. Si existe una constante
Para cada
\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left(
\mathbb{R}^{n}\right) y
\lambda >0 definimos
\begin{equation*}
\varphi_{\lambda }(x):=\varphi (\lambda x).
\end{equation*}
Aplicando el teorema de cambio de variable obtenemos
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi_{\lambda }\right\Vert_{q}^{q}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi (\lambda x)\right\vert^{q}dx=\frac{1}{\lambda^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi (y)\right\vert^{q}dy=\frac{1}{\lambda^{n}}\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}^{q}
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
\left\Vert \frac{\partial \varphi_{\lambda }}{\partial x_{i}}\right\Vert
_{p}^{p}=\lambda^{p}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \frac{\partial \varphi
(\lambda x)}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}dx=\frac{\lambda^{p}}{\lambda
^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \frac{\partial \varphi (y)}{\partial
x_{i}}\right\vert^{p}dy=\frac{\lambda^{p}}{\lambda^{n}}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{p}.
\end{equation*}
Aplicando la desigualdad (
\ref{expcrit}) a la función
\varphi
_{\lambda } concluimos que
\begin{equation*}
\frac{1}{\lambda^{n/q}}\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}\leq C\frac{\lambda }{\lambda^{n/p}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right) ,\text{ }\forall \lambda >0,
\end{equation*}
es decir,
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}\leq C\lambda^{1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}\qquad \forall \varphi \in
\mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right) ,\text{ }\forall
\lambda >0.
\end{equation*}
Haciendo tender
\lambda a cero si
1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}>0 o
a infinito si
1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}\menorque 0 vemos que, si
1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}\neq 0, la desigualdad anterior no se
satisface para ninguna
\varphi \neq 0.
Así que necesariamente 1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}=0, en cuyo
caso \frac{n}{p}>1 y q=\frac{np}{n-p}, como afirma el enunciado.
Si p\in [1,n) se define el exponente crítico
de Sobolev como
\begin{equation*}
p^{\ast }:=\frac{np}{n-p}.
\end{equation*}
Nota que p^{\ast }>p.
Probaremos a continuación que la desigualdad (\ref{expcrit}) se
cumple cuando p\in [1,n) y q=p^{\ast }. Usaremos el
siguiente lema.
Sean n\geq 2 y f_{1},\ldots ,f_{n}\in L^{n-1}\left(
\mathbb{R}^{n-1}\right) . Si x=(x_{1},\dots,x_{n})\in
\mathbb{R}^{n} denotamos por
\widehat{x}_{i}:=(x_{1},\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n})\in
\mathbb{R}^{n-1} y definimos
\begin{equation*}
f(x):=\prod_{i=1}^{n}f_{i}(\widehat{x}_{i}).
\end{equation*}
Entonces f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n}) y
\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}\leq
\prod_{i=1}^{n}\left\Vert f_{i}\right\Vert_{L^{n-1}(\mathbb{R}^{n-1})}.
\end{equation*}
Demostraremos esta afirmación por inducción sobre
n. Si
n=2 la afirmación es obvia, ya que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{2}}\left\vert f(x_{1},x_{2})\right\vert dx_{1}dx_{2}=\int_{\mathbb{R}}\left\vert f_{1}(x_{2})\right\vert dx_{2}\int_{\mathbb{R}}\left\vert f_{2}(x_{1})\right\vert dx_{1}.
\end{equation*}
Supongámosla cierta para
n y demostrémosla para
n+1.
Sean f_{1},\ldots ,f_{n+1}\in L^{n}\left( \mathbb{R}^{n}\right) .
Fijemos por un momento el valor de x_{n+1} y definamos
g_{i}(z_{1},\ldots ,z_{n-1}):=\left\vert f_{i}(z_{1},\ldots
,z_{n-1},x_{n+1})\right\vert^{\frac{n}{n-1}}, i=1,\dots,n.
Observa que g_{i}\in L^{n-1}\left( \mathbb{R}^{n-1}\right) de
modo que, aplicando la hipótesis de inducción, concluimos
que la función
\begin{equation*}
g(y):=\prod_{i=1}^{n}g_{i}(\widehat{y}_{i})=\prod_{i=1}^{n}\left\vert
f_{i}(\widehat{y}_{i},x_{n+1})\right\vert^{\frac{n}{n-1}},\qquad y\in \mathbb{R}^{n},
\end{equation*}
pertenece a L^{1}(\mathbb{R}^{n}) y que
\begin{equation}
\left\Vert g\right\Vert_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}\leq
\prod_{i=1}^{n}\left\Vert g_{i}\right\Vert_{L^{n-1}(\mathbb{R}^{n-1})}=\prod_{i=1}^{n}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left\vert
f_{i}(z,x_{n+1})\right\vert^{n}dz\biggr)^{\frac{1}{n-1}}.\label{lemSob1}
\end{equation}
Nota que
\begin{equation*}
\left\vert f(y,x_{n+1})\right\vert =\left( \prod_{i=1}^{n}\left\vert f_{i}(\widehat{y}_{i},x_{n+1})\right\vert \right) \left\vert f_{n+1}(y)\right\vert
=\left\vert g(y)\right\vert^{\frac{n-1}{n}}\left\vert f_{n+1}(y)\right\vert
.
\end{equation*}
Aplicando la desigualdad de Hölder y la desigualdad
(\ref{lemSob1}) obtenemos
\begin{align}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f(y,x_{n+1})\right\vert dy &\leq \left\Vert
g\right\Vert_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}^{\frac{n-1}{n}}\left\Vert
f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})} \notag \\
&\leq \prod_{i=1}^{n}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left\vert
f_{i}(z,x_{n+1})\right\vert^{n}dz\biggr)^{\frac{1}{n}}\left\Vert
f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}.\label{lemSob2}
\end{align}
Ahora hagamos variar x_{n+1}. Cada una de las funciones
\begin{equation*}
h_{i}(x_{n+1})\mapsto \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left\vert
f_{i}(z,x_{n+1})\right\vert^{n}dz\biggr)^{\frac{1}{n}},\qquad i=1,\ldots
,n,
\end{equation*}
pertenece a L^{n}(\mathbb{R}) y su norma en este espacio es
\begin{equation*}
\left\Vert h_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R})}=\biggl( \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left\vert f_{i}(z,x_{n+1})\right\vert
^{n}dz\,dx_{n+1}\biggr)^{\frac{1}{n}}=\left\Vert f_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}.
\end{equation*}
Así que, integrando la desigualdad (\ref{lemSob2}) respecto a
x_{n+1} y aplicando la desigualdad de Hölder generalizada (ver
Ejercicio 14.68), concluimos que \prod_{i=1}^{n}h_{i}\in
L^{1}(\mathbb{R}) y
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}^{n+1}}\left\vert f(x)\right\vert dx
&{}\leq \biggl( \int_{\mathbb{R}}\prod_{i=1}^{n}\left\vert h_{i}(x_{n+1})\right\vert
dx_{n+1}\biggr) \left\Vert
f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}\\
&{}\leq
\left( \prod_{i=1}^{n}\left\Vert h_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R})}\right) \left\Vert f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})} \\
&{}=\left( \prod_{i=1}^{n}\left\Vert
f_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}\right) \left\Vert
f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}\\
&{}=\prod_{i=1}^{n+1}\left\Vert f_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}.
\end{align*}
Ésta es la desigualdad deseada.
Existen constantes
C>0, que dependen únicamente
de
n y
p, con las siguientes propiedades:
- Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev:
Si p\in [1,n) entonces
\begin{equation}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\left\Vert \nabla \varphi
\right\Vert_{p}\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right) .\label{gns}
\end{equation}
- Si p\in (n,\infty ) entonces
\begin{equation}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\leq C\left\vert \sop(\varphi )\right\vert^{\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}\left\Vert \nabla \varphi
\right\Vert_{p}\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty
}\left( \mathbb{R}^{n}\right) ,\label{m}
\end{equation}
donde \left\vert \sop(\varphi )\right\vert denota
la medida del soporte de \varphi .
Sea
\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{1}\left( \mathbb{R}^{n}\right) .
Como
\varphi tiene soporte compacto, el teorema fundamental del
cálculo asegura que
\begin{equation*}
\varphi \left( x\right) =\int_{-\infty }^{x_{i}}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x_{1},\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_{n})dt
\end{equation*}
para cada
1\leq i\leq n y, en consecuencia,
\begin{equation}
\left\vert \varphi \left( x\right) \right\vert \leq \int_{-\infty }^{\infty
}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x_{1},\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_{n})\right\vert dt.\label{sob0}
\end{equation}
Si
n\geq 2 definimos
\begin{equation*}
f_{i}(z_{1},,\dots,z_{n-1}):=\biggl( \int_{-\infty }^{\infty }\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x_{1},\dots,z_{i-1},t,z_{i},\dots,z_{n-1})\right\vert dt\biggr)^{\frac{1}{n-1}}.
\end{equation*}
Entonces
f_{1},\ldots ,f_{n}\in L^{n-1}\left(
\mathbb{R}^{n-1}\right) y
\begin{equation*}
\left\Vert f_{i}\right\Vert_{L^{n-1}(\mathbb{R}^{n-1})}=\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}^{\frac{1}{n-1}}.
