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Espacios de Hilbert

Entre los espacios de Banach tienen especial importancia aquéllos cuya norma está inducida por un producto escalar. Se llaman espacios de Hilbert y son la extensión más natural del espacio euclidiano a dimensión infinita. Los conceptos y resultados de la geometría euclidiana se generalizan de manera natural a estos espacios: allí vale el teorema de Pitágoras y la ley del paralelogramo, y podemos definir la proyección ortogonal sobre un subespacio y su complemento ortogonal siempre y cuando dicho subespacio sea cerrado.

La existencia de la proyección ortogonal tiene una consecuencia bien importante: tal y como ocurre en $\mathbb{R}^{n}$, en un espacio de Hilbert $H$ cualquier función lineal y continua $\eta \colon H\rightarrow \mathbb{R}$ se puede expresar como el producto escalar por un elemento $u_{0}$ de $H$, es decir, \begin{equation*} \eta u=\left\langle u_{0},u\right\rangle \qquad \forall u\in H. \end{equation*} A este resultado se le conoce como el teorema de representación de Fréchet-Riesz y tiene aplicaciones muy importantes (ver Teorema 16.29).

Los espacios de Hilbert son el ambiente natural para muchas aplicaciones. Veremos en los próximos capítulos que la existencia de soluciones a ciertas ecuaciones en derivadas parciales se puede plantear en términos de la existencia del mínimo de un funcional sobre un hiperplano o sobre una esfera en un espacio de Hilbert. Dichos subconjuntos no son compactos, por lo que el problema de minimización no resulta trivial.

En este capítulo introduciremos una nueva noción de convergencia, llamada convergencia débil, que, a diferencia de la convergencia usual, tiene la propiedad de que cualquier sucesión acotada contiene una subsucesión convergente en el sentido débil. Este concepto es muy útil para abordar problemas de minimización ya que proporciona un candidato para el mínimo: el límite débil de una sucesión minimizante. Resta probar, en cada situación concreta, que éste es efectivamente el mínimo que buscamos. Daremos aplicaciones importantes de este método en los próximos capítulos.

Conceptos y propiedades básicas

Comencemos recordando el concepto de producto escalar y sus propiedades básicas.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Un producto escalar en $V$ es una función $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \colon V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ con las siguientes propiedades:

(PE1): $\left\langle \lambda v_{1}+\mu v_{2},w\right\rangle =\lambda \left\langle v_{1},w\right\rangle +\mu \left\langle v_{2},w\right\rangle $ para cualesquiera $v_{1},v_{2},w\in V$, $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$.
(PE2): $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle $ para cualesquiera $v,w\in V$.
(PE3): $\left\langle v,v\right\rangle >0$ para todo $v\in V$, $v\neq 0$.

Definimos \begin{equation} \left\Vert v\right\Vert :=\sqrt{\left\langle v,v\right\rangle }.\label{normpe} \end{equation}

Hermann Schwarz

Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) nació en Hermsdorf, Silesia, entonces parte de Prusia y hoy de Polonia. Estudió en Berlín, donde fue alumno de Ernst Kummer y Karl Weierstrass. Fue profesor en la Universidad de Göttingen.

Se cumplen las siguientes relaciones.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz: \begin{equation*} \left\vert \left\langle v,w\right\rangle \right\vert \leq \left\Vert v\right\Vert \left\Vert w\right\Vert \qquad \forall v,w\in V. \end{equation*}
Desigualdad del triángulo: \begin{equation*} \left\Vert v+w\right\Vert \leq \left\Vert v\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert \qquad \forall v,w\in V. \end{equation*}
Identidad del paralelogramo: \begin{equation*} \left\Vert v+w\right\Vert^{2}+\left\Vert v-w\right\Vert^{2}=2(\left\Vert v\right\Vert^{2}+\left\Vert w\right\Vert^{2})\qquad \forall v,w\in V. \end{equation*}

(a): Para cualesquiera $v,w\in V$, $\lambda \in \mathbb{R}$ se cumple \begin{equation*} 0\leq \left\langle v+\lambda w,v+\lambda w\right\rangle =\left\Vert v\right\Vert^{2}+2\lambda \left\langle v,w\right\rangle +\lambda ^{2}\left\Vert w\right\Vert^{2}. \end{equation*} Si $w\neq 0$, tomando $\lambda :=-\frac{\left\langle v,w\right\rangle }{\left\Vert w\right\Vert^{2}}$ obtenemos \begin{equation*} 0\leq \left\Vert v\right\Vert^{2}-2\frac{\left\langle v,w\right\rangle^{2}}{\left\Vert w\right\Vert^{2}}+\frac{\left\langle v,w\right\rangle^{2}}{\left\Vert w\right\Vert^{2}}=\left\Vert v\right\Vert^{2}-\frac{\left\langle v,w\right\rangle^{2}}{\left\Vert w\right\Vert^{2}}. \end{equation*} Multiplicando esta desigualdad por $\left\Vert w\right\Vert^{2}$ concluimos que \begin{equation*} \left\langle v,w\right\rangle^{2}\leq \left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert^{2}, \end{equation*} y sacando raíz cuadrada obtenemos la desigualdad deseada. Nota que ésta se satisface trivialmente si $w=0$.

(b): Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz obtenemos \begin{align*} \left\Vert v+w\right\Vert^{2} &=\left\Vert v\right\Vert^{2}+2\left\langle v,w\right\rangle +\left\Vert w\right\Vert^{2} \\ &\leq \left\Vert v\right\Vert^{2}+2\left\Vert v\right\Vert \left\Vert w\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert^{2}=\left( \left\Vert v\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert \right)^{2}. \end{align*} Sacando raíz cuadrada obtenemos la desigualdad del triángulo.

(c) se obtiene mediante un cálculo directo. Proponemos su demostración como ejercicio [Ejercicio 15.34].

Las desigualdades anteriores tienen las siguientes consecuencias.

$\left\Vert v\right\Vert :=\sqrt{\left\langle v,v\right\rangle }$ es una norma en $V$.

La desigualdad del triángulo se probó en la Proposición 15.2. Las otras propiedades son consecuencia inmediata de la definición del producto escalar.

La norma (\ref{normpe}) se llama la norma inducida por el producto escalar $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle $. Un cálculo sencillo muestra que el producto escalar se expresa en términos de la norma inducida como sigue: \begin{equation} \left\langle v,w\right\rangle =\frac{1}{4}\left( \left\Vert v+w\right\Vert^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}\right) \qquad \forall v,w\in V.\label{penorm} \end{equation}

[Continuidad del producto escalar] Si $w_{k}\rightarrow w$ en $V$, entonces \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle v,w_{k}\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \qquad \forall v\in V. \end{equation*}

De la desigualdad de Cauchy-Schwarz se sigue que \begin{equation*} \left\vert \left\langle v,w\right\rangle -\left\langle v,w_{k}\right\rangle \right\vert =\left\vert \left\langle v,w-w_{k}\right\rangle \right\vert \leq \left\Vert v\right\Vert \left\Vert w-w_{k}\right\Vert , \end{equation*} para cualesquiera $v,w,w_{k}\in V$. En consecuencia, $\left\langle v,w_{k}\right\rangle \rightarrow \left\langle v,w\right\rangle $ si $w_{k}\rightarrow w$.

David Hilbert

David Hilbert (1862-1943) nació en Königsberg en la provincia de Prusia, hoy parte de Rusia. Estudió en la Universidad de Königsberg y fue profesor en la Universidad de Göttingen. Es reconocido como uno de los matemáticos más universales e influyentes del siglo XIX y principios del XX.

Un espacio de Hilbertes un espacio vectorial $H$ con un producto escalar $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle $ que es completo respecto a la norma inducida (\ref{normpe}).

Veamos algunos ejemplos.

$\mathbb{R}^{n}$ es un espacio de Hilbert con el producto escalar usual \begin{equation*} x\cdot y:=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},\qquad x=(x_{1},\dots,x_{n}),\text{ }y=(y_{1},\dots,y_{n}). \end{equation*}
El espacio $\ell_{2}$ de todas las sucesiones $\overline{x}=(x_{k})$ de números reales tales que la serie $\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}\right\vert^{2}$converge, con el producto escalar \begin{equation} \left\langle \overline{x},\overline{y}\right\rangle_{\ell _{2}}:=\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k},\qquad \overline{x}=(x_{k}),\text{ }\overline{y}=(y_{k})\in \ell_{2},\label{pel2} \end{equation} es un espacio de Hilbert.
Para cualquier abierto $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$, el espacio $L^{2}(\Omega )$ con el producto escalar \begin{equation} \left\langle f,g\right\rangle_{2}:=\int_{\Omega }fg,\qquad f,g\in L^{2}(\Omega ),\label{peL2} \end{equation} es un espacio de Hilbert.

