb{N}$ . Por tanto,

$\begin{equation*} \lim_{j\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j,k}\geq \int_{\mathbb{R}^{n}}g>-\infty . \end{equation*}$ Por el Corolario 13.21, se tiene que

$g_{k}:=\inf_{j\geq k}f_{j,k}$ es integrable y

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}=\inf_{j\geq k}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j,k}\leq \inf_{j\geq k}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j}\leq M,\label{fat} \end{equation}$ ya que

$f_{j}\geq f_{j,k}$ . Observa que

$g_{k}=\inf_{j\geq k}f_{j}$ . Como

$g_{k}\leq g_{k+1}$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ , el Teorema 13.20 asegura que

$\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}$ es integrable y, usando la desigualdad (

$\ref{fat}$ ), obtenemos que

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\sup_{k\in \mathbb{N}}\inf_{j\geq k}f_{j}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}=\sup_{k\in \mathbb{N}}\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}\leq \sup_{k\in \mathbb{N}}\inf_{j\geq k}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{j}, \end{equation*}$ como afirma el enunciado.

El siguiente ejemplo muestra que, en general, no se cumple la igualdad en el lema de Fatou, ni siquiera cuando la sucesión $(f_{k})$ converge puntualmente.

Existen sucesiones

$(f_{k})$ que satisfacen las hipótesis del lema de Fatou para las cuales se cumple la desigualdad estricta

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}\menorque\liminf_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{equation*}$

Sea

$f_{k}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ la función

$f_{k}(x):=\max \left\{k-k^{2}\left\vert x-\frac{1}{k}\right\vert ,0\right\}$ .

Entonces $f_{k}$ es integrable, $f_{k}\geq 0$ y $\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}f_{k}=1\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}\text{.} \end{equation*}$ Como $\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x)=0$ para todo $x\in \mathbb{R}$ , se tiene que $\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}=0\menorque 1=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}}f_{k}. \end{equation*}$ Es decir, en este caso no se da la igualdad.

Uno de los teoremas más importantes de la teoría de integración es el teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Este teorema da una condición suficiente para la integrabilidad del límite puntual de una sucesión de funciones integrables: basta que la sucesión $(f_{k})$ esté dominada por una función integrable $g$ , es decir, que $\left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq g(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ , para que $\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}$ sea integrable. Dicha condición asegura además que podemos intercambiar al límite por la integral.

[de convergencia dominada] Sean

$f,f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ funciones con las siguientes propiedades:

$f_{k}$ es integrable,
$f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ ,
existe una función integrable $g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ tal que, para cada $k\in \mathbb{N}$ , se cumple que $\left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq g(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ .

Entonces $f$ es integrable y $\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{equation*}$

Los conjuntos

$\begin{align*} Z_{-1} &:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:g(x)=\pm \infty \right\}, \\ Z_{0} &:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left( f_{k}(x)\right) \text{ no converge a }f(x)\right\}, \\ Z_{k} &:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\vert f_{k}(x)\right\vert >g(x)\right\}, \end{align*}$ son nulos. Por tanto,

$Z:=\cup_{k=-1}^{\infty }Z_{k}$ es nulo. Nota que

$\left\vert f(x)\right\vert \leq g(x)\menorque\infty$ para todo

$x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$ . Reemplazando

$f_{k}(x)$ ,

$f(x)$ y

$g(x)$ por

$0$ para todo

$x\in Z$ , podemos suponer sin perder generalidad que

$f_{k}$ ,

$f$ y

$g$ toman valores en

$\mathbb{R}$ , y que

$\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x)=f(x)\text{\qquad y\qquad }\left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq g(x)\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}\text{, }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\text{.}\label{fat2} \end{equation}$ Como

$f_{k}\geq -g$ y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g=:M\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}, \end{equation*}$ el lema de Fatou (ver Teorema 13.24) asegura que

$f$ es integrable y que

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.\label{cd2} \end{equation}$ Observa que las funciones

$-f_{k}$ y

$-f$ también satisfacen (

$\ref{fat2}$ ). Por tanto,

$\begin{equation} -\int_{\mathbb{R}^{n}}f=\int_{\mathbb{R}^{n}}-f\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}-f_{k}=-\limsup_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}.\label{cd3} \end{equation}$ De (

$\ref{cd2}$ ) y (

$\ref{cd3}$ ) se sigue que

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \limsup_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}$ En consecuencia,

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k} \end{equation*}$ (ver Ejercicio 4.45). Esto concluye la demostración.

Observa que las sucesiones de funciones de los Ejemplos 11.8, 11.12, 13.19 y 13.25 no están dominadas por ninguna función integrable $g$ [Ejercicio 13.58].

La importancia del teorema de convergencia dominada quedará de manifiesto en las múltiples aplicaciones que veremos en el resto de estas notas. Concluimos esta sección con dos corolarios interesantes de los teoremas de convergencia monóntona y convergencia dominada. En las secciones siguientes daremos algunas aplicaciones de ellos.

Sean

$X_{1}\subset \cdots \subset X_{k}\subset \cdots$ subconjuntos de

$\mathbb{R}^{n}$ ,

$X:=\bigcup_{k=1}^{\infty }X_{k}$ y

$f\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ una función tal que

$f\mid _{X_{k}}\in \mathfrak{L}(X_{k})$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ y

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X_{k}}\left\vert f\right\vert \menorque\infty . \end{equation*}$ Entonces

$f\in \mathfrak{L}(X)$ ,

$f\in \mathfrak{L}(X\smallsetminus X_{k})$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ ,

$\begin{equation*} \int_{X}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X_{k}}f\text{\qquad y\qquad }\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X\smallsetminus X_{k}}\left\vert f\right\vert =0. \end{equation*}$

Como hemos convenido (ver Notación 12.44), identificamos a

$f$ con su extensión trivial a

$\mathbb{R}^{n}$ . Denotamos por

$f_{k}:=f1_{X_{k}}$ . Por hipótesis

$f_{k}\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ . En consecuencia,

$\left\vert f_{k}\right\vert \in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ y, como

$\left\vert f_{k}\right\vert \leq \left\vert f_{k+1}\right\vert$ y

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f_{k}\right\vert =\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X_{k}}\left\vert f\right\vert \menorque\infty , \end{equation*}$ el teorema de convergencia monótona (ver Teorema 13.20) asegura que

$\vert f\vert\! =\!\sup_{k\in \mathbb{N}}\vert f_{k}\vert$ es integrable.

Ahora, como $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $\left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq \left\vert f(x)\right\vert$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $k\in \mathbb{N}$ , el teorema de convergencia dominada (ver Teorema 13.26) asegura que $f$ es integrable y que $\begin{equation*} \int_{X}f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X_{k}}f \end{equation*}$ Entonces $f-f_{k}=f1_{X\smallsetminus X_{k}}$ es integrable y, en consecuencia, $\left\vert f-f_{k}\right\vert$ también lo es. Puesto que $\left\vert f(x)-f_{k}(x)\right\vert \rightarrow 0$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $\left\vert f(x)-f_{k}(x)\right\vert \leq 2\left\vert f(x)\right\vert$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $k\in \mathbb{N}$ , el teorema de convergencia dominada asegura que $\begin{equation*} 0=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X}\left\vert f-f_{k}\right\vert =\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{X\smallsetminus X_{k}}\left\vert f\right\vert , \end{equation*}$ como afirma el enunciado.

