Para cada $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right)$ y $\lambda >0$ definimos $$\begin{equation*} \varphi_{\lambda }(x):=\varphi (\lambda x). \end{equation*}$$ Aplicando el teorema de cambio de variable obtenemos $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi_{\lambda }\right\Vert_{q}^{q}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi (\lambda x)\right\vert^{q}dx=\frac{1}{\lambda^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi (y)\right\vert^{q}dy=\frac{1}{\lambda^{n}}\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}^{q} \end{equation*}$$ y $$\begin{equation*} \left\Vert \frac{\partial \varphi_{\lambda }}{\partial x_{i}}\right\Vert _{p}^{p}=\lambda^{p}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \frac{\partial \varphi (\lambda x)}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}dx=\frac{\lambda^{p}}{\lambda ^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \frac{\partial \varphi (y)}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}dy=\frac{\lambda^{p}}{\lambda^{n}}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{p}. \end{equation*}$$ Aplicando la desigualdad ($\ref{expcrit}$) a la función $\varphi _{\lambda }$ concluimos que $$\begin{equation*} \frac{1}{\lambda^{n/q}}\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}\leq C\frac{\lambda }{\lambda^{n/p}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right) ,\text{ }\forall \lambda >0, \end{equation*}$$ es decir, $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert_{q}\leq C\lambda^{1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \mathbb{R}^{n}\right) ,\text{ }\forall \lambda >0. \end{equation*}$$ Haciendo tender $\lambda$ a cero si $1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}>0$ o a infinito si $1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}\menorque 0$ vemos que, si $1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}\neq 0$, la desigualdad anterior no se satisface para ninguna $\varphi \neq 0$.

Así que necesariamente $1-\frac{n}{p}+\frac{n}{q}=0$, en cuyo caso $\frac{n}{p}>1$ y $q=\frac{np}{n-p}$, como afirma el enunciado.

Demostraremos esta afirmación por inducción sobre $n$. Si $n=2$ la afirmación es obvia, ya que $$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{2}}\left\vert f(x_{1},x_{2})\right\vert dx_{1}dx_{2}=\int_{\mathbb{R}}\left\vert f_{1}(x_{2})\right\vert dx_{2}\int_{\mathbb{R}}\left\vert f_{2}(x_{1})\right\vert dx_{1}. \end{equation*}$$ Supongámosla cierta para $n$ y demostrémosla para $n+1$.

Sean $f_{1},\ldots ,f_{n+1}\in L^{n}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$. Fijemos por un momento el valor de $x_{n+1}$ y definamos $g_{i}(z_{1},\ldots ,z_{n-1}):=\left\vert f_{i}(z_{1},\ldots ,z_{n-1},x_{n+1})\right\vert^{\frac{n}{n-1}}$, $i=1,\dots,n$. Observa que $g_{i}\in L^{n-1}\left( \mathbb{R}^{n-1}\right)$ de modo que, aplicando la hipótesis de inducción, concluimos que la función $$\begin{equation*} g(y):=\prod_{i=1}^{n}g_{i}(\widehat{y}_{i})=\prod_{i=1}^{n}\left\vert f_{i}(\widehat{y}_{i},x_{n+1})\right\vert^{\frac{n}{n-1}},\qquad y\in \mathbb{R}^{n}, \end{equation*}$$ pertenece a $L^{1}(\mathbb{R}^{n})$ y que $$\begin{equation} \left\Vert g\right\Vert_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}\leq \prod_{i=1}^{n}\left\Vert g_{i}\right\Vert_{L^{n-1}(\mathbb{R}^{n-1})}=\prod_{i=1}^{n}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left\vert f_{i}(z,x_{n+1})\right\vert^{n}dz\biggr)^{\frac{1}{n-1}}.\label{lemSob1} \end{equation}$$ Nota que $$\begin{equation*} \left\vert f(y,x_{n+1})\right\vert =\left( \prod_{i=1}^{n}\left\vert f_{i}(\widehat{y}_{i},x_{n+1})\right\vert \right) \left\vert f_{n+1}(y)\right\vert =\left\vert g(y)\right\vert^{\frac{n-1}{n}}\left\vert f_{n+1}(y)\right\vert . \end{equation*}$$ Aplicando la desigualdad de Hölder y la desigualdad ($\ref{lemSob1}$) obtenemos $$\begin{align} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f(y,x_{n+1})\right\vert dy &\leq \left\Vert g\right\Vert_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}^{\frac{n-1}{n}}\left\Vert f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})} \notag \\ &\leq \prod_{i=1}^{n}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left\vert f_{i}(z,x_{n+1})\right\vert^{n}dz\biggr)^{\frac{1}{n}}\left\Vert f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}.\label{lemSob2} \end{align}$$ Ahora hagamos variar $x_{n+1}$. Cada una de las funciones $$\begin{equation*} h_{i}(x_{n+1})\mapsto \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left\vert f_{i}(z,x_{n+1})\right\vert^{n}dz\biggr)^{\frac{1}{n}},\qquad i=1,\ldots ,n, \end{equation*}$$ pertenece a $L^{n}(\mathbb{R})$ y su norma en este espacio es $$\begin{equation*} \left\Vert h_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R})}=\biggl( \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left\vert f_{i}(z,x_{n+1})\right\vert ^{n}dz\,dx_{n+1}\biggr)^{\frac{1}{n}}=\left\Vert f_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}. \end{equation*}$$ Así que, integrando la desigualdad ($\ref{lemSob2}$) respecto a $x_{n+1}$ y aplicando la desigualdad de Hölder generalizada (ver Ejercicio 14.68), concluimos que $\prod_{i=1}^{n}h_{i}\in L^{1}(\mathbb{R})$ y $$\begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n+1}}\left\vert f(x)\right\vert dx &{}\leq \biggl( \int_{\mathbb{R}}\prod_{i=1}^{n}\left\vert h_{i}(x_{n+1})\right\vert dx_{n+1}\biggr) \left\Vert f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}\\ &{}\leq \left( \prod_{i=1}^{n}\left\Vert h_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R})}\right) \left\Vert f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})} \\ &{}=\left( \prod_{i=1}^{n}\left\Vert f_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}\right) \left\Vert f_{n+1}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}\\ &{}=\prod_{i=1}^{n+1}\left\Vert f_{i}\right\Vert_{L^{n}(\mathbb{R}^{n})}. \end{align*}$$ Ésta es la desigualdad deseada.

