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Espacios de Sobolev

En el estudio de ecuaciones en derivadas parciales surge de manera natural la necesidad de considerar normas que involucren, no sólo a la función misma, sino a sus derivadas. Por ejemplo, si $\varphi $ es una función de clase $\mathcal{C}^{1}$ con soporte compacto en un abierto $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$, podemos considerar las normas \begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert :=\biggl( \int_{\Omega }\left\vert \varphi \right\vert^{p}+\int_{\Omega }\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{1}}\right\vert^{p}+\cdots +\int_{\Omega }\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{n}}\right\vert^{p}\biggr)^{1/p},\qquad p\in [1,\infty ). \end{equation*} El espacio de dichas funciones, al que denotamos $\mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$, no resulta completo con esta norma.

Los espacios de Sobolev que estudiaremos en este capítulo son espacios de Banach y contienen a $\mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$ como subespacio denso. Consisten de funciones en $L^{p}(\Omega )$ que tienen derivadas parciales en un sentido débil y dichas derivadas débiles son elementos de $L^{p}(\Omega )$. De modo que la norma definida arriba tiene sentido para dichas funciones.

Las derivadas débiles son una herramienta fundamental en el estudio de ecuaciones en derivadas parciales, pues al debilitar la noción de derivada se vuelve más fácil encontrar soluciones. Este tipo de soluciones se llaman soluciones débiles. Una vez encontrada la solución débil, hay que analizar si ésta resulta diferenciable en el sentido usual y si resulta ser una solución auténtica de nuestra ecuación.

Los espacios de Sobolev son el ambiente adecuado para estudiar la existencia de soluciones débiles. Gracias al principio de Dirichlet, los mínimos de ciertos funcionales en un espacio de Sobolev resultan ser soluciones débiles de ciertas ecuaciones en derivadas parciales.

Aplicaremos la teoría de espacios de Sobolev para probar la existencia de una solución $u\colon \overline{\Omega }\rightarrow \mathbb{R}$ de la ecuación en derivadas parciales \begin{equation*} -\Delta u+u=f \end{equation*} con valor prescrito sobre la frontera $\partial \Omega $ de $\Omega $, i.e. tal que cumple \begin{equation*} u(\zeta )=g(\zeta )\qquad \forall \zeta \in \partial \Omega , \end{equation*} donde $ \Delta u:=\sum_{i=1}^{n}$ $\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}$ es el operador de Laplace y $f,g\colon \overline{\Omega }\rightarrow \mathbb{R}$ son funciones dadas.

Derivadas débiles

Dado un subconjunto abierto $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ denotamos por \begin{equation*} \mathcal{C}_{c}^{k}(\Omega ):=\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{k}(\Omega ) \end{equation*} al conjunto de las funciones $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ de clase $\mathcal{C}^{k}$ con soporte compacto contenido en $\Omega $.

La fórmula de integración por partes es el punto de partida para definir las derivadas débiles.

[Integración por partes]

Si $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$, entonces \begin{equation*} \int_{\Omega }\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}=0\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*}
Si $f\in \mathcal{C}^{1}(\Omega )$, $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$, entonces \begin{equation*} \int_{\Omega }\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\varphi +\int_{\Omega }f\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}=0\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*}

(a): Identificamos a $\varphi $ con su extensión trivial a $\mathbb{R}^{n}$, así que $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ (ver Ejercicio 11.48), y elegimos $a>0$ de modo que $\sop(\varphi )\subset [-a,a]^{n}$. Sin perder generalidad podemos tomar $i=1$. El teorema fundamental del cálculo asegura que \begin{equation*} \int_{-a}^{a}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{1}}(x_{1},\widehat{x})\,dx_{1}=\varphi (a,\widehat{x})-\varphi (-a,\widehat{x})=0\qquad \forall \widehat{x}=(x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb{R}^{n-1}. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \int_{\Omega }\frac{\partial \varphi }{\partial x_{1}}=\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\int_{-a}^{a}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{1}}(x_{1},\,\widehat{x})\,dx_{1}\,d\widehat{x}=0. \end{equation*}

(b): Aplicando la afirmación (a) al producto $f\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$ obtenemos

\begin{equation*} 0=\int_{\Omega }\frac{\partial (f\varphi )}{\partial x_{i}}=\int_{\Omega }\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\varphi +\int_{\Omega }f\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Este resultado motiva la siguiente definición.

Sea $u\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$. Decimos que $u$ es débilmente diferenciable en $\Omega $ si existen $v_{1},\dots,v_{n}\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$ tales que \begin{equation} \int_{\Omega }u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\Omega }v_{i}\varphi =0\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )\label{dd} \end{equation} para toda $i=1,\cdots ,n$.

$v_{i}$ se llama la $i$-ésima derivada débil de $u$ en $\Omega $ y se denota \begin{equation*} D_{i}u:=v_{i}. \end{equation*} El gradiente débil de $u$ en $\Omega $ es la función $\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ cuyas componentes son las derivadas débiles. Lo denotamos por \begin{equation*} \nabla u:=(D_{1}u,D_{2}u,\ldots ,D_{n}u). \end{equation*}

Observa que, si $v,w\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$ satisfacen \begin{equation*} -\int_{\Omega }v\varphi =\int_{\Omega }u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}=-\int_{\Omega }w\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ), \end{equation*} entonces $v=w$ c.d. en $\Omega $ (ver Proposición 14.49). Es decir, para cada $i=1,\cdots ,n$, la función $v_{i}$ que cumple (\ref{dd}) es única.

La Proposición 16.1 afirma lo siguiente.

Si $u\in \mathcal{C}^{1}(\Omega )$, entonces $u$ es débilmente diferenciable en $\Omega $ y \begin{equation*} D_{i}u=\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n. \end{equation*}

No todas las funciones débilmente diferenciables son diferenciables, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Sea $u\colon \mathbb{R\rightarrow R}$ la función $u(x)=|x|$. Entonces $u$ es débilmente diferenciable en $\mathbb{R}$ y su derivada débil es la función \begin{equation*} (Du)(x)= \begin{cases} 1 & x>0, \\ -1 & x\leq 0. \end{cases} \end{equation*}

Si $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R})$ y $\sop(\varphi )\subset [-a,a]$, tomando en cuenta que $u$ es diferenciable en $(-a,0)$ y en $(0,a)$ y usando el teorema fundamental del cálculo obtenemos \begin{align*} \int_{-\infty }^{\infty }\left[ u\varphi^{\prime }+(Du)\varphi \right] &= \int_{-a}^{0}\left[ u\varphi^{\prime }+(Du)\varphi \right] +\int_{0}^{a}\left[ u\varphi^{\prime }+(Du)\varphi \right] \\ &= \int_{-a}^{0}\left( u\varphi \right)^{\prime }+\int_{0}^{a}\left( u\varphi \right)^{\prime }=-a\varphi (-a)+a\varphi (a)=0, \end{align*} pues $\varphi (a)=\varphi (-a)=0$.

Existen funciones que no son débilmente diferenciables. Veamos un ejemplo.

La función característica $1_{(-\infty ,0)}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ no es débilmente diferenciable en $\mathbb{R}$.

Argumentando por contradicción, supongamos que existe $v\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R})$ tal que \begin{equation*} \int_{-\infty }^{\infty }1_{(-\infty ,0)}\varphi^{\prime }=-\int_{-\infty }^{\infty }v\varphi \qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}). \end{equation*} Entonces se cumple, en particular, que \begin{align*} \int_{-\infty }^{0}v\varphi &=-\int_{-\infty }^{0}\varphi^{\prime }=0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(-\infty ,0), \\ \int_{0}^{\infty }v\varphi &= -\int_{0}^{\infty }0=0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(0,\infty ). \end{align*} Estas dos identidades, junto con la Proposición 14.49, implican que $v=0$ c.d. en $\mathbb{R}$. En consecuencia, \begin{equation*} \varphi (0)=\int_{-\infty }^{0}\varphi^{\prime }=\int_{-\infty }^{\infty }1_{(-\infty ,0)}\varphi^{\prime }=0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}). \end{equation*} Esto es una contradicción.

El Ejemplo 16.6 muestra que la extensión trivial de una función débilmente diferenciable en $\Omega $ no es, en general, débilmente diferenciable en $\mathbb{R}^{n}$: la función constante igual a $1$ es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ en $(-\infty ,0)$ pero su extensión trivial $1_{(-\infty ,0)}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ no es débilmente diferenciable en $\mathbb{R}$.

Un ejemplo interesante es el siguiente.

Si $\gamma \in \mathbb{R}$ y $\gamma +n>1$, la función $u(x)=\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$ es débilmente diferenciable en $\mathbb{R}^{n}$ y \begin{equation*} \left( D_{i}u\right) (x)=\gamma \left\Vert x\right\Vert^{\gamma -2}x_{i}\qquad \forall i=1,\ldots ,n. \end{equation*}

Por simplicidad denotamos por $v_{i}(x):=\gamma \left\Vert x\right\Vert ^{\gamma -2}x_{i}$. La Proposición 13.31 asegura que $u\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ si $\gamma +n>0$. Como $\left\vert v_{i}(x)\right\vert \leq \gamma \left\Vert x\right\Vert^{\gamma -1}$, se tiene que $v_{i}\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ si $\gamma -1+n>0$.