Sea

$f_{j}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ una sucesión de funciones integrables tales que

$\begin{equation*} \sum_{j=1}^{\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f_{j}\right\vert \menorque\infty . \end{equation*}$ Entonces la serie

$\sum_{j=1}^{\infty }f_{j}$ converge c.d. en

$\mathbb{R}^{n}$ a una función integrable

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ y

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\biggl\vert f-\sum_{j=1}^{k}f_{j}\biggr\vert =0. \end{equation*}$

Denotemos por

$\begin{equation*} g_{k}:=\sum_{j=1}^{k}\left\vert f_{j}\right\vert \text{\qquad y\qquad }g:=\sum_{j=1}^{\infty }\left\vert f_{j}\right\vert =\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}. \end{equation*}$ Como

$g_{k}$ es integrable,

$g_{k}\leq g_{k+1}$ y

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}=\sum_{j=1}^{\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f_{j}\right\vert \menorque\infty , \end{equation*}$ el teorema de convergencia monótona asegura que

$g$ es integrable. En consecuencia, por la Proposición 13.11, existe un subconjunto nulo

$Z$ de

$\mathbb{R}^{n}$ tal que

$\begin{equation*} g(x):=\sum_{j=1}^{\infty }\left\vert f_{j}(x)\right\vert \menorque\infty \text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z. \end{equation*}$ Esto implica que la serie

$\sum_{j=1}^{\infty }f_{j}(x)$ converge para todo

$x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$ .

Definimos $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ como $\begin{equation*} f(x):= \begin{cases} \sum_{j=1}^{\infty }f_{j}(x) & \text{si $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$,} \\ 0 & \text{si $x\in Z$.} \end{cases} \end{equation*}$ Entonces $\sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\rightarrow f(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $\begin{equation*} \biggl\vert \sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\biggr\vert \leq g(x)\text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n},\text{ }\forall k\in \mathbb{N}\text{.} \end{equation*}$ El teorema de convergencia dominada asegura entonces que $f$ es integrable. En consecuencia, $f-\sum_{j=1}^{k}f_{j}$ es integrable y, como $\begin{equation*} f(x)-\sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\rightarrow 0\text{ \qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z \end{equation*}$ y $\begin{equation*} \biggl\vert f(x)-\sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\biggr\vert \leq \left\vert f(x)\right\vert +\biggl\vert \sum_{j=1}^{k}f_{j}(x)\biggr\vert \leq \left\vert f(x)\right\vert +g(x)\text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n},\text{ }\forall k\in \mathbb{N}\text{,} \end{equation*}$ el teorema de convergencia dominada asegura que $\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\biggl\vert f-\sum_{j=1}^{k}f_{j}\biggr\vert =0, \end{equation*}$ como afirma el enunciado.

La integral de funciones radiales

Sean $0\menorque a\menorque b\menorque\infty$ . Considera el conjunto $\begin{equation*} A^{n}(a,b):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:a\leq \left\Vert x\right\Vert \leq b\right\}. \end{equation*}$ Observa que $A^{n}(a,b)=\left[ \bar{B}^{n}(0,b)\smallsetminus \bar{B}^{n}(0,a)\right] \cup S^{n-1}(0,a)$ . De la Proposición 12.38 y los Ejemplos 12.25 y 13.7 se sigue entonces que $\begin{equation*} \vol_{n}(A^{n}(a,b))=(b^{n}-a^{n})\omega_{n}, \end{equation*}$ donde $\omega_{n}$ es el volumen de la bola unitaria en $\mathbb{R}^{n}$ .

Se dice que una función $g\colon A^{n}(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ es radial si su valor depende únicamente de $\left\Vert x\right\Vert$ , es decir, si $g(x)=f(\left\Vert x\right\Vert )$ donde $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ . El siguiente resultado afirma que, si $f$ es continua, la integral de $g$ se puede calcular en términos de la integral de Riemann de $f$ .

[Integral de una función radial] Si

$f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua, entonces

$\begin{equation*} \int_{A^{n}(a,b)}f(\left\Vert x\right\Vert )dx=n\omega _{n}\int_{a}^{b}f(t)t^{n-1}dt. \end{equation*}$

Para cada

$k\in \mathbb{N}$ consideramos la partición

$a=a_{0}\menorque a_{1}\menorque\cdots \menorque a_{k}=b$ del intervalo

$[a,b]$ tal que

$a_{j}-a_{j-1}=\frac{1}{k}(b-a)$ . Por simplicidad denotamos por

$A:=A^{n}(a,b)$ y

$A_{j}:=A^{n}(a_{j-1},a_{j})$ . Entonces

$A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}$ y

$A_{i}\cap A_{j}$ es nulo si

$i\neq j$ (ver Ejemplo 13.7). Por tanto,

$\begin{equation*} \left\vert A\right\vert =\left\vert A_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert A_{k}\right\vert . \end{equation*}$ El teorema del valor medio aplicado a la función

$t\mapsto t^{n}$ asegura que existe

$\xi_{j}\in (a_{j-1},a_{j})$ tal que

$\begin{equation*} a_{j}^{n}-a_{j-1}^{n}=n\xi_{j}^{n-1}(a_{j}-a_{j-1}). \end{equation*}$ Por tanto,

$\begin{equation*} \left\vert A_{j}\right\vert =(a_{j}^{n}-a_{j-1}^{n})\omega_{n}=n\xi _{j}^{n-1}(a_{j}-a_{j-1})\omega_{n}. \end{equation*}$

Considera la función $\begin{equation*} g_{k}:=\sum_{j=1}^{k}f(\xi_{j})1_{A_{j}}. \end{equation*}$ Se tiene que $\begin{equation*} \int_{A}g_{k}=\sum_{j=1}^{k}f(\xi_{j})\left\vert A_{j}\right\vert =n\omega_{n}\sum_{j=1}^{k}f(\xi_{j})\xi_{j}^{n-1}(a_{j}-a_{j-1}). \end{equation*}$ La suma que aparece en el término de la derecha es una suma de Riemann para la integral de la función $t\mapsto f(t)t^{n-1}$ en $[a,b]$ . Por tanto, haciendo tender $k\rightarrow \infty$ obtenemos $\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{A}g_{k}=n\omega _{n}\int_{a}^{b}f(t)t^{n-1}dt.\label{rad2} \end{equation}$ Demostraremos a continuación que $\begin{equation} \int_{A}f(\left\Vert x\right\Vert )dx=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{A}g_{k}(x)dx.\label{rad3} \end{equation}$