Sea $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{1}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$. Como $\varphi$ tiene soporte compacto, el teorema fundamental del cálculo asegura que $$\begin{equation*} \varphi \left( x\right) =\int_{-\infty }^{x_{i}}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x_{1},\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_{n})dt \end{equation*}$$ para cada $1\leq i\leq n$  y, en consecuencia, $$\begin{equation} \left\vert \varphi \left( x\right) \right\vert \leq \int_{-\infty }^{\infty }\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x_{1},\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_{n})\right\vert dt.\label{sob0} \end{equation}$$ Si $n\geq 2$ definimos $$\begin{equation*} f_{i}(z_{1},,\dots,z_{n-1}):=\biggl( \int_{-\infty }^{\infty }\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x_{1},\dots,z_{i-1},t,z_{i},\dots,z_{n-1})\right\vert dt\biggr)^{\frac{1}{n-1}}. \end{equation*}$$ Entonces $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L^{n-1}\left( \mathbb{R}^{n-1}\right)$ y $$\begin{equation*} \left\Vert f_{i}\right\Vert_{L^{n-1}(\mathbb{R}^{n-1})}=\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}^{\frac{1}{n-1}}. \end{equation*}$$ Elevando las desigualdades ($\ref{sob0}$) a la $\frac{1}{n-1}$ y tomando el producto de todas ellas obtenemos $$\begin{equation*} \left\vert \varphi \left( x\right) \right\vert^{\frac{n}{n-1}}\leq \prod_{i=1}^{n}f_{i}(\widehat{x}_{i}), \end{equation*}$$ donde $\widehat{x}_{i}:=(x_{1},\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n-1}$. Aplicando el Lema 17.3 se tiene entonces que $$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi \right\vert^{\frac{n}{n-1}}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \prod_{i=1}^{n}f_{i}(\widehat{x}_{i})\right) \leq \prod_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{1}^{\frac{1}{n-1}}. \end{equation*}$$ Por tanto, $$\begin{equation} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}}\leq \prod_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{1}^{\frac{1}{n}}\label{sob1} \end{equation}$$ y como la media geométrica es menor o igual que la media aritmética concluimos que $$\begin{equation} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}}\leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert _{1}=\frac{1}{n}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{1}.\label{sob2} \end{equation}$$ Por otra parte, para cada $\gamma >1$, reemplazando a $\varphi$ por $\left\vert \varphi \right\vert^{\gamma -1}\varphi$ en la desigualdad ($\ref{sob1}$) y aplicando la desigualdad de Hölder, obtenemos $$\begin{align} \biggl( \int_{\mathbb{R}^{N}}\left\vert \varphi \right\vert^{\frac{n\gamma }{n-1}}\biggr)^{\frac{n-1}{n}} &{}\leq \gamma \prod_{i=1}^{n}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi \right\vert^{\gamma -1}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\vert \biggr)^{\frac{1}{n}} \notag \\ &{}\leq \gamma \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi \right\vert^{\frac{p\left( \gamma -1\right) }{p-1}}\biggr)^{\frac{p-1}{p}}\prod_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{\frac{1}{n}}\label{sob3} \\ &{}<\gamma \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi \right\vert^{\frac{p\left( \gamma -1\right) }{p-1}}\biggr)^{\frac{p-1}{p}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}, \notag \end{align}$$ donde la última desigualdad se obtiene aplicando el Ejercicio 2.42 como sigue: $$\begin{equation*} \prod_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{\frac{1}{n}}\leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}\leq \frac{n^{\frac{p-1}{p}}}{n}\biggl( \sum_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}}<\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}. \end{equation*}$$ Usaremos las desigualdades anteriores para probar las afirmaciones del teorema.

(a):  Supongamos que $p\in [1,n)$. Si $p=1$ entonces $p^{\ast }=\frac{n}{n-1}$ y la desigualdad ($\ref{sob2}$) es la desigualdad deseada. Si $p\neq 1$ tomamos $\gamma :=\frac{n-1}{n}p^{\ast }$. Nota que $\gamma >1$, que $\frac{p\left( \gamma -1\right) }{p-1}=\frac{n\gamma }{n-1}=p^{\ast }$ y que $\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}=\frac{1}{p^{\ast }}$. De la desigualdad ($\ref{sob3}$) se sigue entonces que $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert_{p^{\ast }}\leq \gamma \left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}. \end{equation*}$$

(b):  Supongamos que $p\in (n,\infty )$. Si $n=1$, la desigualdad ($\ref{sob0}$) y el Ejercicio 14.66 (con $X=$ $\sop(\varphi )$) implican que $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\leq \left\Vert \varphi^{\prime }\right\Vert_{1}\leq \left\vert \sop(\varphi )\right\vert^{\frac{p-1}{p}}\left\Vert \varphi^{\prime }\right\Vert_{p}, \end{equation*}$$ que es la desigualdad deseada.

