Espacios métricos
Algunos conceptos fundamentales, como el paso al
límite o la continuidad de funciones en espacios euclidianos, se
definen exclusivamente en términos de la distancia. Otras
propiedades de los espacios euclidianos, como su estructura de espacio
vectorial, no intervienen en la definición de estos conceptos.
Empezaremos pues considerando conjuntos dotados de una
distancia, a los que se denomina espacios
métricos. El matemático francés Maurice
Fréchet introdujo esta noción, que juega un papel
fundamental en las matemáticas modernas.
Daremos en este capítulo ejemplos interesantes de espacios
métricos que aparecen de manera natural en muchas aplicaciones,
algunas de las cuales se verán más adelante.
Definición y ejemplos
Sea $X$ un conjunto. Una
métrica (o
distancia) en $X$ es una función
$d\colon X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ que tiene las siguientes tres
propiedades:
- (M1)
- $d(x,y)=0$ si y sólo si $x=y$.
- (M2)
- $d(x,y)=d(y,x)$ para cualesquiera $x,y\in X$.
- (M3)
- $d\left( x,z\right) \leq d(x,y)+d(y,z)$ para
cualesquiera $x,y,z\in X$. A esta desigualdad se le llama la
desigualdad del triángulo.
Un
espacio métrico es un
conjunto $X$ provisto de una métrica $d$. Lo denotaremos por
$(X,d)$, o simplemente por $X$ cuando no haga falta especificar
quién es su métrica.
Veamos que la distancia entre dos puntos nunca es negativa.
$d(x,y)\geq 0$ para cualesquiera $x,y\in X$.
De las propiedades (M1), (M3) y (M2) respectivamente se sigue que
\begin{equation*}
0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y).
\end{equation*}
En consecuencia, $d(x,y)\geq 0$ para todos $x,y\in X$.
Los siguientes dos ejemplos de espacios métricos son bien
conocidos.
El conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales con la
distancia usual
\begin{equation*}
d(x,y):=\left\vert x-y\right\vert =
\begin{cases}
x-y & \text{si $x\geq y$}, \\
y-x & \text{si $x\leq y$},
\end{cases}
\end{equation*}
es un espacio métrico.
El espacio euclidiano $\mathbb{R}^{n}$ con la distancia
usual
\begin{equation*}
d_{2}(x,y):=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}},
\end{equation*}
donde $x=(x_{1},\dots,x_{n})$, $y=(y_{1},\dots,y_{n})\in
\mathbb{R}^{n}$, es un espacio métrico.
La demostración de estas afirmaciones se propone como ejercicio
[Ejercicio 2.33].
Podemos darle a $\mathbb{R}^{n}$ otras métricas interesantes, por
ejemplo las siguientes dos.
La función
\begin{equation*}
d_{1}(x,y):=\left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert
x_{n}-y_{n}\right\vert ,
\end{equation*}
$x=(x_{1},\dots,x_{n})$, $y=(y_{1},\dots,y_{n})\in \mathbb{R}^{n}$, es
una métrica para el espacio euclidiano $\mathbb{R}^{n}$.
Las propiedades (M1) y (M2) son inmediatas y la propiedad (M3) se
sigue de la desigualdad del triángulo en $\mathbb{R}$ que afirma
que, para cada $i=1,\dots,n$,
\begin{equation*}
\left\vert x_{i}-z_{i}\right\vert \leq \left\vert x_{i}-y_{i}\right\vert
+\left\vert y_{i}-z_{i}\right\vert .
\end{equation*}
Sumando ambos lados de estas desigualdades para $i=1,\dots,n$
obtenemos
\begin{equation*}
d_{1}(x,z)\leq d_{1}(x,y)+d_{1}(y,z).
\end{equation*}
En consecuencia, $d_{1}$ es una métrica.
La función
\begin{equation*}
d_{\infty }(x,y):=\max \left\{ \left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert ,\ldots
,\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert \right\} ,
\end{equation*}
$x=(x_{1},\dots,x_{n})$, $y=(y_{1},\dots,y_{n})\in \mathbb{R}^{n}$, es
una métrica para el espacio euclidiano $\mathbb{R}^{n}$.
La demostración es sencilla y se propone como ejercicio
[Ejercicio 2.34].
Introduciremos ahora métricas análogas en espacios de
sucesiones $(x_{k})$ de números reales.
Sea $\ell_{\infty }$ el conjunto de todas las
sucesiones acotadas de números reales, es decir, de las
sucesiones $\overline{x}=(x_{k})$ para las cuales existe $c\in
\mathbb{R}$ (que depende de $\overline{x}$) tal que $\left\vert
x_{k}\right\vert \menorque c$ para todo $k\in \mathbb{N}$. Definimos
\begin{equation*}
d_{\infty }(\overline{x},\overline{y}):=\underset{k\geq 1}{\sup }\left\vert
x_{k}-y_{k}\right\vert ,\qquad \overline{x}=(x_{k}),\text{ }\overline{y}=(y_{k})\in \ell_{\infty }.
\end{equation*}
Entonces $d_{\infty }$ toma valores en $\mathbb{R}$ y es una
métrica en $\ell_{\infty }$.
Sean $\overline{x}=(x_{k})$, $\overline{y}=(y_{k})$ sucesiones
acotadas, y sean $c_{1},c_{2}\in \mathbb{R}$ tales que $\left\vert
x_{k}\right\vert \menorque c_{1}$ y $\left\vert y_{k}\right\vert \menorque c_{2}$
para todo $k\in \mathbb{N}$. De la desigualdad del triángulo
para números reales se sigue que
\begin{equation*}
\left\vert x_{k}-y_{k}\right\vert \leq \left\vert x_{k}\right\vert
+\left\vert y_{k}\right\vert \leq c_{1}+c_{2}\qquad \forall k\in
\mathbb{N},
\end{equation*}
es decir, la sucesión $(x_{k}-y_{k})$ está acotada y, por
tanto,
\begin{equation*}
d_{\infty }(\overline{x},\overline{y})=\underset{k\geq 1}{\sup }\left\vert
x_{k}-y_{k}\right\vert \in \mathbb{R}.
\end{equation*}
Es inmediato comprobar que $d_{\infty }$ satisface las propiedades
(M1) y (M2). Aplicando nuevamente desigualdad del triángulo para
números reales obtenemos que, si
$\overline{x},\overline{y},\overline{z}\in \ell_{\infty }$,
entonces
\begin{equation*}
\left\vert x_{k}-y_{k}\right\vert \leq \left\vert x_{k}-z_{k}\right\vert
+\left\vert z_{k}-y_{k}\right\vert \leq d_{\infty }(\overline{x},\overline{z})+d_{\infty }(\overline{z},\overline{y})\qquad \forall k\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
En consecuencia,
\begin{equation*}
d_{\infty }(\overline{x},\overline{y})\leq d_{\infty }(\overline{x},\overline{z})+d_{\infty }(\overline{z},\overline{y})\qquad \forall
\overline{x},\overline{y},\overline{z}\in \ell_{\infty },
\end{equation*}
es decir, $d_{\infty }$ satisface (M3).