Como $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ , para cada $\varepsilon >0$ existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $\begin{equation*} \left\vert f(t)-f(s)\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{\left\vert A\right\vert }\text{\qquad si }\left\vert s-t\right\vert \menorque\frac{b-a}{k}\text{ con }k\geq k_{0}. \end{equation*}$ En consecuencia, dado que $\left\vert f(\left\Vert x\right\Vert )-g_{k}(x)\right\vert =\sum_{j=1}^{k}\left\vert f(\left\Vert x\right\Vert )-f(\xi_{j})\right\vert 1_{A_{j}}(x)$ p.c.t. $x\in A$ , se tiene que $\begin{align*} \int_{A}\left\vert f(\left\Vert x\right\Vert )-g_{k}(x)\right\vert dx &=\sum_{j=1}^{k}\int_{A_{j}}\left\vert f(\left\Vert x\right\Vert )-f(\xi _{j})\right\vert dx \\ &\leq \sum_{j=1}^{k}\frac{\varepsilon }{\left\vert A\right\vert }\left\vert A_{j}\right\vert =\varepsilon \text{\qquad }\forall k\geq k_{0}. \end{align*}$ Esto demuestra ( $\ref{rad3}$ ). Combinando las identidades ( $\ref{rad2}$ ) y ( $\ref{rad3}$ ) se obtiene la identidad deseada.

$\gamma \in \mathbb{R}$ y

$0\menorque a\menorque b\menorque\infty$ , entonces

$\begin{equation*} \int_{A^{n}(a,b)}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx= \begin{cases} \frac{n}{n+\gamma }\omega_{n}\left( b^{n+\gamma }-a^{n+\gamma }\right) & \text{si $\gamma +n\neq 0$,} \\ n\omega_{n}\left( \ln b-\ln a\right) & \text{si $\gamma +n=0$.} \end{cases} \end{equation*}$

Por el teorema anterior,

$\begin{equation*} \int_{A^{n}(a,b)}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=n\omega _{n}\int_{a}^{b}t^{\gamma +n-1}dt. \end{equation*}$ Calculando la integral de la derecha se obtiene el resultado.

Si $\gamma <0$ la función $x\mapsto \left\Vert x\right\Vert ^{\gamma }$ no está definida en $0$ . Sin embargo, como $\left\{0\right\}$ es un conjunto nulo, podemos extender esta función a una función $\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ dándole cualquier valor en $0$ , por ejemplo $0$ .

$\gamma \in \mathbb{R}$ y

$r>0$ , entonces

la función $x\mapsto \left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$ es integrable en $\bar{B}^{n}(0,r)$ si y sólo si $\gamma +n>0$ y, en ese caso, $\begin{equation*} \int_{\left\Vert x\right\Vert \leq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=\frac{n\omega_{n}}{n+\gamma }r^{n+\gamma }\text{.} \end{equation*}$
la función $x\mapsto \left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}\smallsetminus B^{n}(0,r)$ si y sólo si $\gamma +n<0$ y, en ese caso, $\begin{equation*} \int_{\left\Vert x\right\Vert \geq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=-\frac{n\omega_{n}}{n+\gamma }r^{n+\gamma }\text{.} \end{equation*}$

(a): Sea

$\varepsilon >0$ . Del Ejemplo 13.30 se sigue que

$\begin{equation*} \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{A^{n}(\varepsilon ,r)}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx= \begin{cases} \frac{n}{n+\gamma }\omega_{n}r^{n+\gamma } & \text{si $n+\gamma >0$,} \\ \infty & \text{si $n+\gamma \leq 0$.} \end{cases} \end{equation*}$ Si

$n+\gamma >0$ , el Corolario 13.27 asegura que

$x\mapsto \left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$ es integrable en

$\bar{B}^{n}(0,r)$ y que

$\begin{equation*} \int_{\left\Vert x\right\Vert \leq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{A^{n}(\frac{1}{k},r)}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=\frac{n}{n+\gamma }\omega_{n}r^{n+\gamma }\text{.} \end{equation*}$ Supongamos ahora que

$\gamma +n\leq 0$ . Si

$x\mapsto \left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$ fuera integrable en

$\bar{B}^{n}(0,r)$ ,\ se tendría que

$\begin{equation*} \int_{A^{n}(\varepsilon ,r)}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx\leq \int_{\left\Vert x\right\Vert \leq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx\menorque\infty \text{\qquad }\forall \varepsilon \in (0,r). \end{equation*}$ Esto es una contradicción.

La demostración de (b) es análoga [Ejercicio 13.68].

Anteriormente probamos que el producto de dos funciones integrables es integrable si una de ellas es acotada (ver Lema 12.37). El siguiente ejemplo muestra que esta última hipótesis es importante.

El producto de funciones integrables no es necesariamente integrable.

La función

$f(x):=\left\Vert x\right\Vert^{-n/2}$ es integrable en

$\bar{B}^{n}(0,r)$ , pero

$f^{2}(x)=\left\Vert x\right\Vert^{-n}$ no lo es.

La Proposición 13.31 nos permite dar un criterio muy útil de integrabilidad para funciones $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ en términos de su comportamiento al $\infty$ . Empezamos introduciendo el siguiente concepto.

Sea

$\Omega$ un subconjunto abierto de

$\mathbb{R}^{n}$ . Una función

$f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ es localmente integrable en

$\Omega$ si, para todo subconjunto compacto

$K$ de

$\Omega$ , la función

$f\mid_{K}\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ es integrable en

$K$ .

Observa que cualquier función continua $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es localmente integrable (ver Ejemplo 12.42). Denotamos por $\begin{equation} \mathfrak{L}_{\loc}(\Omega ):=\left\{f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}:f\text{ es localmente integrable en }\Omega \right\}.\label{Lloc} \end{equation}$ Una consecuencia del Corolario 13.27 es la siguiente.

Sea

$\Omega$ un subconjunto abierto de

$\mathbb{R}^{n}$ . Entonces

$f\in \mathfrak{L}(\Omega )$ si y sólo si

$f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\Omega )$ y

$\int^{\ast }\left\vert f\right\vert \menorque\infty$ .

$\Rightarrow )$ : Claramente, si

$f\in \mathfrak{L}(\Omega )$ , entonces

$f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\Omega )$ y

$\int^{\ast }\left\vert f\right\vert \menorque\infty$ .