\end{equation*}
Elevando las desigualdades (
\ref{sob0}) a la
\frac{1}{n-1} y
tomando el producto de todas ellas obtenemos
\begin{equation*}
\left\vert \varphi \left( x\right) \right\vert^{\frac{n}{n-1}}\leq
\prod_{i=1}^{n}f_{i}(\widehat{x}_{i}),
\end{equation*}
donde
\widehat{x}_{i}:=(x_{1},\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n})\in
\mathbb{R}^{n-1}. Aplicando el Lema
17.3 se tiene entonces
que
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi \right\vert^{\frac{n}{n-1}}\leq
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \prod_{i=1}^{n}f_{i}(\widehat{x}_{i})\right)
\leq \prod_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{1}^{\frac{1}{n-1}}.
\end{equation*}
Por tanto,
\begin{equation}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}}\leq
\prod_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{1}^{\frac{1}{n}}\label{sob1}
\end{equation}
y como la media geométrica es menor o igual que la media
aritmética concluimos que
\begin{equation}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}}\leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert
_{1}=\frac{1}{n}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{1}.\label{sob2}
\end{equation}
Por otra parte, para cada
\gamma >1, reemplazando a
\varphi por
\left\vert \varphi \right\vert^{\gamma -1}\varphi en la
desigualdad (
\ref{sob1}) y aplicando la desigualdad de Hölder,
obtenemos
\begin{align}
\biggl( \int_{\mathbb{R}^{N}}\left\vert \varphi
\right\vert^{\frac{n\gamma }{n-1}}\biggr)^{\frac{n-1}{n}}
&{}\leq \gamma \prod_{i=1}^{n}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi \right\vert^{\gamma -1}\left\vert \frac{\partial
\varphi }{\partial x_{i}}\right\vert \biggr)^{\frac{1}{n}} \notag \\
&{}\leq \gamma \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi \right\vert^{\frac{p\left( \gamma -1\right) }{p-1}}\biggr)^{\frac{p-1}{p}}\prod_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{\frac{1}{n}}\label{sob3} \\
&{}<\gamma \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi \right\vert^{\frac{p\left( \gamma -1\right) }{p-1}}\biggr)^{\frac{p-1}{p}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}, \notag
\end{align}
donde la última desigualdad se obtiene aplicando el
Ejercicio
2.42 como sigue:
\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{\frac{1}{n}}\leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}\leq \frac{n^{\frac{p-1}{p}}}{n}\biggl( \sum_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}}<\left\Vert \nabla \varphi
\right\Vert_{p}.
\end{equation*}
Usaremos las desigualdades anteriores para probar las afirmaciones
del teorema.
(a): Supongamos que p\in [1,n). Si p=1 entonces
p^{\ast }=\frac{n}{n-1} y la desigualdad (\ref{sob2}) es la
desigualdad deseada. Si p\neq 1 tomamos \gamma
:=\frac{n-1}{n}p^{\ast }. Nota que \gamma >1, que \frac{p\left(
\gamma -1\right) }{p-1}=\frac{n\gamma }{n-1}=p^{\ast } y que
\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}=\frac{1}{p^{\ast }}. De la desigualdad
(\ref{sob3}) se sigue entonces que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{p^{\ast }}\leq \gamma \left\Vert \nabla
\varphi \right\Vert_{p}.
\end{equation*}
(b): Supongamos que p\in (n,\infty ). Si n=1, la
desigualdad (\ref{sob0}) y el Ejercicio 14.66 (con X=
\sop(\varphi )) implican que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\leq \left\Vert \varphi^{\prime
}\right\Vert_{1}\leq \left\vert \sop(\varphi )\right\vert^{\frac{p-1}{p}}\left\Vert \varphi^{\prime }\right\Vert_{p},
\end{equation*}
que es la desigualdad deseada.
Si n\geq 2 consideramos primero el caso en el que
\begin{equation}
\left\vert \sop(\varphi )\right\vert =1\qquad\text{y}\qquad \left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}=1.\label{sob4}
\end{equation}
De la desigualdad (\ref{sob3}) y el Ejercicio 14.66 se sigue
entonces que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n\gamma }{n-1}}\leq \gamma^{\frac{1}{\gamma }}\left( \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{p(\gamma -1)}{p-1}}\right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}\leq \gamma^{\frac{1}{\gamma }}\left(
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{p\gamma }{p-1}}\right)^{\frac{\gamma
-1}{\gamma }}\qquad \forall \gamma >1.
\end{equation*}
Tomemos \gamma :=\frac{n}{n-1}\frac{p-1}{p}. Nota que \gamma >1.
Sustituyendo \gamma por \gamma^{k} en la desigualdad anterior
y tomando en cuenta que \frac{p}{p-1}\gamma
^{k}=\frac{n}{n-1}\gamma^{k-1} obtenemos
\begin{equation}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k}}\leq \gamma^{\frac{k}{\gamma^{k}}}\left( \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k-1}}\right)^{\frac{\gamma^{k}-1}{\gamma^{k}}}.\label{sob5}
\end{equation}
Como hemos supuesto que \left\vert \sop(\varphi )\right\vert
=1 y \left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}=1, la desigualdad
(\ref{sob2}) y el Ejercicio 14.70 aseguran que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}}\leq \frac{1}{n}\left\Vert
\nabla \varphi \right\Vert_{1}\leq \frac{1}{n}(n\left\vert \sop(\varphi )\right\vert )^{\frac{p-1}{p}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert
_{p}\menorque 1.
\end{equation*}
Si \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k}}\leq 1
para una infinidad de k\in \mathbb{N}, el
Ejercicio 14.69 garantiza que
\left\Vert \varphi \right\Vert _{\infty }\leq 1. Si, por el
contrario, existe k_{0}\geq 0 tal que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k_{0}}}\leq 1\qquad\text{y}\qquad \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k}}>1\quad \forall k>k_{0},
\end{equation*}
entonces
\begin{equation*}
\left( \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k-1}}\right)^{\frac{\gamma^{k}-1}{\gamma^{k}}}\leq \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k-1}}\quad \forall k>k_{0}+1,
\end{equation*}
e iterando la desigualdad (\ref{sob5}) obtenemos
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k}}\leq \gamma
^{\left( \frac{k}{\gamma k}+\cdots +\frac{k_{0}+1}{\gamma^{k_{0}+1}}\right)
}\left( \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma
^{k_{0}}}\right)^{\frac{\gamma^{k_{0}}-1}{\gamma^{k_{0}}}}\leq \gamma
^{\alpha },
\end{equation*}
donde \alpha :=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{i}{\gamma^{i}}<\infty ,
ya que \gamma >1. Aplicando nuevamente el
Ejercicio 14.69 concluimos que
\left\Vert \varphi \right\Vert _{\infty }\leq \gamma^{\alpha
}. Así pues, si \varphi satisface (\ref{sob4}), entonces
\begin{equation}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\leq \gamma^{\alpha }=\gamma
^{\alpha }\left\vert \sop(\varphi )\right\vert^{\frac{p-n}{np}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}.\label{sob6}
\end{equation}
Para probar la desigualdad (\ref{m}) en el caso general observa
primero que, si \left\vert \sop(\varphi )\right\vert =0 o
\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}=0, entonces \varphi
=0 y la desigualdad se satisface trivialmente. Si \left\vert
\sop(\varphi )\right\vert \neq 0 y \left\Vert \nabla
\varphi \right\Vert_{p}\neq 0, aplicamos la desigualdad
(\ref{sob6}) a la función \theta :=\frac{\psi }{\left\Vert
\nabla \psi \right\Vert_{p}} donde \psi (x):=\varphi
(\left\vert \sop(\varphi )\right\vert^{1/n}x). Nota que
\left\vert \sop(\theta )\right\vert =\left\vert
\sop(\psi )\right\vert =1 y que \left\Vert \nabla \theta
\right\Vert_{p}=1. Así que, aplicando el caso anterior
obtenemos
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }=\left\Vert \psi \right\Vert
_{\infty }\leq \gamma^{\alpha }\left\Vert \nabla \psi \right\Vert
_{p}=\gamma^{\alpha }\left\vert \sop(\varphi )\right\vert^{\frac{p-n}{np}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p},
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
La desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev se extiende por densidad
a W_{0}^{1,p}(\Omega ). Nota que, si u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ), su
gradiente \nabla \varphi =(D_{1}u,\ldots ,D_{n}u) pertenece a
\left[ L^{p}\left( \mathbb{R}^{n}\right) \right]^{n} y
\begin{equation*}
\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}:=\left( \left\Vert D_{1}u\right\Vert
_{p}^{p}+\cdots +\left\Vert D_{n}u\right\Vert_{p}^{p}\right)^{1/p}.
\end{equation*}
Si \Omega es un subconjunto abierto de
\mathbb{R}^{n} y p\in [1,n), entonces W_{0}^{1,p}(\Omega
)\subset L^{p^{\ast }}\left( \Omega \right) y existe una constante
C>0, que depende únicamente de n y p, tal que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}\qquad \forall u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ).