En los siguientes ejemplos requeriremos la noción de convergencia
de una serie. Recordemos que una serie de números reales
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}
\end{equation*}
converge, si la sucesión $(s_{n})$ de sumas finitas
\begin{equation*}
s_{n}:=\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\end{equation*}
converge. En tal caso, se denota
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}:=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}.
\end{equation*}
Si $x_{k}\geq 0$ para todo $k\in \mathbb{N}$, entonces la sucesión
$(s_{n})$ es creciente. En ese caso, la serie converge si y sólo
si la sucesión $(s_{n})$ está acotada y, si eso ocurre, se
tiene que
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=\sup_{n\geq
1}s_{n}.
\end{equation*}
Sea $\ell_{1}$ el conjunto de las sucesiones $(x_{k})$
de números reales tales que la serie
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}\right\vert
\end{equation*}
converge, y sea
\begin{equation*}
d_{1}(\overline{x},\overline{y}):=\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert
x_{k}-y_{k}\right\vert ,\qquad \overline{x}=(x_{k}),\text{ }\overline{y}=(y_{k})\in \ell_{1}.
\end{equation*}
Entonces $d_{1}$ toma valores en $\mathbb{R}$ y es una métrica
en $\ell_{1}$.
De la desigualdad del triángulo para números reales,
\begin{equation*}
\left\vert x_{k}-y_{k}\right\vert \leq \left\vert x_{k}\right\vert
+\left\vert y_{k}\right\vert,
\end{equation*}
se sigue que
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}-y_{k}\right\vert &\leq
\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}\right\vert +\sum_{k=1}^{n}\left\vert
y_{k}\right\vert \\
&\leq \sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}\right\vert +\sum_{k=1}^{\infty
}\left\vert y_{k}\right\vert .
\end{align*}
Por consiguiente, si $(x_{k}),(y_{k})\in \ell_{1}$, la serie
$\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}-y_{k}\right\vert $ converge y
se cumple que
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}-y_{k}\right\vert \leq
\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}\right\vert +\sum_{k=1}^{\infty
}\left\vert y_{k}\right\vert . \label{l1}
\end{equation}
Es fácil comprobar que $d_{1}$ satisface (M1) y (M2). La
propiedad (M3) se sigue de la desigualdad (\ref{l1}) reemplazando
$x_{k}$ por $x_{k}-z_{k}$ y $y_{k}$ por $y_{k}-z_{k}$, es decir,
\begin{equation*}
d_{1}(\overline{x},\overline{y})=\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert
x_{k}-y_{k}\right\vert \leq \sum_{k=1}^{\infty }\left\vert
x_{k}-z_{k}\right\vert +\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert
z_{k}-y_{k}\right\vert =d_{1}(\overline{x},\overline{z})+d_{1}(\overline{z},\overline{y}),
\end{equation*}
para cualesquiera $\overline{x},\overline{y},\overline{z}\in \ell
_{1}$.
Espacios normados
Nota que todos los ejemplos anteriores, además de la estructura
geométrica dada por la distancia, poseen una estructura
algebraica: la de espacio vectorial. Las métricas más
interesantes en un espacio vectorial son las inducidas por una norma.
Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una
norma en $V$ es una función $\left\Vert
\cdot \right\Vert \colon V\rightarrow \mathbb{R}$ que tiene las
siguientes propiedades:
- (N1)
- $\left\Vert v\right\Vert =0$ si y sólo si $v=0$,
- (N2)
- $\left\Vert \lambda v\right\Vert =\left\vert \lambda
\right\vert \left\Vert v\right\Vert $ para cualesquiera $v\in
V$, $\lambda \in \mathbb{R}$,
- (N3)
- $\left\Vert v+w\right\Vert \leq \left\Vert v\right\Vert
+\left\Vert w\right\Vert $ para cualesquiera $v,w\in V$.
Un espacio normado es un espacio
vectorial $V$ provisto de una norma $\left\Vert \cdot \right\Vert
$. Lo denotaremos por $(V,\left\Vert \cdot \right\Vert )$, o
simplemente por $V$ cuando no haga falta especificar quién es su
norma.
Todo espacio normado $(V,\left\Vert \cdot \right\Vert
)$ es un espacio métrico con la métrica dada por
\begin{equation*}
d(v,w):=\left\Vert v-w\right\Vert .
\end{equation*}
Esta métrica se llama la métrica
inducida por la norma
$\left\Vert \cdot \right\Vert $.
La demostración es sencilla y se propone como ejercicio
[Ejercicio 2.37].
Todas las métricas consideradas en los ejemplos anteriores
están inducidas por una norma. Veamos otros ejemplos.
Dado $x\in \mathbb{R}^{n}$ definimos
\begin{equation}
\left.
\begin{aligned}
&\left\Vert x\right\Vert_{p}:=\biggl( \sum_{k=1}^{n}\left\vert
x_{k}\right\vert^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}}\qquad\text{si }p\in [1,\infty ), \\
&\left\Vert x\right\Vert_{\infty }:=\max_{1\leq k\leq n}\left\vert
x_{k}\right\vert .
\end{aligned}
\right. \label{normRn}
\end{equation}
Es sencillo comprobar que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ cumple
las propiedades (N1) y (N2). Para probar que cumple la propiedad
(N3) requerimos unas desigualdades que demostraremos a
continuación.
[Desigualdad de Young]
Sean $p,q\in (1,\infty )$ tales que
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Entonces, para cualquier par de
números reales $a,b\geq 0$ se cumple que
\begin{equation*}
ab\leq
\tfrac{1}{p}a^{p}+\tfrac{1}{q}b^{q}.
\end{equation*}
Si $a=0$ o $b=0$ la desigualdad es obvia, de modo que podemos
suponer que $ab>0$. La función exponencial es una función
convexa, es decir, para cualesquiera $x_{0},x_{1}\in \mathbb{R}$ y
$t\in [0,1]$ se cumple que
\begin{equation*}
(1-t)e^{x_{0}}+te^{x_{1}}\geq e^{\left[ (1-t)x_{0}+tx_{1}\right] }.
\end{equation*}
Tomando $x_{0}=\ln a^{p}$, $x_{1}=\ln b^{q}$ y $t=\frac{1}{q}$
obtenemos
\begin{equation*}
\tfrac{1}{p}a^{p}+\tfrac{1}{q}b^{q}\geq e^{(\frac{1}{p}\ln a^{p}+\frac{1}{q}\ln b^{q})}=ab.
\end{equation*}
Esta es la desigualdad deseada.
Aplicaremos la desigualdad de Young para
demostrar la desigualdad de Hölder.