(a) es bien conocido.

(b): La convergencia de la serie (\ref{pel2}) se sigue de la desigualdad de Hölder para series con $p=2$ (ver Ejercicio 2.43). Es sencillo comprobar que (\ref{pel2}) es un producto escalar que induce la norma de $\ell_{2}$. Sabemos que este espacio es completo (ver Ejercicio 5.33).

(c): La desigualdad de Hölder (ver Proposición 14.21) implica que $fg$ es integrable si $f,g\in L^{2}(\Omega )$. Es sencillo comprobar que (\ref{peL2}) es un producto escalar que induce la norma de $L^{2}(\Omega )$. Sabemos que este espacio es completo (ver Teorema 14.27).

[Suma directa de espacios de Hilbert] Si $H_{i}$ es un espacio vectorial con producto escalar $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle_{i}$, $i=1,2$, entonces \begin{equation*} \left\langle (v_{1},v_{2}),(w_{1},w_{2})\right\rangle_{H_{1}\oplus H_{2}}:=\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle_{1}+\left\langle v_{2},w_{2}\right\rangle_{2},\quad v_{1},w_{1}\in H_{1},\text{ }v_{2},w_{2}\in H_{2}, \end{equation*} es un producto escalar en la suma directa $H_{1}\oplus H_{2}$. Si $H_{1}$ y $H_{2}$ son espacios de Hilbert, entonces $H_{1}\oplus H_{2}$ es un espacio de Hilbert.

Es sencillo comprobar que éste es un producto escalar en $H_{1}\oplus H_{2}$. La norma inducida es \begin{equation*} \left\Vert (v_{1},v_{2})\right\Vert =\sqrt{\left\Vert v_{1}\right\Vert_{1}^{2}+\left\Vert v_{2}\right\Vert _{2}^{2}}. \end{equation*} En consecuencia, $H_{1}\oplus H_{2}$ es un espacio de Hilbert si $H_{1}$ y $H_{2}$ lo son (ver Ejercicio 5.37).

No cualquier subespacio vectorial de un espacio de Hilbert resulta ser un espacio de Hilbert. Veamos un ejemplo.

$\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ con el producto escalar de $L^{2}(\Omega )$ no es un espacio de Hilbert.

Sea $f\in L^{2}(\Omega )\smallsetminus \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$. Por la Proposición 14.33, existe una sucesión $(g_{k})$ en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que $g_{k}\rightarrow f$ en $L^{2}(\Omega )$. Entonces, la sucesión $(g_{k})$ es de Cauchy pero no converge en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$.

Recuerda que un subespacio $A$ de un espacio métrico completo $X$ es completo si y sólo si $A$ es cerrado en $X$ (ver Proposición 5.9), de modo que se tiene lo siguiente.

Un subespacio vectorial $V$ de un espacio de Hilbert $H$ es un espacio de Hilbert si y sólo si $V$ es cerrado en $H$.

Complemento ortogonal

Sea $H$ un espacio de Hilbert con producto escalar $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle $.

Si $V$ es un subespacio vectorial de $H$, el espacio ortogonal a $V$ en $H$ se define como \begin{equation*} V^{\perp }:=\left\{ w\in H:\left\langle v,w\right\rangle =0\text{ }\forall v\in V\right\} . \end{equation*}

Es claro que $V^{\perp }$ es un subespacio vectorial de $H$. Nota que $V\subset (V^{\perp })^{\perp }$ pero, a diferencia de lo que ocurre en $\mathbb{R}^{n}$, no necesariamente se cumple que $V=(V^{\perp })^{\perp }$, como lo muestra el siguiente ejemplo.

El espacio ortogonal a $\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ en $L^{2}(\Omega )$ es $\left\{0\right\}$.

Si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )^{\perp }$ se cumple que \begin{equation*} \int_{\Omega }f\varphi =0\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ). \end{equation*} La Proposición 14.49 asegura entonces que $f=0$ en $L^{2}(\Omega )$.

La siguiente afirmación implica que una condición necesaria para que $V=(V^{\perp })^{\perp }$ es que $V$ sea cerrado en $H$. De hecho, esta condición también es suficiente [Ejercicio 15.39].

$V^{\perp }$ es un subespacio cerrado de $H$.

Si $(w_{k})$ es una sucesión en $V^{\perp }$ que converge a $w$ en $H$, entonces \begin{equation*} \left\langle v,w\right\rangle =\lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle v,w_{k}\right\rangle =0\qquad \forall v\in V \end{equation*} (ver Proposición 15.4). Por tanto, $w\in V^{\perp }$. Esto prueba que $V^{\perp }$ es cerrado en $H$.

El espacio ortogonal se puede describir del siguiente modo.

Sean $V$ un subespacio vectorial de $H$ y $w\in H$. Entonces \begin{equation*} w\in V^{\perp }\quad \Longleftrightarrow \quad \left\Vert w\right\Vert =\inf_{v\in V}\left\Vert w-v\right\Vert . \end{equation*}

$\Rightarrow )$: Si $w\in V^{\perp }$ entonces $\left\Vert w-v\right\Vert^{2}=\left\Vert w\right\Vert^{2}+\left\Vert v\right\Vert^{2}$ para todo $v\in V$. En consecuencia, $\left\Vert w\right\Vert \leq \left\Vert w-v\right\Vert $ y, como $\left\Vert w\right\Vert =\left\Vert w-0\right\Vert \geq \inf_{v\in V}\left\Vert w-v\right\Vert $, concluimos que \begin{equation*} \left\Vert w\right\Vert =\inf_{v\in V}\left\Vert w-v\right\Vert . \end{equation*} $\Leftarrow )$: Supongamos ahora que $\left\Vert w\right\Vert =\inf_{v\in V}\left\Vert w-v\right\Vert $. Para cada $v\in V$ con $\left\Vert v\right\Vert =1$ definimos $f_{v}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ como \begin{equation*} f_{v}(t):=\left\Vert w-tv\right\Vert^{2}=\left\Vert w\right\Vert ^{2}-2\left\langle w,v\right\rangle t+t^{2}. \end{equation*} Esta función es diferenciable y $t_{v}:=\left\langle w,v\right\rangle $ es el único punto crítico de $f_{v}$. Por hipótesis, se tiene que \begin{equation*} f_{v}(0)=\left\Vert w\right\Vert^{2}\leq \inf_{t\in \mathbb{R}}\left\Vert w-tv\right\Vert^{2}=\inf_{t\in \mathbb{R}}f_{v}(t). \end{equation*} Es decir, $0$ es un mínimo de $f_{v}$. En consecuencia, $0=\left\langle w,v\right\rangle $ para todo $v\in V$.

Probaremos ahora que, si $V$ es cerrado, el ínfimo se alcanza y es único.

Sea $V$ un subespacio vectorial cerrado de $H$. Entonces, para cada $u\in H$, existe un único $v\in V$ tal que \begin{equation} \left\Vert u-v\right\Vert =\inf_{w\in V}\left\Vert u-w\right\Vert . \label{inf} \end{equation}

Sea $u\in H$. Denotemos por \begin{equation*} d:=\inf_{w\in V}\left\Vert u-w\right\Vert . \end{equation*} Observa que para cualesquiera $w,\tilde{w}\in V$ se cumple que \begin{equation} \left\Vert w+\tilde{w}-2u\right\Vert =2\left\Vert \frac{w+\tilde{w}}{2}-u\right\Vert \geq 2d,\label{dp} \end{equation} ya que $\frac{1}{2}\left( w+\tilde{w}\right) \in V$. Tomemos una sucesión $\left( v_{k}\right) $ en $V$ tal que $\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u-v_{k}\right\Vert =d$. Dada $\varepsilon >0$ elegimos $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left\Vert u-v_{k}\right\Vert^{2}\menorque d^{2}+\frac{\varepsilon }{4}\qquad \forall k\geq k_{0}. \end{equation*} Aplicando la identidad del paralelogramo y la desigualdad (\ref{dp}) obtenemos \begin{align*} \left\Vert v_{j}-v_{k}\right\Vert^{2} &=\left\Vert \left( v_{j}-u\right) +\left( u-v_{k}\right) \right\Vert^{2} \\ &=2\left( \left\Vert u-v_{k}\right\Vert^{2}+\left\Vert u-v_{j}\right\Vert ^{2}\right) -\left\Vert \left( v_{j}-u\right) -\left( u-v_{k}\right) \right\Vert^{2} \\ &\menorque 4d^{2}+\varepsilon -4d^{2}=\varepsilon \qquad\text{ si }j,k\geq k_{0}. \end{align*} Esto prueba que $\left( v_{k}\right) $ es una sucesión de Cauchy en $V$. Dado que $V$ es de Hilbert (ver Proposición 15.9), existe $v\in V$ tal que $v_{k}\rightarrow v$ en $H$. En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert u-v\right\Vert =\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u-v_{k}\right\Vert =d. \end{equation*} Probaremos ahora que $v$ es único. Si $\tilde{v}\in V$ cumple que $\left\Vert \tilde{v}-u\right\Vert =d$ entonces, aplicando de nuevo la identidad del paralelogramo y la desigualdad (\ref{dp}) obtenemos \begin{equation*} \left\Vert v-\tilde{v}\right\Vert^{2}=2(\left\Vert v-u\right\Vert ^{2}+\left\Vert \tilde{v}-u\right\Vert^{2})-\left\Vert v+\tilde{v}-2u\right\Vert^{2}\leq 4d^{2}-4d^{2}=0. \end{equation*} Por tanto, $\tilde{v}=v$.