Elegimos $\psi \in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $0\leq \psi (x)\leq 1$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, $\psi (x)=0$ si $\left\Vert x\right\Vert \leq 1$ y $\psi (x)=1$ si $\left\Vert x\right\Vert \geq 2$, y definimos $\psi_{k}(x):=\psi (kx)$. Entonces $0\leq \psi_{k}(x)\leq 1$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, \begin{equation*} \psi_{k}(x)=0\text{ si }\left\Vert x\right\Vert \leq 1/k\qquad\text{y}\qquad \psi_{k}(x)=1\text{ si }\left\Vert x\right\Vert \geq 2/k. \end{equation*} Observa que $u$ es diferenciable en $\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \left\{0\right\}$ y que \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}(x)=\gamma \left\Vert x\right\Vert^{\gamma -2}x_{i}=v_{i}(x)\qquad \text{si }x\neq 0. \end{equation*} Por tanto, $u\psi_{k}\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ y la Proposición 16.1 asegura que \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \frac{\partial u}{\partial x_{i}}\psi_{k}+u\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right) \varphi =0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}).\label{dd1} \end{equation} Calcularemos ahora el límite cuando $k\rightarrow \infty $ de cada uno de los sumandos.

Sea $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$. Las funciones $u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}$ y $u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}$ son integrables en $\mathbb{R}^{n}$ y cumplen que \begin{equation*} u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\rightarrow u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\text{ c.d. en $\mathbb{R}^{n}$}\quad\text{y}\quad\left\vert u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\vert \leq \left\vert u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\vert \text{ en }\mathbb{R}^{n}\quad\forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} Del teorema de convergencia dominada (Teorema 13.26) se sigue entonces que \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}.\label{dd2} \end{equation} Análogamente se demuestra que \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}v_{i}\varphi =\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\psi_{k}\varphi .\label{dd3} \end{equation} Por otra parte, como $\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}(x)=k\frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}(kx)$, se tiene que \begin{equation*} \left\Vert \frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }\leq k\left\Vert \frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }. \end{equation*} Observa además que $\sop(\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}})\subset \left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\frac{1}{k}\leq \left\Vert x\right\Vert \leq \frac{2}{k}\right\}=:A^{n}(\frac{1}{k},\frac{2}{k})$. En consecuencia, usando el Ejemplo 13.30 obtenemos \begin{align*} \left\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}u\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\varphi \right\vert &\leq \int_{A^{n}(\frac{1}{k},\frac{2}{k})}\left\vert u\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\varphi \right\vert \\ &\leq k\left\Vert \frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\int_{A^{n}(\frac{1}{k},\frac{2}{k})}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx \\ &= \left\Vert \frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\frac{n\omega_{n}}{\gamma +n}\left( \frac{2^{\gamma +n}-1}{k^{\gamma +n-1}}\right) \end{align*} y, dado que $\gamma +n-1>0$, concluimos que \begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}u\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\varphi =0.\label{dd4} \end{equation}

De (\ref{dd1}), (\ref{dd2}), (\ref{dd3}) y (\ref{dd4}) se sigue que

\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\mathbb{R}^{n}}v_{i}\varphi =0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}), \end{equation*} como afirma el enunciado.

[Linealidad de la derivada débil] Si $u,\,v\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$ son débilmente diferenciables y $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, entonces $\lambda u+\mu v$ es débilmente diferenciable y \begin{equation*} D_{i}(\lambda u+\mu v)=\lambda D_{i}u+\mu D_{i}v\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*}

Observa que, para cada $i=1,\dots,n$ y $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$, \begin{align*} &\int_{\Omega }\left[ (\lambda u+\mu v)\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+(\lambda D_{i}u+\mu D_{i}v)\varphi \right] \\ &\qquad{}=\lambda \int_{\Omega }\left[ u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+(D_{i}u)\varphi \right] +\mu \int_{\Omega }\left[ v\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+(D_{i}v)\varphi \right] =0. \end{align*} Esto prueba que $\lambda u+\mu v$ es débilmente diferenciable y $D_{i}(\lambda u+\mu v)=\lambda D_{i}u+\mu D_{i}v$.

Dado que el producto de dos funciones en $L_{\loc}^{1}(\Omega )$ no necesariamente pertenece a $L_{\loc}^{1}(\Omega )$ no siempre tiene sentido preguntarse si el producto de funciones débilmente diferenciables es débilmente diferenciable. Sin embargo, se tiene el siguiente resultado.

[Derivada débil de un producto] Si $u\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$ es débilmente diferenciable en $\Omega $ y $\zeta \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$, entonces la extensión trivial de $\zeta u$ es débilmente diferenciable en $\mathbb{R}^{n}$ y \begin{equation*} D_{i}(\zeta u)=\frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}u+\zeta D_{i}u. \end{equation*}

Sea $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$. Entonces $\zeta \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ y, en consecuencia, \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\zeta u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \zeta D_{i}u+u\frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\right) \varphi =\int_{\Omega }u\frac{\partial (\zeta \varphi )}{\partial x_{i}}+\int_{\Omega }\left( D_{i}u\right) (\zeta \varphi )=0. \end{equation*} Esto demuestra la afirmación.

Espacios de Sobolev

Introducimos ahora los espacios de Sobolev.

Sergei Sobolev

Sergei Lvovich Sobolev (1908-1989) nació en San Petersburgo, Rusia. Estudió en la Universidad de Leningrado, donde fue alumno de Nikolai Maksimovich Günter y Vladimir Smirnov. Fue investigador del Instituto Steklov y profesor de la Universidad Estatal de Moscú.

Sea $p\in [1,\infty ]$. El espacio de Sobolev $W^{1,p}(\Omega )$ se define como \begin{align*} W^{1,p}(\Omega ):=\bigl\{u\in L^{p}(\Omega ) :{}&u\;\text{es débilmente diferenciable en $\Omega$}\\ &\text{y $D_{i}u\in L^{p}(\Omega )\;\forall i=1,\dots ,n\bigr\}$}. \end{align*} Para $u\in W^{1,p}(\Omega )$ definimos \begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}:= \begin{cases} \left( \left\Vert u\right\Vert_{p}^{p}+\left\Vert D_{1}u\right\Vert _{p}^{p}+\cdots +\left\Vert D_{n}u\right\Vert_{p}^{p}\right)^{1/p} & \text{si }p\in [1,\infty ), \\[5pt] \max \left\{ \left\Vert u\right\Vert_{\infty },\left\Vert D_{1}u\right\Vert _{\infty },\ldots ,\left\Vert D_{n}u\right\Vert_{\infty }\right\} & \text{si }p=\infty . \end{cases} \end{equation*}

$W^{1,p}(\Omega )$ es un espacio vectorial y $\left\Vert \cdot \right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}$ es una norma en $W^{1,p}(\Omega )$ para todo $p\in [1,\infty ]$.

Como $L^{p}(\Omega )$ es un espacio vectorial, de la Proposición 16.9 se sigue que $W^{1,p}(\Omega )$ es un espacio vectorial. Probemos ahora que $\left\Vert \cdot \right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}$ es una norma.

(N1): Sea $u\in W^{1,p}(\Omega )$. Si $u=0$ entonces $D_{i}u=0$ para todo $i=1,\dots,n$ y, en consecuencia, $\left\Vert u\right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}=0$. Inversamente: como $\left\Vert u\right\Vert _{p}\leq \left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}$, si $\left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}=0$ entonces $u=0$ en $L^{p}(\Omega )$.

(N2): Claramente $\left\Vert \lambda u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}=\lambda \left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}$ para cualesquiera $u\in W^{1,p}(\Omega )$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

(N3): Si $p\in [1,\infty )$, aplicando primero la desigualdad de Minkowski en $L^{p}(\Omega )$ (ver Proposición 14.24) y luego la desigualdad del triángulo (2.3) para la norma $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ en $\mathbb{R}^{n+1}$, obtenemos que, para cualesquiera $u,v\in W^{1,p}(\Omega )$, \begin{align*} \left\Vert u+v\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )} &=\Biggl( \left\Vert u+v\right\Vert_{p}^{p}+\sum_{i=1}^{n}\left\Vert D_{i}u+D_{i}v\right\Vert _{p}^{p}\Biggr)^{1/p} \\[5pt] &{}\leq \Biggl( \left( \left\Vert u\right\Vert_{p}+\left\Vert v\right\Vert _{p}\right)^{p}+\sum_{i=1}^{n}\left( \left\Vert D_{i}u\right\Vert _{p}+\left\Vert D_{i}v\right\Vert_{p}\right)^{p}\Biggr)^{1/p} \\[5pt] &{}\leq \Biggl( \left\Vert u\right\Vert_{p}^{p}+\sum_{i=1}^{n}\left\Vert D_{i}u\right\Vert_{p}^{p}\Biggr)^{1/p}+\Biggl( \left\Vert v\right\Vert _{p}^{p}+\sum_{i=1}^{n}\left\Vert D_{i}v\right\Vert_{p}^{p}\Biggr)^{1/p} \\[5pt] &{}=\left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}+\left\Vert v\right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}. \end{align*} La demostración de la desigualdad para $p=\infty $ es análoga.