\end{equation*}
Si
u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ) y
\left( \varphi_{k}\right) es
una sucesión en
\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ) que
converge a
u en
W^{1,p}(\Omega ), entonces
\left\Vert \varphi
_{k}-u\right\Vert_{p}\rightarrow 0 y
\left\Vert \nabla \varphi
_{k}-\nabla u\right\Vert_{p}\rightarrow 0. Por otra parte, de la
desigualdad (
\ref{gns}) se sigue que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi_{k}-\varphi_{j}\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\left\Vert
\nabla \varphi_{k}-\nabla \varphi_{j}\right\Vert_{p}\leq C\left\Vert
\varphi_{k}-\varphi_{j}\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}\qquad \forall k,j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
Por tanto,
\left( \varphi_{k}\right) es una sucesión de Cauchy en
L^{p^{\ast }}(\Omega ) y, en consecuencia,
\varphi _{k}\rightarrow v en
L^{p^{\ast }}(\Omega ). Como además
\varphi_{k}\rightarrow u en
L^{p}(\Omega ), el
Teorema
14.28 asegura que una subsucesión de
(\varphi_{k}) converge tanto a
u como a
v c.d. en
\Omega
.
Por tanto,
u\left( x\right) =v\left( x\right) p.c.t.
x\in \Omega . Esto implica que
u\in L^{p^{\ast }}(\Omega ) y,
usando de nueva cuenta la desigualdad (
\ref{gns}), obtenemos
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left\Vert
\varphi_{k}\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\lim_{n\rightarrow \infty
}\left\Vert \nabla \varphi_{k}\right\Vert_{p}=C\left\Vert \nabla
u\right\Vert_{p},
\end{equation*}
que es la desigualdad deseada.
La desigualdad anterior tiene la siguiente consecuencia importante.
[de encaje de Sobolev]
Si \Omega es
un subconjunto abierto de \mathbb{R}^{n} y p\in [1,n),
entonces
\begin{equation*}
W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset L^{q}\left( \Omega \right) \qquad \forall q\in
[p,p^{\ast }]
\end{equation*}
y esta inclusión es continua.
El Corolario
17.5 afirma que
W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset
L^{p^{\ast }}\left( \Omega \right) y que existe una constante
C>0 tal que
\begin{equation}
\left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\left\Vert \nabla u\right\Vert
_{p}\leq C\left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}\qquad \forall u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ).\label{sob}
\end{equation}
Como además
W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset L^{p}(\Omega ) y
\left\Vert u\right\Vert_{p}\leq \left\Vert u\right\Vert
_{W^{1,p}(\Omega )}, la desigualdad de interpolación (ver
Ejercicio
14.67) asegura que
u\in L^{q}\left(
\mathbb{R}^{n}\right) para todo
u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ) y
q\in [p,p^{\ast }] y que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{q}\leq \left\Vert u\right\Vert_{p}^{1-\alpha
}\left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}^{\alpha }\leq C^{\alpha }\left\Vert
u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}^{1-\alpha }\left\Vert u\right\Vert
_{W^{1,p}(\Omega )}^{\alpha }=C^{\alpha }\left\Vert u\right\Vert
_{W^{1,p}(\Omega )},
\end{equation*}
donde
\alpha \in [0,1] cumple que
\frac{1}{q}=\frac{1-\alpha }{p}+\frac{\alpha }{p^{\ast }}. Esto
prueba que
W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset L^{q}\left( \Omega \right)
y que esta inclusión es continua.
Vale la pena hacer notar lo siguiente.
- Si \varphi no tiene soporte compacto la desigualdad
(\ref{gns}) no es válida en general: ciertamente no se
cumple para la función constante \varphi \equiv 1.
- Si p=n se cumple que W_{0}^{1,n}(\Omega )\subset
L^{q}(\Omega ) para todo q\in [n,\infty ) y esta
inclusión es continua. Proponemos la demostración de esta
afirmación como ejercicio [Ejercicio 17.23].
- Para p\in (n,\infty ) se cumple que W_{0}^{1,p}(\Omega
)\subset L^{\infty }(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\Omega ) y esta
inclusión es continua\footnote{Consulta, por ejemplo,~\cite{Bre}, Corolario IX.13.}.
- La inclusión W^{1,p}(\Omega )\subset L^{p^{\ast
}}\left( \Omega \right) se tiene bajo ciertas condiciones, por
ejemplo, si \Omega es de clase \mathcal{C}^{1} y su frontera
está acotada\footnote{Consulta~\cite{Bre}, Corolario IX.14.}.
Cuando \Omega es acotado es posible acotar a \left\Vert
u\right\Vert_{q} en términos de \left\Vert \nabla
u\right\Vert_{p} y de la medida de \Omega para un rango mayor
de valores de p y q. La siguiente desigualdad se conoce como la
desigualdad de Poincaré.
[Desigualdad de Poincaré]
Sea
\Omega
un subconjunto abierto y acotado de
\mathbb{R}^{n}. Existe una
constante
C>0, que depende sólo de
n,p y
q, tal que
\begin{equation}
\left\Vert u\right\Vert_{q}\leq C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}+\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}\qquad \forall u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ),\label{desPoin}
\end{equation}
si alguna de las siguientes tres condiciones se satisface:
- p\in [1,n)\quad\text{y}\quad q\in [1,p^{\ast
}].
- p=n\quad\text{y}\quad q\in [1,\infty ).
- p\in (n,\infty )\quad\text{y}\quad q\in [1,\infty ].
En consecuencia,
- si p\in [1,n) entonces W_{0}^{1,p}\left( \Omega
\right) \subset L^{q}(\Omega ) para cada q\in [1,p^{\ast
}] y la inclusión es continua,
- W_{0}^{1,n}\left( \Omega \right) \subset L^{q}(\Omega ) para
cada q\in [1,\infty ) y la inclusión es continua,
- y, más aún, si p\in (n,\infty ) entonces, módulo la elección de
un representante, W_{0}^{1,p}\left( \Omega \right) \subset
\mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega }) y la inclusión es
continua.
(a): Si
p\in [1,n) y
q\in [1,p^{\ast }],
aplicando las desigualdades de la Proposición
14.31 y el
Corolario
17.5 obtenemos que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{q}\leq \left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p^{\ast }}}\left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\left\vert
\Omega \right\vert^{\frac{1}{q}+\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}\left\Vert \nabla
u\right\Vert_{p}\qquad \forall u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ).
\end{equation*}
(b): Sean p=n y q\in [1,\infty ). Si n=1 se
sigue de (\ref{sob0}) que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}=\biggl( \int_{\Omega }\left\vert \varphi
(x)\right\vert^{q}dx\biggr)^{\frac{1}{q}}\leq \biggl( \int_{\Omega
}\left\Vert \varphi^{\prime }\right\Vert_{1}^{q}\biggr)^{\frac{1}{q}}=\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert \varphi^{\prime
}\right\Vert_{1}\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty
}(\Omega ).
\end{equation*}
Argumentando como en el Corolario 17.5 concluimos que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{q}\leq \left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert Du\right\Vert_{1}\qquad \forall u\in W_{0}^{1,1}(\Omega
).
\end{equation*}
Si n\geq 2 definimos r:=\max
\left\{\frac{nq}{n+q},1\right\}.
Observa que r\in [1,n). Nota además que r^{\ast }=q si
r=\frac{nq}{n+q} y que q\leq \frac{n}{n-1} si r=1. En
consecuencia, de la afirmación (a), la
Proposición 14.31 y el Ejercicio 14.70 se sigue
que, para toda u\in W_{0}^{1,n}(\Omega ),
\begin{alignat*}{2}
\left\Vert u\right\Vert_{q}
\leq C\left\Vert \nabla u\right\Vert_{r}&\leq
Cn^{\frac{1}{q}}\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert
\nabla u\right\Vert_{n}&&\qquad\text{si }r=\frac{nq}{n+q},\\[5pt]
\left\Vert u\right\Vert_{q}
\leq
\left\vert \Omega
\right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{n-1}{n}}\left\Vert
u\right\Vert_{\frac{n}{n-1}}
&{}\leq C\left\vert
\Omega \right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{n-1}{n}}\left\Vert \nabla
u\right\Vert_{1}\\
&{}\leq Cn^{\frac{n-1}{n}}\left\vert \Omega
\right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert \nabla
u\right\Vert_{n}&&\qquad\text{si }r=1.
\end{alignat*}
(c): Sean p\in (n,\infty ) y q\in [1,\infty ].
De la desigualdad (\ref{m}) se sigue que
\begin{equation}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\leq C\left\vert \Omega \right\vert
^{\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}\qquad
\forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \Omega \right) ,
\label{m2}
\end{equation}
Recuerda que \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega }) con la norma
\left\Vert \cdot \right\Vert_{\infty } es un espacio de Banach
(ver Teorema 5.21). Así que, argumentando como
en el Corolario 17.5 se prueba que cada u\in
W_{0}^{1,p}(\Omega ) coincide c.d. con una función que
pertenece a \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega }) y que la
desigualdad (\ref{m2}) es válida para u. Combinando esa
desigualdad con la Proposición 14.31 obtenemos
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{q}\leq \left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert u\right\Vert_{\infty }\leq C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}+\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p},
\end{equation*}
que es la desigualdad deseada.
La desigualdad de Poincaré permite reemplazar a la norma de
W_{0}^{1,p}(\Omega ) por \left\Vert \nabla u\right\Vert
_{p}. Más precisamente, se cumple lo siguiente.
Sea
p\in [1,\infty ). Si
\Omega es
un subconjunto abierto y acotado de
\mathbb{R}^{n} entonces
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert :=\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}
\end{equation*}
es una norma en
W_{0}^{1,p}(\Omega ), equivalente a la norma
\left\Vert \cdot \right\Vert_{W^{1,p}\left( \Omega \right) }.