$\Leftarrow )$ : Inversamente, supongamos que $f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\Omega )$ y $\int^{\ast }\left\vert f\right\vert \menorque\infty$ . Para cada $k\in \mathbb{N}$ definimos $\begin{equation*} \Omega_{k}:=\left\{x\in \Omega :\left\Vert x\right\Vert \menorque k, \text{ dist}(x,\partial \Omega )>\tfrac{1}{k}\right\}. \end{equation*}$ Entonces $\overline{\Omega }_{k}\subset \overline{\Omega }_{k+1}$ y $\Omega =\cup_{k=1}^{\infty }\overline{\Omega }_{k}$ , donde $\overline{\Omega }_{k}$ es la cerradura de $\Omega_{k}$ en $\mathbb{R}^{n}$ . Como $\overline{\Omega }_{k}$ es compacto, se tiene que $f\mid_{\overline{\Omega }_{k}}\in \mathfrak{L}(\overline{\Omega }_{k})$ y $\begin{equation*} \int_{\overline{\Omega }_{k}}\left\vert f\right\vert \leq \int^{\ast }\left\vert f\right\vert \menorque\infty \text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*}$ Por el Corolario 13.27, $f\in \mathfrak{L}(\Omega )$ .

[Criterio de integrabilidad] Si

$f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n})$ y existen

$\varepsilon >0$ ,

$M\geq 0$ y

$r>0$ tales que

$\begin{equation*} \left\vert f(x)\right\vert \leq \frac{M}{\left\Vert x\right\Vert ^{n+\varepsilon }}\text{\qquad }\forall x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus B^{n}(0,r), \end{equation*}$ entonces

$f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ .

Como

$\left\vert f\right\vert =\left\vert f\right\vert 1_{\bar{B}^{n}(0,r)}+\left\vert f\right\vert 1_{\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \bar{B}^{n}(0,r)}$ , se tiene que

$\begin{align*} \int^{\ast }\left\vert f\right\vert &\leq \int^{\ast }\left\vert f\right\vert 1_{\bar{B}^{n}(0,r)}+\int^{\ast }\left\vert f\right\vert 1_{\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \bar{B}^{n}(0,r)} \\ &\leq \int_{\left\Vert x\right\Vert \leq r}\left\vert f\right\vert +M\int_{\left\Vert x\right\Vert \geq r}\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert ^{n+\varepsilon }}dx\menorque\infty . \end{align*}$ La existencia de las dos últimas integrales se sigue de que

$f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n})$ y de la Proposición 13.31, respectivamente. La Proposición 13.34 asegura que

$f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{n})$ .

El teorema de cambio de variable

El teorema de cambio de variable para funciones continuas con soporte compacto (ver Teorema 11.25) se generaliza a funciones integrables como sigue.

[de cambio de variable] Sean

$\Omega$ y

$\Omega^{\prime }$ subconjuntos abiertos de

$\mathbb{R}^{n}$ y

$\varphi \colon \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$ un difeomorfismo de clase

$\mathcal{C}^{1}$ . Entonces,

$f\in \mathfrak{L}(\Omega ^{\prime })$ si y sólo si

$(f\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert \in \mathfrak{L}(\Omega )$ y, en tal caso, se cumple que

$\begin{equation*} \int_{\Omega }f(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert dx=\int_{\Omega^{\prime }}f(y)dy. \end{equation*}$

Reduciremos la demostración de este teorema al caso en el que $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega^{\prime })$ . Para ello requerimos el siguiente resultado.

[Aproximación por funciones en

$\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ ] Si

$\Omega$ es abierto en

$\mathbb{R}^{n}$ y

$f\in \mathfrak{L}(\Omega )$ entonces existe una sucesión

$f_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\Omega }\left\vert f-f_{k}\right\vert =0. \end{equation*}$

Sea

$\varepsilon >0$ . Basta probar que existe

$f_{\varepsilon }\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que

$\begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert f-f_{\varepsilon }\right\vert \menorque\varepsilon . \end{equation*}$ Como convenimos (ver Notación 12.44), identificamos a

$f$ con su extensión trivial a

$\mathbb{R}^{n}$ . Por la Proposición 12.31 existe

$g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f-g\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{3}.\label{apro1} \end{equation}$ Considera la sucesión no decreciente de subconjuntos abiertos y acotados de

$\Omega$ ,

$\begin{equation*} \Omega_{k}:=\left\{x\in \Omega :\left\Vert x\right\Vert \menorque k, \text{ dist}(x,\partial \Omega )>\tfrac{1}{k}\right\}. \end{equation*}$ Nota que

$\Omega =\cup_{k=1}^{\infty }\Omega_{k}$ . Como

$\Omega _{k}$ es integrable se tiene que

$g\mid_{\Omega_{k}}\in \mathfrak{L}(\Omega_{k})$ (ver Proposición 12.43), y como además

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\Omega_{k}}\left\vert g\right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert g\right\vert \menorque\infty , \end{equation*}$ el Corolario 13.27 asegura que

$g\in \mathfrak{L}(\Omega \smallsetminus \Omega_{k})$ y que

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\Omega \smallsetminus \Omega _{k}}\left\vert g\right\vert =0. \end{equation*}$ Escogemos

$k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que

$\begin{equation} \int_{\Omega \smallsetminus \Omega_{k_{0}}}\left\vert g\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{3}.\label{apro2} \end{equation}$ Por simplicidad escribimos

$\Omega_{0}:=\Omega_{k_{0}}$ . Sea

$M:=\max_{x\in \overline{\Omega }_{0}}\left\vert g(x)\right\vert$ . Como

$1_{\Omega_{0}}\in S_{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ , existe

$h\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que

$h\leq 1_{\Omega_{0}}$ y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( 1_{\Omega_{0}}-h\right) \menorque\frac{\varepsilon }{3M}. \end{equation*}$ Reemplazando

$h$ por

$\max \left\{0,h\right\}$ , podemos suponer además que

$h\geq 0$ . Entonces

$h(x)=0$ para todo

$x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega_{0}$ y, en consecuencia,

$gh\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ . Más aún, usando el Ejercicio 13.50 obtenemos

$\begin{align*} \int_{\Omega }\left\vert f-gh\right\vert &\leq \int_{\Omega }\left\vert f-g\right\vert +\int_{\Omega \smallsetminus \Omega_{0}}\left\vert g-gh\right\vert +\int_{\Omega_{0}}\left\vert g-gh\right\vert \\ &\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f-g\right\vert +\int_{\Omega \smallsetminus \Omega_{0}}\left\vert g\right\vert +M\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( 1_{\Omega_{0}}-h\right) \menorque\varepsilon . \end{align*}$ Esto concluye la demostración.

Requerimos también información sobre la imagen de un conjunto nulo bajo una función de clase $\mathcal{C}^{1}$ . Se cumple lo siguiente.

$\Omega$ es un subconjunto abierto de

$\mathbb{R}^{n}$ y

$\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es de clase

$\mathcal{C}^{1}$ entonces, para todo subconjunto nulo

$Z$ de

$\Omega ,$ el conjunto

$\varphi (Z):=\left\{\varphi (z):z\in Z\right\}$ es nulo.

Sea

$\Omega_{k}:=\left\{x\in \Omega :\left\Vert x\right\Vert \menorque k,\: \dist(x,\partial \Omega )>\frac{1}{k}\right\}$ . Dado que la unión numerable de conjuntos nulos es un conjunto nulo, basta probar que

$\varphi (Z\cap \Omega_{k})$ es nulo para cada

$k\in \mathbb{N}$ .