Probaremos que $W^{1,p}(\Omega )$ es un espacio de Banach. La demostración se basa en el siguiente hecho.

Sean $p\in [1,\infty ]$ y $(u_{k})$ una sucesión en $W^{1,p}(\Omega )$ tal que $u_{k}\rightarrow u$ en $L^{p}(\Omega )$ y $D_{i}u_{k}\rightarrow v_{i}$ en $L^{p}(\Omega )$ para cada $i=1,\dots,n$. Entonces $u$ es débilmente diferenciable en $\Omega $, $v_{i}=D_{i}u$ para todo $i=1,\dots,n$, y $u_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$.

Sea $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$. Entonces $\varphi ,\,\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\in L^{q}(\Omega )$ para todo $q\in [1,\infty ]$. Tomando $q$ de modo que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ y usando la desigualdad de Hölder (ver Proposición 14.21) obtenemos que \begin{align*} \left\vert \int_{\Omega }u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}-\int_{\Omega }u_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\vert &{}\leq \left\Vert u-u_{k}\right\Vert_{p}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{q}\rightarrow 0\qquad \text{ cuando }k\rightarrow \infty , \\ \left\vert \int_{\Omega }v_{i}\varphi -\int_{\Omega }(D_{i}u_{k})\varphi \right\vert &{}\leq \left\Vert v_{i}-D_{i}u_{k}\right\Vert_{p}\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}\rightarrow 0\qquad \text{ cuando }k\rightarrow \infty . \end{align*} Por tanto, \begin{equation*} \int_{\Omega }u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\Omega }v_{i}\varphi =\lim_{k\rightarrow \infty }\biggl( \int_{\Omega }u_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\Omega }(D_{i}u_{k})\varphi \biggr) =0 \end{equation*} para cada $i=1,\dots,n$. Esto prueba que $u$ es débilmente diferenciable en $\Omega $ y que $v_{i}=D_{i}u$. En consecuencia, $u\in W^{1,p}(\Omega )$. Además, si $p\in[1,\infty)$, se tiene que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}-u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}^{p}=\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}-u\right\Vert _{p}^{p}+\sum_{i=1}^{n}\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert D_{i}u_{k}-D_{i}u\right\Vert_{p}^{p}=0. \end{equation*} Análogamente, $\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}-u\right\Vert_{W^{1,\infty }(\Omega )}=0$ si $p=\infty $.

$W^{1,p}(\Omega )$ es un espacio de Banach para todo $p\in [1,\infty ]$.

Sea $(u_{k})$ una sucesión de Cauchy en $W^{1,p}(\Omega )$. Entonces las sucesiones $(u_{k})$ y $(D_{i}u_{k})$ son de Cauchy en $L^{p}(\Omega )$. Como $L^{p}(\Omega )$ es completo, se tiene que $u_{k}\rightarrow u$ en $L^{p}(\Omega )$ y $D_{i}u_{k}\rightarrow v_{i}$ en $L^{p}(\Omega )$ para cada $i=1,\dots,n$. Del Lema 16.13 se sigue que $u\in W^{1,p}(\Omega ) $ y $u_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. Esto demuestra que $W^{1,p}(\Omega )$ es completo.

Si $p=2$ se denota por \begin{equation} H^{1}(\Omega ):=W^{1,2}(\Omega )\qquad \text{y}\qquad \left\Vert u\right\Vert_{H^{1}(\Omega )}:=\left\Vert u\right\Vert_{W^{1,2}(\Omega )}.\label{normH1} \end{equation} En este caso la norma está inducida por el producto escalar \begin{equation} \left\langle u,v\right\rangle_{H^{1}(\Omega )}:=\int_{\Omega }uv+\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega }(D_{i}u)(D_{i}v)=\int_{\Omega }uv+\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v.\label{pesc} \end{equation} Por tanto, $H^{1}(\Omega )$ es un espacio de Hilbert.

Veamos un ejemplo.

Sean $\gamma \in \mathbb{R}$, $u(x):=\left\Vert x\right\Vert ^{\gamma }$ y $r>0$.

Si $p\in [1,\infty )$ y $(\gamma -1)p+n>0$ entonces $u\in W^{1,p}(B^{n}(0,r))$.
Si $\gamma \geq 1$ entonces $u\in W^{1,\infty }(B^{n}(0,r))$.

Si $p\in [1,\infty )$ y $(\gamma -1)p+n>0$ entonces $(\gamma -1+n)p>(p-1)n\geq 0$ y, en consecuencia, $\gamma -1+n>0$. Así mismo, si $\gamma \geq 1$ entonces $\gamma -1+n>0$. Así que en ambos casos la Proposición 16.8 asegura que $u$ es débilmente diferenciable en $B^{n}(0,r)$ y que \begin{equation*} \left( D_{i}u\right) (x)=\gamma \left\Vert x\right\Vert^{\gamma -2}x_{i}\qquad \forall i=1,\ldots ,n. \end{equation*} Como $\left\vert \left( D_{i}u\right) (x)\right\vert \leq \gamma \left\Vert x\right\Vert^{\gamma -1}$, de la Proposición 14.29 se sigue que $u\in L^{p}(B^{n}(0,r))$ y que $D_{i}u\in L^{p}(B^{n}(0,r))$ para todo $i=1,\ldots ,n$.

A continuación queremos investigar si el espacio $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ es denso en $W^{1,p}(\Omega )$ para $p\in [1,\infty )$. Veremos primero que sí lo es cuando $\Omega =\mathbb{R}^{n}$. Requerimos el siguiente resultado.

[de truncamiento] Sean $p\in [1,\infty )$ y $(\psi_{k})$ una sucesión en $\mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})\cap W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $\psi_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$. Entonces existe una sucesión $(\varphi_{k})$ en $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $\varphi_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.

Escogemos una función $\zeta \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $0\leq \zeta (x)\leq 1$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, $\zeta (x)=1$ si $\left\Vert x\right\Vert \leq 1$ y $\zeta (x)=0$ si $\left\Vert x\right\Vert \geq 2$, y definimos $\zeta_{k}(x):=\zeta (\frac{x}{k})$. Entonces, $\zeta_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ y cumple que \begin{equation*} 0\leq \zeta_{k}(x)\leq 1\text{ }\forall x\in \mathbb{R}^{n},\qquad \zeta_{k}(x)=1\text{ si }\left\Vert x\right\Vert \leq k,\qquad \zeta _{k}(t)=0\text{ si }\left\Vert x\right\Vert \geq 2k. \end{equation*} Defininimos $\varphi_{k}:=\zeta_{k}\psi_{k}$. Nota que $\varphi _{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$. Probaremos que $\varphi_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.

Del teorema de convergencia dominada en $L^{p}$ (Teorema 14.26) se sigue que \begin{equation*} \left\Vert v-\zeta_{k}v\right\Vert_{p}\rightarrow 0\qquad \forall v\in L^{p}(\mathbb{R}^{n}) \end{equation*} y, como \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \zeta_{k}u-\zeta_{k}\psi_{k}\right\vert ^{p}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \zeta_{k}\right\vert^{p}\left\vert u-\psi_{k}\right\vert^{p}\leq \left\Vert u-\psi_{k}\right\Vert _{p}^{p}\rightarrow 0 \end{equation*} y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \zeta_{k}D_{i}u-\zeta_{k}\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \zeta_{k}\right\vert^{p}\left\vert D_{i}u-\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}\leq \left\Vert D_{i}u-\frac{\partial \psi _{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{p}\rightarrow 0, \end{equation*} usando la desigualdad del triángulo en $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ concluimos que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u-\zeta_{k}\psi_{k}\right\Vert_{p}=0\qquad \text{y}\qquad \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert D_{i}u-\zeta_{k}\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}=0. \end{equation*} Por otra parte, puesto que $\frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}(x)=\frac{1}{k}\frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\left( \frac{x}{k}\right) $, se tiene que \begin{equation*} \left\Vert \frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }=\frac{1}{k}\left\Vert \frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\right\Vert _{\infty }. \end{equation*} Así que, como $(\psi_{k})$ está acotada en $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$, existe una constante $c>0$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\psi_{k}\right\Vert _{p}^{p}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\psi_{k}\right\vert^{p}\leq \frac{1}{k^{p}}\left\Vert \frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }^{p}\left\Vert \psi _{k}\right\Vert_{p}^{p}\leq \frac{c}{k^{p}}\rightarrow 0. \end{equation*} Por tanto, \begin{align*} \left\Vert D_{i}u-\frac{\partial (\zeta_{k}\psi_{k})}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p} &{}=\left\Vert D_{i}u-\zeta_{k}\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\psi _{k}\right\Vert_{p} \\ &{}\leq \left\Vert D_{i}u-\zeta_{k}\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}+\left\Vert \frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\psi _{k}\right\Vert_{p}\rightarrow 0. \end{align*} Hemos probado pues que \begin{equation*} \varphi_{k}\rightarrow u\text{ en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\qquad\text{y}\qquad \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{i}}\rightarrow D_{i}u\text{ en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\quad\forall i=1,\dots,n. \end{equation*} Aplicando el Lema 16.13 concluimos que $\varphi _{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.