En consecuencia, W_{0}^{1,p}(\Omega ) con esta nueva norma
también es un espacio de Banach. Si p=2 esta norma está
inducida por el producto escalar
\begin{equation*}
\left\langle u,v\right\rangle :=\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla
v=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega }\left( D_{i}u\right) \left( D_{i}v\right) ,\qquad u,v\in H_{0}^{1}(\Omega ).
\end{equation*}
De modo que H_{0}^{1}(\Omega ) con este producto escalar resulta
ser un espacio de Hilbert.
El Teorema
17.8 asegura que existe una constante
C,
que depende sólo de
n y
p, tal que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{p}\leq C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{n}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}\qquad \forall u\in
W_{0}^{1,p}(\Omega ).
\end{equation*}
Tomando
C_{0}:=C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{n}}
obtenemos
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert \leq \left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}\left( \Omega
\right) }=\left( \left\Vert u\right\Vert_{p}^{p}+\left\Vert \nabla
u\right\Vert_{p}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left( C_{0}^{p}+1\right)
^{1/p}\left\Vert u\right\Vert \qquad \forall u\in W_{0}^{1,p}(\Omega
).
\end{equation*}
Estas desigualdades implican, en particular, que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert =0\quad \Leftrightarrow \quad \left\Vert
u\right\Vert_{W^{1,p}\left( \Omega \right) }=0\quad \Leftrightarrow \quad
u=0.
\end{equation*}
Así que
\left\Vert \cdot \right\Vert satisface la propiedad
(N1) de la Definición
2.9. Las propiedades (N2) y (N3)
se prueban como en la Proposición
16.12. Las mismas
desigualdades aseguran que las normas
\left\Vert \cdot \right\Vert
y
\left\Vert \cdot \right\Vert_{W^{1,p}\left( \Omega \right) }
son equivalentes.
El teorema de Rellich-Kondrashov
Cuando \Omega es acotado y q\menorque p^{\ast } la inclusión
W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset L^{q}(\Omega ) tiene una propiedad
adicional: es un operador compacto. En esta sección probaremos
esta afirmación.
Una función F\colon X\rightarrow Y entre espacios métricos es
compacta si para cualquier subconjunto acotado A de X
el conjunto F(A):=\left\{F(a):a\in A\right\} es relativamente compacto en
Y.
Equivalentemente, una función F\colon X\rightarrow Y entre espacios
métricos es compacta si para cualquier sucesión acotada
(x_{k}) en X, la sucesión (F(x_{k})) contiene una
subsucesión convergente en Y [Ejercicio 17.19].
Empezaremos probando el siguiente lema.
Si u\in W^{1,1}(\mathbb{R}^{n}) y \xi \in
\mathbb{R}^{n} entonces
\begin{equation*}
\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{1}\leq \left\Vert \nabla
u\right\Vert_{1}\left\Vert \xi \right\Vert ,
\end{equation*}
donde \mathrm{T}_{\xi }u denota a la traslación de u por
\xi , es decir, \left( \mathrm{T}_{\xi }u\right) (x)=u(x-\xi ).
Sean \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}) y
x,\xi \in \mathbb{R}^{n}. Aplicando el teorema del valor medio a
la función f(t):=\varphi (x-t\xi ), t\in \mathbb{R},
obtenemos que existe t_{0}\in (0,1) tal que
\begin{equation*}
\varphi (x-\xi )-\varphi (x)=f(1)-f(0)=f^{\prime }(t_{0})=-\nabla \varphi
(x-t_{0}\xi )\cdot \xi .
\end{equation*}
Por tanto,
\begin{align*}
\left\vert \varphi (x-\xi )-\varphi (x)\right\vert
&{}=\left\vert \nabla
\varphi (x-t_{0}\xi )\cdot \xi \right\vert \\
&{}\leq \sum_{i=1}^{n}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x-t_{0}\xi )\right\vert \left\vert \xi_{i}\right\vert \leq \left(
\sum_{i=1}^{n}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x-t_{0}\xi )\right\vert \right) \left\Vert \xi \right\Vert .
\end{align*}
Integrando esta desigualdad respecto a x concluimos que
\begin{align*}
\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }\varphi -\varphi \right\Vert_{1}
&{}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi (x-\xi )-\varphi (x)\right\vert dx \\
&{}\leq \biggl( \sum_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \frac{\partial
\varphi }{\partial x_{i}}(x-t_{0}\xi )\right\vert dx\biggr) \left\Vert \xi
\right\Vert \\
&{}=\biggl( \sum_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{1}\biggr) \left\Vert \xi \right\Vert =\left\Vert \nabla
\varphi \right\Vert_{1}\left\Vert \xi \right\Vert .
\end{align*}
Si u\in W^{1,1}(\mathbb{R}^{n}), tomamos una sucesión
(\varphi_{k}) en \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}) tal
que \varphi_{k}\rightarrow u en W^{1,1}(\mathbb{R}^{n}).
Entonces \left\Vert \varphi_{k}-u\right\Vert_{1}\rightarrow 0,
\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }\varphi_{k}-\mathrm{T}_{\xi
}u\right\Vert_{1}\rightarrow 0 y \left\Vert \nabla \varphi
_{k}-\nabla u\right\Vert_{1}\rightarrow 0. De la desigualdad
anterior se sigue que
\begin{equation*}
\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{1}=\lim_{k\rightarrow \infty
}\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }\varphi_{k}-\varphi_{k}\right\Vert_{1}\leq
\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert \nabla \varphi_{k}\right\Vert
_{1}\left\Vert \xi \right\Vert =\left\Vert \nabla u\right\Vert
_{1}\left\Vert \xi \right\Vert ,
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
El siguiente resultado, debido a Franz Rellich y Vladimir Kondrashov, juega un papel crucial en la demostración de la
existencia de soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales.
[Rellich-Kondrashov]
Si \Omega es un
subconjunto abierto y acotado de \mathbb{R}^{n}, p\in [1,n) y q\in [1,p^{\ast }), entonces la inclusión
W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset L^{q}(\Omega ) es compacta, es decir,
toda sucesión acotada en W_{0}^{1,p}(\Omega ) contiene una
subsucesión que converge en L^{q}(\Omega ).
Sea
\mathcal{A} un subconjunto acotado de
W_{0}^{1,p}(\Omega ).
La desigualdad de Poincaré (ver Teorema
17.8)
implica que
\mathcal{A} un subconjunto acotado de
L^{q}(\Omega )
para todo
q\in [1,p^{\ast }]. Como de costumbre,
identificamos a una función definida en un abierto con su
extensión trivial a todo
\mathbb{R}^{n}, definida en
(
12.21). Probaremos que
\mathcal{A} satisface las
hipótesis
(i) y
(ii) del Corolario
14.47
cuando
q\in [1,p^{\ast }).
Sean \varepsilon >0 y \omega un abierto tal que
\omega \subset \subset \Omega . Sea C>0 tal que
\left\Vert u\right\Vert _{p^{\ast }}\leq C para todo
u\in \mathcal{A}. Como la integral es invariante bajo traslaciones
se tiene que
\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C para
todo u\in \mathcal{A} y \xi \in \mathbb{R}^{n}. Usando la
desigualdad de interpolación (ver Ejercicio 14.67), el
Lema 17.11 y el Ejercicio 14.70, concluimos que
existe C_{1}>0 tal que
\begin{align*}
\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{q}
&{}\leq \left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{1}^{\alpha }\left\Vert \mathrm{T}_{\xi
}u-u\right\Vert_{p^{\ast }}^{1-\alpha } \\
&{}\leq (2C)^{1-\alpha }\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert
_{1}^{\alpha }\leq (2C)^{1-\alpha }\left\Vert \nabla u\right\Vert
_{1}^{\alpha }\left\Vert \xi \right\Vert^{\alpha } \\
&{}\leq (2C)^{1-\alpha }\left( n\left\vert \Omega \right\vert \right)^{\frac{\alpha (p-1)}{p}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}^{\alpha
}\left\Vert \xi \right\Vert^{\alpha }\leq C_{1}\left\Vert \xi \right\Vert
^{\alpha }\quad \forall u\in \mathcal{A}\text{,}
\end{align*}
donde \alpha satisface \frac{1}{q}=\alpha +\frac{1-\alpha
}{p^{\ast }}. Observa que \alpha >0 si q\in [1,p^{\ast
}). En consecuencia, tomando \delta \in (0,dist(\omega
,\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega )) tal que \delta
<(\frac{\varepsilon }{C_{1}})^{\frac{1}{\alpha }} se tiene que
\begin{equation*}
\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{q}<\varepsilon \qquad \forall \xi \in \mathbb{R}^{n}\text{ con }\left\Vert \xi \right\Vert <\delta
\quad\text{y}\quad \forall u\in \mathcal{A}\text{.}
\end{equation*}
Así pues, \mathcal{A} satisface la hipótesis (i)
del Corolario 14.47 cuando q\in [1,p^{\ast }).