Fijemos $k\in \mathbb{N}$ y $\varepsilon >0$ . Tomemos una familia numerable de cubos $Q_{j}$ , $j\in \mathbb{N}$ , tales que $\begin{equation*} Z\cap \Omega_{k}\subset \bigcup_{j\in \mathbb{N}}Q_{j}\subset \Omega_{k}\qquad \text{y}\qquad \sum_{j=1}^{\infty }\left\vert Q_{j}\right\vert \menorque\varepsilon . \end{equation*}$ Ésta se obtiene escogiendo un abierto $U$ tal que $Z\cap \Omega _{k}\subset U\subset \Omega_{k}$ y $\left\vert U\right\vert \menorque\varepsilon$ (ver Proposición 13.8) y expresándolo como una unión de cubos, $U=\bigcup_{j\in \mathbb{N}}Q_{j}$ , tales que int $\left( Q_{i}\right) \cap$ int $\left( Q_{j}\right) =\emptyset$ si $i\neq j$ (ver Ejercicio 13.45).

Como $\overline{\Omega }_{k}$ es compacto y $\varphi^{\prime }\colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})$ es continua, se tiene que $\begin{equation*} M_{k}:=\sup_{x\in \overline{\Omega }_{k}}\left\Vert \varphi^{\prime }(x)\right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})}\menorque\infty . \end{equation*}$ Del teorema del valor medio (ver Corolario 9.17) y las desigualdades ( $\ref{compnormas}$ ) se sigue entonces que, para cualesquiera $x,y\in Q_j$ , $\begin{equation*} \left\Vert \varphi (x)-\varphi (y)\right\Vert_{\infty }\leq \left\Vert \varphi (x)-\varphi (y)\right\Vert \leq M_{k}\left\Vert x-y\right\Vert \leq M_{k}\sqrt{n}\left\Vert x-y\right\Vert_{\infty }. \end{equation*}$ Esto implica que, si $Q_{j}$ es un cubo de semilado $\delta$ , entonces $\varphi (Q_{j})$ está contenido en un cubo de semilado $M_{k}\sqrt{n}\delta$ . Por tanto, $\begin{equation*} \left\vert \varphi (Q_{j})\right\vert \leq M_{k}^{n}n^{n/2}\left\vert Q_{j}\right\vert \qquad \forall j\in \mathbb{N}. \end{equation*}$ Nota que $\varphi (Q_{j})$ es compacto y, por tanto, integrable. Se tiene entonces que $\begin{equation*} \Biggl\vert \bigcup_{j=1}^{m}\varphi (Q_{j})\Biggr\vert \leq \sum_{j=1}^{m}\left\vert \varphi (Q_{j})\right\vert \leq M_{k}^{n}n^{n/2}\sum_{j=1}^{m}\left\vert Q_{j}\right\vert \leq M_{k}^{n}n^{n/2}\varepsilon \qquad \forall m\in \mathbb{N}. \end{equation*}$ El Corolario 13.22 asegura que $\bigcup_{j=1}^{\infty }\varphi (Q_{j})$ es integrable y que $\begin{equation*} \Biggl\vert \bigcup_{j=1}^{\infty }\varphi (Q_{j})\Biggr\vert =\lim_{m\rightarrow \infty }\Biggl\vert \bigcup_{j=1}^{m}\varphi (Q_{j})\Biggr\vert \leq M_{k}^{n}n^{n/2}\varepsilon . \end{equation*}$ Como $\varphi (Z\cap \Omega_{k})\subset \bigcup_{j=1}^{\infty }\varphi (Q_{j})$ , concluimos que $\begin{equation*} \int^{\ast }1_{\varphi (Z\cap \Omega_{k})}\leq M_{k}^{n}n^{n/2}\varepsilon \qquad \forall \varepsilon >0. \end{equation*}$ Esto prueba que $\varphi (Z\cap \Omega_{k})$ es nulo.

Estamos listos para demostrar el teorema de cambio de variable.

[Demostración del Teorema 13.36.] Sea

$f\in \mathfrak{L}(\Omega^{\prime })$ . Por la Proposición 13.37 existe una sucesión

$\left( f_{k}\right)$ en

$\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega^{\prime })$ tal que

$\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\Omega^{\prime }}\left\vert f-f_{k}\right\vert =0.\label{tcv1} \end{equation}$ Reemplazando a

$(f_{k})$ por una subsucesión, podemos suponer además que existe un subconjunto nulo

$Z$ de

$\mathbb{R}^{n}$ tal que

$\begin{equation*} f_{k}(y)\rightarrow f(y)\qquad \forall y\in \Omega^{\prime }\smallsetminus Z \end{equation*}$ (ver Proposición 13.13). Denotemos por

$\begin{equation*} g_{k}:=(f_{k}\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert \qquad \text{y}\qquad g:=(f\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert . \end{equation*}$ Entonces,

$g_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ ,

$\begin{equation*} g_{k}(x)\rightarrow g(x)\qquad \forall x\in \Omega \smallsetminus \varphi ^{-1}(Z) \end{equation*}$ y

$\varphi^{-1}(Z)$ es nulo (ver Lema 13.38). El Teorema 11.25 asegura que

$\begin{equation} \int_{\Omega }g_{k}=\int_{\Omega }(f_{k}\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert =\int_{\Omega^{\prime }}f_{k},\label{tcv2} \end{equation}$ y que

$\begin{align*} \int_{\Omega }\left\vert g_{k}-g_{j}\right\vert &=\int_{\Omega }\left( \left\vert f_{k}-f_{j}\right\vert \circ \varphi \right) \left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert =\int_{\Omega^{\prime }}\left\vert f_{k}-f_{j}\right\vert \\ &\leq \int_{\Omega^{\prime }}\left\vert f_{k}-f\right\vert +\int_{\Omega ^{\prime }}\left\vert f-f_{j}\right\vert . \end{align*}$ De esta última desigualdad y la afirmación (

$\ref{tcv1}$ ) se sigue que existen

$k_{1}\menorque\cdots \menorque k_{j}\menorque k_{j+1}\menorque\cdots$ tales que

$\begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert g_{k_{j+1}}-g_{k_{j}}\right\vert \menorque\frac{1}{2^{j}}. \end{equation*}$ En consecuencia, definiendo

$g_{k_{0}}:=0$ , concluimos que

$\begin{equation*} \sum_{j=0}^{\infty }\int_{\Omega }\left\vert g_{k_{j+1}}-g_{k_{j}}\right\vert \menorque\infty , \end{equation*}$ Observa que

$\begin{equation*} g_{k_{m}}=\sum_{j=0}^{m-1}(g_{k_{j+1}}-g_{k_{j}}) \end{equation*}$ y que

$\begin{equation*} g(x)=\sum_{j=0}^{\infty }(g_{k_{j+1}}(x)-g_{k_{j}}(x))\text{\qquad }\forall x\in \Omega \smallsetminus \varphi^{-1}(Z). \end{equation*}$ El Corolario 13.28 asegura entonces que

$g$ es integrable y que

$\begin{equation*} \lim_{m\rightarrow \infty }\int_{\Omega }\left\vert g-g_{k_{m}}\right\vert =0. \end{equation*}$ Por tanto, usando las identidades (

$\ref{tcv1}$ ) y (

$\ref{tcv2}$ ), concluimos que

$\begin{equation*} \int_{\Omega }g=\lim_{m\rightarrow \infty }\int_{\Omega }g_{k_{m}}=\lim_{m\rightarrow \infty }\int_{\Omega^{\prime }}f_{k_{m}}=\int_{\Omega^{\prime }}f, \end{equation*}$ que es la identidad deseada.