Si $n\geq 2$ consideramos primero el caso en el que $$\begin{equation} \left\vert \sop(\varphi )\right\vert =1\qquad\text{y}\qquad \left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}=1.\label{sob4} \end{equation}$$ De la desigualdad ($\ref{sob3}$) y el Ejercicio 14.66 se sigue entonces que $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n\gamma }{n-1}}\leq \gamma^{\frac{1}{\gamma }}\left( \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{p(\gamma -1)}{p-1}}\right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}\leq \gamma^{\frac{1}{\gamma }}\left( \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{p\gamma }{p-1}}\right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}\qquad \forall \gamma >1. \end{equation*}$$ Tomemos $\gamma :=\frac{n}{n-1}\frac{p-1}{p}$. Nota que $\gamma >1$. Sustituyendo $\gamma$ por $\gamma^{k}$ en la desigualdad anterior y tomando en cuenta que $\frac{p}{p-1}\gamma ^{k}=\frac{n}{n-1}\gamma^{k-1}$ obtenemos $$\begin{equation} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k}}\leq \gamma^{\frac{k}{\gamma^{k}}}\left( \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k-1}}\right)^{\frac{\gamma^{k}-1}{\gamma^{k}}}.\label{sob5} \end{equation}$$ Como hemos supuesto que $\left\vert \sop(\varphi )\right\vert =1$ y $\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}=1$, la desigualdad ($\ref{sob2}$) y el Ejercicio 14.70 aseguran que $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}}\leq \frac{1}{n}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{1}\leq \frac{1}{n}(n\left\vert \sop(\varphi )\right\vert )^{\frac{p-1}{p}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert _{p}\menorque 1. \end{equation*}$$ Si $\left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k}}\leq 1$ para una infinidad de $k\in \mathbb{N}$, el Ejercicio 14.69 garantiza que $\left\Vert \varphi \right\Vert _{\infty }\leq 1$. Si, por el contrario, existe $k_{0}\geq 0$ tal que $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k_{0}}}\leq 1\qquad\text{y}\qquad \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k}}>1\quad \forall k>k_{0}, \end{equation*}$$ entonces $$\begin{equation*} \left( \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k-1}}\right)^{\frac{\gamma^{k}-1}{\gamma^{k}}}\leq \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k-1}}\quad \forall k>k_{0}+1, \end{equation*}$$ e iterando la desigualdad ($\ref{sob5}$) obtenemos $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma^{k}}\leq \gamma ^{\left( \frac{k}{\gamma k}+\cdots +\frac{k_{0}+1}{\gamma^{k_{0}+1}}\right) }\left( \left\Vert \varphi \right\Vert_{\frac{n}{n-1}\gamma ^{k_{0}}}\right)^{\frac{\gamma^{k_{0}}-1}{\gamma^{k_{0}}}}\leq \gamma ^{\alpha }, \end{equation*}$$ donde $\alpha :=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{i}{\gamma^{i}}<\infty$, ya que $\gamma >1$. Aplicando nuevamente el Ejercicio 14.69 concluimos que $\left\Vert \varphi \right\Vert _{\infty }\leq \gamma^{\alpha }$. Así pues, si $\varphi$ satisface ($\ref{sob4}$), entonces $$\begin{equation} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\leq \gamma^{\alpha }=\gamma ^{\alpha }\left\vert \sop(\varphi )\right\vert^{\frac{p-n}{np}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}.\label{sob6} \end{equation}$$

Para probar la desigualdad ($\ref{m}$) en el caso general observa primero que, si $\left\vert \sop(\varphi )\right\vert =0$ o $\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}=0$, entonces $\varphi =0$ y la desigualdad se satisface trivialmente. Si $\left\vert \sop(\varphi )\right\vert \neq 0$ y $\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}\neq 0$, aplicamos la desigualdad ($\ref{sob6}$) a la función $\theta :=\frac{\psi }{\left\Vert \nabla \psi \right\Vert_{p}}$ donde $\psi (x):=\varphi (\left\vert \sop(\varphi )\right\vert^{1/n}x)$. Nota que $\left\vert \sop(\theta )\right\vert =\left\vert \sop(\psi )\right\vert =1$ y que $\left\Vert \nabla \theta \right\Vert_{p}=1$. Así que, aplicando el caso anterior obtenemos $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }=\left\Vert \psi \right\Vert _{\infty }\leq \gamma^{\alpha }\left\Vert \nabla \psi \right\Vert _{p}=\gamma^{\alpha }\left\vert \sop(\varphi )\right\vert^{\frac{p-n}{np}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}, \end{equation*}$$ como afirma el enunciado.

Si $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $\left( \varphi_{k}\right)$ es una sucesión en $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ que converge a $u$ en $W^{1,p}(\Omega )$, entonces $\left\Vert \varphi _{k}-u\right\Vert_{p}\rightarrow 0$ y $\left\Vert \nabla \varphi _{k}-\nabla u\right\Vert_{p}\rightarrow 0$. Por otra parte, de la desigualdad ($\ref{gns}$) se sigue que $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi_{k}-\varphi_{j}\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\left\Vert \nabla \varphi_{k}-\nabla \varphi_{j}\right\Vert_{p}\leq C\left\Vert \varphi_{k}-\varphi_{j}\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}\qquad \forall k,j\in \mathbb{N}. \end{equation*}$$ Por tanto, $\left( \varphi_{k}\right)$ es una sucesión de Cauchy en $L^{p^{\ast }}(\Omega )$ y, en consecuencia, $\varphi _{k}\rightarrow v$ en $L^{p^{\ast }}(\Omega )$. Como además $\varphi_{k}\rightarrow u$ en $L^{p}(\Omega )$, el Teorema 14.28 asegura que una subsucesión de $(\varphi_{k})$ converge tanto a $u$ como a $v$ c.d. en $\Omega$. Por tanto, $u\left( x\right) =v\left( x\right)$ p.c.t. $x\in \Omega$. Esto implica que $u\in L^{p^{\ast }}(\Omega )$ y, usando de nueva cuenta la desigualdad ($\ref{gns}$), obtenemos $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left\Vert \varphi_{k}\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\lim_{n\rightarrow \infty }\left\Vert \nabla \varphi_{k}\right\Vert_{p}=C\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}, \end{equation*}$$ que es la desigualdad deseada.