$\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ es denso en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ para todo $p\in [1,\infty )$.

Sea $u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ y sea $(\rho_{k})$ una sucesión regularizante (ver Definición 14.41). Las Proposiciones 14.38 y 14.40 aseguran que $\rho _{k}\ast u\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})\cap W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ y que \begin{equation*} \frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)=\frac{\partial \rho_{k}}{\partial x_{i}}\ast u\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*} Puesto que $u$ es débilmente diferenciable en $\mathbb{R}^{n}$ y la función $y\mapsto \rho_{k}(x-y)$ pertenece a $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ para cada $x\in \mathbb{R}^{n}$, se tiene que \begin{align*} 0 &{}=\int_{\mathbb{R}^{n}}-\frac{\partial \rho_{k}}{\partial x_{i}}(x-y)u(y)dy+\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho_{k}(x-y)D_{i}u(y)dy \\ &{}=-\left( \frac{\partial \rho_{k}}{\partial x_{i}}\ast u\right) (x)+(\rho _{k}\ast D_{i}u)(x). \end{align*} En consecuencia, \begin{equation*} \frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)=\rho_{k}\ast D_{i}u\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*} El Teorema 14.45 asegura que \begin{equation*} \rho_{k}\ast u\rightarrow u\quad\text{en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\qquad \text{y}\qquad \frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)\rightarrow D_{i}u\quad\text{en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\quad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*} Aplicando el Lema 16.13 concluimos que $\rho_{k}\ast u\rightarrow u $ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$. La afirmación del teorema se obtiene aplicando el Lema 16.17 a las funciones $\psi_{k}:=\rho_{k}\ast u$.

Si $\Omega \neq \mathbb{R}^{n}$ el espacio $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ no es, en general, denso en $W^{1,p}(\Omega )$. En las aplicaciones que daremos en la siguiente sección jugará un papel importante el siguiente espacio.

Sea $p\in [1,\infty )$. El espacio de Sobolev $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ es la cerradura de $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ en $W^{1,p}(\Omega )$. Denotamos por \begin{equation*} H_{0}^{1}(\Omega ):=W_{0}^{1,2}(\Omega ). \end{equation*}

$W_{0}^{1,p}(\Omega )$ es un subespacio vectorial cerrado de $W^{1,p}(\Omega )$, por tanto $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ es un espacio de Banach y $H_{0}^{1}(\Omega )$ es un espacio de Hilbert.

El Teorema 16.18 asegura que $W_{0}^{1,p}(\mathbb{R}^{n})=W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ pero estos espacios en general no coinciden cuando $\Omega \neq \mathbb{R}^{n}$ [Ejercicio 16.45].

En el resto de esta sección supondremos que $p\in [1,\infty )$.

Si $u\in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$ entonces $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

Sea $u\in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$ y sea $(\rho_{k})$ una sucesión regularizante. De la Proposición 14.38 se sigue que $\rho_{k}\ast u\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ para $k$ suficientemente grande y $\frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)=\rho_{k}\ast \frac{\partial u}{\partial x_{i}}$. El Teorema 14.45 asegura entonces que \begin{equation*} \rho_{k}\ast u\rightarrow u\text{ en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\qquad\text{y}\qquad \frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)\rightarrow \frac{\partial u}{\partial x_{i}}\text{ en }L^{p}(\Omega )\text{ }\forall i=1,\dots,n, \end{equation*} y aplicando el Lema 16.13 obtenemos que $\rho_{k}\ast u\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. En consecuencia, $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

En la siguiente proposición denotamos por $\bar{v}$ a la extensión trivial de $v$ a $\mathbb{R}^{n}$ definida en (12.21).

Si $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$, entonces $\bar{u}\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ y $D_{i}(\bar{u})=\overline{D_{i}u}$ para cada$\;i=1,\dots,n. $

Sea $(\varphi_{k})$ una sucesión en $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ tal que $\varphi_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. Entonces $\varphi_{k}\rightarrow u$ en $L^{p}(\Omega )$ y $\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{i}}\rightarrow D_{i}u$ en $L^{p}(\Omega )$. Además, $\bar{\varphi}_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ y $\frac{\partial \bar{\varphi}_{k}}{\partial x_{i}}=\overline{\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{i}}}$. En consecuencia, \begin{equation*} \bar{\varphi}_{k}\rightarrow \bar{u}\text{ en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\qquad \text{y}\qquad \frac{\partial \bar{\varphi}_{k}}{\partial x_{i}}\rightarrow \overline{D_{i}u}\text{ en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\text{ }\forall i=1,\dots,n. \end{equation*} Del Lema 16.13 se sigue que $\bar{u}$ es débilmente diferenciable en $\mathbb{R}^{n}$ y $D_{i}(\bar{u})=\overline{D_{i}u}$. Por tanto, $\bar{u}\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.

La proposición anterior nos permite considerar a $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ como un subespacio de $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.

Puesto que $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ es denso en $W_{0}^{1,p}(\Omega ) $podemos extender, bajo hipótesis adecuadas, las fórmulas conocidas para la composición funciones diferenciables a funciones en $W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

[Regla de la cadena para derivadas débiles] Sea $g\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R})$ tal que $g(0)=0$ y $g^{\prime }\in L^{\infty }(\mathbb{R})$. Si $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$, entonces $g\circ u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y \begin{equation*} D_{i}(g\circ u)=(g^{\prime }\circ u)D_{i}u. \end{equation*}

Por el teorema del valor medio (ver Teorema 9.14) \begin{equation} \left\vert g(t_{1})-g(t_{2})\right\vert \leq \left\Vert g^{\prime }\right\Vert_{\infty }\left\vert t_{1}-t_{2}\right\vert \qquad \forall t_{1},t_{2}\in \mathbb{R}\text{.}\label{gtvm} \end{equation}

Sean $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $\varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ tales que $\varphi _{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. Como $g(0)=0$, se tiene que $g\circ \varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )\subset W_{0}^{1,p}(\Omega )$. Usando (\ref{gtvm}) obtenemos \begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert g\circ u-g\circ \varphi_{k}\right\vert^{p}\leq \left\Vert g^{\prime }\right\Vert_{\infty }^{p}\int_{\Omega }\left\vert u-\varphi_{k}\right\vert^{p}\rightarrow 0. \end{equation*} Por tanto, $g\circ u\in L^{p}(\Omega )$ y \begin{equation} g\circ \varphi_{k}\rightarrow g\circ u\qquad \text{ en }L^{p}(\Omega ). \label{g1} \end{equation}

Por otra parte, el Teorema 14.28 asegura que $(\varphi _{k})$ contiene una subsucesión tal que $\varphi _{k_{j}}(x)\rightarrow u(x)$ p.c.t. $x\in \Omega $ y, puesto que $g^{\prime }$ es continua, se tiene que \begin{equation*} g^{\prime }(\varphi_{k_{j}}(x))D_{i}u(x)\rightarrow g^{\prime }(u(x))D_{i}u(x)\qquad \text{p.c.t. }x\in \Omega . \end{equation*} Además, \begin{equation*} \left\vert g^{\prime }(\varphi_{k_{j}}(x))D_{i}u(x)\right\vert \leq \left\Vert g^{\prime }\right\Vert_{\infty }\left\vert D_{i}u(x)\right\vert \qquad \forall x\in \Omega ,\text{ }\forall j\in \mathbb{N}. \end{equation*} Como $D_{i}u\in L^{p}(\Omega )$, el Teorema 14.26 asegura que $(g^{\prime }\circ u)D_{i}u\in L^{p}(\Omega )$ y \begin{equation*} \lim_{j\rightarrow \infty }\left\Vert (g^{\prime }\circ u)D_{i}u-(g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}})D_{i}u\right\Vert_{p}=0. \end{equation*} Se tiene además que \begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert (g^{\prime }\circ \varphi _{k_{j}})D_{i}u-(g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}})\frac{\partial \varphi _{k_{j}}}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}\leq \left\Vert g^{\prime }\right\Vert_{\infty }^{p}\int_{\Omega }\left\vert D_{i}u-\frac{\partial \varphi_{k_{j}}}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}\rightarrow 0 \end{equation*} cuando $j\rightarrow \infty$. De la desigualdad del triángulo \begin{align*} &\left\Vert \left( g^{\prime }\circ u\right) D_{i}u-\frac{\partial (g\circ \varphi_{k_{j}})}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p} \\[6pt] &\qquad{}\leq \left\Vert \left( g^{\prime }\circ u\right) D_{i}u-\left( g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}}\right) D_{i}u\right\Vert_{p}+\left\Vert \left( g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}}\right) D_{i}u-\left( g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}}\right) \frac{\partial \varphi_{k_{j}}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}, \end{align*} se obtiene entonces que \begin{equation} \frac{\partial (g\circ \varphi_{k_{j}})}{\partial x_{i}}\rightarrow \left( g^{\prime }\circ u\right) D_{i}u\qquad \text{ en }L^{p}(\Omega ).\label{g2} \end{equation}

El Lema 16.13 y las afirmaciones (\ref{g1}) y (\ref{g2}) nos permiten concluir que $g\circ u$ es débilmente diferenciable en $\Omega $, que$ D_{i}(g\circ u)=(g^{\prime }\circ u)D_{i}u$ y que$ g\circ \varphi_{k_{j}}\rightarrow g\circ u$ en $W^{1,p}(\Omega )$.