Sea $V$ un subespacio vectorial cerrado de $H$. La proyección ortogonal de $H$ sobre $V$ es la función \begin{equation*} P_{V}\colon H\rightarrow V \end{equation*} que a cada $u\in H$ le asocia el único elemento $P_{V}u$ de $V$ tal que \begin{equation*} \left\Vert u-P_{V}u\right\Vert =\inf_{w\in V}\left\Vert u-w\right\Vert . \end{equation*}

Las proposiciones anteriores proporcionan la siguiente caracterización de la proyección ortogonal.

Si $V$ es un subespacio cerrado de $H$ y $u\in H$, entonces $P_{V}u$ es el único elemento de $V$ tal que \begin{equation*} u-P_{V}u\in V^{\perp }. \end{equation*}

Si $v\in V$ la Proposición 15.13 asegura que \begin{equation*} u-v\in V^{\perp }\quad \Longleftrightarrow \quad \left\Vert u-v\right\Vert =\inf_{w\in V}\left\Vert u-v-w\right\Vert =\inf_{z\in V}\left\Vert u-z\right\Vert . \end{equation*} De la Proposición 15.14 se sigue que tal $v$ existe y es única y, por definición, $v=P_{V}u$.

El Ejemplo 15.11 muestra que la suma directa de $V$ y $V^{\perp }$ no necesariamente es todo $H$. Probaremos a continuación que $V\oplus V^{\perp }$ coincide con $H$ si $V$ es cerrado. En este caso el espacio $V^{\perp }$ se llama el complemento ortogonal de $V$ en $H$.

En lo que sigue $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\mathcal{L}(H,V)}$ denota a la norma definida en (9.1).

[Complemento ortogonal] Sea $V$ un subespacio vectorial cerrado de $H$. Se cumple lo siguiente:

La proyección ortogonal $P_{V}\colon H\rightarrow V$ es la única función lineal de $H$ en $V$ que cumple:

(a.1)

$P_{V}\circ P_{V}=P_{V}$,

(a.2)

$\ker P_{V}=V^{\perp }$.
$P_{V}$ es continua y $\left\Vert P_{V}\right\Vert _{\mathcal{L}(H,V)}=1$ si $V\neq \left\{0\right\}$.
La función $\iota \colon V\oplus V^{\perp }\rightarrow H$ dada por $\iota (v,w):=v+w$ es un isomorfismo lineal y una isometría.

(a): Probaremos primero que $P_{V}$ es lineal. Sean $u,\tilde{u}\in H$, $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Entonces, $\lambda P_{V}u+\mu P_{V}\tilde{u}\in V$ y \begin{equation*} \lambda u+\mu \tilde{u}-\left( \lambda P_{V}u+\mu P_{V}\tilde{u}\right) =\lambda \left( u-P_{V}u\right) +\mu \left( \tilde{u}-P_{V}\tilde{u}\right) \in V^{\perp }. \end{equation*} Del Corolario 15.16 se sigue que $P_{V}\left( \lambda u+\mu \tilde{u}\right) =\lambda P_{V}u+\mu P_{V}\tilde{u}$.

El Corolario 15.16 implica además que $P_{V}v=v$ para todo $v\in V$. En consecuencia, $P_{V}(P_{V}u)=P_{V}u$ para todo $u\in H$, es decir, $P_{V}$ satisface (a.1). La afirmación (a.2) es consecuencia inmediata del mismo corolario.

Si $T\colon H\rightarrow V$ es una función lineal que satisface (a.1) entonces, para todo $u\in H$, se cumple que $T(u-Tu)=0$. Si además $T$ satisface (a.2), entonces $u-Tu\in V^{\perp }$ y el Corolario 15.16 asegura que $Tu=P_{V}u$. Esto demuestra la unicidad.

(b): Dado que $u=P_{V}u+(u-P_{V}u)$ y $\left\langle u-P_{V}u,P_{V}u\right\rangle =0$, se tiene que \begin{equation} \left\Vert u\right\Vert^{2}=\left\Vert P_{V}u\right\Vert^{2}+\left\Vert u-P_{V}u\right\Vert^{2}.\label{cort3} \end{equation} En particular, \begin{equation*} \left\Vert P_{V}u\right\Vert \leq \left\Vert u\right\Vert \qquad \forall u\in H, \end{equation*} lo que implica que $P_{V}$ es continua y, además, que \begin{equation*} \left\Vert P_{V}\right\Vert_{\mathcal{L}(H,V)}:=\sup_{u\in H\smallsetminus \left\{0\right\}}\frac{\left\Vert P_{V}u\right\Vert }{\left\Vert u\right\Vert }\leq 1. \end{equation*} Por otra parte, si $v\in V$ y $v\neq \left\{0\right\}$, entonces $P_{V}v=v$ y \begin{equation*} \frac{\left\Vert P_{V}v\right\Vert }{\left\Vert v\right\Vert }=1. \end{equation*} Concluimos que $\left\Vert P_{V}\right\Vert_{\mathcal{L}(H,V)}=1$.

(c): La función $\iota \colon V\oplus V^{\perp }\rightarrow H$ dada por $\iota (v,w):=v+w$ es claramente lineal y la función \begin{equation*} H\rightarrow V\oplus V^{\perp },\qquad u\mapsto (P_{V}u,\text{ }u-P_{V}u), \end{equation*} es su inverso. De modo que $\iota $ es un isomorfismo de espacios vectoriales. La identidad (\ref{cort3}) prueba que $\iota $ es una isometría para la métrica de $V\oplus V^{\perp }$ definida en el Ejemplo 15.7.

El teorema de representación de Fréchet-Riesz

El objetivo de esta sección es describir al espacio $\mathcal{L}(H,\mathbb{R})$ de las funciones lineales y continuas de un espacio de Hilbert $H$ a $\mathbb{R}$ (ver sección 9.1). A este espacio se le llama el dual topológico de $H$.

Para cada $w\in H$ la función \begin{equation*} T_{w}\colon H\rightarrow \mathbb{R},\qquad T_{w}u:=\left\langle w,u\right\rangle , \end{equation*} es lineal y continua y cumple que \begin{equation} \left\Vert T_{w}\right\Vert_{\mathcal{L}(H,\mathbb{R})}=\left\Vert w\right\Vert .\label{riesz2} \end{equation}

Las propiedades (PE1) y (PE2) aseguran que $T_{w}$ es lineal y la Proposición 15.4 asegura que $T_{w}$ es continua. Si $w=0$ entonces (\ref{riesz2}) se satisface trivialmente. Si $w\neq 0$, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz obtenemos que \begin{equation*} \left\Vert w\right\Vert =\frac{\left\vert T_{w}w\right\vert }{\left\Vert w\right\Vert }\leq \sup_{u\in H\smallsetminus \left\{0\right\}}\frac{\left\vert T_{w}u\right\vert }{\left\Vert u\right\Vert }\leq \sup_{u\in H\smallsetminus \left\{0\right\}}\frac{\left\Vert w\right\Vert \left\Vert u\right\Vert }{\left\Vert u\right\Vert }=\left\Vert w\right\Vert . \end{equation*} Esto prueba que $\left\Vert w\right\Vert =\left\Vert T_{w}\right\Vert_{\mathcal{L}(H,\mathbb{R})}$.

El teorema de representación de Fréchet-Riesz da una descripción completa del dual topológico de $H$. Afirma que las funciones $T_{w}$ son los únicos elementos de $\mathcal{L}(H,\mathbb{R})$.