El Corolario 17.5 afirma que $W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset L^{p^{\ast }}\left( \Omega \right)$ y que existe una constante $C>0$ tal que $$\begin{equation} \left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\left\Vert \nabla u\right\Vert _{p}\leq C\left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}\qquad \forall u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ).\label{sob} \end{equation}$$ Como además $W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset L^{p}(\Omega )$ y $\left\Vert u\right\Vert_{p}\leq \left\Vert u\right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}$, la desigualdad de interpolación (ver Ejercicio 14.67) asegura que $u\in L^{q}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$ para todo $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $q\in [p,p^{\ast }]$ y que $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{q}\leq \left\Vert u\right\Vert_{p}^{1-\alpha }\left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}^{\alpha }\leq C^{\alpha }\left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}^{1-\alpha }\left\Vert u\right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}^{\alpha }=C^{\alpha }\left\Vert u\right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}, \end{equation*}$$ donde $\alpha \in [0,1]$ cumple que $\frac{1}{q}=\frac{1-\alpha }{p}+\frac{\alpha }{p^{\ast }}$. Esto prueba que $W_{0}^{1,p}(\Omega )\subset L^{q}\left( \Omega \right)$ y que esta inclusión es continua.

(a):  Si $p\in [1,n)$ y $q\in [1,p^{\ast }]$, aplicando las desigualdades de la Proposición 14.31 y el Corolario 17.5 obtenemos que $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{q}\leq \left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p^{\ast }}}\left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}+\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}\qquad \forall u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ). \end{equation*}$$

(b):  Sean $p=n$ y $q\in [1,\infty )$. Si $n=1$ se sigue de ($\ref{sob0}$) que $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi \right\Vert_{q}=\biggl( \int_{\Omega }\left\vert \varphi (x)\right\vert^{q}dx\biggr)^{\frac{1}{q}}\leq \biggl( \int_{\Omega }\left\Vert \varphi^{\prime }\right\Vert_{1}^{q}\biggr)^{\frac{1}{q}}=\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert \varphi^{\prime }\right\Vert_{1}\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ). \end{equation*}$$ Argumentando como en el Corolario 17.5 concluimos que $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{q}\leq \left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert Du\right\Vert_{1}\qquad \forall u\in W_{0}^{1,1}(\Omega ). \end{equation*}$$ Si $n\geq 2$ definimos $r:=\max \left\{\frac{nq}{n+q},1\right\}$. Observa que $r\in [1,n)$. Nota además que $r^{\ast }=q$ si $r=\frac{nq}{n+q}$ y que $q\leq \frac{n}{n-1}$ si $r=1$. En consecuencia, de la afirmación (a), la Proposición 14.31 y el Ejercicio 14.70 se sigue que, para toda $u\in W_{0}^{1,n}(\Omega )$, $$\begin{alignat*}{2} \left\Vert u\right\Vert_{q} \leq C\left\Vert \nabla u\right\Vert_{r}&\leq Cn^{\frac{1}{q}}\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{n}&&\qquad\text{si }r=\frac{nq}{n+q},\\[5pt] \left\Vert u\right\Vert_{q} \leq \left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{n-1}{n}}\left\Vert u\right\Vert_{\frac{n}{n-1}} &{}\leq C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{n-1}{n}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{1}\\ &{}\leq Cn^{\frac{n-1}{n}}\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{n}&&\qquad\text{si }r=1. \end{alignat*}$$

(c):  Sean $p\in (n,\infty )$ y $q\in [1,\infty ]$. De la desigualdad ($\ref{m}$) se sigue que $$\begin{equation} \left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\leq C\left\vert \Omega \right\vert ^{\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }\left( \Omega \right) , \label{m2} \end{equation}$$ Recuerda que $\mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$ con la norma $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\infty }$ es un espacio de Banach (ver Teorema 5.21). Así que, argumentando como en el Corolario 17.5 se prueba que cada $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ coincide c.d. con una función que pertenece a $\mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$ y que la desigualdad ($\ref{m2}$) es válida para $u$. Combinando esa desigualdad con la Proposición 14.31 obtenemos $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{q}\leq \left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}}\left\Vert u\right\Vert_{\infty }\leq C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{q}+\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}, \end{equation*}$$ que es la desigualdad deseada.

El Teorema 17.8 asegura que existe una constante $C$, que depende sólo de $n$ y $p$, tal que $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{p}\leq C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{n}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}\qquad \forall u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ). \end{equation*}$$ Tomando $C_{0}:=C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{n}}$ obtenemos $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert \leq \left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}\left( \Omega \right) }=\left( \left\Vert u\right\Vert_{p}^{p}+\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left( C_{0}^{p}+1\right) ^{1/p}\left\Vert u\right\Vert \qquad \forall u\in W_{0}^{1,p}(\Omega ). \end{equation*}$$ Estas desigualdades implican, en particular, que $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert =0\quad \Leftrightarrow \quad \left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}\left( \Omega \right) }=0\quad \Leftrightarrow \quad u=0. \end{equation*}$$ Así que $\left\Vert \cdot \right\Vert$ satisface la propiedad (N1) de la Definición 2.9. Las propiedades (N2) y (N3) se prueban como en la Proposición 16.12. Las mismas desigualdades aseguran que las normas $\left\Vert \cdot \right\Vert$ y $\left\Vert \cdot \right\Vert_{W^{1,p}\left( \Omega \right) }$ son equivalentes.