Finalmente, como $g\circ \varphi_{k}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ es un subespacio cerrado de $W^{1,p}(\Omega )$, se tiene que $g\circ u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

Una función $\varphi \colon U\rightarrow U^{\prime }$ entre subconjuntos abiertos $U$ y $U^{\prime }$ de $\mathbb{R}^{n}$ se llama un difeomorfismo de clase $\mathcal{C}^{k}$ si $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{k}$ en $U$, $\varphi $ es biyectiva y su inverso $\varphi^{-1}\colon U^{\prime }\rightarrow U$ es de clase $\mathcal{C}^{k}$ en $U^{\prime }$.

[Cambio de variable para derivadas débiles] Sea $\theta \colon \Omega^{\prime }\rightarrow \Omega $ un difeomorfismo de clase $\mathcal{C}^{1}$ tal que $\frac{\partial \theta_{i}}{\partial y_{j}}\in L^{\infty }(\Omega ^{\prime }) $ y $\frac{\partial (\theta^{-1})_{i}}{\partial x_{j}}\in L^{\infty }(\Omega )$ para $i,j=1,\dots,n$. Si $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$, entonces $u\circ \theta \in W_{0}^{1,p}(\Omega^{\prime })$ y \begin{equation*} D_{i}(u\circ \theta )=\sum_{j=1}^{n}\left( D_{j}u\circ \theta \right) \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}\qquad \forall i=1,\dots,n, \end{equation*} donde $\theta_{i}$ y $(\theta^{-1})_{i}$ denotan a la $i$-ésima función componente de $\theta $ y $\theta^{-1}$ respectivamente.

Sea $c\in \mathbb{R}$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \det (\theta^{-1})^{\prime }\right\Vert_{\infty }\leq c^{p}\qquad \text{y}\qquad \left\Vert \frac{\partial \theta_{i}}{\partial y_{j}}\right\Vert_{\infty }\leq c\quad \forall i,j=1,\dots,n, \end{equation*} Observa primero que el teorema de cambio de variable (Teorema 13.36) asegura que, si $v\in L^{p}(\Omega )$, entonces $\left\vert v\circ \theta \right\vert^{p}=\left\vert v\right\vert ^{p}\circ \theta $ es integrable y \begin{equation*} \left\Vert v\circ \theta \right\Vert_{p}^{p}=\int_{\Omega^{\prime }}\left\vert v\right\vert^{p}\circ \theta =\int_{\Omega }\left\vert v\right\vert^{p}\left\vert \det (\theta^{-1})^{\prime }\right\vert \leq c^{p}\left\Vert v\right\Vert_{p}^{p}. \end{equation*}

Sean $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $\varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ tales que $\varphi _{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. Entonces, $\varphi _{k}\circ \theta \in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega^{\prime })\subset W_{0}^{1,p}(\Omega^{\prime })$. De la observación anterior se sigue que $u\circ \theta \in L^{p}(\Omega^{\prime })$, $D_{j}u\circ \theta \in L^{p}(\Omega^{\prime })$, \begin{equation*} \left\Vert u\circ \theta -\varphi_{k}\circ \theta \right\Vert _{p}=\left\Vert \left( u-\varphi_{k}\right) \circ \theta \right\Vert _{p}\leq c\left\Vert u-\varphi_{k}\right\Vert_{p}\rightarrow 0, \end{equation*} y \begin{align*} \left\Vert (D_{j}u\circ \theta )\frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}-\left( \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\circ \theta \right) \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}\right\Vert_{p} &{}=\left\Vert \left[ \left( D_{j}u-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\right) \circ \theta \right] \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}\right\Vert _{p} \\[7pt] &{}\leq c\left\Vert \left( D_{j}u-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\right) \circ \theta \right\Vert_{p} \\[7pt] &{}\leq c^{2}\left\Vert D_{j}u-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\right\Vert_{p}\rightarrow 0 \end{align*} cuando $k\rightarrow \infty$, para cada $j=1,\dots,n$. Por tanto, $\varphi_{k}\circ \theta \rightarrow u\circ \theta $ en $L^{p}(\Omega^{\prime })$ y \begin{equation*} \frac{\partial (\varphi_{k}\circ \theta )}{\partial y_{i}}=\sum_{j=1}^{n}\left( \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\circ \theta \right) \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}\longrightarrow \sum_{j=1}^{n}\left( D_{j}u\circ \theta \right) \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}\quad\text{en }L^{p}(\Omega^{\prime }). \end{equation*}

El Lema 16.13 asegura entonces que $u\circ \theta $ es débilmente diferenciable en $\Omega $, que$ D_{i}(u\circ \theta )=\sum_{j=1}^{n}\left( D_{j}u\circ \theta \right) \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}$ y que $\varphi_{k}\circ \theta \rightarrow u\circ \theta $ en $W^{1,p}(\Omega )$.

Finalmente, como $\varphi_{k}\circ \theta \in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ es un subespacio cerrado de $W^{1,p}(\Omega )$, se tiene que $u\circ \theta \in W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

Observa que en las dos proposiciones anteriores jugó un papel importante el hecho de que $u$ es el límite de funciones en $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$. Estas proposiciones son válidas también para funciones en $W^{1,p}(\Omega )$, pero su demostración requiere de un resultado de aproximación más delicado que no veremos aquí\footnote{Consulta, por ejemplo,~\cite{Bre}, Proposiciones IX.5 y IX.6.}.

Intuitivamente se antoja pensar a $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ como el espacio de las funciones de $W^{1,p}(\Omega )$ que se anulan en la frontera de $\Omega $. Esta afirmación no tiene sentido en general, ya que los elementos de $W^{1,p}(\Omega )$ son clases de equivalencia de funciones que coinciden c.d. en $\Omega$ y, si $\partial \Omega $ tiene medida $0,$ en cualquier clase de equivalencia hay una función que se anula en la frontera. Veremos a continuación que, bajo ciertas condiciones, esta afirmación tiene sentido y es cierta.

Como antes denotamos por \begin{equation*} B^{n-1}(0,r):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n-1}:\left\vert x\right\vert \menorque r\right\} \end{equation*} y por $\bar{B}^{n-1}(0,r)$ a su cerradura.

Un subconjunto abierto $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ es de clase $\mathcal{C}^{k}$ si, para cada $x_{0}\in \partial \Omega $, existe un subconjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}^{n}$ que contiene a $x_{0}$ y un difeomorfismo $\vartheta \colon B^{n-1}(0,1)\times (-1,1)\rightarrow U$ de clase $\mathcal{C}^{k}$ tal que $\vartheta (0,0)=x_{0}$, \begin{equation*} \vartheta (B^{n-1}(0,1)\times (0,1))=U\cap \Omega \qquad \text{y}\qquad \vartheta (B^{n-1}(0,1)\times \left\{0\right\})=U\cap \partial \Omega . \end{equation*}

Si $\Omega $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ y $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$, entonces $u(x)=0$ para todo $x\in \partial \Omega $.

Sean $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$ y $x_{0}\in \partial \Omega $. Probaremos que $u(x_{0})=0$.

Elegimos $U$ y $\vartheta $ como en la Definición 16.24. Nota primero que, reemplazando a $B^{n-1}(0,1)$ por $B^{n-1}(0,3/4)$, a $(-1,1)$ por $(-3/4,3/4)$, a $U$ por $\vartheta (B^{n-1}(0,3/4)\times (-3/4,3/4))$ y reescalando, podemos suponer que $\vartheta $ y $\frac{\partial \theta_{i}}{\partial y_{j}}$ son continuas en $\bar{B}^{n-1}(0,1)\times [-1,1]$ y que $\frac{\partial (\theta^{-1})_{i}}{\partial x_{j}}$ es continua en $\overline{U}$, en cuyo caso \begin{equation*} \frac{\partial \theta_{i}}{\partial y_{j}}\in L^{\infty }(B^{n-1}(0,1)\times (0,1))\qquad \text{y}\qquad \frac{\partial (\theta ^{-1})_{i}}{\partial x_{j}}\in L^{\infty }(U)\qquad \forall i,j=1,\dots,n. \end{equation*}

Sean $K:=\vartheta (\bar{B}^{n-1}(0,\frac{1}{2})\times [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}])$ y $\delta :=\frac{1}{2}$dist$(K,\mathbb{R}^{n}\smallsetminus U)$. Por el Lema 14.48 existe $\zeta \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $0\leq \zeta (x)\leq 1$ si $x\in \mathbb{R}^{n}$, $\zeta (x)=1$ si $x\in K$ y $\zeta (x)=0$ si dist$(x,K)\geq \delta $.