Frigyes Riesz

Frigyes Riesz (1880-1956) nació en Gy\H{o}r, en el reino de Hungría, entonces parte del imperio Austro-Húngaro. Estudió en la Universidad de Budapest. Junto con Haar fundó en 1922 el Instituto de Matemáticas János Bolyai de la Universidad de Szeged, de la que fue profesor y rector.

[de representación de Fréchet-Riesz] Sean $H$ un espacio de Hilbert y $T\colon H\rightarrow \mathbb{R}$ una función lineal y continua. Entonces existe un único $w\in H$ tal que \begin{equation} Tu=\left\langle w,u\right\rangle =:T_{w}u\qquad \forall u\in H.\label{riesz} \end{equation} Más aún, la función $\iota \colon H\rightarrow \mathcal{L}(H,\mathbb{R})$ dada por $\iota w:=T_{w}$ es un isomorfismo lineal y una isometría.

Sea $T\in \mathcal{L}(H,\mathbb{R})$ y denotemos por $V:=\ker T$. Como $T$ es continua, $V$ es un subespacio cerrado de $H$. Si $V=H$, entonces $T=0$ y $w=0$ cumple (\ref{riesz}). Si $V\neq H$, el Teorema 15.17 asegura que $V^{\perp }\neq \left\{0\right\}$. Escojamos $w_{0}\in V^{\perp }$ tal que $\left\Vert w_{0}\right\Vert =1$. Entonces $Tw_{0}\neq 0$. Definimos \begin{equation*} w:=\left( Tw_{0}\right) w_{0}. \end{equation*} Observa que \begin{equation*} T\left( u-\frac{Tu}{Tw_{0}}w_{0}\right) =Tu-\frac{Tu}{Tw_{0}}Tw_{0}=0\qquad \forall u\in H. \end{equation*} Por tanto, $u-\frac{Tu}{Tw_{0}}w_{0}\in V$, de lo cual concluimos que \begin{equation*} \left\langle w,u\right\rangle =\left\langle w,u-\frac{Tu}{Tw_{0}}w_{0}\right\rangle +\frac{Tu}{Tw_{0}}\left\langle w,w_{0}\right\rangle =\left( Tu\right) \left\langle w_{0},w_{0}\right\rangle =Tu\qquad \forall u\in H. \end{equation*} Si algún otro $\tilde{w}\in H$ cumple (\ref{riesz}), entonces $\left\langle w-\tilde{w},u\right\rangle =0$ para todo $u\in H$, en particular para $u=w-\tilde{w}$. Por tanto, $\left\Vert w-\tilde{w}\right\Vert^{2}=0$, lo que implica que $\tilde{w}=w$.

Por último, de la bilinealidad del producto escalar se sigue que \begin{equation*} \iota (\lambda w_{1}+\mu w_{2})u=\left\langle \lambda w_{1}+\mu w_{2},u\right\rangle =\lambda \left\langle w_{1},u\right\rangle +\mu \left\langle w_{2},u\right\rangle =\left[ \lambda \left( \iota w_{1}\right) +\mu (\iota w_{2})\right] u \end{equation*} para todo $u\in H$. Por tanto $\iota $ es lineal. De la primera afirmación de este teorema se sigue que $\iota $ es biyectiva, y la identidad (\ref{riesz2}) asegura que $\iota $ es una isometría.

El teorema de representación de Fréchet-Riesz tiene aplicaciones muy importantes. Permite, por ejemplo, definir el gradiente de una función diferenciable $\varphi \colon H\rightarrow \mathbb{R}$ [Ejercicio 15.42] o probar la existencia y unicidad de soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales con condicion de frontera (ver Teorema 16.29).

El siguiente resultado afirma que el elemento $w\in H$ dado por el teorema anterior es el mínimo de un funcional\footnote{A las funciones definidas en un espacio de Banach que toman valores reales se les suele llamar funcionales en vez de funciones.}. A esta propiedad se le conoce como el principio de Dirichlet.

Gustav Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) nació en Düren, entonces parte del imperio francés y actualmente de Alemania. Estudió en el Collège de France y en la Facultad de Ciencias de París. Fue profesor en las universidades de Berlín y de Göttingen.

[Principio de Dirichlet] Sean $V$ un espacio vectorial con producto escalar y $T\in \mathcal{L}(V,\mathbb{R})$. Entonces, $w\in V$ satisface \begin{equation*} \left\langle w,u\right\rangle =Tu\qquad \forall u\in V \end{equation*} si y sólo si $w$ es un mínimo del funcional $J\colon V\rightarrow \mathbb{R}$ dado por \begin{equation*} J(u):=\tfrac{1}{2}\left\Vert u\right\Vert^{2}-Tu. \end{equation*}

$\Rightarrow )$: Si $\left\langle w,u\right\rangle =Tu$ para todo $u\in V$, entonces \begin{align*} J(u)-J(w) &=\tfrac{1}{2}\left\Vert u\right\Vert ^{2}-T(u)-\tfrac{1}{2} \left\Vert w\right\Vert ^{2}+Tw \\ &=\tfrac{1}{2}\left\Vert u\right\Vert ^{2}-\left\langle w,u\right\rangle + \tfrac{1}{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2} \\ &=\tfrac{1}{2}\left\Vert u-w\right\Vert ^{2}\geq 0\qquad \forall u\in V. \end{align*} $\Leftarrow )$: Supongamos ahora que $w$ es un mínimo de $J$. Para cada $u\in V$ consideremos la función $J_{u}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} J_{u}(t):=J(w+tu)=\tfrac{1}{2}\left\Vert w\right\Vert^{2}+\left\langle w,u\right\rangle t+\tfrac{1}{2}\left\Vert u\right\Vert^{2}t^{2}-Tw-(Tu)t. \end{equation*} Esta función es diferenciable y su derivada es \begin{equation*} J_{u}^{\prime }(t)=\left\langle w,u\right\rangle +\left\Vert u\right\Vert ^{2}t-Tu. \end{equation*} Como $w$ es un mínimo de $J$, se tiene que$ 0$ es un mínimo $J_{u}$. Por tanto, $J_{u}^{\prime }(0)=\left\langle w,u\right\rangle -Tu=0$ para todo $u\in V$.

Bases de Hilbert

Dado un subconjunto $\mathcal{X}$ de $H$, denotamos por $\lin(\mathcal{X})$ al subespacio vectorial de $H$ generado por $\mathcal{X}$, es decir, \begin{equation} \lin(\mathcal{X}):=\left\{ \sum_{i=1}^{m}\alpha _{i}v_{i}:\alpha_{i}\in \mathbb{R}\text{, }v_{i}\in \mathcal{X},\text{ }m\in \mathbb{N}\right\} .\label{linX} \end{equation}

Un subconjunto $\mathcal{O}$ de un espacio de Hilbert $H$ se llama un conjunto ortogonal si \begin{equation*} \left\langle u,v\right\rangle =0\qquad \forall u,v\in \mathcal{O},\text{ }u\neq v. \end{equation*} Si además \begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert =1\qquad \forall u\in \mathcal{O}, \end{equation*} se dice que $\mathcal{O}$ es un conjunto ortonormal..

Un subconjunto $\mathcal{B}$ de $H$ se llama una base de Hilbert de $H$ si es ortonormal y lin$(\mathcal{B})$ es denso en $H$, es decir, \begin{equation*} H=\overline{\text{lin}(\mathcal{B})}. \end{equation*}

Observa que, en general, una base de Hilbert de $H$ no es una base de $H$ en el sentido del álgebra lineal, es decir, $\lin(\mathcal{B})$ no necesariamente coincide con $H$, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Sea $\overline{e}_{k}=(e_{k,j})$ la sucesión cuyos términos son $e_{k,k}=1$ y $e_{k,j}=0$ si $k\neq j$. Entonces $\mathcal{B}:=\left\{\overline{e}_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es una base de Hilbert de $\ell_{2}$.

Claramente $\mathcal{B}:=\left\{\overline{e}_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es un subconjunto ortonormal de $\ell_{2}$. Los elementos de $\lin(\mathcal{B})$ son combinaciones lineales finitas de elementos de $\mathcal{B}$, en consecuencia \begin{equation*} \lin(\mathcal{B})=\left\{(x_{k})\in \ell_{2}:\text{existe }k_{0}\in \mathbb{N}\text{ tal que }x_{k}=0\text{ }\forall k\geq k_{0}\right\}. \end{equation*} De modo que $\lin(\mathcal{B})\neq \ell_{2}$. Veamos que $\ell _{2}=$ $\overline{\lin(\mathcal{B})}$. En efecto: dado $\overline{x}=(x_{j})\in \ell_{2}$, si denotamos por $\overline{x}_{k}$ a la sucesión cuyos términos son $\overline{x}_{k,j}:=x_{j}$ si $j\leq k$ y $\overline{x}_{k,j}:=0$ si $j>k$, entonces $\overline{x}_{k}\in \lin(\mathcal{B})$ y $\overline{x}_{k}\rightarrow \overline{x}$ en $\ell_{2}$.