[Desigualdad de Hölder en $\mathbb{R}^{n}$]
Sean $p,q\in (1,\infty )$ tales que\break
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Entonces, para cualesquiera
$x=(x_{1},\dots,x_{n})$, $y=(y_{1},\dots,y_{n})\in \mathbb{R}^{n}$ se
cumple que
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}y_{k}\right\vert \leq \biggl(
\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}\right\vert^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}}\biggl( \sum_{k=1}^{n}\left\vert y_{k}\right\vert^{q}\biggr)^{\frac{1}{q}},
\end{equation*}
es decir,
\begin{equation*}
\left\Vert xy\right\Vert_{1}\leq \left\Vert x\right\Vert_{p}\left\Vert
y\right\Vert_{q}
\end{equation*}
donde $xy:=(x_{1}y_{1},\dots,x_{n}y_{n})$.
La afirmación es trivial si $x=0$ o si $y=0$. Supongamos pues
que ambos son distintos de cero. Aplicando la desigualdad de Young a
\begin{equation*}
a_{k}:=\frac{\left\vert x_{k}\right\vert }{\left\Vert x\right\Vert_{p}}\qquad\text{y}\qquad b_{k}:=\frac{\left\vert y_{k}\right\vert }{\left\Vert
y\right\Vert_{q}}
\end{equation*}
obtenemos
\begin{equation*}
\frac{\left\vert x_{k}y_{k}\right\vert }{\left\Vert x\right\Vert
_{p}\left\Vert y\right\Vert_{q}}\leq \frac{\left\vert x_{k}\right\vert^{p}}{p\left\Vert x\right\Vert_{p}^{p}}+\frac{\left\vert y_{k}\right\vert^{q}}{q\left\Vert y\right\Vert_{q}^{q}}.
\end{equation*}
Sumando todas estas desigualdades para $k=1,\dots,n$, concluimos que
\begin{align*}
\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert_{p}\left\Vert y\right\Vert_{q}}\biggl(
\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}y_{k}\right\vert \biggr) &\leq \frac{1}{p\left\Vert x\right\Vert_{p}^{p}}\biggl( \sum_{k=1}^{n}\left\vert
x_{k}\right\vert^{p}\biggr) +\frac{1}{q\left\Vert y\right\Vert_{q}^{q}}\biggl( \sum_{k=1}^{n}\left\vert y_{k}\right\vert^{q}\biggr) \\
&=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.
\end{align*}
Multiplicando ambos lados de la desigualdad anterior por $\left\Vert
x\right\Vert_{p}\left\Vert y\right\Vert_{q}$ obtenemos la
desigualdad deseada.
Estamos listos para demostrar el siguiente resultado.
Para cada $p\in [1,\infty ]$, la función
$\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ definida en
(\ref{normRn}) es una norma en $\mathbb{R}^{n}$.
Es sencillo ver que
$\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ cumple las propiedades (N1) y
(N2). Demostremos la propiedad (N3), es decir, que para todo
$p\in [1,\infty ]$ se cumple que \begin{equation} \left\Vert
x+y\right\Vert_{p}\leq \left\Vert x\right\Vert_{p}+\left\Vert
y\right\Vert_{p}\qquad \forall x,y\in
\mathbb{R}^{n}. \label{minkRp} \end{equation} Para $p=\infty $
esta desigualdad es consequencia inmediata de la desigualdad del
triángulo para números reales [Ejercicio
2.34]. El caso
$p=1$ se probó en el Ejemplo
2.5.
Tomemos ahora $p\in (1,\infty )$. La afirmación es trivial si
$x=0$. Supongamos pues que $x\neq 0$ y apliquemos la desigualdad de
Hölder a $x$ y $((\left\vert x_{1}\right\vert +\left\vert
y_{1}\right\vert )^{p-1},\ldots ,(\left\vert x_{n}\right\vert
+\left\vert y_{n}\right\vert )^{p-1})$. Definiendo
$q:=\frac{p}{p-1}$ obtenemos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}\right\vert (\left\vert
x_{k}\right\vert +\left\vert y_{k}\right\vert )^{p-1}\leq \left\Vert
x\right\Vert_{p}\biggl( \sum_{k=1}^{n}(\left\vert x_{k}\right\vert
+\left\vert y_{k}\right\vert )^{p}\biggr)^{\frac{1}{q}},
\end{equation*}
Análogamente,
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}\left\vert y_{k}\right\vert (\left\vert
x_{k}\right\vert +\left\vert y_{k}\right\vert )^{p-1}\leq \left\Vert
y\right\Vert_{p}\biggl( \sum_{k=1}^{n}(\left\vert x_{k}\right\vert
+\left\vert y_{k}\right\vert )^{p}\biggr)^{\frac{1}{q}}.
\end{equation*}
Sumando las dos desigualdades anteriores obtenemos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}(\left\vert x_{k}\right\vert +\left\vert
y_{k}\right\vert )^{p}\leq \left( \left\Vert x\right\Vert_{p}+\left\Vert
y\right\Vert_{p}\right) \biggl( \sum_{k=1}^{n}(\left\vert
x_{k}\right\vert +\left\vert y_{k}\right\vert )^{p}\biggr)^{\frac{1}{q}}.
\end{equation*}
Dividiendo ambos lados de esta desigualdad entre
\begin{equation*}
\biggl( \sum_{k=1}^{n}(\left\vert x_{k}\right\vert +\left\vert
y_{k}\right\vert )^{p}\biggr)^{\frac{1}{q}}
\end{equation*}
y usando la desigualdad del triángulo para números reales
$\left\vert x_{k}+y_{k}\right\vert \leq \left\vert x_{k}\right\vert
+\left\vert y_{k}\right\vert $, concluimos que
\begin{equation*}
\left\Vert x+y\right\Vert_{p}=\biggl( \sum_{k=1}^{n}\left\vert
x_{k}+y_{k}\right\vert^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}}\leq \left(
\sum_{k=1}^{n}(\left\vert x_{k}\right\vert +\left\vert
y_{k}\right\vert )^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left\Vert x\right\Vert
_{p}+\left\Vert y\right\Vert_{p}.
\end{equation*}
Ésta es la desigualdad deseada.
Con el fin de distinguir cuál de todas estas normas estamos
considerando, usaremos la notación
\begin{equation}
\mathbb{R}_{p}^{n}:=(\mathbb{R}^{n},\left\Vert \cdot \right\Vert
_{p}),\qquad p\in [1,\infty ], \label{Rnp}
\end{equation}
para designar al espacio $\mathbb{R}^{n}$ con la norma $\left\Vert
\cdot \right\Vert_{p}$. Escribiremos simplemente $\mathbb{R}^{n}$
en vez de
$\mathbb{R}_{2}^{n}$ para designar a $\mathbb{R}^{n}$ con la norma
usual, a la que denotaremos simplemente por
\begin{equation}
\left\Vert x\right\Vert :=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}. \label{normausual}
\end{equation}
Nota que las métricas $d_{1},d_{2}$ y $d_{\infty }$ consideradas
en los Ejemplos 2.4 al 2.6 son las inducidas por las
normas $\left\Vert \cdot \right\Vert_{1}$, $\left\Vert \cdot
\right\Vert $ y $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\infty }$,
respectivamente.