Sean $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ y $x,\xi \in \mathbb{R}^{n}$. Aplicando el teorema del valor medio a la función $f(t):=\varphi (x-t\xi )$, $t\in \mathbb{R}$, obtenemos que existe $t_{0}\in (0,1)$ tal que $$\begin{equation*} \varphi (x-\xi )-\varphi (x)=f(1)-f(0)=f^{\prime }(t_{0})=-\nabla \varphi (x-t_{0}\xi )\cdot \xi . \end{equation*}$$ Por tanto, $$\begin{align*} \left\vert \varphi (x-\xi )-\varphi (x)\right\vert &{}=\left\vert \nabla \varphi (x-t_{0}\xi )\cdot \xi \right\vert \\ &{}\leq \sum_{i=1}^{n}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x-t_{0}\xi )\right\vert \left\vert \xi_{i}\right\vert \leq \left( \sum_{i=1}^{n}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x-t_{0}\xi )\right\vert \right) \left\Vert \xi \right\Vert . \end{align*}$$  Integrando esta desigualdad respecto a $x$ concluimos que $$\begin{align*} \left\Vert \mathrm{T}_{\xi }\varphi -\varphi \right\Vert_{1} &{}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \varphi (x-\xi )-\varphi (x)\right\vert dx \\ &{}\leq \biggl( \sum_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x-t_{0}\xi )\right\vert dx\biggr) \left\Vert \xi \right\Vert \\ &{}=\biggl( \sum_{i=1}^{n}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{1}\biggr) \left\Vert \xi \right\Vert =\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{1}\left\Vert \xi \right\Vert . \end{align*}$$ Si $u\in W^{1,1}(\mathbb{R}^{n})$, tomamos una sucesión $(\varphi_{k})$ en $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $\varphi_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,1}(\mathbb{R}^{n})$. Entonces $\left\Vert \varphi_{k}-u\right\Vert_{1}\rightarrow 0$, $\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }\varphi_{k}-\mathrm{T}_{\xi }u\right\Vert_{1}\rightarrow 0$ y $\left\Vert \nabla \varphi _{k}-\nabla u\right\Vert_{1}\rightarrow 0$. De la desigualdad anterior se sigue que $$\begin{equation*} \left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{1}=\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }\varphi_{k}-\varphi_{k}\right\Vert_{1}\leq \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert \nabla \varphi_{k}\right\Vert _{1}\left\Vert \xi \right\Vert =\left\Vert \nabla u\right\Vert _{1}\left\Vert \xi \right\Vert , \end{equation*}$$ como afirma el enunciado.

Sea $\mathcal{A}$ un subconjunto acotado de $W_{0}^{1,p}(\Omega )$. La desigualdad de Poincaré (ver Teorema 17.8) implica que $\mathcal{A}$ un subconjunto acotado de $L^{q}(\Omega )$ para todo $q\in [1,p^{\ast }]$. Como de costumbre, identificamos a una función definida en un abierto con su extensión trivial a todo $\mathbb{R}^{n}$, definida en (12.21). Probaremos que $\mathcal{A}$ satisface las hipótesis (i) y (ii) del Corolario 14.47 cuando $q\in [1,p^{\ast })$.

Sean $\varepsilon >0$ y $\omega$ un abierto tal que $\omega \subset \subset \Omega$. Sea $C>0$ tal que $\left\Vert u\right\Vert _{p^{\ast }}\leq C$ para todo $u\in \mathcal{A}$. Como la integral es invariante bajo traslaciones se tiene que $\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u\right\Vert_{p^{\ast }}\leq C$ para todo $u\in \mathcal{A}$ y $\xi \in \mathbb{R}^{n}$. Usando la desigualdad de interpolación (ver Ejercicio 14.67), el Lema 17.11 y el Ejercicio 14.70, concluimos que existe $C_{1}>0$ tal que $$\begin{align*} \left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{q} &{}\leq \left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{1}^{\alpha }\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{p^{\ast }}^{1-\alpha } \\ &{}\leq (2C)^{1-\alpha }\left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert _{1}^{\alpha }\leq (2C)^{1-\alpha }\left\Vert \nabla u\right\Vert _{1}^{\alpha }\left\Vert \xi \right\Vert^{\alpha } \\ &{}\leq (2C)^{1-\alpha }\left( n\left\vert \Omega \right\vert \right)^{\frac{\alpha (p-1)}{p}}\left\Vert \nabla u\right\Vert_{p}^{\alpha }\left\Vert \xi \right\Vert^{\alpha }\leq C_{1}\left\Vert \xi \right\Vert ^{\alpha }\quad \forall u\in \mathcal{A}\text{,} \end{align*}$$ donde $\alpha$ satisface $\frac{1}{q}=\alpha +\frac{1-\alpha }{p^{\ast }}$. Observa que $\alpha >0$ si $q\in [1,p^{\ast })$. En consecuencia, tomando $\delta \in (0$,dist$(\omega ,\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega ))$ tal que $\delta <(\frac{\varepsilon }{C_{1}})^{\frac{1}{\alpha }}$ se tiene que $$\begin{equation*} \left\Vert \mathrm{T}_{\xi }u-u\right\Vert_{q}<\varepsilon \qquad \forall \xi \in \mathbb{R}^{n}\text{ con }\left\Vert \xi \right\Vert <\delta \quad\text{y}\quad \forall u\in \mathcal{A}\text{.} \end{equation*}$$ Así pues, $\mathcal{A}$ satisface la hipótesis (i) del Corolario 14.47 cuando $q\in [1,p^{\ast })$.