Si $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $(\psi_{k})$ es una sucesión en $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ tal que $\psi _{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$, entonces $\zeta \psi _{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(U\cap \Omega )$. Además, \begin{equation*} \left\Vert \zeta u-\zeta \psi_{k}\right\Vert_{L^{p}(U\cap \Omega )}^{p}=\int_{U\cap \Omega }\left\vert \zeta \right\vert^{p}\left\vert u-\psi_{k}\right\vert^{p}\leq \left\Vert u-\psi_{k}\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\rightarrow 0, \end{equation*} \begin{align*} &\left\Vert D_{i}(\zeta u)-\frac{\partial (\zeta \psi_{k})}{\partial x_{i}}\right\Vert_{L^{p}(U\cap \Omega )}\\&\qquad{}\leq \left\Vert \zeta D_{i}u-\zeta \frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{L^{p}(U\cap \Omega )}+\left\Vert \frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}u-\frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\psi_{k}\right\Vert_{L^{p}(U\cap \Omega )} \\ &\qquad{}\leq \left\Vert D_{i}u-\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{L^{p}(\Omega )}+\left\Vert \frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }\left\Vert u-\psi_{k}\right\Vert_{L^{p}(\Omega )}^{p}\rightarrow 0. \end{align*} Del Lema 16.13 se sigue que $\zeta u\in W^{1,p}(U\cap \Omega )$ y que $\zeta \psi_{k}\rightarrow \zeta u$ en $W^{1,p}(U\cap \Omega )$ y, como $\zeta \psi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(U\cap \Omega )$, se tiene entonces que $\zeta u\in W_{0}^{1,p}(U\cap \Omega )$. Aplicando la Proposición 16.23 concluimos que \begin{equation*} v:=\zeta u\circ \vartheta \in W_{0}^{1,p}(B^{n-1}(0,1)\times (0,1))\cap \mathcal{C}^{0}(\bar{B}^{n-1}(0,1)\times [0,1]). \end{equation*} Demostraremos que \begin{equation} v(y,0)=0\qquad \forall y\in B^{n-1}(0,1).\label{condfront} \end{equation} Observa que esto basta para probar la afirmación del teorema ya que, como $x_{0}=\vartheta (0,0)\in K$, se tiene que $u(x_{0})=\zeta (x_{0})u(x_{0})=v(0,0)=0$.

Para probar (\ref{condfront}) elegimos $\varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(B^{n-1}(0,1)\times (0,1))$ tal que $\varphi_{k}\rightarrow v$ en $W^{1,p}(B^{n-1}(0,1)\times (0,1))$. Como $\varphi_{k}(y,0)=0$ para todo $y\in B^{n-1}(0,1)$, el teorema fundamental del cálculo asegura que \begin{equation*} \varphi_{k}(y,t)=\int_{0}^{t}\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{n}}(y,s)ds\qquad \forall t\in (0,1). \end{equation*} Sea $\varepsilon \in (0,1)$. Por el teorema del valor medio para integrales existen $t_{\varepsilon },s_{\varepsilon }\in (0,\varepsilon )$ tales que \begin{equation} \int_{0}^{\varepsilon }\left\vert \varphi_{k}(y,t)\right\vert dt=\varepsilon \left\vert \varphi_{k}(y,t_{\varepsilon })\right\vert \qquad \text{y}\qquad \int_{0}^{\varepsilon }\left\vert v(y,t)\right\vert dt=\varepsilon \left\vert v(y,s_{\varepsilon })\right\vert .\label{vmi} \end{equation} Por tanto, \begin{equation*} \frac{1}{\varepsilon }\int_{0}^{\varepsilon }\left\vert \varphi _{k}(y,t)\right\vert dt\leq \int_{0}^{\varepsilon }\left\vert \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{n}}(y,s)\right\vert ds\qquad \forall \varepsilon \in (0,1), \end{equation*} e integrando ambos lados de la desigualdad sobre $B^{n-1}(0,1)$ obtenemos que \begin{equation*} \frac{1}{\varepsilon }\int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert \varphi _{k}\right\vert \leq \int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{n}}\right\vert , \end{equation*} donde $Q_{\varepsilon }:=B^{n-1}(0,1)\times (0,\varepsilon )$. Dado que $Q_{\varepsilon }$ tiene medida finita, se tiene que $\varphi _{k}\rightarrow v$ en $L^{1}(Q_{\varepsilon })$ y $\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{n}}\rightarrow D_{i}v$ en $L^{1}(Q_{\varepsilon })$ (ver Proposición 14.31). De modo que, pasando al límite cuando $k\rightarrow \infty $, concluimos que \begin{equation*} \frac{1}{\varepsilon }\int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert v\right\vert \leq \int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert D_{n}v\right\vert . \end{equation*} Combinando esta desigualdad con (\ref{vmi}) obtenemos \begin{equation*} \int_{\left\Vert y\right\Vert menorque 1}\left\vert v(y,s_{\varepsilon })\right\vert =\int_{\left\Vert y\right\Vert menorque 1}\frac{1}{\varepsilon }\int_{0}^{\varepsilon }\left\vert v(y,t)\right\vert dtdy=\frac{1}{\varepsilon }\int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert v\right\vert \leq \int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert D_{n}v\right\vert . \end{equation*} Nota que, como $v$ es continua, $\left\vert v(y,s_{\varepsilon })\right\vert \rightarrow \left\vert v(y,0)\right\vert $ cuando $\varepsilon \rightarrow 0$. Aplicando el teorema de convergencia dominada (Teorema 13.36) concluimos que \begin{equation*} \int_{\left\Vert y\right\Vert menorque 1}\left\vert v(y,0)\right\vert =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{\left\Vert y\right\Vert menorque 1}\left\vert v(y,s_{\varepsilon })\right\vert \leq \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert D_{n}v\right\vert =0. \end{equation*} En consecuencia, $v(y,0)=0$ para todo $y\in B^{n-1}(0,1)$.

El recíproco del teorema anterior también es cierto sin ninguna condición de regularidad en $\partial \Omega $. Más precisamente: si $u\in W^{1,p}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$ y $u(x)=0$ para todo $x\in \partial \Omega $, entonces $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$\footnote{La demostración de esta afirmación se encuentra, por ejemplo, en~\cite{Bre}, Teorema IX.17.}.

Problemas elípticos con condición de frontera

La ecuación en derivadas parciales \begin{equation} -\Delta u=0 \quad \text{en }\Omega , \label{eclap} \end{equation} donde $\Omega $ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ y \begin{equation} \Delta u=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{i}^{2}} \label{deflap} \end{equation} es el operador de Laplace o laplaciano, se llama la ecuación de Laplace. Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas.

Un ejemplo bien conocido de funciones armónicas aparece en análisis complejo: la parte real y la parte imaginaria de una función holomorfa son funciones armónicas. En la teoría de probabilidad la ecuación de Laplace juega un papel importante en el estudio del movimiento Browniano. En física aparece en múltiples contextos. Típicamente, $u$ denota la densidad de alguna cantidad en equilibrio, por ejemplo, una concentración química, una temperatura, un potencial electrostático, etc.\footnote{Consulta~\cite{Feynman}.}

La ecuación de Laplace es el ejemplo más sencillo de una ecuación elíptica. Dedicaremos esta sección al estudio de algunos problemas elípticos lineales que satisfacen una condición prescrita sobre la frontera de $\Omega $.

Un problema de Dirichlet homogéneo

Dado un subconjunto abierto $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ y una función $f\colon \overline{\Omega }\rightarrow \mathbb{R}$, nos preguntamos si existe una función $u\colon \overline{\Omega }\rightarrow \mathbb{R}$ que satisface \begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} -\Delta u+u &{}=f &\quad&\text{en $\Omega$,} \\ u &{}=0 &&\text{sobre $\partial \Omega$,} \end{alignedat} \right.\label{poisson} \end{equation} donde $\partial \Omega $ denota a la frontera de $\Omega $.

La condición “ $u=0$ sobre $\partial \Omega $” recibe el nombre de condición de Dirichlet homogénea.

Una función $u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega })$ que satisface (\ref{poisson}) se llama una solución clásica de (\ref{poisson}).

Observa que, si existe una solución clásica de (\ref{poisson}), entonces forzosamente $f\in \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$. Además, se cumple lo siguiente.