Convergencia débil

Vimos que, a diferencia de lo que ocurre en $\mathbb{R}^{n}$, en cualquier espacio de Banach de dimensión infinita existen sucesiones acotadas que no contienen ninguna subsucesión convergente (ver Ejercicio 5.39). Introduciremos a continuación una noción de convergencia, más débil que la usual, para la cual se cumple que cualquier sucesión acotada contiene una subsucesión convergente. En los próximos capítulos daremos aplicaciones importantes de este resultado.

Sea $H$ un espacio de Hilbert.

Una sucesión $(u_{k})$ en $H$ converge débilmente a $u$ en $H$ si, para cada $v\in H$, se cumple que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle u_{k},v\right\rangle =\left\langle u,v\right\rangle . \end{equation*} Se dice entonces que $u$ es el límite débil de $(u_{k})$ en $H$. Se escribe $u_{k}\rightharpoonup u$ para denotar que $(u_{k})$ converge débilmente a $u$.

Es sencillo comprobar que el límite débil de una sucesión, de existir, es único [Ejercicio 15.49].

Cuando la notación anterior se pueda prestar a confusión, escribiremos \begin{equation*} u_{k}\rightharpoonup u\text{ débilmente en }H \end{equation*} si $(u_{k})$ converge débilmente a $u$ en $H$ y, si $(u_{k})$ converge a $u$ en $H$ en el sentido usual, escribiremos \begin{equation*} u_{k}\rightarrow u\text{ fuertemente en }H. \end{equation*}

Si $u_{k}\rightarrow u$ fuertemente en $H$, entonces $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H$.

Si $u_{k}\rightarrow u$ fuertemente en $H$ entonces la Proposición 15.4 asegura que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle u_{k},v\right\rangle =\left\langle u,v\right\rangle \qquad \forall v\in H, \end{equation*} es decir, $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H$.

En espacios de dimensión finita ambas nociones de convergencia coinciden [Ejercicio 15.50]. No así en espacios de dimensión infinita, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Si $\mathcal{O}=\left\{e_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es un subconjunto ortonormal de $H$, entonces $e_{k}\rightharpoonup 0$ débilmente en $H$ pero $(e_{k})$ no converge fuertemente en $H$.

Sea $v\in H$.

Caso 1: $v\in \lin(\mathcal{O})$.

Si $v=\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}e_{i}$ con $\alpha_{i}\in \mathbb{R}$ entonces $\left\langle e_{k},v\right\rangle =0$ para todo $k>m$. Por tanto, \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle e_{k},v\right\rangle =0\qquad \forall v\in \lin(\mathcal{O}). \end{equation*}

Caso 2: $v\in V:=$ $\overline{\lin(\mathcal{O})}$.

Dada $\varepsilon >0$ escogemos $w\in \lin(\mathcal{O})$ y $k_{0}\in \mathbb{N}$ tales que \begin{equation*} \left\Vert v-w\right\Vert <\frac{\varepsilon }{2}\qquad\text{ y\qquad }\left\vert \left\langle e_{k},w\right\rangle \right\vert <\frac{\varepsilon }{2}\text{ }\forall k\geq k_{0}. \end{equation*} Entonces, como $\left\Vert e_{k}\right\Vert =1$, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz obtenemos \begin{equation*} \left\vert \left\langle e_{k},v\right\rangle \right\vert \leq \left\vert \left\langle e_{k},v-w\right\rangle \right\vert +\left\vert \left\langle e_{k},w\right\rangle \right\vert \leq \left\Vert e_{k}\right\Vert \left\Vert v-w\right\Vert +\left\vert \left\langle e_{k},w\right\rangle \right\vert <\varepsilon \text{ }\forall k\geq k_{0}. \end{equation*} Esto prueba que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle e_{k},v\right\rangle =0\qquad \forall v\in V. \end{equation*}

Caso 3: $ v\in V^{\perp }$.

En este caso $\left\langle e_{k},v\right\rangle =0$ para todo $k\in \mathbb{N}$.

Caso 4: $ v\in H$ arbitrario.

Como $V$ es un subespacio cerrado de $H$, el Teorema 15.17 asegura que $v=v_{1}+v_{2}$ con $v_{1}\in V$ y $v_{2}\in V^{\perp }$. De los dos casos anteriores se sigue entonces que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle e_{k},v\right\rangle =\lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle e_{k},v_{1}\right\rangle +\lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle e_{k},v_{2}\right\rangle =0=\left\langle 0,v\right\rangle \qquad \forall v\in H. \end{equation*} Esto prueba que $e_{k}\rightharpoonup 0$ débilmente en $H$.

Finalmente observa que \begin{equation*} \bigl\Vert e_{k}-e_{j}\bigr\Vert^{2}=\bigl\Vert e_{k}\bigr\Vert^{2} +\bigl\Vert e_{j}\bigr\Vert^{2}=2\qquad \forall k\neq j. \end{equation*} En consecuencia $(e_{k})$ no converge fuertemente en $H$.

Si $(u_{k})$ converge débilmente a $u$ en $H$, entonces \begin{equation} \left\Vert u\right\Vert \leq \liminf_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}\right\Vert .\label{eqnormsci} \end{equation}
Si $(u_{k})$ converge débilmente a $u$ en $H$, entonces $(u_{k})$ converge fuertemente a $u$ en $H$ si y sólo si \begin{equation} \left\Vert u\right\Vert =\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}\right\Vert .\label{c} \end{equation}

(a): Supongamos que $(u_{k})$ converge débilmente a $u$ en $H$. Si $u=0$, la desigualdad (\ref{eqnormsci}) se cumple trivialmente. Si $u\neq 0$, de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se sigue que \begin{equation*} \frac{\left\langle u_{k},u\right\rangle }{\left\Vert u\right\Vert }\leq \left\Vert u_{k}\right\Vert \qquad \forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} Como $\left\langle u_{k},u\right\rangle \rightarrow \left\Vert u\right\Vert^{2}$, tomando límites inferiores concluimos que \begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert =\lim_{k\rightarrow \infty }\frac{\left\langle u_{k},u\right\rangle }{\left\Vert u\right\Vert }=\liminf_{k\rightarrow \infty }\frac{\left\langle u_{k},u\right\rangle }{\left\Vert u\right\Vert }\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}\right\Vert . \end{equation*}

(b): Si $(u_{k})$ converge débilmente a $u$ en $H$, entonces $\left\langle u_{k},u\right\rangle \rightarrow \left\Vert u\right\Vert^{2}$. De la identidad \begin{equation*} \left\Vert u_{k}-u\right\Vert^{2}=\left\Vert u_{k}\right\Vert ^{2}-2\left\langle u_{k},u\right\rangle +\left\Vert u\right\Vert^{2},\qquad k\in \mathbb{N}, \end{equation*} se sigue entonces que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}-u\right\Vert^{2}=0\quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}\right\Vert =\left\Vert u\right\Vert , \end{equation*} como afirma el enunciado.

Probaremos a continuación que toda sucesión acotada en $H$ contiene una subsucesión débilmente convergente. Requerimos el siguiente lema.

Sea $(u_{k})$ una sucesión acotada en $H$ tal que la sucesión $(\left\langle u_{k},v\right\rangle )$ converge en $\mathbb{R}$ para cada $v\in H$. Entonces existe $u\in H$ tal que $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H$.

La función $T\colon H\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} Tv:=\lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle u_{k},v\right\rangle \end{equation*} es claramente lineal. Sea $c\in \mathbb{R}$ tal que $\left\Vert u_{k}\right\Vert \leq c$ para todo $k\in \mathbb{N}$. De la desigualdad de Cauchy-Schwarz se sigue que \begin{equation*} \left\vert \left\langle u_{k},v\right\rangle \right\vert \leq \left\Vert u_{k}\right\Vert \left\Vert v\right\Vert \leq c\left\Vert v\right\Vert \qquad \forall k\in \mathbb{N}\text{, }\forall v\in H. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \left\vert Tv\right\vert =\lim_{k\rightarrow \infty }\left\vert \left\langle u_{k},v\right\rangle \right\vert \leq c\left\Vert v\right\Vert \qquad \forall v\in H. \end{equation*} Esto prueba que $T$ es continua. Por el teorema de representación de Fréchet-Riesz (Teorema 15.19) existe $u\in H$ tal que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\langle u_{k},v\right\rangle =:Tv=\left\langle u,v\right\rangle \qquad \forall v\in H. \end{equation*} Esto prueba que $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H$.