Consideremos ahora espacios de sucesiones. Las sucesiones de
números reales se pueden sumar y multiplicar por escalares
término a término, es decir, si $\overline{x}=(x_{k})$ y
$\overline{y}=(y_{k})$ son sucesiones de números reales y $\lambda
\in \mathbb{R}$, se definen
\begin{equation*}
\overline{x}+\overline{y}:=(x_{k}+y_{k})\qquad \text{y}\qquad\lambda
\overline{x}:=(\lambda x_{k}).
\end{equation*}
Con estas operaciones el conjunto de todas las sucesiones de
números reales es un espacio vectorial. Para espacios de
sucesiones adecuados podemos definir normas análogas a las
definidas para $\mathbb{R}^{n}$.
- Si $p\in [1,\infty )$, el conjunto $\ell_{p}$
de todas las sucesiones
de números reales $(x_{k})$ tales que la serie
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}\right\vert^{p}
\end{equation*}
converge es un espacio vectorial y
\begin{equation}
\left\Vert (x_{k})\right\Vert_{p}:=\biggl( \sum_{k=1}^{\infty
}\left\vert x_{k}\right\vert^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}} \label{normlp}
\end{equation}
es una norma en $\ell_{p}$.
- El conjunto $\ell_{\infty }$ de todas las sucesiones
acotadas de números reales es un espacio vectorial y
\begin{equation}
\left\Vert (x_{k})\right\Vert_{\infty }:=\underset{k\geq 1}{\sup }\left\vert x_{k}\right\vert \label{normlinf}
\end{equation}
es una norma en $\ell_{\infty }$.
Es sencillo ver que $\lambda \overline{x}\in \ell_{p}$ para
cualesquiera $\overline{x}\in \ell_{p}$, $\lambda \in \mathbb{R}$,
y que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ cumple las propiedades
(N1) y (N2) [Ejercicio
2.41]. Probaremos a continuación
que $\overline{x}+\overline{y}\in \ell_{p}$ si
$\overline{x},\overline{y}\in \ell_{p}$ y que $\left\Vert \cdot
\right\Vert_{p}$ cumple la propiedad (N3).
(a): Si $p\in [1,\infty )$ y $(x_{k}),(y_{k})\in
\ell_{p}$, como la norma $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ en
$\mathbb{R}^{n}$ satisface la propiedad (N3), se tiene que
\begin{equation*}
\biggl( \sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}+y_{k}\right\vert^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}}\leq \biggl( \sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}\right\vert
^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}}+\biggl( \sum_{k=1}^{n}\left\vert
y_{k}\right\vert^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}}\leq \left\Vert
(x_{k})\right\Vert_{p}+\left\Vert (y_{k})\right\Vert_{p}
\end{equation*}
para todo $n\in \mathbb{N}$. En consecuencia, la serie
$\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}+y_{k}\right\vert^{p}$
converge y se cumple que
\begin{equation*}
\left\Vert (x_{k}+y_{k})\right\Vert_{p}=\biggl( \sum_{k=1}^{\infty
}\left\vert x_{k}+y_{k}\right\vert^{p}\biggr)^{\frac{1}{p}}\leq \left\Vert
(x_{k})\right\Vert_{p}+\left\Vert (y_{k})\right\Vert_{p}.
\end{equation*}
(b): El caso $p=\infty $ se probó en el Ejemplo
2.7 .
Si $p\in [1,\infty )$ la desigualdad (N3) en $\ell_{p} $se
llama la desigualdad de Minkowski para
series. Nota que las
métricas $d_{1}$ y $d_{\infty }$ consideradas en los Ejemplos
2.8 y 2.7
son las inducidas por las normas $\left\Vert
\cdot \right\Vert_{1}$ y $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\infty }$
que acabamos de definir.
No cualquier métrica en un espacio vectorial está inducida por
una norma. De hecho, a cualquier conjunto le podemos dar la
métrica siguiente.
Sea $X$ un conjunto arbitrario. La función
\begin{equation*}
d_{\disc}(x,y)=
\begin{cases}
0&\text{si $x=y$,} \\
1&\text{si $x\neq y,$}
\end{cases}
\end{equation*}
es una métrica en $X$, llamada la métrica
discreta. El
espacio $X_{\disc}:=(X,d_{\disc})$ se llama un espacio
discreto.
Es sencillo comprobar que en un espacio vectorial no trivial ninguna
norma induce la métrica discreta [Ejercicio 2.40].
Espacios de funciones
Denotemos por $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ al conjunto de
todas las funciones continuas $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$. La suma
de funciones y el producto de una función por un escalar,
definidos como
\begin{equation*}
(f+g)(x):=f(x)+g(x),\qquad (\lambda f)(x):=\lambda f(x),\qquad f,g\in \mathcal{C}^{0}[a,b],\text{ }\lambda \in \mathbb{R},
\end{equation*}
le dan a $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ la estructura de espacio vectorial.
Dada $f\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$
definimos
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\left\Vert f\right\Vert_{p}:=\biggl(\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert
^{p}dx\biggr)^{\frac{1}{p}}\qquad\text{si }p\in [1,\infty ), \\
&\left\Vert f\right\Vert_{\infty }:=\max \left\{\left\vert f(x)\right\vert :a\leq
x\leq b\right\}.
\end{aligned}\label{normfunc}
\end{equation}
Demostraremos a continuación que éstas son normas en
$\mathcal{C}^{0}[a,b]$. Empecemos observando lo siguiente.
Sean $f\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$ y $p\in [1,\infty ]$. Entonces, $\left\Vert f\right\Vert_{p}=0$ si y
sólo si $f=0$.
Para $p=\infty $ esta afirmación es consecuencia inmediata de la
definición (\ref{normfunc}). Si $p\in [1,\infty )$, como
$\left\vert f(x)\right\vert^{p}$ es una función continua y no
negativa, se tiene que
\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert_{p}^{p}=\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert
^{p}dx=0\quad \Longleftrightarrow \quad \left\vert f(x)\right\vert^{p}=0\text{ }\forall x\in [a,b].
\end{equation*}
En consecuencia, $\left\Vert f\right\Vert_{p}=0$ si y sólo si
$f=0$.
Probaremos ahora la desigualdad de Hölder para integrales. Su
demostración es análoga a la correspondiente para
$\mathbb{R}^{n}$.
[Desigualdad de Hölder para integrales]
Sean $p,q\in
(1,\infty )$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Entonces, para
cualquier par de funciones continuas $f,g\colon [a,b]\rightarrow
\mathbb{R}$ se cumple que
\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left\vert f(x)g(x)\right\vert dx\leq \biggl(
\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert^{p}dx\biggr)^{\frac{1}{p}}\biggl(
\int_{a}^{b}\left\vert g(x)\right\vert^{q}dx\biggr)^{\frac{1}{q}},
\end{equation*}
es decir,
\begin{equation*}
\left\Vert fg\right\Vert_{1}\leq \left\Vert f\right\Vert_{p}\left\Vert
g\right\Vert_{q}.