Por otra parte, la Proposición 14.31 asegura que, para
cualquier abierto \omega \subset \Omega ,
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{L^{q}(\Omega \smallsetminus \omega )}\leq
\left\Vert u\right\Vert_{L^{p^{\ast }}(\Omega \smallsetminus \omega
)}\left\vert \Omega \smallsetminus \omega \right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p^{\ast }}}\leq C\left\vert \Omega \smallsetminus \omega \right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p^{\ast }}}\quad \forall u\in \mathcal{A}\text{.}
\end{equation*}
Puesto que \Omega es acotado y \beta
:=\frac{1}{q}-\frac{1}{p^{\ast }}>0, podemos elegir un abierto
\omega \subset \subset \Omega tal que \left\vert \Omega
\smallsetminus \omega \right\vert <(\frac{\varepsilon
}{C})^{\frac{1}{\beta }}. Se tiene entonces que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{L^{q}(\Omega \smallsetminus \omega )}<\varepsilon
\qquad \forall u\in \mathcal{A}\text{.}
\end{equation*}
Es decir, \mathcal{A} satisface la hipótesis (ii) del
Corolario 14.47 cuando q\in [1,p^{\ast }).
En consecuencia, \mathcal{A} es relativamente compacto en
L^{q}(\Omega ).
Si \Omega es un subconjunto abierto y acotado de \mathbb{R}^{n}
se tiene también que la inclusión W_{0}^{1,n}(\Omega
)\subset L^{q}(\Omega ) es compacta para todo q\in [1,\infty
) y que la inclusión W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset
\mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega }) es compacta para p\in (n,\infty
). Proponemos estas afirmaciones como ejercicio [Ejercicio 17.25].
Los siguientes ejemplos muestran que el teorema de Rellich-Kondrashov
no es válido en general si \Omega no es acotado o si q=p^{\ast
}.
Sea p\in [1,n). La inclusión W^{1,p}\left(
\mathbb{R}^{n}\right) \hookrightarrow L^{q}\left(
\mathbb{R}^{n}\right) no es compacta para ningún q\in
[p,p^{\ast }].
Sean
\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}),
\varphi \neq 0, y
(\xi_{k}) una sucesión en
\mathbb{R}^{n} tal que
\left\Vert \xi_{k}\right\Vert \rightarrow
\infty . Definimos
\varphi_{k}(x):=\varphi (x-\xi_{k}).
Claramente,
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi_{k}\right\Vert_{W^{1,p}\left( \mathbb{R}^{n}\right)
}=\left\Vert \varphi \right\Vert_{W^{1,p}\left( \mathbb{R}^{n}\right) }\qquad\text{y}\qquad \left\Vert \varphi_{k}\right\Vert_{q}=\left\Vert
\varphi \right\Vert_{q}.
\end{equation*}
Observa que
\varphi_{k}(x)\rightarrow 0 para cada
x\in \mathbb{R}^{n}. Si alguna subsucesión
(\varphi_{k_{j}}) de
(\varphi_{k}) convergiese a
v en
L^{q}\left( \mathbb{R}^{n}\right) , una subsucesión de ella
convergería a
v c.d. en
\mathbb{R}^{n} (ver
Teorema
14.28) y, en consecuencia,
v=0 c.d. en
\mathbb{R}^{n}. Pero también se tendría que
\begin{equation*}
\left\Vert v\right\Vert_{q}=\lim_{j\rightarrow \infty }\left\Vert \varphi
_{k_{j}}\right\Vert_{q}=\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}\neq 0,
\end{equation*}
lo cual es una contradicción. En consecuencia, ninguna
subsucesión de
(\varphi_{k}) converge en
L^{q}\left(
\mathbb{R}^{n}\right) .
Denotamos por
\begin{equation*}
B^{n}(0,r):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\vert x\right\vert \menorque r\right\}.
\end{equation*}
Sean \Omega un subconjunto abierto y acotado de \mathbb{R}^{n}
y p\in [1,n). Entonces la inclusión W_{0}^{1,p}\left(
\Omega \right) \hookrightarrow L^{p^{\ast }}\left( \Omega \right)
no es compacta.
Sin perder generalidad podemos suponer que
0\in \Omega . Elegimos
r>0 de modo que
B^{n}(0,r)\subset \Omega y tomamos
\varphi \in
\mathcal{C}_{c}^{\infty }(B^{n}(0,r)) tal que
\varphi \neq
0. Para cada
k\in \mathbb{N} definimos
\varphi
_{k}(x):=k^{(n-p)/p}\varphi (kx). Entonces
\sop(\varphi
_{k})\subset B^{n}(0,\frac{r}{k})\subset \Omega y, en
consecuencia,
\varphi_{k}\in W_{0}^{1,p}\left( \Omega \right) y
\varphi_{k}(x)\rightarrow 0 para cada
x\neq 0.
Mediante el cambio de variable kx=y se obtiene que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi_{k}\right\Vert_{p^{\ast }}^{p^{\ast }}=\int_{\Omega
}k^{n}\left\vert \varphi (kx)\right\vert^{p^{\ast }}dx=\int_{\Omega
}\left\vert \varphi (y)\right\vert^{p^{\ast }}dy=\left\Vert \varphi
\right\Vert_{p^{\ast }}^{p^{\ast }}
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
\left\Vert \nabla \varphi_{k}\right\Vert
_{p}^{p}=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega }k^{n}\left\vert \frac{\partial \varphi
}{\partial x_{i}}(kx)\right\vert^{p}dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega
}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(y)\right\vert
^{p}dy=\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}^{p}.
\end{equation*}
El Corolario 17.9 asegura entonces que (\varphi
_{k}) está acotada en W_{0}^{1,p}\left( \Omega \right) . Si
una subsucesión (\varphi_{k_{j}}) de (\varphi_{k})
convergiese a una función u en L^{p^{\ast }}(\Omega ), se
tendría que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}=\lim_{j\rightarrow \infty }\left\Vert
\varphi_{k_{j}}\right\Vert_{p^{\ast }}=\left\Vert \varphi \right\Vert
_{p^{\ast }}\neq 0
\end{equation*}
y que una subsucesión de (\varphi_{k_{j}}) convergería
puntualmente a u c.d. en \Omega (ver
Teorema 14.28). Pero \varphi_{k}(x)\rightarrow 0 para
cada x\neq 0. Por tanto, u=0 c.d. en \Omega . Esta es una
contradicción; lo que prueba que (\varphi_{k}) no contiene ninguna
subsucesión convergente en L^{p^{\ast }}(\Omega ).
A continuación daremos una aplicación importante del teorema
de Rellich-Kondrashov.
Valores propios del laplaciano
En toda esta sección \Omega denotará a un subconjunto
abierto y acotado de \mathbb{R}^{n}.
Consideremos el problema de valores propios
\begin{equation}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
-\Delta u&{}=\lambda u &\quad& \text{en }\Omega , \\
u&{}=0 && \text{sobre }\partial \Omega .
\end{alignedat}
\right.\label{ev}
\end{equation}
Nos preguntamos para qué valores de \lambda \in \mathbb{R}
existe una solución no trivial de este problema.
Argumentando como en la Proposición 16.27 vemos que, si
u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega }) satisface -\Delta
u=\lambda u, entonces
\begin{equation*}
\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi =\lambda \int_{\Omega }u\varphi
\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ).
\end{equation*}
Esto motiva la definición de solución débil.
Una solución débil de
(\ref{ev}) es una pareja
(\lambda ,u) con
\lambda \in \mathbb{R} y
u\in H_{0}^{1}(\Omega
) que satisface
\begin{equation}
\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\lambda \int_{\Omega }uv\qquad \forall
v\in H_{0}^{1}(\Omega ).\label{vpd}
\end{equation}
\lambda \in \mathbb{R} es un valor propio de -\Delta
en H_{0}^{1}(\Omega ) si existe
e\in H_{0}^{1}(\Omega ), e\neq 0, tal que (\lambda ,e) es
solución débil de (\ref{ev}). Se dice entonces que
e es una función propia de -\Delta en
H_{0}^{1}(\Omega ) con valor propio \lambda
.
La definición anterior sugiere considerar el producto escalar
\begin{equation*}
\left\langle u,v\right\rangle :=\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v
\end{equation*}
en H_{0}^{1}(\Omega ), que induce la norma
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert :=\left\Vert \nabla u\right\Vert_{2}.
\end{equation*}
El Corolario 17.9 asegura que esta norma es equivalente
a la definida en (16.6) y que H_{0}^{1}(\Omega ) un espacio
de Hilbert con este nuevo producto escalar.
Denotamos por
\begin{equation*}
\left\langle u,v\right\rangle_{2}:=\int_{\Omega }uv
\end{equation*}
al producto escalar en L^{2}(\Omega ). Podemos entonces reescribir
la condición (\ref{vpd}) como
\begin{equation*}
\left\langle u,v\right\rangle =\lambda \left\langle u,v\right\rangle
_{2}\qquad \forall v\in H_{0}^{1}(\Omega ).
\end{equation*}
Observa que, si e es una función propia con valor propio
\lambda entonces cualquier múltiplo te de e con t\in
\mathbb{R}\smallsetminus \left\{0\right\} es una función propia con valor
propio \lambda . Basta pues buscar funciones propias en el conjunto
\begin{equation*}
\Sigma :=\left\{ u\in H_{0}^{1}(\Omega ):\left\Vert u\right\Vert
_{2}=1\right\} ,
\end{equation*}
donde \left\Vert u\right\Vert_{2} es la norma en L^{2}(\Omega ).