La propiedad fundamental de la convergencia débil es la siguiente.

Toda sucesión acotada en $H$ contiene una subsucesión débilmente convergente en $H$.

Sea $(u_{k})$ una sucesión acotada en $H$ y sea $c\in \mathbb{R}$ tal que $\left\Vert u_{k}\right\Vert \leq c$ para todo $k\in \mathbb{N}$. De la desigualdad de Cauchy-Schwarz se sigue que \begin{equation*} \left\vert \left\langle u_{k},u_{1}\right\rangle \right\vert \leq \left\Vert u_{k}\right\Vert \left\Vert u_{1}\right\Vert \leq c\left\Vert u_{1}\right\Vert . \end{equation*} Es decir, la sucesión de números reales $(\left\langle u_{k},u_{1}\right\rangle )$ está acotada y, por tanto, existe una subsucesión $(u_{k}^{1})$ de $(u_{k})$ tal que $(\left\langle u_{k}^{1},u_{1}\right\rangle )$ converge en $\mathbb{R}$. La sucesión $(\left\langle u_{k}^{1},u_{2}\right\rangle )$ también está acotada y, por tanto, existe una subsucesión $(u_{k}^{2})$ de $(u_{k}^{1})$ tal que $(\left\langle u_{k}^{2},u_{2}\right\rangle )$ converge en $\mathbb{R}$. Continuando de este modo obtenemos, para cada $m\in \mathbb{N}$, una subsucesión $(u_{k}^{m})$ de $(u_{k}^{m-1})$ tal que $(\left\langle u_{k}^{m},u_{m}\right\rangle )$ converge en $\mathbb{R}$ cuando $k\rightarrow \infty $. Definimos $w_{k}:=u_{k}^{k}$. La sucesión $(w_{k}) $ es una subsucesión de $(u_{k})$. Probaremos que $(w_{k})$ converge débilmente en $H$. De acuerdo con el Lema 15.28 basta probar que la sucesión $(\left\langle w_{k},v\right\rangle )$ converge en $\mathbb{R}$ para cada $v\in H$. Consideramos cuatro casos.

Caso 1: $ v=u_{m}$.

Observa que la subsucesión $(w_{m},w_{m+1},\dots)$ de $(w_{k})$ es una subsucesión de $(u_{j}^{m})$. En consecuencia, $(\left\langle w_{k},u_{m}\right\rangle )$ converge en $\mathbb{R}$ cuando $k\rightarrow \infty $.

Caso 2: $ v\in V:= \lin(\left\{u_{m}:m\in \mathbb{N}\right\})$.

Del caso anterior y la bilinealidad del producto escalar se sigue que $(\left\langle w_{k},v\right\rangle )$ converge en $\mathbb{R}$.

Caso 3: $ v\in \overline{V}$.

Dada $\varepsilon >0$ elegimos $w\in V$ tal que $\left\Vert v-w\right\Vert <\frac{\varepsilon }{4c}$. El caso anterior asegura que la sucesión $(\left\langle w_{k},w\right\rangle )$ es de Cauchy en $\mathbb{R}$. Por tanto, existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $\left\vert \left\langle w_{k}-w_{j},w\right\rangle \right\vert <\frac{\varepsilon }{2}$ si $k,j\geq k_{0}$. En consecuencia, \begin{align*} \left\vert \left\langle w_{k}-w_{j},v\right\rangle \right\vert &\leq \left\vert \left\langle w_{k}-w_{j},v-w\right\rangle \right\vert +\left\vert \left\langle w_{k}-w_{j},w\right\rangle \right\vert \\[4pt] &\leq \left\Vert w_{k}-w_{j}\right\Vert \left\Vert v-w\right\Vert +\left\vert \left\langle w_{k}-w_{j},w\right\rangle \right\vert \\[4pt] &\leq \left( \left\Vert w_{k}\right\Vert +\left\Vert w_{j}\right\Vert \right) \left\Vert v-w\right\Vert +\left\vert \left\langle w_{k}-w_{j},w\right\rangle \right\vert \\[4pt] &\menorque 2c\frac{\varepsilon }{4c}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \qquad\text{ si }k,j\geq k_{0}. \end{align*} Esto prueba que la sucesión $(\left\langle w_{k},v\right\rangle )$ es de Cauchy en $\mathbb{R}$ y, por tanto, converge.

Caso 4: $ v\in H$ arbitrario.

Como $\overline{V}$ es cerrado en $H$, el Teorema 15.17 asegura que $v=w+z$ con $w\in \overline{V}$ y $z\in \overline{V}^{\perp }$. Por tanto, \begin{equation*} \left\langle w_{k},v\right\rangle =\left\langle w_{k},w\right\rangle +\left\langle w_{k},z\right\rangle =\left\langle w_{k},w\right\rangle . \end{equation*} Aplicando el caso anterior concluimos que la sucesión $(\left\langle w_{k},v\right\rangle )$ converge.

Para concluir, probaremos que toda sucesión débilmente convergente está acotada. Usaremos el siguiente resultado de Baire.

René-Louis Baire

René-Louis Baire (1874-1932) nació en París. Estudió en la École Normale Supérieure y fue profesor de la Universidad de Borgoña en Dijon.

[de Baire] Si $X$ es un espacio métrico completo no vacío y $X_{1},X_{2},\ldots $ es una sucesión de subconjuntos cerrados de $X$ tales que \begin{equation} X=\bigcup_{m=1}^{\infty }X_{m},\label{union} \end{equation} entonces int$(X_{m_{0}})\neq \emptyset $ para algún $m_{0}\in \mathbb{N}$.

Argumentando por contradicción, supongamos que int$(X_{m})=\emptyset $ para todo $m\in \mathbb{N}$. Tomemos $x_{1}\in X$ y $r_{1}\in (0,\frac{1}{2})$. Como $B_{X}(x_{1},r_{1})\cap (X\smallsetminus X_{1})\neq \emptyset $, existen $x_{2}\in X$ y $r_{2}\in (0,\frac{1}{4})$ tales que $\bar{B}_{X}(x_{2},r_{2})\subset B_{X}(x_{1},r_{1})\cap (X\smallsetminus X_{1})$. Continuando de este modo obtenemos $x_{m}\in X$ y $r_{m}\in (0,\frac{1}{2^{m}})$ tales que \begin{equation} \bar{B}_{X}(x_{m},r_{m})\subset B_{X}(x_{m-1},r_{m-1})\cap (X\smallsetminus X_{m-1})\qquad \forall m>1.\label{encaje} \end{equation} Se tiene entonces que \begin{equation} d_{X}(x_{i},x_{m})\menorque r_{m}<\tfrac{1}{2^{m}}\qquad \forall i\geq m\geq 1. \label{cau} \end{equation} En consecuencia, la sucesión $(x_{i})$ es de Cauchy en $X$ y, como $X$ es completo, $x_{i}\rightarrow x$ en $X$. Haciendo tender $i\rightarrow \infty $ en (\ref{cau}) obtenemos que \begin{equation*} d_{X}(x,x_{m})\leq r_{m}\qquad \forall m\in \mathbb{N}. \end{equation*} Se sigue de (\ref{encaje}) que $x\in X\smallsetminus X_{m}$ para todo $m\in \mathbb{N}$, lo cual contradice (\ref{union}).

Si $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H$ entonces $(u_{k})$ está acotada en $H$.