Finalmente observa que, si $g:=(f\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert$ , entonces $\begin{equation*} f=(g\circ \varphi^{-1})\left\vert \det \left( \varphi^{-1}\right)^{\prime }\right\vert . \end{equation*}$ En consecuencia, $f\in \mathfrak{L}(\Omega^{\prime })$ si $g\in \mathfrak{L}(\Omega )$ . Esto concluye la demostración.

Veamos una aplicación del teorema anterior.

[Coordenadas polares]

$f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{2})$ si y sólo si la función

$(r,\theta )\mapsto rf(r\cos \theta ,r\sen \theta )$ es integrable en

$[0,\infty )\times [0,2\pi ]$ y, en ese caso,

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{2}}f=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\infty }rf(r\cos \theta ,r\sen \theta )\,dr\,d\theta . \end{equation*}$

Sean

$\Omega :=(0,\infty )\times (0,2\pi )$ y

$\Omega^{\prime }:=\mathbb{R}^{2}\smallsetminus \left\{(x,0):x\geq 0\right\}$ . La función

$\varphi \colon \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$ dada por

$\varphi (r,\theta ):=(r\cos \theta ,r\sen \theta )$ es un difeomorfismo de clase

$\mathcal{C}^{1}$ y

$\left\vert \det \varphi^{\prime }(r,\theta )\right\vert =r$ . Por el Teorema 13.36,

$f\in \mathfrak{L}(\Omega^{\prime })$ si y sólo si

$(r,\theta )\mapsto rf(\varphi (r,\theta ))$ es integrable en

$\Omega$ , y

$\begin{equation*} \int_{\Omega^{\prime }}f=\int_{\Omega }rf(\varphi (r,\theta ))\,dr\,d\theta . \end{equation*}$ Como

$\left( [0,\infty )\times [0,2\pi ]\right) \smallsetminus \Omega$ y

$\mathbb{R}^{2}\smallsetminus \Omega ^{\prime }$ son subconjuntos nulos de

$\mathbb{R}^{2}$ , concluimos que

$f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{2})$ si y sólo si

$(r,\theta )\mapsto rf(r\cos \theta ,r\sen \theta )$ es integrable en

$[0,\infty )\times [0,2\pi ]$ y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{2}}f=\int_{\Omega^{\prime }}f=\int_{\Omega }rf(\varphi (r,\theta ))\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\infty }rf(r\cos \theta ,r\sen \theta )\,dr\,d\theta , \end{equation*}$ como afirma el enunciado.

Ejercicios

Prueba que

$[0,1]\smallsetminus \mathbb{Q}$ es integrable y calcula su medida en

$\mathbb{R}$ .

El objetivo de este ejercicio es mostrar la existencia de subconjuntos nulos no numerables de

$[0,1]$ . El conjunto de Cantor

$\mathfrak{C}$ se construye como sigue: Al intervalo

$[0,1]$ le quitamos su tercio medio

$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ y denotamos al conjunto restante por

$\begin{equation*} \mathfrak{C}_{1}:=[0,1]\smallsetminus \left( \tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right) . \end{equation*}$ A cada uno de los dos subintervalos cerrados de

$\mathfrak{C}_{1}$ le quitamos su tercio medio y denotamos al conjunto restante por

$\begin{equation*} \mathfrak{C}_{2}:=\mathfrak{C}_{1}\smallsetminus \left( \left( \tfrac{1}{9},\tfrac{2}{9}\right) \cup \left( \tfrac{7}{9},\tfrac{8}{9}\right) \right) . \end{equation*}$ Continuando de esta manera, a cada uno de los

$2^{k}$ subintervalos cerrados de

$\mathfrak{C}_{k}$ le quitamos su tercio medio y denotamos al conjunto restante por

$\mathfrak{C}_{k+1}$ . Definimos

$\begin{equation*} \mathfrak{C}:=\bigcap_{k=1}^{\infty }\mathfrak{C}_{k}. \end{equation*}$ Prueba que

$\mathfrak{C}$ es nulo y no es numerable.

Para cada

$\varepsilon >0$ , define de manera explícita un subconjunto abierto integrable

$\Omega$ de

$\mathbb{R}^{n}$ tal que

$\mathbb{Q}^{n}\subset \Omega$ y

$\left\vert \Omega \right\vert \menorque\varepsilon$ .

Prueba que, si $Z$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$ , entonces $\mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$ es denso en $\mathbb{R}^{n}$ .
¿Es cierto que, si un subconjunto integrable $X$ de $\mathbb{R}^{n}$ tiene medida positiva entonces int $(X)\neq \emptyset$ ?

Prueba que

$Z$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n}$ si y sólo si

$Z\cap Q$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n}$ \ para todo rectángulo

$Q\subset \mathbb{R}^{n}$ .

Un cubo es un rectángulo

$[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{N},b_{N}]$ tal que

$b_{i}-a_{i}=b_{1}-a_{1}\neq 0$ para todo

$i=2,\dots,N$ .

Prueba que todo subconjunto abierto $\Omega$ de $\mathbb{R}^{n}$ es la unión de una familia numerable de cubos $Q_{k}$ , $k\in \mathbb{N}$ , tales que int $\left( Q_{j}\right) \cap$ int $\left( Q_{k}\right) =\emptyset$ si $j\neq k$ .
Sean $\Omega$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ y $Z\subset \Omega$ . Prueba que $Z$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$ si y sólo si para cada $\varepsilon >0$ existe una familia numerable de cubos $Q_{k}$ , $k\in \mathbb{N}$ , tales que $\begin{equation*} Z\subset \bigcup_{k\in \mathbb{N}}Q_{k}\subset \Omega \text{\qquad y\qquad }\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert Q_{k}\right\vert \menorque\varepsilon . \end{equation*}$ (Sugerencia: Usa la Proposición 13.8 y el inciso (a).)