Nota además que, si e\in \Sigma es una función propia con
valor propio \lambda , tomando u=v=e en la ecuación
(\ref{vpd}), se obtiene que
\begin{equation}
\left\Vert e\right\Vert^{2}=\lambda .\label{lambda}
\end{equation}
- Los valores propios de -\Delta en H_{0}^{1}(\Omega )
están acotados inferiormente por una constante positiva.
- Si \lambda y \mu son valores propios distintos de
-\Delta en H_{0}^{1}(\Omega ), y e_{\lambda } y e_{\mu }
son funciones propias con valores propios \lambda y \mu
respectivamente, entonces
\begin{equation*}
\left\langle e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle =0=\left\langle e_{\lambda
},e_{\mu }\right\rangle_{2}.
\end{equation*}
- Si \left\{e_{k}\in \Sigma :k\in \mathbb{N}\right\} es un conjunto
de funciones propias de -\Delta en H_{0}^{1}(\Omega ) que es
ortonormal en L^{2}(\Omega ), entonces el conjunto de sus
valores propios
\begin{equation*}
\bigl\{\lambda_{k}=\left\Vert e_{k}\right\Vert
^{2}:k\in \mathbb{N}\bigr\}
\end{equation*}
no está acotado.
- Para cada \lambda \in \mathbb{R} el espacio
\begin{equation*}
E_{\lambda }:=\left\{u\in H_{0}^{1}(\Omega ):(\lambda ,u)\text{ es solución débil de }(\ref{ev})\right\}
\end{equation*}
es de dimensión finita. Su dimensión se llama la
multiplicidad de \lambda .
(a): Si
\lambda es un valor propio y
e\in \Sigma es
una función propia con valor propio
\lambda , la desigualdad
de Poincaré asegura que existe
C>0, independiente de
\lambda
y de
e, tal que
\begin{equation*}
1=\left\Vert e\right\Vert_{2}^{2}\leq C\left\Vert e\right\Vert
^{2}=C\lambda .
\end{equation*}
Por tanto,
\lambda \geq \frac{1}{C}>0.
(b): Si e_{\lambda } y e_{\mu } son funciones propias
con valores propios \lambda y \mu , entonces
\begin{equation*}
\lambda \left\langle e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle_{2}=\left\langle
e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle =\mu \left\langle e_{\lambda },e_{\mu
}\right\rangle_{2}.
\end{equation*}
Por tanto, si \lambda \neq \mu , necesariamente \left\langle
e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle_{2}=0 y, en consecuencia,
\left\langle e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle =0.
(c): Como e_{k}\in \Sigma se cumple que \left\Vert
e_{k}\right\Vert^{2}=\lambda_{k}. De modo que, si (\lambda
_{k}) está acotada, entonces (e_{k}) es una sucesión
acotada en H_{0}^{1}(\Omega ). Por el Teorema de
Rellich-Kondrashov (Teorema 17.12), (e_{k}) contiene una
subsucesión convergente en L^{2}(\Omega ). Ahora bien, como
\left\{e_{k}\right\} es ortonormal en L^{2}(\Omega ), se tiene que
\begin{equation*}
\left\Vert e_{k}-e_{m}\right\Vert_{2}^{2}=\left\Vert e_{k}\right\Vert
_{2}^{2}+\left\Vert e_{m}\right\Vert_{2}^{2}=2.
\end{equation*}
En consecuencia, ninguna subsucesión de (e_{k}) es de Cauchy
en L^{2}(\Omega ). Esto es una contradicción.
(d): Argumentando por contradicción, si
\dim E_{\lambda }=\infty , entonces E_{\lambda } contiene un
subconjunto \left\{e_{k}\in \Sigma :k\in \mathbb{N}\right\}
ortonormal en L^{2}(\Omega ) (ver Ejercicio 15.44). Para cada
k\in \mathbb{N}, e_{k} es una función propia de -\Delta en
H_{0}^{1}(\Omega ) con valor propio \lambda , lo cual contradice
la afirmación (c).
Definimos I\colon H_{0}^{1}(\Omega )\rightarrow \mathbb{R} como
\begin{equation*}
I(u):=\left\Vert u\right\Vert^{2}.
\end{equation*}
La siguiente proposición nos permite obtener funciones propias
mediante un proceso de minimización.
Sea
H\neq \left\{ 0\right\} un subespacio vectorial
de
H_{0}^{1}(\Omega ).
- Se tiene que
\begin{equation*}
\lambda :=\inf_{v\in \Sigma \cap H}I(v)>0.
\end{equation*}
- Si e es un mínimo de I en \Sigma \cap H
entonces
\begin{equation*}
\left\langle e,v\right\rangle =\lambda \left\langle e,v\right\rangle_{2}\qquad \forall v\in H.
\end{equation*}
- Si H es cerrado en H_{0}^{1}(\Omega ) entonces la
función I alcanza su mínimo en \Sigma \cap H.
(a): La desigualdad de Poincaré para
p=q=2 (ver
Teorema
17.8) asegura que existe
C>0 tal que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{2}\leq C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{n}}\left\Vert u\right\Vert \qquad \forall u\in H_{0}^{1}(\Omega ).
\end{equation*}
En consecuencia,
\lambda \geq C^{-2}\left\vert \Omega \right\vert
^{-\frac{2}{n}}>0.
(b): Sea e un mínimo de I en \Sigma \cap H y sea
v\in H. Tomemos \varepsilon >0 suficientemente pequeña de
modo que \left\Vert e+tv\right\Vert_{2}\neq 0 para todo t\in
(-\varepsilon ,\varepsilon ), y consideremos la función
h\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \mathbb{R} dada por
\begin{equation*}
h(t):=I\left( \frac{e+tv}{\left\Vert e+tv\right\Vert_{2}}\right) =\frac{\left\Vert e+tv\right\Vert^{2}}{\left\Vert e+tv\right\Vert_{2}^{2}}=\frac{\left\Vert e\right\Vert^{2}+2\left\langle e,v\right\rangle t+\left\Vert
v\right\Vert^{2}t^{2}}{\left\Vert e\right\Vert_{2}^{2}+2\left\langle
e,v\right\rangle_{2}t+\left\Vert v\right\Vert_{2}^{2}t^{2}}.
\end{equation*}
Esta función es diferenciable y su derivada está dada por
\begin{equation*}
h^{\prime }(t)=\frac{2\left\Vert e+tv\right\Vert_{2}^{2}\left( \left\langle
e,v\right\rangle +\left\Vert v\right\Vert^{2}t\right) -2I(e+tv)\left(
\left\langle e,v\right\rangle_{2}+\left\Vert v\right\Vert_{2}^{2}t\right)
}{\left\Vert e+tv\right\Vert_{2}^{4}}.
\end{equation*}
Como 0 es un mínimo de h, se tiene que
\begin{equation*}
0=h^{\prime }(0)=2\left( \left\langle e,v\right\rangle -\lambda \left\langle
e,v\right\rangle_{2}\right) \text{.}
\end{equation*}
Esto demuestra la afirmación.
(c): Sea (u_{k}) una sucesión en \Sigma \cap H tal que
I(u_{k})=\left\Vert u_{k}\right\Vert^{2}\rightarrow \lambda .
Entonces (u_{k}) está acotada en H_{0}^{1}(\Omega ). Aplicando
el Teorema 15.29, el teorema de Rellich-Kondrashov
(Teorema 17.12) y el Ejercicio 15.51, concluimos que
(u_{k}) contiene una subsucesión (u_{k_{j}}) tal que
\begin{alignat*}{2}
u_{k_{j}} &\rightharpoonup e&\quad&\text{débilmente en }H_{0}^{1}(\Omega ), \\[5pt]
u_{k_{j}} &\rightarrow e && \text{ fuertemente en }L^{2}(\Omega ).
\end{alignat*}
En consecuencia, \left\Vert e\right\Vert_{2}=1, es decir, e\in
\Sigma . Más aún, como H es débilmente cerrado en
H_{0}^{1}(\Omega ) (ver Ejercicio 15.54), se tiene
que e\in H. Usando el Corolario 15.27 concluimos que
\begin{equation*}
\lambda \leq I(e)=\left\Vert e\right\Vert^{2}\leq \liminf_{j\rightarrow
\infty }\left\Vert u_{k_{j}}\right\Vert^{2}=\liminf_{j\rightarrow \infty
}I(u_{k_{j}})=\lambda .
\end{equation*}
Esto prueba que e es un mínimo de I en \Sigma \cap H.
Existe un subconjunto
\mathcal{B}=\left\{e_{k}:k\in
\mathbb{N}\right\} de
H_{0}^{1}(\Omega ) con las siguientes
propiedades:
- e_{k}\in \Sigma es una función propia de -\Delta
en H_{0}^{1}(\Omega ) con valor propio \lambda
_{k}:=I(e_{k}),
- \left\langle e_{k},e_{m}\right\rangle =0 si k\neq m,
- 0<\lambda_{1}\leq \lambda_{2}\leq \cdots \leq
\lambda_{k}\leq \cdots \qquad \text{y}\qquad \lim_{k\rightarrow \infty
}\lambda_{k}=\infty ,
- \mathcal{B} es una base de Hilbert de L^{2}(\Omega ).
Usando la Proposición
17.17 definimos
(e_{k})
inductivamente como sigue: escogemos
e_{1}\in \Sigma tal que
\begin{equation*}
I(e_{1})=\inf_{u\in \Sigma }I(u).