Si $u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega })$ satisface $-\Delta u+u=f$, entonces \begin{equation*} \int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int_{\Omega }u\varphi =\int_{\Omega }f\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ). \end{equation*}

Sea $u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega })$ una solución clásica de (\ref{poisson}). Multiplicando ambos lados de la ecuación $-\Delta u+u=f$ por $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ e integrando, obtenemos que \begin{equation} -\int_{\Omega }(\Delta u)\varphi +\int_{\Omega }u\varphi =\int_{\Omega }f\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ).\label{pp1} \end{equation} La fórmula de integración por partes (ver Proposición 16.1) asegura que \begin{equation*} \int_{\Omega }\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}=-\int_{\Omega }\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}\varphi . \end{equation*} Sumando estas identidades para $i=1,\dots,n$, obtenemos la fórmula de Green \begin{equation} -\int_{\Omega }(\Delta u)\varphi dx=\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ). \label{pp2} \end{equation} Combinando (\ref{pp1}) y (\ref{pp2}) obtenemos la identidad deseada.

Este resultado motiva la siguiente definición.

Una función $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ que satisface \begin{equation} \int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int_{\Omega }u\varphi =\int_{\Omega }f\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )\label{soldeb} \end{equation} se llama una solución débil de (\ref{poisson}).

El lado izquierdo de (\ref{soldeb}) es el producto escalar \begin{equation*} \left\langle u,\varphi \right\rangle_{H^{1}(\Omega )}:=\int_{\Omega }u\varphi +\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \end{equation*} en el espacio $H^{1}(\Omega )$ que definimos en (\ref{pesc}), así que podemos reescribir la condición (\ref{soldeb}) como \begin{equation} \left\langle u,\varphi \right\rangle_{H^{1}(\Omega )}=\int_{\Omega }f\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ). \label{soldebil} \end{equation} La existencia de una solución débil es consecuencia del teorema de representación de Fréchet-Riesz.

[Existencia y unicidad] Para cada $f\in L^{2}(\Omega )$ existe una única solución débil $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ del problema (\ref{poisson}). Más aún, $u$ es el único mínimo del funcional $J\colon H_{0}^{1}(\Omega )\rightarrow \mathbb{R}$ dado por \begin{equation*} J(v)=\frac{1}{2}\left\Vert v\right\Vert_{H^{1}(\Omega )}^{2}-\int_{\Omega }fv. \end{equation*} A esta última afirmación se le conoce como el principio de Dirichlet.

Para $f\in L^{2}(\Omega )$ considera la función $T\colon H_{0}^{1}(\Omega )\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} Tv:=\int_{\Omega }fv. \end{equation*} Esta función es claramente lineal. Además, usando la desigualdad de Hölder en $L^{2}(\Omega )$ obtenemos que, para toda $v\in H_{0}^{1}(\Omega)$, \begin{equation*} \left\vert \int_{\Omega }fv\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert _{2}\left\Vert v\right\Vert_{2}\leq \left\Vert f\right\Vert_{2}\left( \left\Vert v\right\Vert_{2}+\sum_{i=1}^{n}\left\Vert D_{i}v\right\Vert _{2}\right)^{1/2}=\left\Vert f\right\Vert_{2}\left\Vert v\right\Vert _{H^{1}(\Omega )}. \end{equation*} Esto prueba que $T$ es continua en $H_{0}^{1}(\Omega )$. Por el teorema de representación de Fréchet-Riesz (Teorema 15.19) existe un único $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ tal que \begin{equation*} \left\langle u,v\right\rangle_{H^{1}(\Omega )}=Tv\qquad \forall v\in H_{0}^{1}(\Omega ), \end{equation*} es decir, $u$ es la única solución débil de (\ref{poisson}). Por la Proposición 15.20, $u$ es el único mínimo de $J$.

Observa que, como $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ es denso en $H_{0}^{1}(\Omega )$ y las funciones $v\mapsto \left\langle u,v\right\rangle_{H^{1}(\Omega )}$ y $Tv=\int_{\Omega }fv$ son continuas en $H_{0}^{1}(\Omega )$, si la identidad (\ref{soldebil}) se satisface para todo $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ entonces se cumple también para todo $v\in H_{0}^{1}(\Omega )$. Así que la condición (\ref{soldeb}) es equivalente a \begin{equation} \left\langle u,v\right\rangle_{H^{1}(\Omega )}=\int_{\Omega }fv\qquad \text{ }\forall v\in H_{0}^{1}(\Omega ).\label{soldeb'} \end{equation}

El siguiente resultado afirma que, si los datos del problema y la solución débil son suficientemente regulares, entonces ésta es una solución clásica.

Si $\Omega $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$, $f\in L^{2}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$ y la solución débil $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ del problema (\ref{poisson}) satisface $u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega })$, entonces $u$ es solución clásica de (\ref{poisson}).

El Teorema 16.25 asegura que $u(x)=0$ para todo $x\in \partial \Omega $. Por otra parte, aplicando la fórmula de Green (\ref{pp2}) obtenemos \begin{equation*} \int_{\Omega }(-\Delta u+u-f)\varphi =\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int_{\Omega }u\varphi -\int_{\Omega }f\varphi =0 \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ). \end{equation*} La Proposición 14.49 asegura entonces que $h:=-\Delta u+u-f=0$ c.d. en $\Omega $. Como $h$ es continua, si $h(x_{0})\neq 0$ para algún $x_{0}\in \Omega $, se tendría que $h(x)\neq 0$ para todo $x\in B^{n}(x_{0},\delta )$ con $\delta >0$, lo cual es una contradicción. Así que \begin{equation*} -\Delta u+u=f\qquad \text{ en }\Omega . \end{equation*} Esto prueba que $u$ es una solución clásica de (\ref{poisson}).

Si los datos del problema son suficientemente regulares, la solución débil resulta ser suficientemente regular. Se tiene, por ejemplo, el siguiente resultado, cuya demostración no daremos aquí\footnote{Puedes consultar la demostración en~\cite{Evans}.}.

[de regularidad] Si $\Omega $ es un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^{n}$ de clase $\mathcal{C}^{\infty }$, $f\in \mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })$ y $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ es una solución débil del problema (\ref{poisson}), entonces $u\in \mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })$.

De hecho, bastan condiciones de regularidad mucho más débiles sobre $\Omega $ y $f$ para concluir que $u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega })$\footnote{Una referencia muy completa sobre resultados de este tipo es~\cite{Gilbarg}.}, como requiere la Proposición 16.31.

Usando el teorema de regularidad obtenemos el siguiente resultado.

Si $\Omega $ es un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^{n}$ de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ y $f\in \mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })$, entonces el problema (\ref{poisson}) tiene una única solución clásica $u\in \mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })$.

La afirmación es consecuencia inmediata del Teorema 16.32 y la Proposición 16.31.

Un problema de Dirichlet no homogéneo

Estudiaremos ahora la misma ecuación con una condición más general sobre la frontera.

Dados un subconjunto abierto $\Omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ y funciones $f,g\colon \overline{\Omega }\rightarrow \mathbb{R}$, nos preguntamos si existe una función $u\colon \overline{\Omega }\rightarrow \mathbb{R}$ que satisface \begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} -\Delta u+u&{}=f &\quad& \text{en $\Omega$,} \\ u&{}=g && \text{sobre $\partial \Omega$.} \end{alignedat} \right.\label{dirnh} \end{equation} La condición “ $u=g$ sobre $\partial \Omega $” recibe el nombre de condición de Dirichlet.

Una función $u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega })$ que satisface (\ref{dirnh}) se llama una solución clásica de (\ref{dirnh}).

El Teorema 16.25 sugiere buscar soluciones en el espacio afín \begin{equation*} A_{g}:=\left\{u\in H^{1}(\Omega ):u-g\in H_{0}^{1}(\Omega )\right\}. \end{equation*} Definimos entonces una solución débil como sigue.

Una función $u\in A_{g}$ que satisface \begin{equation} \int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int_{\Omega }u\varphi =\int_{\Omega }f\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )\label{soldebnh} \end{equation} se llama una solución débil(\ref{dirnh}).

Observa que la condición (\ref{soldebnh}) es la misma que la condición (\ref{soldeb}) del caso homogéneo. Sólo que ahora buscamos una solución en $A_{g}$ en vez de en $H_{0}^{1}(\Omega )$. Nota que $A_{g}$ no es un espacio vectorial (y en consecuencia no es un espacio de Hilbert) a menos que $g=0$ en cuyo caso $A_{g}=H_{0}^{1}(\Omega )$.

El Teorema 16.29 se extiende como sigue.

[Existencia y unicidad de la solución débil] Para cada $f\in L^{2}(\Omega )$ y $g\in H^{1}(\Omega )$ existe una única solución débil $u\in A_{g}$ del problema (\ref{dirnh}). Más aún, $u$ es el único mínimo del funcional $J\colon A_{g}\rightarrow \mathbb{R}$ dado por \begin{equation*} J(v):=\frac{1}{2}\left\Vert v\right\Vert_{H^{1}(\Omega )}^{2}-\int_{\Omega }fv. \end{equation*} A esta última afirmación se le llama el principio de Dirichlet.