Por otra parte, la Proposición 14.31 asegura que, para cualquier abierto $\omega \subset \Omega$, $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{L^{q}(\Omega \smallsetminus \omega )}\leq \left\Vert u\right\Vert_{L^{p^{\ast }}(\Omega \smallsetminus \omega )}\left\vert \Omega \smallsetminus \omega \right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p^{\ast }}}\leq C\left\vert \Omega \smallsetminus \omega \right\vert^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p^{\ast }}}\quad \forall u\in \mathcal{A}\text{.} \end{equation*}$$ Puesto que $\Omega$ es acotado y $\beta :=\frac{1}{q}-\frac{1}{p^{\ast }}>0$, podemos elegir un abierto $\omega \subset \subset \Omega$ tal que $\left\vert \Omega \smallsetminus \omega \right\vert <(\frac{\varepsilon }{C})^{\frac{1}{\beta }}$. Se tiene entonces que $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{L^{q}(\Omega \smallsetminus \omega )}<\varepsilon \qquad \forall u\in \mathcal{A}\text{.} \end{equation*}$$ Es decir, $\mathcal{A}$ satisface la hipótesis (ii) del Corolario 14.47 cuando $q\in [1,p^{\ast })$.

En consecuencia, $\mathcal{A}$ es relativamente compacto en $L^{q}(\Omega ).$

Sean $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$, $\varphi \neq 0$, y $(\xi_{k})$ una sucesión en $\mathbb{R}^{n}$ tal que $\left\Vert \xi_{k}\right\Vert \rightarrow \infty$. Definimos $\varphi_{k}(x):=\varphi (x-\xi_{k})$. Claramente, $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi_{k}\right\Vert_{W^{1,p}\left( \mathbb{R}^{n}\right) }=\left\Vert \varphi \right\Vert_{W^{1,p}\left( \mathbb{R}^{n}\right) }\qquad\text{y}\qquad \left\Vert \varphi_{k}\right\Vert_{q}=\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}. \end{equation*}$$ Observa que $\varphi_{k}(x)\rightarrow 0$ para cada $x\in \mathbb{R}^{n}$. Si alguna subsucesión $(\varphi_{k_{j}})$ de $(\varphi_{k})$ convergiese a $v$ en $L^{q}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$, una subsucesión de ella convergería a $v$ c.d. en $\mathbb{R}^{n}$ (ver Teorema 14.28) y, en consecuencia, $v=0$ c.d. en $\mathbb{R}^{n}$. Pero también se tendría que $$\begin{equation*} \left\Vert v\right\Vert_{q}=\lim_{j\rightarrow \infty }\left\Vert \varphi _{k_{j}}\right\Vert_{q}=\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}\neq 0, \end{equation*}$$ lo cual es una contradicción. En consecuencia, ninguna subsucesión de $(\varphi_{k})$ converge en $L^{q}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$.

Sin perder generalidad podemos suponer que $0\in \Omega$. Elegimos $r>0$ de modo que $B^{n}(0,r)\subset \Omega$ y tomamos $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(B^{n}(0,r))$ tal que $\varphi \neq 0$. Para cada $k\in \mathbb{N}$ definimos $\varphi _{k}(x):=k^{(n-p)/p}\varphi (kx)$. Entonces $\sop(\varphi _{k})\subset B^{n}(0,\frac{r}{k})\subset \Omega$ y, en consecuencia, $\varphi_{k}\in W_{0}^{1,p}\left( \Omega \right)$ y $\varphi_{k}(x)\rightarrow 0$ para cada $x\neq 0$.

Mediante el cambio de variable $kx=y$ se obtiene que $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi_{k}\right\Vert_{p^{\ast }}^{p^{\ast }}=\int_{\Omega }k^{n}\left\vert \varphi (kx)\right\vert^{p^{\ast }}dx=\int_{\Omega }\left\vert \varphi (y)\right\vert^{p^{\ast }}dy=\left\Vert \varphi \right\Vert_{p^{\ast }}^{p^{\ast }} \end{equation*}$$ y $$\begin{equation*} \left\Vert \nabla \varphi_{k}\right\Vert _{p}^{p}=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega }k^{n}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(kx)\right\vert^{p}dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega }\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(y)\right\vert ^{p}dy=\left\Vert \nabla \varphi \right\Vert_{p}^{p}. \end{equation*}$$ El Corolario 17.9 asegura entonces que $(\varphi _{k})$ está acotada en $W_{0}^{1,p}\left( \Omega \right)$. Si una subsucesión $(\varphi_{k_{j}})$ de $(\varphi_{k})$ convergiese a una función $u$ en $L^{p^{\ast }}(\Omega )$, se tendría que $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{p^{\ast }}=\lim_{j\rightarrow \infty }\left\Vert \varphi_{k_{j}}\right\Vert_{p^{\ast }}=\left\Vert \varphi \right\Vert _{p^{\ast }}\neq 0 \end{equation*}$$ y que una subsucesión de $(\varphi_{k_{j}})$ convergería puntualmente a $u$ c.d. en $\Omega$ (ver Teorema 14.28). Pero $\varphi_{k}(x)\rightarrow 0$ para cada $x\neq 0$. Por tanto, $u=0$ c.d. en $\Omega$. Esta es una contradicción; lo que prueba que $(\varphi_{k})$ no contiene ninguna subsucesión convergente en $L^{p^{\ast }}(\Omega )$.

(a): Si $\lambda$ es un valor propio y $e\in \Sigma$ es una función propia con valor propio $\lambda$, la desigualdad de Poincaré asegura que existe $C>0$, independiente de $\lambda$ y de $e$, tal que $$\begin{equation*} 1=\left\Vert e\right\Vert_{2}^{2}\leq C\left\Vert e\right\Vert ^{2}=C\lambda . \end{equation*}$$ Por tanto, $\lambda \geq \frac{1}{C}>0$.

(b): Si $e_{\lambda }$ y $e_{\mu }$ son funciones propias con valores propios $\lambda$ y $\mu$, entonces $$\begin{equation*} \lambda \left\langle e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle_{2}=\left\langle e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle =\mu \left\langle e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle_{2}. \end{equation*}$$ Por tanto, si $\lambda \neq \mu$, necesariamente $\left\langle e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle_{2}=0$ y, en consecuencia, $\left\langle e_{\lambda },e_{\mu }\right\rangle =0$.