\end{equation*}
La afirmación es trivial si $f=0$ o si $g=0$. Supongamos pues
que ambas funciones son distintas de cero. Para cada $x\in [a,b]$, definimos
\begin{equation*}
a_{x}:=\frac{\left\vert f(x)\right\vert }{\left\Vert f\right\Vert_{p}}\qquad\text{y}\qquad b_{x}:=\frac{\left\vert g(x)\right\vert }{\left\Vert
g\right\Vert_{q}}.
\end{equation*}
Aplicando la desigualdad de Young (Lema
2.11) a estos
números obtenemos
\begin{equation*}
\frac{\left\vert f(x)g(x)\right\vert }{\left\Vert f\right\Vert
_{p}\left\Vert g\right\Vert_{q}}\leq \frac{\left\vert f(x)\right\vert^{p}}{p\left\Vert f\right\Vert_{p}^{p}}+\frac{\left\vert g(x)\right\vert^{q}}{q\left\Vert g\right\Vert_{q}^{q}},
\end{equation*}
e integrando ambos lados de esta desigualdad concluimos que
\begin{equation*}
\frac{\int_{a}^{b}\left\vert f(x)g(x)\right\vert dx}{\left\Vert f\right\Vert
_{p}\left\Vert g\right\Vert_{q}}\leq \frac{\int_{a}^{b}\left\vert
f(x)\right\vert^{p}dx}{p\left\Vert f\right\Vert_{p}^{p}}+\frac{\int_{a}^{b}\left\vert g(x)\right\vert^{q}dx}{q\left\Vert g\right\Vert
_{q}^{q}}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\text{.}
\end{equation*}
Multiplicando ambos lados de esta desigualdad por $\left\Vert
f\right\Vert_{p}\left\Vert g\right\Vert_{q}$ obtenemos la
desigualdad deseada.
Es fácil ver que también vale la desigualdad de Hölder
\begin{equation*}
\left\Vert fg\right\Vert_{1}\leq \left\Vert f\right\Vert_{1}\left\Vert
g\right\Vert_{\infty }
\end{equation*}
[Ejercicio 2.47]. A partir de la desigualdad de Hölder se
obtiene la desigualdad de Minkowski.
[Desigualdad de Minkowski para integrales]
Sea $p\in [1,\infty ]$. Entonces,
\begin{equation*}
\left\Vert f+g\right\Vert_{p}\leq \left\Vert f\right\Vert_{p}+\left\Vert
g\right\Vert_{p}\qquad \forall f,g\in \mathcal{C}^{0}[a,b].
\end{equation*}
Los casos $p=1,\infty $ se proponen como ejercicio [Ejercicio
2.46].
Sea $p\in (1,\infty )$. Si $f=0$ la afirmación es
evidente. Supongamos pues que $f\neq 0$. Sea
$h(x)=(\left\vert f(x)\right\vert +\left\vert g(x)\right\vert
)^{p-1}$.
Aplicando la desigualdad de Hölder para integrales
(Proposición 2.18) a las funciones $f,h$, y $g,h$
respectivamente, obtenemos
\begin{align*}
\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert (\left\vert f(x)\right\vert
+\left\vert g(x)\right\vert )^{p-1}dx &\leq \left\Vert f\right\Vert
_{p}\biggl( \int_{a}^{b}(\left\vert f(x)\right\vert +\left\vert
g(x)\right\vert )^{p}\biggr)^{\frac{1}{q}}, \\
\int_{a}^{b}\left\vert g(x)\right\vert (\left\vert f(x)\right\vert
+\left\vert g(x)\right\vert )^{p-1}dx &\leq \left\Vert g\right\Vert
_{p}\biggl( \int_{a}^{b}(\left\vert f(x)\right\vert +\left\vert
g(x)\right\vert )^{p}\biggr)^{\frac{1}{q}},
\end{align*}
y sumando estas desigualdades concluimos que
\begin{equation*}
\int_{a}^{b}(\left\vert f(x)\right\vert +\left\vert g(x)\right\vert
)^{p}dx\leq \left( \left\Vert f\right\Vert_{p}+\left\Vert g\right\Vert
_{p}\right) \biggl( \int_{a}^{b}(\left\vert f(x)\right\vert +\left\vert
g(x)\right\vert )^{p}\biggr)^{\frac{1}{q}}.
\end{equation*}
Dividiendo ambos lados de esta desigualdad entre
\begin{equation*}
\biggl( \int_{a}^{b}(\left\vert f(x)\right\vert +\left\vert g(x)\right\vert
)^{p}\biggr)^{\frac{1}{q}}
\end{equation*}
y usando la desigualdad del triángulo para números reales
$\left\vert f(x)+g(x)\right\vert \leq \left\vert f(x)\right\vert
+\left\vert g(x)\right\vert $ y la monotonía de la integral
obtenemos
\begin{align*}
\left\Vert f+g\right\Vert_{p}&=\biggl( \int_{a}^{b}\left\vert
f(x)+g(x)\right\vert^{p}dx\biggr)^{\frac{1}{p}}\\
&\leq \biggl(
\int_{a}^{b}\left( \left\vert f(x)\right\vert +\left\vert g(x)\right\vert
\right)^{p}dx\biggr)^{\frac{1}{p}}\leq \left\Vert f\right\Vert
_{p}+\left\Vert g\right\Vert_{p},
\end{align*}
como afirma el enunciado.
Ahora podemos concluir lo siguiente.
Para cada $p\in [1,\infty ]$ la función $\left\Vert \cdot
\right\Vert_{p}$ definida en (\ref{normfunc}) es una norma
en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$.
Las propiedades (N1) y (N3) se probaron en el Lema
2.17 y la
Proposición
2.19 respectivamente. La propiedad (N2) es
consecuencia inmediata de la linealidad de la integral.
Con el fin de distinguir cuál de todas estas normas estamos
considerando, usaremos la
notación
\begin{equation*}
\mathcal{C}_{p}^{0}[a,b]:=(\mathcal{C}^{0}[a,b],\left\Vert \cdot \right\Vert
_{p}),\qquad p\in [1,\infty ],
\end{equation*}
para designar al espacio de las funciones continuas
$f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ con la norma $\left\Vert \cdot
\right\Vert_{p}$. Como veremos más adelante, la norma más
adecuada en el espacio de funciones continuas $\mathcal{C}^{0}[a,b]$
es la norma $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\infty }$. Por ello,
escribiremos
simplemente
\begin{equation*}
\mathcal{C}^{0}[a,b]:=(\mathcal{C}^{0}[a,b],\left\Vert \cdot \right\Vert
_{\infty }).