\end{equation*}
Sean
W_{2}:= \lin\left\{e_{1}\right\} el subespacio de
H_{0}^{1}(\Omega )
generado por
e_{1} y
\begin{equation*}
H_{2}:=\left\{v\in H_{0}^{1}(\Omega
):\left\langle e_{1},v\right\rangle =0\right\}
\end{equation*}
su complemento ortogonal
en
H_{0}^{1}(\Omega ). Escogemos
e_{2}\in \Sigma \cap H_{2} tal
que
\begin{equation*}
I(e_{2})=\inf_{u\in \Sigma \cap H_{2}}I(u).
\end{equation*}
Continuando de este modo, definimos
\begin{equation*}
W_{k}:=\lin\left\{e_{1},\dots,e_{k-1}\right\},\qquad H_{k}:=\left\{v\in
H_{0}^{1}(\Omega ):\left\langle w,v\right\rangle =0\text{ }\forall w\in
W_{k}\right\},
\end{equation*}
y escogemos
e_{k}\in \Sigma \cap H_{k} tal que
\begin{equation}
I(e_{k})=\inf_{u\in \Sigma \cap H_{k}}I(u).\label{inf1}
\end{equation}
Se tiene entonces que
\begin{equation}
H_{i}\supset H_{k}\qquad\text{y}\qquad \left\langle
e_{k},e_{i}\right\rangle =0\qquad \forall i=1,\dots,k-1,\label{inf2}
\end{equation}
y usando la Proposición
17.17 concluimos que
\begin{equation}
0<\lambda_{1}\leq \lambda_{2}\leq \cdots \leq \lambda_{k}\leq \cdots ,
\label{inf3}
\end{equation}
donde
\lambda_{k}:=I(e_{k}), y que
\begin{equation}
\left\langle e_{k},v\right\rangle =\lambda_{k}\left\langle
e_{k},v\right\rangle_{2}\qquad \forall v\in H_{k}.\label{inf4}
\end{equation}
De (
\ref{inf2}) y (
\ref{inf4}) se sigue que
0=\left\langle
e_{i},e_{k}\right\rangle =\lambda_{i}\left\langle
e_{i},e_{k}\right\rangle_{2} para todo
i=1,\dots,k-1 y, dado
que
\lambda_{i}>0, esta igualdad implica que
\begin{equation}
0=\left\langle e_{i},e_{k}\right\rangle =\left\langle
e_{i},e_{k}\right\rangle_{2}\qquad \forall i=1,\dots,k-1.\label{inf5}
\end{equation}
Como
H_{0}^{1}(\Omega )=W_{k}\oplus H_{k}, las afirmaciones
(
\ref{inf4}) y (
\ref{inf5}) nos permiten concluir que
\begin{equation*}
\left\langle e_{k},v\right\rangle =\lambda_{k}\left\langle
e_{k},v\right\rangle_{2}\qquad \forall v\in H_{0}^{1}(\Omega ),
\end{equation*}
es decir, la sucesión
(e_{k}) satisface
(a). La
afirmación (
\ref{inf5}) asegura que se cumple
(b) y, como
e_{k}\in \Sigma , asegura también que
\mathcal{B}:=\left\{e_{k}:k\in \mathbb{N}\right\} es ortonormal en
L^{2}(\Omega ). La afirmación
(c) se sigue entonces de
(
\ref{inf3}) y de la Proposición
17.16.
Para obtener (d) resta probar que la cerradura de
\lin(\mathcal{B})=\cup_{k=1}^{\infty }W_{k} en L^{2}(\Omega ) es
L^{2}(\Omega ). Para ello basta demostrar que
\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ) está contenido en la
cerradura de \lin(\mathcal{B}), ya que L^{2}(\Omega ) es la
cerradura de \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ) en L^{2}(\Omega
) (ver Teorema 14.44).
Sea \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )\smallsetminus
\lin(\mathcal{B}). Denotemos por w_{k} a la proyección
ortogonal de \varphi sobre W_{k} con respecto al producto
escalar de L^{2}(\Omega ). Entonces \left\langle \varphi
-w_{k},w\right\rangle_{2}=0 para todo w\in W_{k}. En
consecuencia,
\begin{equation*}
\left\langle \varphi -w_{k},e_{i}\right\rangle =\lambda_{i}\left\langle
\varphi -w_{k},e_{i}\right\rangle_{2}=0\qquad \forall i=1,\dots,k-1.
\end{equation*}
Esto prueba que \left\langle \varphi -w_{k},w\right\rangle =0 para
todo w\in W_{k}. Como \varphi \neq w_{k} se tiene que
\frac{\varphi -w_{k}}{\left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert_{2}}\in
\Sigma \cap H_{k} y la identidad (\ref{inf1}) implica que
\begin{equation*}
\lambda_{k}\leq I\left( \frac{\varphi -w_{k}}{\left\Vert \varphi
-w_{k}\right\Vert_{2}}\right) .
\end{equation*}
Observa además que
\begin{align*}
I(\varphi ) &{}= I(\varphi -w_{k}+w_{k})=\left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert
^{2}+2\left\langle \varphi -w_{k},w_{k}\right\rangle +\left\Vert
w_{k}\right\Vert^{2} \\
&{}= \left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert^{2}+\left\Vert w_{k}\right\Vert
^{2}\geq \left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert^{2}=I(\varphi -w_{k}).
\end{align*}
En consecuencia,
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert_{2}^{2}\leq \lambda_{k}^{-1}I(\varphi
-w_{k})\leq \lambda_{k}^{-1}I(\varphi ).
\end{equation*}
Como \lambda_{k}\rightarrow \infty concluimos que
w_{k}\rightarrow \varphi en L^{2}(\Omega ). Esto prueba que
\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ) está contenido en la
cerradura de \lin(\mathcal{B}) en L^{2}(\Omega ).
Observa que
\begin{equation*}
\lambda_{1}=\inf_{\substack{ u\in H_{0}^{1}(\Omega ) \\u\neq 0}}\frac{\left\Vert u\right\Vert^{2}}{\left\Vert u\right\Vert_{2}^{2}},
\end{equation*}
es decir, \lambda_{1}^{-1/2} es la constante óptima para la
desigualdad de Poincaré
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{2}\leq \lambda_{1}^{-1/2}\left\Vert u\right\Vert ,\qquad u\in H_{0}^{1}(\Omega ).
\end{equation*}
El teorema anterior asegura la existencia de soluciones débiles
(\lambda_{k},e_{k}) del problema (\ref{ev}). El mismo razonamiento
que usamos para probar la Proposición 16.31
demuestra que, si \Omega es de clase \mathcal{C}^{1} y e_{k}\in
\mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega }), entonces (\lambda_{k},e_{k})
es solución clásica de (\ref{ev}) [Ejercicio 17.27].
Se tiene también un resultado de regularidad que asegura que, si
\Omega es de clase \mathcal{C}^{\infty } y (\lambda_{k},e_{k})
es solución débil de (\ref{ev}), entonces e_{k}\in
\mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })\footnote{Consulta, por
ejemplo,~\cite{Gilbarg}, Teorema 8.13.}.
Ejercicios
Prueba que una función F\colon X\rightarrow Y entre
espacios métricos es compacta si y sólo si para cualquier
sucesión acotada (x_{k}) en X, la sucesión (F(x_{k}))
contiene una subsucesión convergente en Y.
Sea
F\colon X\rightarrow Y una función lineal y continua entre
espacios de Banach. Demuestra las siguientes afirmaciones.
- Si \dim X<\infty entonces F es compacta.
- Si \dim Y<\infty entonces F es compacta.
Prueba que, si \dim X=\infty , la identidad I\colon X\rightarrow X no
es compacta.
- Sea \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ).
Prueba que existe una constante C>0, que depende sólo de
n, \left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty },\left\Vert
\frac{\partial \varphi }{\partial x_{1}}\right\Vert_{\infty
},\ldots ,\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial
x_{n}}\right\Vert_{\infty }, tal que
\begin{equation*}
\left\Vert u\varphi \right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}^{p}\leq C\int_{\Omega
}\left( \left\vert u\right\vert^{p}+\left\vert D_{1}u\right\vert
^{p}+\cdots +\left\vert D_{n}u\right\vert^{p}\right) \qquad \forall
u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n}),
\end{equation*}
(Sugerencia: Usa el Ejercicio 16.42.)
- Si \omega es abierto y \omega \subset \subset \Omega
, prueba que existe una constante C>0 que depende sólo de
n,p,\omega y \Omega , tal que
\begin{equation}
\biggl( \int_{\omega }\left\vert u\right\vert^{p^{\ast }}\biggr)^{p/p^{\ast
}}\leq C\int_{\Omega }\left( \left\vert u\right\vert^{p}+\left\vert
D_{1}u\right\vert^{p}+\cdots +\left\vert D_{n}u\right\vert^{p}\right)
\quad \forall u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n}).\label{sobrel}
\end{equation}
(Sugerencia: Prueba que existe \varphi \in
\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ) tal que \varphi
(x)=1 para todo x\in \omega y aplica el
problema anterior y el Teorema Verificar.)