Prueba que, si $1\leq m\menorque n$ , $X$ es una unión numerable de subconjuntos compactos de $\mathbb{R}^{m}$ y $\ f\colon X\rightarrow \mathbb{R}^{n-m}$ es una función continua, entonces la gráfica de $f$ , $\begin{equation*} \graf(f):=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{n}:x\in X\text{, }y=f(x)\right\}, \end{equation*}$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$ .
Prueba que, si $\Omega$ es abierto en $\mathbb{R}^{m}$ y $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n-m}$ es continua, entonces la gráfica de $f$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$ .
Prueba que todo subespacio vectorial propio de $\mathbb{R}^{n}$ es nulo.

Prueba que toda subvariedad

$M$ de

$\mathbb{R}^{n}$ (ver Definición 10.10) es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{n}$ . (Sugerencia: Usa el Teorema 10.7.)

Prueba que, si

$\Omega$ es un subconjunto abierto de

$\mathbb{R}^{n}$ ,

$\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es de clase

$\mathcal{C}^{1}$ y

$m>n$ , entonces

$\varphi (\Omega )$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{m}$ .

[Lema de Sard] Sean

$\Omega$ un subconjunto abierto de

$\mathbb{R}^{n}$ y

$\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una función de clase

$\mathcal{C}^{1}$ . El conjunto

$\begin{equation*} K:=\left\{x\in \Omega :\det \varphi^{\prime }(x)=0\right\} \end{equation*}$ se llama el conjunto de puntos críticos de

$\varphi$ , su imagen

$\varphi (K)$ se llama el conjunto de valores críticos de

$\varphi$ , y

$\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \varphi (K)$ se llama el conjunto de valores regulares de

$\varphi$ . Demuestra las siguientes afirmaciones:

El conjunto de valores críticos de $\varphi$ es un subconjunto nulo de $\mathbb{R}^{n}$ .
El conjunto de valores regulares de $\varphi$ es denso en $\mathbb{R}^{n}$ .

Sean

$X_{1},X_{2}$ subconjuntos integrables de

$\mathbb{R}^{n}$ tales que

$X_{1}\cap X_{2}$ es nulo. Denotamos por

$X:=X_{1}\cup X_{2}$ . Prueba que

$f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es integrable en

$X$ si y sólo si

$f\mid _{X_{1}}$ es integrable en

$X_{1}$ y

$f\mid_{X_{2}}$ es integrable en

$X_{2}$ y que, en ese caso,

$\begin{equation*} \int_{X}f=\int_{X_{1}}f+\int_{X_{2}}f. \end{equation*}$

Considera la familia numerable de intervalos cerrados

$\begin{equation*} \left[ 0,\tfrac{1}{2}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{1}{2},1\right] ,\text{ }\left[ 0,\tfrac{1}{3}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{2}{3},1\right] ,\text{ }\left[ 0,\tfrac{1}{4}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right] ,\text{ }\left[ \tfrac{3}{4},1\right] ,\text{ }\ldots \end{equation*}$ Sea

$f_{k}$ la función característica del

$k$ -ésimo intervalo de la lista.

Prueba que $\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}}\left\vert f_{k}\right\vert =0. \end{equation*}$
Prueba que $(f_{k}(x))$ no converge para ningún $x\in [0,1]$ .
Exhibe una subsucesión $(f_{k_{j}})$ que converge a $0$ c.d. en $\mathbb{R}$ .

Prueba que si

$Z$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{m}$ entonces, para cualquier subconjunto integrable

$X$ de

$\mathbb{R}^{n}$ , el conjunto

$Z\times X$ es un subconjunto nulo de

$\mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^{n}$ .

Considera la función

$f\colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por

$\begin{equation*} f(x,y):= \begin{cases} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right)^{2}} & \text{si $(x,y)\in (0,1)^{2}$,} \\ 0 & \text{si $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\smallsetminus (0,1)^{2}$.} \end{cases} \end{equation*}$

Prueba que la función $x\mapsto f(x,y)$ es integrable en $\mathbb{R}$ para todo $y\in \mathbb{R}$ , la función $y\mapsto f(x,y)$ es integrable en $\mathbb{R}$ para todo $x\in \mathbb{R}$ , y que las integrales $\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}\biggl( \int_{\mathbb{R}}f(x,y)dx\biggr) dy,\text{\qquad }\int_{\mathbb{R}}\biggl( \int_{\mathbb{R}}f(x,y)dy\biggr) dx, \end{equation*}$ existen y son distintas.
¿Es $f$ una función integrable en $\mathbb{R}^{2}$ ?

Considera la función

$f\colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por

$\begin{equation*} f(x,y):= \begin{cases} y^{-2} & \text{si $0\menorque x\menorque y\menorque 1$,} \\ -x^{-2} & \text{si $0\menorque y\menorque x\menorque 1$,} \\ 0 & \text{en los otros casos}, \end{cases} \end{equation*}$ y realiza un análisis análogo al del ejercicio anterior.

Usando el Ejercicio 12.62 y el teorema de Fubini prueba que, si

$Q$ es un rectángulo en

$\mathbb{R}^{n}$ y

$f\colon Q\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces la integral de Lebesgue de

$f$ (Definición 12.41) coincide con la integral dada por la Definición 11.3.

Prueba que, si

$X_{k}$ es un subconjunto integrable de

$\mathbb{R}^{n}$ y

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty }\left\vert X_{k}\right\vert \menorque\infty , \end{equation*}$ entonces

$\bigcup_{k=1}^{\infty }X_{k}$ es un subconjunto integrable de

$\mathbb{R}^{n}$ y

$\begin{equation*} \left\vert \bigcup_{k=1}^{\infty }X_{k}\right\vert \leq \sum_{k=1}^{\infty }\left\vert X_{k}\right\vert . \end{equation*}$

Prueba que, si

$f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es integrable,

$f_{k}\geq 0$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ , y

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\menorque\infty , \end{equation*}$ entonces

$\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}$ es integrable y

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}=\sum_{k=1}^{\infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}. \end{equation*}$

Prueba, sin usar el teorema de convergencia dominada, que para las sucesiones de funciones

$(f_{k})$ de los Ejemplos 11.8, 11.12, 13.19,y 13.25 no existe ninguna función integrable

$g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ tal que

$\left\vert f_{k}\right\vert \leq g$ c.d. en

$\mathbb{R}^{n}$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ .

Prueba que, si

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es integrable, entonces

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}\smallsetminus B^{n}(0,k)}f=0. \end{equation*}$

[Dependencia continua de un parámetro] \label{dcp}Sean

$Y\subset \mathbb{R}^{m}$ ,

$y_{0}\in Y$ y

$f\colon \mathbb{R}^{n}\times Y\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ con las siguientes propiedades:

Para cada $y\in Y$ , la función $x\mapsto f(x,y)$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$ .
P.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ , la función $y\mapsto f(x,y)$ es continua en $y_{0}$ .
Existe una función integrable $g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ tal que, para todo $y\in Y$ , $\begin{equation*} \left\vert f(x,y)\right\vert \leq g(x)\text{\qquad c.d. en }\mathbb{R}^{n}. \end{equation*}$

Prueba que la función $F\colon Y\rightarrow \mathbb{R}$ , dada por $\begin{equation*} F(y):=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x,y)dx, \end{equation*}$ es continua en $y_{0}$ .