Para cada $m\in \mathbb{N}$ definimos \begin{equation*} X_{m}:=\left\{w\in H:\left\vert \left\langle u_{k},w\right\rangle \right\vert \leq m\text{ }\forall k\in \mathbb{N}\right\}. \end{equation*} Claramente, $X_{m}$ es cerrado en $H$. Además, como para cada $w\in H$ la sucesión $(\left\langle u_{k},w\right\rangle )$ está acotada en $\mathbb{R}$, se tiene que \begin{equation*} H=\bigcup_{m=1}^{\infty }X_{m}. \end{equation*} Por el lema de Baire, existen $m_{0}\in \mathbb{N}$, $w_{0}\in X_{m_{0}}$ y $\delta >0$ tales que $B_{H}(w_{0},\delta )\subset X_{m_{0}}$. Entonces, si $\left\Vert u_{k}\right\Vert \neq 0$, se cumple que $w_{0}+\frac{\delta }{2} \frac{u_{k}}{\left\Vert u_{k}\right\Vert }\in X_{m_{0}}$ y, por tanto, \begin{equation*} \frac{\delta }{2}\left\Vert u_{k}\right\Vert =\left\langle u_{k},\frac{ \delta }{2}\frac{u_{k}}{\left\Vert u_{k}\right\Vert }\right\rangle \leq \left\vert \left\langle u_{k},w_{0}+\frac{\delta }{2}\frac{u_{k}}{\left\Vert u_{k}\right\Vert }\right\rangle \right\vert +\left\vert \left\langle u_{k},w_{0}\right\rangle \right\vert \leq 2m_{0}. \end{equation*} Esto implica que $\left\Vert u_{k}\right\Vert \leq \frac{4}{\delta }m_{0}$ para todo $k\in \mathbb{N}$.

Ejercicios

¿Es \begin{equation*} \left\langle f,g\right\rangle :=\int_{0}^{1/2}fg \end{equation*} un producto escalar en $\mathcal{C}^{0}[0,1]$?

[Teorema de Pitágoras] Prueba que, si $V$ es un espacio vectorial con producto escalar y $\left\langle v,w\right\rangle =0$, entonces \begin{equation*} \left\Vert v+w\right\Vert^{2}=\left\Vert v\right\Vert^{2}+\left\Vert w\right\Vert^{2}. \end{equation*}

[Identidad del paralelogramo] Demuestra que, si $\left\Vert \cdot \right\Vert $ es la norma inducida por un producto escalar en $V$, entonces \begin{equation*} \left\Vert v+w\right\Vert^{2}+\left\Vert v-w\right\Vert^{2}=2(\left\Vert v\right\Vert^{2}+\left\Vert w\right\Vert^{2})\qquad \forall v,w\in V. \end{equation*}

Sea $(V,\left\Vert \cdot \right\Vert )$ un espacio normado. Prueba que, si la norma cumple la ley del paralelogramo \begin{equation*} \left\Vert v+w\right\Vert^{2}+\left\Vert v-w\right\Vert^{2}=2(\left\Vert v\right\Vert^{2}+\left\Vert w\right\Vert^{2})\qquad \forall v,w\in V, \end{equation*} entonces \begin{equation*} \left\langle v,w\right\rangle :=\frac{1}{4}\left( \left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert^{2}\right) \end{equation*} es un producto escalar en $V$ tal que $\left\Vert v\right\Vert ^{2}=\left\langle v,v\right\rangle $ para todo $v\in V$. (Sugerencia: Para probar que $\left\langle \lambda v,w\right\rangle =\lambda \left\langle v,w\right\rangle $ demuéstralo primero para $\lambda \in \mathbb{Q}$ y usa la continuidad para demostrarlo para $\lambda \in \mathbb{R}$.)

Sea $V_{i}$ espacio vectorial con producto escalar $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle_{i}$, $i=1,2$. Prueba que, si $\iota \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$ es una isometría lineal, entonces \begin{equation*} \left\langle \iota v,\iota w\right\rangle_{2}=\left\langle v,w\right\rangle _{1}\qquad \forall v,w\in V_{1}. \end{equation*}

Demuestra que las normas de los siguientes espacios no están inducidas por ningún producto escalar.

$\mathbb{R}_{p}^{n}=(\mathbb{R}^{n},\left\Vert \cdot \right\Vert_{p})$ con $p\in [1,\infty ]$, $p\neq 2$ (ver (2.4)).
$\ell_{p}$ con $p\in [1,\infty ]$, $p\neq 2$ (ver Proposición 2.15).
$L^{p}(\Omega )$ con $p\in [1,\infty ]$, $p\neq 2$ (ver Definiciones 14.18 y 14.19).

Prueba que todo subespacio vectorial de dimensión finita de un espacio de Hilbert $H$ es cerrado en $H$.

Sea $V$ un subespacio vectorial de un espacio de Hilbert $H$. Demuestra las siguientes afirmaciones:

$(\overline{V})^{\perp }=V^{\perp }$.
Si $V$ es cerrado en $H$, entonces $(V^{\perp })^{\perp }=V$.
$(V^{\perp })^{\perp }=\overline{V}$.
Si $V$ es denso en $H$ entonces $V^{\perp }=\left\{0\right\}$.

Prueba que, si $f\in L^{2}(\Omega )\smallsetminus \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$, no existe ningún $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que \begin{equation*} \left\Vert f-g\right\Vert_{2}=\inf_{h\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )}\left\Vert f-h\right\Vert_{2}. \end{equation*} Es decir, la Proposición 15.14 no es válida, en general, si $V$ no es cerrado en $H$.

Un subconjunto $C$ de un espacio vectorial es convexo si $(1-t)x+ty\in C$ para cualesquiera $x,y\in C$ y $t\in [0,1]$.

Prueba que, si $C$ es un subconjunto cerrado y convexo de un espacio de Hilbert $H$ y $u\in H$, entonces existe un único $v\in C $tal que \begin{equation*} \left\Vert u-v\right\Vert =\inf_{w\in C}\left\Vert u-w\right\Vert . \end{equation*}

[Gradiente de una función diferenciable] Sean $U$ un subconjunto abierto de $H$ y $\varphi \colon U\rightarrow \mathbb{R}$ una función diferenciable.

Prueba que, para cada $u\in U$, existe un único elemento $\nabla \varphi (u)\in H$ tal que \begin{equation*} \varphi^{\prime }(u)v=\left\langle \nabla \varphi (u),v\right\rangle \qquad \forall v\in H. \end{equation*} $\nabla \varphi (u)$ se llama el gradiente de $\varphi $ en $u$.
Prueba que $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ si y sólo si la función \begin{equation*} \nabla \varphi \colon U\rightarrow H,\qquad u\mapsto \nabla \varphi (u), \end{equation*} es continua.
Si $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$, prueba que $c\in \mathbb{R}$ es un valor regular de $\varphi $ si y sólo si $\nabla \varphi (u)\neq 0$ para todo $u\in M:=\varphi ^{-1}(c)$.

En las siguientes afirmaciones supondremos que $\varphi$ es de clase $\mathcal{C}^{1}$, que $c\in \mathbb{R}$ es un valor regular de $\varphi $ y que $M:=\varphi^{-1}(c)$. Recuerda que, en ese caso,$M$ es una subvariedad de clase $\mathcal{C}^{1}$ de $H$. Las definiciones necesarias se encuentran en el Capítulo 10.

Prueba que el espacio tangente a $M$ en el punto $u\in M$ es el espacio ortogonal a $\nabla \varphi (u)$, es decir, \begin{equation*} T_{u}M=\left\{v\in H:\left\langle \nabla \varphi (u),v\right\rangle =0\right\}. \end{equation*}
(Multiplicador de Lagrange) Sea $\psi \colon U\rightarrow \mathbb{R}$ una función de clase $\mathcal{C}^{1}$. Prueba que $u$ es un punto crítico de $\psi $ en $M$ si y sólo si existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que \begin{equation*} \nabla \psi (u)=\lambda \nabla \varphi (u). \end{equation*}

En un espacio de Hilbert $H$ considera la función $\phi \colon H\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\phi (u):=\left\Vert u\right\Vert^{2}$.

Prueba que $\phi $ es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ y calcula sus derivadas.
Calcula $\nabla \phi (u)$ para todo $u\in H$.
Prueba que la esfera unitaria \begin{equation*} \Sigma :=\left\{u\in H:\left\Vert u\right\Vert =1\right\} \end{equation*} es una subvariedad de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ de $H$ y que el espacio tangente a $\Sigma $ en $u$ es \begin{equation*} T_{u}\Sigma =\left\{v\in H:\left\langle u,v\right\rangle =0\right\}. \end{equation*}

[Ortonormalización de Gram-Schmidt] Sea $\mathcal{X}=\left\{v_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ un subconjunto linealmente independiente de $H$, es decir, para $\alpha_{1},\ldots ,\alpha _{m}\in \mathbb{R}$ se cumple que \begin{equation*} \alpha_{1}v_{1}+\cdots +\alpha_{m}v_{m}=0\quad \Longleftrightarrow \quad \alpha_{1}=\cdots =\alpha_{m}=0. \end{equation*} Definimos $e_{1}:=\frac{v_{1}}{\left\Vert v_{1}\right\Vert }$, y para $k>1$ definimos inductivamente \begin{equation*} w_{k}:=v_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}\left\langle v_{k},e_{j}\right\rangle e_{j}\qquad \text{y}\qquad e_{k}:=\frac{w_{k}}{\left\Vert w_{k}\right\Vert }. \end{equation*} Prueba que $\mathcal{O}=\left\{e_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es un subconjunto ortonormal de $H$ y que $\lin(\mathcal{O})=\lin(\mathcal{X})$.\label{ex:ortGram-Schmidt}

Sea $\mathcal{B}$ un subconjunto ortonormal de $H$. Demuestra que son equivalentes las siguientes afirmaciones:

$\mathcal{B}$ es una base de Hilbert de $H$.
$\mathcal{B}$ es un subconjunto ortonormal maximal de $H$, es decir, si $\mathcal{B}^{\prime }$ es un subconjunto ortonormal de $H$ y $\mathcal{B}\subset \mathcal{B}^{\prime }$ entonces $\mathcal{B}=\mathcal{B}^{\prime }$.