- Si \omega es abierto, \omega \subset \subset \Omega
, y C satisface (\ref{sobrel}), prueba que para esa
misma C se cumple que
\begin{equation*}
\biggl( \int_{\omega +\xi }\left\vert u\right\vert^{p^{\ast }}\biggr)
^{p/p^{\ast }}\leq C\int_{\Omega +\xi }\left( \left\vert u\right\vert
^{p}+\left\vert D_{1}u\right\vert^{p}+\cdots +\left\vert D_{n}u\right\vert
^{p}\right)
\end{equation*}
para cualesquiera
u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n}), \xi \in \mathbb{R}^{n}, donde
X+\xi :=\left\{x+\xi :x\in X\right\}.
Si \Omega es un subconjunto abierto de
\mathbb{R}^{n}, prueba que W_{0}^{1,n}\left( \Omega \right)
\subset L^{q}\left( \Omega \right) para todo q\in [n,\infty ) y que esta inclusión es continua. (Sugerencia:
Usa la desigualdad (\ref{sob3}) y la de Young para demostrar que,
si \gamma >1, existe una constante C_{\gamma },
que depende sólo de \gamma , tal que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n\gamma }{n-1}}\leq C_{\gamma }\left(
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n(\gamma -1)}{n-1}}+\left\Vert \nabla
\varphi \right\Vert_{n}\right) \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right) .
\end{equation*}
Aplica esta desigualdad con \gamma =n+i,
i=0,1,2,\dots,j, para concluir que existe una constante
C_{n,j}, que depende sólo de n y j, tal que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n(n+j)}{n-1}}\leq C_{n,j}\left\Vert
\varphi \right\Vert_{W^{1,n}\left( \mathbb{R}^{n}\right) }\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right) ,
\end{equation*}
y aplica la desigualdad de interpolación para probar que
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}\leq C_{n,j}\left\Vert \varphi
\right\Vert_{W^{1,n}\left( \mathbb{R}^{n}\right) }\qquad \forall
\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right)
\end{equation*}
si q\in [n,\frac{n(n+j)}{n-1}].)
[Espacios de Sobolev de orden superior]
Sean \Omega un
subconjunto abierto de \mathbb{R}^{n}, m\in
\mathbb{N}, m\geq 2 y p\in [1,\infty
].
Se definen recursivamente
\begin{equation*}
W^{m,p}(\Omega ):=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):u\in W^{1,p}(\Omega )\text{ y }D_{i}u\in W^{m-1,p}(\Omega ),\text{ }i=1,\dots,n\right\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{W^{m,p}\left( \Omega \right) }:=\left( \left\Vert
u\right\Vert_{p}^{p}+\left\Vert D_{1}u\right\Vert_{W^{m-1,p}\left( \Omega
\right) }^{p}+\cdots +\left\Vert D_{n}u\right\Vert_{W^{m-1,p}\left( \Omega
\right) }^{p}\right)^{1/p}.
\end{equation*}
Es decir, u\in W^{m,p}(\Omega ) si sus derivadas
débiles de orden \leq m,
\begin{equation*}
D^{\alpha }u:=D_{1}^{\alpha_{1}}\cdots D_{n}^{\alpha_{n}}u
\end{equation*}
con
\alpha =(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})\in \left( \mathbb{N}\cup
\left\{0\right\}\right)^{n},
\left\vert \alpha \right\vert :=\alpha_{1}+\cdots +\alpha_{n}\leq
m,
existen y pertenecen a L^{p}(\Omega ),
donde
\begin{equation*}
D_{i}^{0}u:=u\qquad\text{y}\qquad D_{i}^{\alpha_{i}}u:=\underset{\alpha_{i}\text{ veces}}{\undercbrace{D_{i}\cdots D_{i}}}u\quad\text{si }\alpha_{i}\geq 1.
\end{equation*}
(Nota que todas las derivadas débiles de orden \leq
m son de esta forma, ver Ejercicio 16.46). Usando
esta notación,
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{W^{m,p}\left( \Omega \right) }=\Biggl(
\sum_{\left\vert \alpha \right\vert \leq m}\left\Vert D^{\alpha
}u\right\Vert_{p}^{p}\Biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
- Prueba que \left\Vert u\right\Vert_{W^{m,p}\left(
\Omega \right) } es una norma en W^{m,p}(\Omega ) y que
W^{m,p}(\Omega ) con dicha norma es un espacio de Banach.
Se define
\begin{equation*}
W_{0}^{m,p}(\Omega ):=\text{cerradura de }\mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right) \text{ en }W^{m,p}(\Omega ).
\end{equation*}
- Prueba que, si p\in [1,\frac{n}{m}), entonces
\begin{equation*}
W_{0}^{m,p}(\Omega )\subset L^{q}(\Omega )\qquad\text{con }q:=\frac{np}{n-mp}
\end{equation*}
y esta inclusión es continua.
- Prueba que, si \Omega está acotado y p\in
(\frac{n}{m},\infty ), entonces
\begin{equation*}
W_{0}^{m,p}(\Omega )\subset \mathcal{C}^{k}(\overline{\Omega })\qquad\text{con }k:=m-\left[ \frac{n}{p}\right] -1
\end{equation*}
y esta inclusión es continua, donde la norma en
\mathcal{C}^{k}(\overline{\Omega }) es la definida en el
Ejercicio 5.48.
- Prueba que, si \Omega es un subconjunto abierto y
acotado de \mathbb{R}^{n}, entonces la inclusión
W_{0}^{1,n}(\Omega )\subset L^{q}(\Omega ) es compacta para todo
q\in [1,\infty ). (Sugerencia: Reduce esta
situación al caso p\in [1,n) y usa el
Teorema 17.12.)
- Prueba que, si \Omega es un subconjunto abierto y
acotado de \mathbb{R}^{n} y p\in (n,\infty ), entonces la
inclusión W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset
\mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega }) es
compacta. (Sugerencia: Usa el Corolario 7.10.)
- Formula y demuestra las afirmaciones correspondientes a
éstas y a la del Teorema 17.12 para los espacios
de Sobolev de orden superior W_{0}^{m,p}(\Omega ) definidos en
el Ejercicio 17.24.
Sean \Omega un subconjunto abierto y acotado de \mathbb{R}^{n},
\lambda \in \mathbb{R} y u\in H_{0}^{1}(\Omega ). Prueba que
\begin{equation*}
\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi =\lambda \int_{\Omega }u\varphi
\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )
\end{equation*}
si y sólo si
\begin{equation*}
\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\lambda \int_{\Omega }uv\qquad \forall
v\in H_{0}^{1}(\Omega ).
\end{equation*}
Prueba que, si \Omega es de clase \mathcal{C}^{1},
toda solución débil (\lambda ,u) del problema
(\ref{ev}) tal que u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega
}), es solución clásica de (\ref{ev}), es decir,
\begin{equation*}
-\Delta u(x)=\lambda u(x)\text{ }\forall x\in \Omega \qquad\text{y}\qquad u(x)=0\text{ }\forall x\in \partial \Omega .
\end{equation*}
Sean
\Omega un subconjunto abierto y acotado de
\mathbb{R}^{n} y
\lambda_{1} es el primer valor propio de
-\Delta en
H_{0}^{1}(\Omega ).
- Prueba que, para cada \lambda >-\lambda_{1},
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{H_{0}^{1}(\Omega ),\lambda }:=\left( \lambda
\int_{\Omega }u^{2}+\int_{\Omega }\left\vert \nabla u\right\vert^{2}\right)
^{1/2}
\end{equation*}
es una norma en H_{0}^{1}(\Omega ) y que está inducida por
el producto escalar
\begin{equation*}
\left\langle u,v\right\rangle_{H_{0}^{1}(\Omega ),\lambda }:=\lambda
\int_{\Omega }uv+\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v.
\end{equation*}
- Prueba que todas estas normas son equivalentes. En
consecuencia, H_{0}^{1}(\Omega ) es completo con cualquiera de
estas normas.
- Si \lambda =-\lambda_{1}, ¿es cierto
que
\begin{equation*}
\left\Vert u\right\Vert_{H_{0}^{1}(\Omega ),-\lambda_{1}}:=\left( -\lambda
_{1}\int_{\Omega }u^{2}+\int_{\Omega }\left\vert \nabla u\right\vert
^{2}\right)^{1/2}
\end{equation*}
es una norma en H_{0}^{1}(\Omega )? Justifica tu respuesta.
Prueba que, si \Omega \subset \mathbb{R}^{n} es acotado, f\in
L^{2}(\Omega ) y \lambda >-\lambda_{1}, el problema
\begin{equation*}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
-\Delta u+\lambda u&{}=f &\quad& \text{en }\Omega , \\
u&{}=0 && \text{sobre }\partial \Omega .
\end{alignedat}
\right.
\end{equation*}
tiene una única solución débil, es decir, existe una
única función u\in H_{0}^{1}(\Omega ) tal que
\begin{equation*}
\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\lambda \int_{\Omega }u\varphi
=\int_{\Omega }f\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ).
\end{equation*}
Además, esta función minimiza el funcional J_{\lambda
}\colon H_{0}^{1}(\Omega )\rightarrow \mathbb{R} dado por
\begin{equation*}
J_{\lambda }(v)=\frac{1}{2}\int_{\Omega }\left( \left\vert \nabla
v\right\vert^{2}+\lambda v^{2}\right) -\int_{\Omega }fv.
\end{equation*}
A la ecuación -\Delta u=f se le llama la ecuación
de Poisson.