(c):  Como $e_{k}\in \Sigma$ se cumple que $\left\Vert e_{k}\right\Vert^{2}=\lambda_{k}$. De modo que, si $(\lambda _{k})$ está acotada, entonces $(e_{k})$ es una sucesión acotada en $H_{0}^{1}(\Omega )$. Por el Teorema de Rellich-Kondrashov (Teorema 17.12), $(e_{k})$ contiene una subsucesión convergente en $L^{2}(\Omega )$. Ahora bien, como $\left\{e_{k}\right\}$ es ortonormal en $L^{2}(\Omega )$, se tiene que $$\begin{equation*} \left\Vert e_{k}-e_{m}\right\Vert_{2}^{2}=\left\Vert e_{k}\right\Vert _{2}^{2}+\left\Vert e_{m}\right\Vert_{2}^{2}=2. \end{equation*}$$ En consecuencia, ninguna subsucesión de $(e_{k})$ es de Cauchy en $L^{2}(\Omega )$. Esto es una contradicción.

(d): Argumentando por contradicción, si $\dim E_{\lambda }=\infty$, entonces $E_{\lambda }$ contiene un subconjunto $\left\{e_{k}\in \Sigma :k\in \mathbb{N}\right\}$ ortonormal en $L^{2}(\Omega )$ (ver Ejercicio 15.44). Para cada $k\in \mathbb{N}$, $e_{k}$ es una función propia de $-\Delta$ en $H_{0}^{1}(\Omega )$ con valor propio $\lambda$, lo cual contradice la afirmación (c).

(a): La desigualdad de Poincaré para $p=q=2$ (ver Teorema 17.8) asegura que existe $C>0$ tal que $$\begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{2}\leq C\left\vert \Omega \right\vert^{\frac{1}{n}}\left\Vert u\right\Vert \qquad \forall u\in H_{0}^{1}(\Omega ). \end{equation*}$$ En consecuencia, $\lambda \geq C^{-2}\left\vert \Omega \right\vert ^{-\frac{2}{n}}>0$.

(b): Sea $e$ un mínimo de $I$ en $\Sigma \cap H$ y sea $v\in H$. Tomemos $\varepsilon >0$ suficientemente pequeña de modo que $\left\Vert e+tv\right\Vert_{2}\neq 0$ para todo $t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$, y consideremos la función $h\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$\begin{equation*} h(t):=I\left( \frac{e+tv}{\left\Vert e+tv\right\Vert_{2}}\right) =\frac{\left\Vert e+tv\right\Vert^{2}}{\left\Vert e+tv\right\Vert_{2}^{2}}=\frac{\left\Vert e\right\Vert^{2}+2\left\langle e,v\right\rangle t+\left\Vert v\right\Vert^{2}t^{2}}{\left\Vert e\right\Vert_{2}^{2}+2\left\langle e,v\right\rangle_{2}t+\left\Vert v\right\Vert_{2}^{2}t^{2}}. \end{equation*}$$ Esta función es diferenciable y su derivada está dada por $$\begin{equation*} h^{\prime }(t)=\frac{2\left\Vert e+tv\right\Vert_{2}^{2}\left( \left\langle e,v\right\rangle +\left\Vert v\right\Vert^{2}t\right) -2I(e+tv)\left( \left\langle e,v\right\rangle_{2}+\left\Vert v\right\Vert_{2}^{2}t\right) }{\left\Vert e+tv\right\Vert_{2}^{4}}. \end{equation*}$$ Como $0$ es un mínimo de $h$, se tiene que $$\begin{equation*} 0=h^{\prime }(0)=2\left( \left\langle e,v\right\rangle -\lambda \left\langle e,v\right\rangle_{2}\right) \text{.} \end{equation*}$$ Esto demuestra la afirmación.

(c): Sea $(u_{k})$ una sucesión en $\Sigma \cap H$ tal que $I(u_{k})=\left\Vert u_{k}\right\Vert^{2}\rightarrow \lambda$. Entonces $(u_{k})$ está acotada en $H_{0}^{1}(\Omega )$. Aplicando el Teorema 15.29, el teorema de Rellich-Kondrashov (Teorema 17.12) y el Ejercicio 15.51, concluimos que $(u_{k})$ contiene una subsucesión $(u_{k_{j}})$ tal que $$\begin{alignat*}{2} u_{k_{j}} &\rightharpoonup e&\quad&\text{débilmente en }H_{0}^{1}(\Omega ), \\[5pt] u_{k_{j}} &\rightarrow e && \text{ fuertemente en }L^{2}(\Omega ). \end{alignat*}$$ En consecuencia, $\left\Vert e\right\Vert_{2}=1$, es decir, $e\in \Sigma$. Más aún, como $H$ es débilmente cerrado en $H_{0}^{1}(\Omega )$ (ver Ejercicio 15.54), se tiene que $e\in H$. Usando el Corolario 15.27 concluimos que $$\begin{equation*} \lambda \leq I(e)=\left\Vert e\right\Vert^{2}\leq \liminf_{j\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k_{j}}\right\Vert^{2}=\liminf_{j\rightarrow \infty }I(u_{k_{j}})=\lambda . \end{equation*}$$ Esto prueba que $e$ es un mínimo de $I$ en $\Sigma \cap H$.