\end{equation*}
Observa que la distancia $\left\Vert f-g\right\Vert_{\infty }$ entre
dos funciones continuas$ f$ y $g$ es pequeña si sus gráficas
están cerca la una de la otra, mientras que la distancia
$\left\Vert f-g\right\Vert_{1}$ es pequeña si el área de la
región delimitada por sus gráficas es pequeña. Así,
dos funciones continuas pueden estar muy cerca según la norma
$\left\Vert \cdot \right\Vert_{1}$ y a distancia arbitrariamente
grande según la norma $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\infty }$,
como lo muestra el siguiente ejemplo.
Sean $R>0$ y $f_{k}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$
la función dada por
\begin{equation*}
f_{k}(x)=
\begin{cases}
R(1-kx) &
\text{si $0\leq x\leq \frac{1}{k}$,} \\
0 & \text{si $\frac{1}{k}\leq x\leq 1.$}
\end{cases}
\end{equation*}
Entonces $\left\Vert f_{k}\right\Vert_{\infty }=R$ para toda $k\in
\mathbb{N}$, mientras que $\left\Vert f_{k}\right\Vert
_{1}=\frac{R}{2k}$.
Es decir, según la norma $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\infty
}$ todas las funciones $f_{k}$ distan exactamente $R$ de la
función constante igual a $0$, mientras que, según la norma
$\left\Vert \cdot \right\Vert_{1}$, dichas funciones se acercan
cada vez más a la función $0$ conforme $k$ crece.
Las normas definidas en esta sección satisfacen las siguientes
relaciones.
Para toda $f\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$ se cumple que
\begin{align*}
\left\Vert f\right\Vert_{s}& \leq (b-a)^{\frac{r-s}{rs}}\left\Vert
f\right\Vert_{r}\qquad \forall 1\leq s\menorque r\menorque\infty , \\
\left\Vert f\right\Vert_{s} & \leq (b-a)^{\frac{1}{s}}\left\Vert
f\right\Vert_{\infty }\qquad \forall 1\leq s\menorque\infty .
\end{align*}
Si $1\leq s\menorque r\menorque\infty $, aplicando la desigualdad de Hölder
(Proposición
2.18) con $p=\frac{r}{r-s}$ y
$q=\frac{r}{s}$ a la función constante con valor $1$ y a la
función $\left\vert f\right\vert^{s}$ obtenemos que
\begin{align*}
\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert^{s}dx &\leq \biggl(
\int_{a}^{b}dx\biggr)^{\frac{r-s}{r}}\biggl( \int_{a}^{b}\left\vert
f(x)\right\vert^{r}dx\biggr)^{\frac{s}{r}} \\
&=(b-a)^{\frac{r-s}{r}}\biggl( \int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert
^{r}dx\biggr)^{\frac{s}{r}}.
\end{align*}
Por otra parte, de la monotonía y la linealidad de la integral
se sigue que
\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert^{s}dx\leq \int_{a}^{b}\left\Vert
f\right\Vert_{\infty }^{s}dx=(b-a)\left\Vert f\right\Vert_{\infty }^{s}.
\end{equation*}
Elevando a la potencia $\frac{1}{s}$ cada una de las desigualdades
anteriores obtenemos las desigualdades deseadas.
El espacio de funciones acotadas
El siguiente espacio juega un papel importante en
muchas aplicaciones, algunas de las cuales se estudiarán más
adelante.
Sean $S$ un conjunto no vacío y $X=(X,d)$ un espacio métrico.
Una función $f\colon S\rightarrow X$ es
acotada si existen $c\in
\mathbb{R}$ y $x_{0}\in X$ tales que
\begin{equation*}
d(f(z),x_{0})\leq c\qquad \forall z\in S.
\end{equation*}
Denotamos por
\begin{equation*}
\mathcal{B}(S,X):=\left\{f\colon S\rightarrow X:f\text{ es acotada}\right\}
\end{equation*}
y definimos
\begin{equation*}
d_{\infty }(f,g):=\sup_{z\in S}d(f(z),g(z)).
\end{equation*}
$d_{\infty }$ es una métrica en $\mathcal{B}(S,X)$. Esta
métrica se llama la métrica
uniforme.
Veamos primero que, si $f,g\in \mathcal{B}(S,X)$, entonces
$d_{\infty }(f,g)\in \mathbb{R}$. Sean $x_{0},x_{1}\in X$ y
$c_{0},c_{1}\in \mathbb{R}$ tales que
\begin{equation*}
d(f(z),x_{0})\leq c_{0}\qquad\text{y}\qquad d(g(z),x_{1})\leq c_{1}\qquad \forall z\in S.
\end{equation*}
Como $d$ satisface (M3) se tiene que para toda $z\in S$
\begin{equation*}
d(f(z),g(z))\leq d(f(z),x_{0})+d(x_{0},x_{1})+d(x_{1},g(z))\leq
c_{0}+d(x_{0},x_{1})+c_{1}.\quad \forall z\in S.
\end{equation*}
En consecuencia, $d_{\infty }(f,g)\in \mathbb{R}$. Probemos ahora
que $d_{\infty }$ es una métrica para $\mathcal{B}(S,X)$. Como
$d$ satisface (M1) se tiene que
\begin{eqnarray*}
d_{\infty }(f,g)=0 &\Leftrightarrow &d(f(z),g(z))=0\quad \forall z\in
S \\
&\Leftrightarrow &f(z)=g(z)\quad \forall z\in S,
\end{eqnarray*}
es decir, $d_{\infty }$ satisface (M1). La propiedad (M2) para
$d_{\infty }$ se sigue inmediatamente de la misma propiedad para
$d$. Sean $f,g,h\in \mathcal{B}(S,X)$. La propiedad (M3) de $d$
implica que
\begin{equation*}
d(f(z),g(z))\leq d(f(z),h(z))+d(h(z),g(z))\leq d_{\infty }(f,h)+d_{\infty
}(h,g)\qquad \forall z\in S.
\end{equation*}
En consecuencia,
\begin{equation*}
d_{\infty }(f,g)\leq d_{\infty }(f,h)+d_{\infty }(h,g),
\end{equation*}
es decir, $d_{\infty }$ satisface (M3).
Si $V$ es un espacio vectorial, entonces el conjunto de todas las
funciones de $S$ a $V$ es un espacio vectorial con las operaciones
dadas por
\begin{equation*}
(f+g)(z):=f(z)+g(z),\qquad (\lambda f)(z):=\lambda f(z).
\end{equation*}
Si $V$ es un espacio normado con norma $\left\Vert \cdot \right\Vert $
entonces $\mathcal{B}(S,V)$ es un espacio vectorial y
\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert_{\infty }:=\sup_{z\in S}\left\Vert f(z)\right\Vert
\end{equation*}
es una norma en $\mathcal{B}(S,V)$. La demostración de estas
afirmaciones es un ejercicio sencillo
[Ejercicio 2.52].