Sea $\mathcal{B}=\left\{e_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ un subconjunto ortonormal de $H$. Prueba que $\mathcal{B}$ es una base de Hilbert de $H$ si y sólo si \begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty }\left\langle u,e_{k}\right\rangle e_{k}:=\lim_{m\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{m}\left\langle u,e_{k}\right\rangle e_{k}=u\qquad \forall u\in H. \end{equation*}

[Polinomios de Legendre]

Sea $\mathcal{P}[-1,1]$ el conjunto de todas las funciones $p\colon [-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$ de la forma \begin{equation*} p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}\text{,\qquad }a_{i}\in \mathbb{R},\text{ }m\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}. \end{equation*} Prueba que $\mathcal{P}[-1,1]$ es denso en $L^{2}(-1,1)$. (Sugerencia: Usa el Teorema 8.3.)
Sea \begin{equation*} e_{k}(x):=\left( k+\frac{1}{2}\right)^{1/2}P_{k}(x)\qquad\text{ con }P_{k}(x):=\frac{1}{2^{k}k!}\left( \frac{d}{dx}\right)^{k}(x^{2}-1)^{k}. \end{equation*} $P_{k}$ se llama el $k$-ésimo polinomio de Legendre.

Prueba que $\mathcal{B}:=\left\{e_{k}:k\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}\right\}$ es un subconjunto ortonormal de $L^{2}(-1,1)$ y que \begin{equation*} \lin(\mathcal{B})=\mathcal{P}[-1,1]. \end{equation*} (Sugerencia: Observa que $\mathcal{B}$ se obtiene aplicando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt al conjunto $\left\{p_{k}:k\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}\right\},$ donde $p_{k}(x):=x^{k}.)$
Prueba que $\mathcal{B}$ es una base de Hilbert para $L^{2}(-1,1). $

[Serie de Fourier] Sean \begin{equation*} e_{1}(x):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\qquad e_{2m}(x):=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sen mx,\qquad e_{2m+1}(x):=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cos mx. \end{equation*}

Prueba que $\mathcal{B}=\left\{e_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es una base de Hilbert de $L^{2}(-\pi ,\pi )$.
Prueba que, para toda función $f\in L^{2}(-\pi ,\pi )$, \begin{equation*} f=\sum_{k=1}^{\infty }\biggl( \int_{-\pi }^{\pi }fe_{k}\biggr) e_{k}. \end{equation*} Esta serie se llama la serie de Fourier de $f$.

Sea $H$ un espacio de Hilbert.

Prueba que el límite débil de una sucesión débilmente convergente en $H$ es único.
Prueba que, si $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H$, entonces toda subsucesión de $(u_{k})$ converge débilmente a $u$ en $H$.
Prueba que $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H$ si y sólo si $Tu_{k}\rightarrow Tu$ en $\mathbb{R}$ para todo $T\in \mathcal{L}(H,\mathbb{R})$.
Prueba que, si $u_{k}\rightharpoonup u$ y $v_{k}\rightharpoonup v$ débilmente en $H$ y $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, entonces $\lambda u_{k}+\mu v_{k}\rightharpoonup \lambda u+\mu v$ débilmente en $H$.

Prueba que toda sucesión débilmente convergente en $\mathbb{R}^{n}$ es convergente.

Sean $H_{1}$ y $H_{2}$ espacios de Hilbert.

Prueba que, si $T\colon H_{1}\rightarrow H_{2}$ es una función lineal y continua y $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H_{1}$, entonces $Tu_{k}\rightharpoonup Tu$ débilmente en $H_{2}$.
Prueba que, si $T\colon H_{1}\rightarrow H_{2}$ es una función lineal y continua, $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H_{1}$ y $Tu_{k}\rightharpoonup v$ débilmente en $H_{2}$, entonces $v=Tu$.
Da un ejemplo de una función continua $\varphi \colon H_{1}\rightarrow H_{2}$ y una sucesión $(u_{k})$ débilmente convergente en $H_{1}$ tal que $(\varphi (u_{k}))$ no converge débilmente en $H_{2}$.

Sea $f_{k}(x):=\sen kx$. Prueba que la sucesión $(f_{k})$ converge débilmente a $0$ en $L^{2}(-\pi ,\pi )$.

Sea $g\in C_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $\sop(g)\subset \bar{B}^{n}(0,\frac{1}{2})$ y $\int_{\mathbb{R}^{n}}g^{2}=1$. Para cada $k\in \mathbb{N}$, definimos \begin{equation*} g_{k}(x_{1},\dots,x_{n}):=g(x_{1}+k,\dots,x_{n}). \end{equation*}

Prueba que $g_{k}\rightharpoonup 0$ débilmente en $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ y que $(g_{k})$ no converge en $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$. (Sugerencia: Demuestra que $\left\{g_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es un subconjunto ortonormal de $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$.)
Sea $h_{k}:=kg_{k}$. ¿Converge $(h_{k})$ débilmente en $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$?

Se dice que un subconjunto $A$ de $H$ es débilmente cerrado en $H$ si para cualquier sucesión $(u_{k})$ en $A$ tal que $u_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H$ se cumple que $u\in A$.

Prueba que, si $A$ es débilmente cerrado en $H$, entonces $A$ es cerrado en $H$.
Prueba que, si $H$ es un espacio de Hilbert de dimensión infinita, la esfera unitaria \begin{equation*} S:=\left\{v\in H:\left\Vert v\right\Vert =1\right\} \end{equation*} es cerrada pero no es débilmente cerrada en $H$.
Prueba que todo subespacio vectorial cerrado $V$ de un espacio de Hilbert $H$ es débilmente cerrado.

Prueba que, si $H$ es un espacio de Hilbert,

$\emptyset $ y $H$ son débilmente cerrados en $H$,
si $A_{1}$ y $A_{2}$ son débilmente cerrados en $H$, entonces $A_{1}\cup A_{2}$ es débilmente cerrado en $H$,
si $A_{i}$ es débilmente cerrado en $H$ para todo $i\in \mathcal{I}$, entonces $\bigcap_{i\in \mathcal{I}}A_{i}$ es débilmente cerrado en $H$.

El Ejercicio 15.55 afirma que el conjunto $\left\{H\smallsetminus A:A\text{ es débilmente cerrado en $H$}\right\}$ es una topología\footnote{Para la definición de topología consulta, por ejemplo,~\cite{Prieto}.} en $H$. Esta topología se llama la topología débil.

Sean $H$ un espacio de Hilbert, $\left\{e_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ un subconjunto ortonormal de $H$ y $\alpha \in [0,1]$. Definimos \begin{equation*} v_{k}:=\left( \sqrt{1-\alpha^{2}}\right) e_{k}+\alpha e_{1},\qquad k\geq 2. \end{equation*}

Calcula $\left\Vert v_{k}\right\Vert $ para $k\geq 2$.
Prueba que $v_{k}\rightharpoonup \alpha e_{1}$ débilmente en $H$.

La cerradura débil de un subconjunto $A$ de un espacio de Hilbert $H$ es el conjunto de los puntos $u\in H$ para los cuales existe una sucesión $\left( v_{k}\right) $ en $A$ tal que $v_{k}\rightharpoonup u$ débilmente en $H$.

Prueba que, si $H$ es un espacio de Hilbert de dimensión infinita, la cerradura débil de la esfera unitaria \begin{equation*} S:=\left\{v\in H:\left\Vert v\right\Vert =1\right\} \end{equation*} es la bola unitaria \begin{equation*} B:=\left\{u\in H:\left\Vert u\right\Vert \leq 1\right\}. \end{equation*} (Sugerencia: Usa el Ejercicio 15.56.)

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