[Derivación bajo el signo de integral] \label{dbi}Sea

$f\colon \mathbb{R}^{n}\times (a,b)\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ una función con las siguientes propiedades:

Para cada $t\in (a,b)$ , la función $x\mapsto f(x,t)$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$ .
P.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ , la función $t\mapsto f(x,t)$ toma valores en $\mathbb{R}$ y es diferenciable en $(a,b)$ .
Existe una función integrable $g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ tal que, para todo $t\in (a,b)$ , $\begin{equation*} \left\vert \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\right\vert \leq g(x)\text{\qquad c.d. en }\mathbb{R}^{n}. \end{equation*}$

Prueba que la función $F\colon (a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ , dada por $\begin{equation*} F(t):=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x,t)dx, \end{equation*}$ es diferenciable en $(a,b)$ y que $\begin{equation*} F^{\prime }(t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx. \end{equation*}$

Sea

$f\in \mathcal{C}_{c}^{1}(\mathbb{R}^{3}):=\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{3})\cap \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{3})$ . Prueba que la función

$F\colon \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ , dada por

$\begin{equation*} F(x):=\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{f(y)}{\left\Vert y-x\right\Vert }dy, \end{equation*}$ es de clase

$\mathcal{C}^{1}$ y que sus derivadas parciales están dadas por

$\begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x):=\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{1}{\left\Vert y-x\right\Vert }\frac{\partial f}{\partial y_{i}}(y)dy,\text{\qquad }i=1,2,3. \end{equation*}$

Sea

$\left\{X_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ una familia de subconjuntos integrables de

$\mathbb{R}^{n}$ tales que

$X_{j}\cap X_{i}$ es nulo si

$i\neq j$ . Denotamos por

$X:=\cup_{k=1}^{\infty }X_{k}$ . Si

$f\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ es una función tal que

$f\mid _{X_{k}}\in \mathfrak{L}(X_{k})$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ y existe

$M\in \mathbb{R}$ tal que

$\begin{equation*} \sum_{j=1}^{k}\int_{X_{j}}\left\vert f\right\vert \leq M\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}, \end{equation*}$ prueba que

$f\in \mathfrak{L}(X)$ y

$\begin{equation*} \int_{X}f=\sum_{j=1}^{\infty }\int_{X_{j}}f. \end{equation*}$

Prueba que, si

$f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ es integrable,

$X_k$ es un subconjunto integrable de

$\mathbb{R}^n$ y

$\lim_{k\to\infty}\vert X_k\vert=0$ , entonces

$\begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \int_{X_k} f=0. \end{equation*}$

Prueba que, para todo

$r>0$ ,

$1\leq i\leq n$ ,

$\begin{equation*} \int_{\bar{B}^{n}(0,r)}x_{i}^{2}\text{ }dx=\frac{\omega_{n}}{n+2}r^{n+2}. \end{equation*}$ (Sugerencia: Observa que, por la invariancia de la integral bajo transformaciones ortogonales,

$\begin{equation*} \int_{\bar{B}^{n}(0,r)}x_{i}^{2}\text{ }dx=\int_{\bar{B}^{n}(0,r)}x_{j}^{2}\text{ }dx, \end{equation*}$ y calcula

$\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n}\int_{\bar{B}^{n}(0,r)}x_{i}^{2}\text{ }dx.\text{)} \end{equation*}$

Para

$0\leq a\menorque b\menorque\infty$ y

$n$ par, calcula la integral

$\begin{equation*} \int_{A^{n}(a,b)}\exp (-\left\Vert x\right\Vert^{2})dx. \end{equation*}$

Para

$0\menorque a\menorque b\menorque\infty$ , calcula la integral

$\begin{equation*} \int_{A^{n}(a,b)}\ln (\left\Vert x\right\Vert )dx. \end{equation*}$

Sea

$r>0$ . Prueba que la función

$x\mapsto \left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$ es integrable en

$\mathbb{R}^{n}\smallsetminus B^{n}(0,r)$ si y sólo si

$\gamma +n<0$ y, en ese caso,

$\begin{equation*} \int_{\left\Vert x\right\Vert \geq r}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx=-\frac{n\omega_{n}}{n+\gamma }r^{n+\gamma }\text{.} \end{equation*}$

Prueba que la función

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ ,

$f(x):=\exp (-\left\Vert x\right\Vert^{2})$ , es integrable en

$\mathbb{R}^{n}$ y que

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\exp (-\left\Vert x\right\Vert^{2})dx=\pi^{n/2}. \end{equation*}$

¿Para qué números

$\gamma >0$ es

$x\mapsto \left( \frac{1}{1-\left\Vert x\right\Vert^{2}}\right)^{\gamma }$ integrable en

$B^{n}(0,1)$ ? Calcula la integral

$\begin{equation*} \int_{\left\Vert x\right\Vert \menorque 1}\left( \frac{1}{1-\left\Vert x\right\Vert ^{2}}\right)^{\gamma }dx \end{equation*}$ para tales

$\gamma$ .

Sean

$a_{1},\dots,a_{m}$ puntos distintos en

$\mathbb{R}^{n}$ ,

$m>n>1$ , y sea

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ , \

$\begin{equation*} f(x):=\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\left\Vert x-a_{i}\right\Vert }. \end{equation*}$ Prueba que

$f$ es integrable en

$\mathbb{R}^{n}$ .

Prueba que, si

$f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{m})$ y

$g\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n-m})$ con

$1\leq m\menorque n$ , entonces

$f\odot g\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n})$ , donde

$(f\odot g)(x,y):=f(x)g(y)$ si

$(x,y)\in \mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^{n-m}\equiv \mathbb{R}^{n}$ .

[Coordenadas esféricas] Sea

$\varphi \colon [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ la función

$\varphi (r,\theta ,\phi ):=(r\sen \theta \cos \phi ,r\sen \theta \sen \phi ,r\cos \theta )$ . Entonces

$f\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^{3})$ si y sólo si la función

$(r,\theta ,\phi )\mapsto f(\varphi (r,\theta ,\phi ))r^{2}\sen \theta$ es integrable en

$[0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]$ y, en ese caso,

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{3}}f=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\infty }f(r\sen \theta \cos \phi ,r\sen \theta \sen \phi ,r\cos \theta )r^{2}\sen \theta \,dr\,d\theta \,d\phi \text{.} \end{equation*}$

[Coordenadas cilíndricas] Enuncia y demuestra el teorema de cambio de variable para el cambio de coordenadas

$(r,\theta ,z)\mapsto (r\cos \theta ,r\sen \theta ,z)$ .

Usando coordenadas esféricas calcula el volumen de la bola\break

$\bar{B}_{3}(0,r):=\left\{x\in \mathbb{R}^{3}:\left\Vert x\right\Vert \leq r\right\}$ .

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