Proponemos la demostración de este teorema como ejercicio [Ejercicio 16.48].

Nuevamente, si los datos del problema y la solución débil son suficientemente regulares, ésta es una solución clásica.

Si $\Omega $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$, $f\in L^{2}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$, $g\in H^{1}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$ y la solución débil $u\in A_{g}$ del problema (\ref{dirnh}) satisface $u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega })$, entonces $u$ es solución clásica de (\ref{dirnh}).

Como $u-g\in H_{0}^{1}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$, el Teorema 16.25 asegura que $u(x)=g(x)$ para todo $x\in \partial \Omega $.

El mismo argumento empleado en la demostración de la Proposición 16.31, prueba que $-\Delta u+u=f$ en $\Omega $. Por tanto, $u$ es una solución clásica de (\ref{dirnh}).

Como en el caso homogéneo, usando el Teorema 16.32 se prueba la existencia de una única solución clásica cuando $\Omega $ es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ y $f,g\in \mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })$ [Ejercicio 16.48].

Durante mucho tiempo el principio de Dirichlet se aplicó de manera exitosa pero poco rigurosa: si la integral de Dirichlet (que en nuestro caso es el funcional $J$) resultaba estar acotada inferiormente, los expertos (incluyendo a Riemann, que fue quien le puso el nombre de principio de Dirichlet) daban por hecho la existencia de un mínimo. Hasta que Weierstrass en 1895 mostró un contraejemplo, que proponemos aquí como ejercicio [Ejercicio 16.47].

Ejercicios

Prueba que, si $\omega $ es un subconjunto abierto de $\Omega $ y $u\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$ es débilmente diferenciable en $\Omega $, entonces la restricción de $u$ a $\omega $ es débilmente diferenciable en $\omega $ y \begin{equation*} D_{i}(u\mid_{\omega })=(D_{i}u)\mid_{\omega }. \end{equation*}

Prueba que, si $\Omega $ es conexo, $u\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$ es débilmente diferenciable en $\Omega $ y $D_{i}u=0$ c.d. en $\Omega $ para todo $i=1,\dots,n$, entonces $u$ es constante c.d. en $\Omega $.

Sean $\Omega =\mathbb{R}^{n}\smallsetminus B_{n}(0,r)$, $r>0$, y $u(x):=\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$.

¿Para qué valores de $\gamma \in \mathbb{R}$ es $u$ es débilmente diferenciable en $\Omega $?
Dada $p\in [1,\infty ]$, ¿para qué valores de $\gamma \in \mathbb{R}$ se cumple que $u\in W^{1,p}(\Omega )$?

Considera las siguientes funciones:

$u_{i}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\quad u_{i}(x):=\frac{x_{i}}{\left\Vert x\right\Vert },\quad i=1,\dots,n$.
$u\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\quad u(x):=\ln \left\Vert x\right\Vert $.
$1_{B^{n}(0,1)}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\quad$ donde $B^{n}(0,1):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert x\right\Vert =1\right\}$.

¿Para qué valores de $n$ es cada una de las funciones anteriores débilmente diferenciable en $\mathbb{R}^{n}$? ¿Para qué valores de $n$ y $p$ pertenece a $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$?

Sea $p\in [1,\infty )$. Prueba que, si $u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ y $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$, entonces $u\varphi \in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y \begin{equation*} D_{i}(u\varphi )=\left( D_{i}u\right) \varphi +u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*}

Sea $p\in [1,\infty )$. Prueba que, si $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$, entonces $\left\vert u\right\vert \in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y \begin{equation*} \left( D_{i}\left\vert u\right\vert \right) (x)= \begin{cases} \left( D_{i}u\right) (x) & \text{si }u(x)\geq 0, \\ 0 & \text{si }u(x)=0, \\ -\left( D_{i}u\right) (x) & \text{si }u(x)\leq 0. \end{cases} \end{equation*} (Sugerencia: Considera las funciones $\phi_{\varepsilon }(t)=(t^{2}+\varepsilon^{2})^{1/2}-\varepsilon $, $\varepsilon >0$, y $\phi_{\varepsilon }\circ u$. Prueba que $\phi_{\varepsilon }\circ u\rightarrow \left\vert u\right\vert $ en $W^{1,p}(\Omega )$.)

Sea $p\in [1,\infty )$. Prueba que, si $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$, entonces \begin{equation*} u^{+}:=\max \left\{u,0\right\}\in W_{0}^{1,p}(\Omega ),\qquad u^{-}:=\min \left\{u,0\right\}\in W_{0}^{1,p}(\Omega ), \end{equation*} y sus derivadas débiles son \begin{align*} \left( D_{i}u^{+}\right) (x) &{}= \begin{cases} \left( D_{i}u\right) (x) & \text{si }u(x)\geq 0, \\ 0 & \text{si }u(x)\leq 0. \end{cases} \\ \qquad \left( D_{i}u^{-}\right) (x) &{}= \begin{cases} \left( D_{i}u\right) (x) & \text{si }u(x)\leq 0, \\ 0 & \text{si }u(x)\geq 0. \end{cases} \end{align*}

Sean $\Omega $ un subconjunto abierto de clase $\mathcal{C}^{1}$ de $\mathbb{R}^{n}$ y $p\in [1,\infty )$. Prueba que, si $\Omega \neq \mathbb{R}^{n}$, entonces $W^{1,p}(\Omega )\neq W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

Prueba que, si $u\in W^{1,p}(\Omega )$ y $D_{i}u\in W^{1,p}(\Omega )$ para todo $i\in \left\{1,\dots,n\right\}$ entonces \begin{equation*} D_{j}D_{i}u=D_{i}D_{j}u\qquad \forall i,j=1,\dots,n. \end{equation*}

[Ejemplo de Weierstrass]

Sea $V:=\left\{u\in \mathcal{C}^{1}[-1,1]:u(1)=1, u(-1)=-1\right\}$ y sea \begin{equation*} J(u):=\int_{-1}^{1}\left\vert xu^{\prime }(x)\right\vert^{2}dx \end{equation*}

Prueba que $ \inf \left\{J(u):u\in V\right\}=0$. (Sugerencia: Considera las funciones \begin{equation*} u_{\varepsilon }(x):=\frac{\arctan \left( \frac{x}{\varepsilon }\right) }{\arctan \left( \frac{1}{\varepsilon }\right) },\qquad \varepsilon >0. \end{equation*} Prueba que pertenecen a $V$ y que $J(u_{\varepsilon })\rightarrow 0$ cuando $\varepsilon \rightarrow 0$.)

Prueba que $J$ no alcanza su mínimo en $V$.

Sean $\Omega $ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$, $ f,g\colon \overline{\Omega }\rightarrow \mathbb{R}$. Considera el problema \begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} -\Delta u+u&{}=f &\quad& \text{en }\Omega , \\ u&{}=g && \text{sobre }\partial \Omega . \end{alignedat} \right.\label{dirnh2} \end{equation} Recuerda que una solución débil de este problema es una función $u\in A_{g}$, donde \begin{equation*} A_{g}:=\left\{w\in H^{1}(\Omega ):w-g\in H_{0}^{1}(\Omega )\right\}, \end{equation*} que satisface \begin{equation} \int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int_{\Omega }u\varphi =\int_{\Omega }f\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ).\label{soldeb2} \end{equation} Demuestra las siguientes afirmaciones:

Si $g\in H^{1}(\Omega )$ y $f\in L^{2}(\Omega )$, el problema (\ref{dirnh2}) tiene una única solución débil. (Sugerencia: Prueba que $u\in A_{g}$ satisface (\ref{soldeb2}) si y sólo si }$v:=u-g\in H_{0}^{1}(\Omega )$ satisface \begin{equation*} \int_{\Omega }\nabla v\cdot \nabla \varphi +\int_{\Omega }v\varphi =-\int_{\Omega }\nabla g\cdot \nabla \varphi -\int_{\Omega }g\varphi +\int_{\Omega }f\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ), \end{equation*} y aplica el teorema de representación de Fréchet-Riesz.)
$u\in A_{g}$ es una solución débil de (\ref{dirnh2}) si y sólo si $u$ es un mínimo del funcional $J\colon A_{g}\rightarrow \mathbb{R}$ dado por \begin{equation*} J(w):=\frac{1}{2}\left\Vert w\right\Vert_{H^{1}(\Omega )}^{2}-\int_{\Omega }fw. \end{equation*}
Si $g\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega })$, entonces $u$ es solución clásica de (\ref{dirnh2}) si y sólo si $v:=u-g$ es solución clásica de \begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{2} -\Delta v+v&{}=\Delta g-g+f &\quad& \text{en }\Omega , \\ v&{}=0 && \text{sobre }\partial \Omega . \end{alignedat} \right. \end{equation*}
Si $\Omega $ es un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^{n}$ de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ y $f,g\in \mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })$, entonces el problema (\ref{dirnh2}) tiene una única solución clásica $u\in \mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })$.

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