Esta norma se llama la norma
uniforme.
Subespacios métricos e isometrías
Los subconjuntos de un espacio métrico heredan su métrica.
Si $X=(X,d)$ es un espacio métrico y $A$ es un subconjunto de
$X$ definimos
\begin{equation*}
d_{A}(x,y):=d(x,y)\qquad \forall x,y\in A.
\end{equation*}
Esta es claramente una métrica en $A$, que se llama la
métrica inducida por $d$. Al conjunto $A$ con esta
métrica se le llama un subespacio métrico
de $X$.
Nota que toda función continua $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{n}$
es acotada. En particular, $\mathcal{C}^{0}[a,b]\subset
\mathcal{B}([a,b],\mathbb{R})$. La norma definida en (\ref{normfunc})
coincide con la norma inducida en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ por la norma
uniforme de $\mathcal{B}([a,b],\mathbb{R})$.
Veamos otros ejemplos.
Si $X$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$ y
$p,q\in X$, el conjunto $\mathcal{T}_{p,q}(X)$ de todas las
trayectorias de $p$ a $q$ en $X$, definido en el
Capítulo 1 , es un subconjunto de
$\mathcal{B}([0,1],\mathbb{R}^{n})$. Así que $\mathcal{T}_{p,q}(X)$
resulta ser un espacio métrico con la métrica inducida por la
métrica uniforme de $\mathcal{B}([0,1],\mathbb{R}^{n})$.
A un subconjunto de un espacio métrico se le pueden dar otras
métricas, distintas de la inducida. Una métrica muy natural
sobre la esfera es la siguiente.
Sean $ \mathbb{S}^{n-1}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert
x\right\Vert =1\right\}$ la esfera unitaria en $\mathbb{R}^{n}$ y $\
x,y\in \mathbb{S}^{n-1}$. Consideremos el conjunto
$\mathcal{T}_{x,y}(\mathbb{S}^{n-1})$ de todas las trayectorias de
$x$ a $y$ en $\mathbb{S}^{n-1}$. Definimos
\begin{equation*}
d(x,y):=\inf \left\{\mathfrak{L}(\sigma ):\sigma \in \mathcal{T}_{x,y}(\mathbb{S}^{n-1})\right\},
\end{equation*}
donde $\mathfrak{L}(\sigma )$ es la longitud de la trayectoria
$\sigma $ definida en
(1.1). Ésta es una
métrica en $\mathbb{S}^{n-1}$, distinta de la métrica
inducida por la métrica usual de $\mathbb{R}^{n}$.
La demostración de estas afirmaciones se propone como ejercicio
[Ejercicio 2.57].
Sean $X=(X,d_{X})$ y $Y=(Y,d_{Y})$ dos espacios métricos. Una
función $\phi \colon X\rightarrow Y$ es una isometría
si
\begin{equation*}
d_{Y}(\phi (x_{1}),\phi (x_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2})\qquad \forall x_{1},x_{2}\in X.
\end{equation*}
Por ejemplo, si a un subconjunto $A$ de un espacio métrico de $X$
le damos la métrica inducida, entonces la inclusión $\iota\colon
A\hookrightarrow X$ es una isometría. Por otra parte, observemos
que toda isometría es inyectiva. En efecto, si $\phi (x_{1})=\phi
(x_{2})$ entonces $d_{X}(x_{1},x_{2})=d_{Y}(\phi (x_{1}),\phi
(x_{2}))=0$ y, en consecuencia, $x_{1}=x_{2}$.
Desde el punto de vista geométrico dos espacios métricos se
consideran iguales si existe una biyección entre ellos que es una
isometría. Así pues, una isometría $\phi\colon X\rightarrow
Y$ nos permite identificar a $X$ con el subespacio métrico $\phi
(X):=\left\{\phi (x):x\in X\right\}$ de $Y$. Veamos algunos ejemplos.
Para cada $p\in [1,\infty ]$, la función
\begin{equation*}
\iota\colon\mathbb{R}_{p}^{n}\rightarrow \ell_{p},\qquad \iota
(x_{1},\dots,x_{n})=(x_{1},\dots,x_{n},0,0,\dots),
\end{equation*}
es una isometría. Es decir, podemos identificar a
$\mathbb{R}_{p}^{n}$ con el subespacio de $\ell_{p}$ que consiste
de las sucesiones $(x_{k})$ tales que $x_{k}=0$ para $k>n$.
La identidad
\begin{equation*}
\id\colon\mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}_{1}^{0}[0,1],\qquad
\id(f)=f,
\end{equation*}
no es una isometría. En efecto, la función $f_{k}$ del
Ejemplo difnorm1inf satisface
\begin{equation*}
\frac{R}{2k}=\left\Vert f_{k}\right\Vert_{1}\neq \left\Vert
f_{k}\right\Vert_{\infty }=R,
\end{equation*}
es decir, la distancia de $f_{k}$ a la función constante $0$
según la métrica inducida por la norma $\left\Vert \cdot
\right\Vert_{1}$ es $\frac{R}{2k}$, mientras que su distancia
según la métrica inducida por $\left\Vert \cdot \right\Vert
_{\infty }$ es $R$.
Ejercicios
Sea $X=(X,d)$ un espacio métrico. Prueba que,
para cualesquiera $w,x,y,z\in X$, se cumple que
\begin{equation*}
\left\vert d(w,x)-d(y,z)\right\vert \leq d(w,y)+d(x,z).
\end{equation*}
Demuestra las siguientes afirmaciones.
- La distancia usual en $\mathbb{R}$, definida en el
Ejemplo 2.3, es una métrica.
- La distancia usual en $\mathbb{R}^{n}$, definida en el
Ejemplo 2.4, es una métrica.
Prueba que $\left\Vert x\right\Vert_{\infty }:=\max
\left\{ \left\vert x_{1}\right\vert ,\dots,\left\vert x_{n}\right\vert
\right\} $ donde $x=(x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}$, es una
norma en $\mathbb{R}^{n}$.
¿Es la función $\mu \colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow
\mathbb{R}$, dada por $\mu (x)=\min \left\{ \left\vert
x_{1}\right\vert ,\dots,\left\vert x_{n}\right\vert \right\} $,
una norma en $\mathbb{R}^{n}$? Justifica tu afirmación.
Muestra que la desigualdad (\ref{minkRp}) en $\mathbb{R}^{n}$
no se cumple si $p=\frac{1}{2}$.
Sea $(V,\left\Vert \cdot \right\Vert )$ un espacio
normado. Prueba que la función $d(v,w):=\left\Vert
v-w\right\Vert $ es una métrica en $V$.
Describe los conjuntos $\bar{B}_{p}(0,1):=\left\{x\in
\mathbb{R}^{2}:\left\Vert x\right\Vert_{p}\leq 1\right\}$ para
$p=1,2,\infty $. Haz un dibujo de cada uno de ellos.