Usando la Proposición 17.17 definimos $(e_{k})$ inductivamente como sigue: escogemos $e_{1}\in \Sigma$ tal que $$\begin{equation*} I(e_{1})=\inf_{u\in \Sigma }I(u). \end{equation*}$$ Sean $W_{2}:= \lin\left\{e_{1}\right\}$ el subespacio de $H_{0}^{1}(\Omega )$ generado por $e_{1}$ y $$\begin{equation*} H_{2}:=\left\{v\in H_{0}^{1}(\Omega ):\left\langle e_{1},v\right\rangle =0\right\} \end{equation*}$$ su complemento ortogonal en $H_{0}^{1}(\Omega )$. Escogemos $e_{2}\in \Sigma \cap H_{2}$ tal que $$\begin{equation*} I(e_{2})=\inf_{u\in \Sigma \cap H_{2}}I(u). \end{equation*}$$ Continuando de este modo, definimos $$\begin{equation*} W_{k}:=\lin\left\{e_{1},\dots,e_{k-1}\right\},\qquad H_{k}:=\left\{v\in H_{0}^{1}(\Omega ):\left\langle w,v\right\rangle =0\text{  }\forall w\in W_{k}\right\}, \end{equation*}$$ y escogemos $e_{k}\in \Sigma \cap H_{k}$ tal que $$\begin{equation} I(e_{k})=\inf_{u\in \Sigma \cap H_{k}}I(u).\label{inf1} \end{equation}$$ Se tiene entonces que $$\begin{equation} H_{i}\supset H_{k}\qquad\text{y}\qquad \left\langle e_{k},e_{i}\right\rangle =0\qquad \forall i=1,\dots,k-1,\label{inf2} \end{equation}$$ y usando la Proposición 17.17 concluimos que $$\begin{equation} 0<\lambda_{1}\leq \lambda_{2}\leq \cdots \leq \lambda_{k}\leq \cdots , \label{inf3} \end{equation}$$ donde $\lambda_{k}:=I(e_{k})$, y que $$\begin{equation} \left\langle e_{k},v\right\rangle =\lambda_{k}\left\langle e_{k},v\right\rangle_{2}\qquad \forall v\in H_{k}.\label{inf4} \end{equation}$$ De ($\ref{inf2}$) y ($\ref{inf4}$) se sigue que $0=\left\langle e_{i},e_{k}\right\rangle =\lambda_{i}\left\langle e_{i},e_{k}\right\rangle_{2}$para todo $i=1,\dots,k-1$ y, dado que $\lambda_{i}>0$, esta igualdad implica que $$\begin{equation} 0=\left\langle e_{i},e_{k}\right\rangle =\left\langle e_{i},e_{k}\right\rangle_{2}\qquad \forall i=1,\dots,k-1.\label{inf5} \end{equation}$$ Como $H_{0}^{1}(\Omega )=W_{k}\oplus H_{k}$, las afirmaciones ($\ref{inf4}$) y ($\ref{inf5}$) nos permiten concluir que $$\begin{equation*} \left\langle e_{k},v\right\rangle =\lambda_{k}\left\langle e_{k},v\right\rangle_{2}\qquad \forall v\in H_{0}^{1}(\Omega ), \end{equation*}$$ es decir, la sucesión $(e_{k})$ satisface (a). La afirmación ($\ref{inf5}$) asegura que se cumple (b) y, como $e_{k}\in \Sigma$, asegura también que $\mathcal{B}:=\left\{e_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es ortonormal en $L^{2}(\Omega )$. La afirmación (c) se sigue entonces de ($\ref{inf3}$) y de la Proposición 17.16.

Para obtener (d) resta probar que la cerradura de $\lin(\mathcal{B})=\cup_{k=1}^{\infty }W_{k}$ en $L^{2}(\Omega )$ es $L^{2}(\Omega )$. Para ello basta demostrar que $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ está contenido en la cerradura de $\lin(\mathcal{B})$, ya que $L^{2}(\Omega )$ es la cerradura de $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ en $L^{2}(\Omega )$ (ver Teorema 14.44).

Sea $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )\smallsetminus \lin(\mathcal{B})$. Denotemos por $w_{k}$ a la proyección ortogonal de $\varphi$ sobre $W_{k}$ con respecto al producto escalar de $L^{2}(\Omega )$. Entonces $\left\langle \varphi -w_{k},w\right\rangle_{2}=0$ para todo $w\in W_{k}$. En consecuencia, $$\begin{equation*} \left\langle \varphi -w_{k},e_{i}\right\rangle =\lambda_{i}\left\langle \varphi -w_{k},e_{i}\right\rangle_{2}=0\qquad \forall i=1,\dots,k-1. \end{equation*}$$ Esto prueba que $\left\langle \varphi -w_{k},w\right\rangle =0$ para todo $w\in W_{k}$. Como $\varphi \neq w_{k}$ se tiene que $\frac{\varphi -w_{k}}{\left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert_{2}}\in \Sigma \cap H_{k}$ y la identidad ($\ref{inf1}$) implica que $$\begin{equation*} \lambda_{k}\leq I\left( \frac{\varphi -w_{k}}{\left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert_{2}}\right) . \end{equation*}$$ Observa además que $$\begin{align*} I(\varphi ) &{}= I(\varphi -w_{k}+w_{k})=\left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert ^{2}+2\left\langle \varphi -w_{k},w_{k}\right\rangle +\left\Vert w_{k}\right\Vert^{2} \\ &{}= \left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert^{2}+\left\Vert w_{k}\right\Vert ^{2}\geq \left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert^{2}=I(\varphi -w_{k}). \end{align*}$$ En consecuencia, $$\begin{equation*} \left\Vert \varphi -w_{k}\right\Vert_{2}^{2}\leq \lambda_{k}^{-1}I(\varphi -w_{k})\leq \lambda_{k}^{-1}I(\varphi ). \end{equation*}$$ Como $\lambda_{k}\rightarrow \infty$ concluimos que $w_{k}\rightarrow \varphi$ en $L^{2}(\Omega )$. Esto prueba que $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ está contenido en la cerradura de $\lin(\mathcal{B})$ en $L^{2}(\Omega )$.