Describe los conjuntos
\begin{gather*}
\bar{B}_{\disc}(0,1):=\left\{x\in \mathbb{R}^{2}:d_{\disc}(x,0)\leq 1\right\}, \\
B_{\disc}(0,1):=\left\{x\in \mathbb{R}^{2}:d_{\disc}(x,0) \menorque 1\right\},
\end{gather*}
donde $d_{\disc}$ es la métrica discreta en $\mathbb{R}^{2}$.
Sea $V$ un espacio vectorial distinto de $\left\{0\right\}$.
Prueba que no existe ninguna norma en $V$ que induzca la métrica
discreta, es decir, no existe ninguna norma en $V$ tal que
\begin{equation*}
\left\Vert v-w\right\Vert =
\begin{cases}
0&\text{si $v=w$,} \\
1&\text{si $v\neq w$.}
\end{cases}
\end{equation*}
Prueba que, para cada $p\in [1,\infty ]$, la
función $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ definida en
(\ref{normlp}) y
(\ref{normlinf}) satisface
- (N1)
- $\left\Vert x\right\Vert_{p}=0$ si y sólo si
$x=0$ en $\ell_{p}$.
- (N2)
- Si $(x_{k})\in \ell_{p}$ y $\lambda \in
\mathbb{R}$, entonces $(\lambda x_{k})\in \ell_{p}$ y $\left\Vert
(\lambda x_{k})\right\Vert_{p}=\left\vert \lambda \right\vert
\left\Vert (x_{k})\right\Vert_{p}$.
Prueba que, para toda $x\in \mathbb{R}^{n}$,
- $\left\Vert x\right\Vert_{r}\leq \left\Vert x\right\Vert_{s}\qquad
\text{si $1\leq s\leq r\leq \infty$,}$
- $\left\Vert x\right\Vert_{s}\leq n^{\frac{r-s}{sr}}\left\Vert
x\right\Vert_{r}\qquad \text{si $1\leq s\leq r\menorque\infty$,}$
- $\left\Vert x\right\Vert_{s}\leq n^{\frac{1}{s}}\left\Vert
x\right\Vert_{\infty }\qquad \text{si $1\leq s\menorque\infty$.}$
(Sugerencia: Para probar la segunda desigualdad aplica la
desigualdad de Hölder a los vectores $(1,\dots,1)$
y
$(\left\vert x_{1}\right\vert^{s},\dots,\left\vert x_{n}\right\vert
^{s})$
con $p=\frac{r}{r-s}$
y
$q=\frac{r}{s}$
).
[Desigualdad de Hölder para series]
Prueba
que, si $p,q\in (1,\infty )$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$,
$(x_{k})\in \ell_{p}$ y $(y_{k})\in \ell_{q}$, entonces
$(x_{k}y_{k})\in \ell_{1}$ y
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}y_{k}\right\vert \leq \left(
\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}\right\vert^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\biggl( \sum_{k=1}^{\infty }\left\vert y_{k}\right\vert
^{q}\biggr)^{\frac{1}{q}}.
\end{equation*}
es decir,
\begin{equation*}
\left\Vert (x_{k}y_{k})\right\Vert_{1}\leq \left\Vert (x_{k})\right\Vert
_{p}\left\Vert (y_{k})\right\Vert_{q}.
\end{equation*}
Demuestra las siguientes afirmaciones.
- Si $1\leq s\menorque r\leq \infty $, entonces
\begin{equation*}
\ell_{s}\subset \ell_{r},\qquad \ell_{s}\neq \ell_{r}\qquad \text{y}\qquad \left\Vert (x_{k})\right\Vert_{r}\leq \left\Vert (x_{k})\right\Vert
_{s}\quad \forall (x_{k})\in \ell_{s}.
\end{equation*}
- Si $(x_{k})\in \ell_{p}$ para alguna $1\leq p\menorque\infty $,
entonces
\begin{equation*}
\left\Vert (x_{k})\right\Vert_{\infty }=\underset{r\rightarrow \infty }{\lim }\left\Vert (x_{k})\right\Vert_{r}.
\end{equation*}
Sea $S$ el conjunto de todas las sucesiones de números
reales. Para $\overline{x}=(x_{i})$, $\overline{y}=(y_{i})\in S$
definimos
\begin{equation*}
d(\overline{x},\overline{y}):=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{\left\vert
x_{i}-y_{i}\right\vert }{2^{i}(1+\left\vert x_{i}-y_{i}\right\vert )}.
\end{equation*}
- Prueba que ésta es una métrica en $S$.
- Sean $\overline{x}^{k}=(x_{i}^{k})$,
$\overline{x}=(x_{i})\in S$. Prueba que
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow \infty }d(\overline{x}^{k},\overline{x})=0\quad
\Longleftrightarrow \quad \lim_{k\rightarrow \infty }x_{i}^{k}=x_{i}\quad
\forall i\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
Prueba que cualquier par de funciones continuas
$f,g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ satisface las siguientes
desigualdades:
\begin{align*}
\int_{a}^{b}\left\vert f(x)+g(x)\right\vert dx &\leq \int_{a}^{b}\left\vert
f(x)\right\vert dx+\int_{a}^{b}\left\vert g(x)\right\vert dx, \\
\max_{x\in [a,b]}\left\vert f(x)+g(x)\right\vert &\leq \max_{x\in
[a,b]}\left\vert f(x)\right\vert +\max_{x\in [a,b]}\left\vert
g(x)\right\vert .
\end{align*}
Prueba que las desigualdades de Hölder para
sumas, para series y para integrales siguen siendo válidas si
$p=1$ y $q=\infty $, es decir:
- Si $(x_{1},\dots,x_{n})$, $(y_{1},\dots,y_{n})\in
\mathbb{R}^{n}$ entonces
\begin{equation*}
\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\left\vert x_{k}y_{k}\right\vert \leq
\left( \overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\left\vert x_{k}\right\vert
\right) \left( \underset{1\leq k\leq n}{\max }\left\vert y_{k}\right\vert
\right) .
\end{equation*}
- Si $(x_{k})\in \ell_{1}$, $(y_{k})\in \ell_{\infty }$
entonces $(x_{k}y_{k})\in \ell_{1}$ y
\begin{equation*}
\overset{\infty }{\underset{k=1}{\sum }}\left\vert x_{k}y_{k}\right\vert
\leq \left( \overset{\infty }{\underset{k=1}{\sum }}\left\vert
x_{k}\right\vert \right) \left( \underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }\left\vert
y_{k}\right\vert \right) .
\end{equation*}
- Si $f,g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ son funciones
continuas, entonces
\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left\vert f(x)g(x)\right\vert dx\leq \biggl(
\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert dx\biggr) \left( \underset{a\leq
x\leq b}{\max }\left\vert g(x)\right\vert \right) .
\end{equation*}
Da un ejemplo de una sucesión de funciones continuas
$f_{k}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $\left\Vert
f_{k}\right\Vert_{1}=1$ para toda $k\in \mathbb{N}$, y
$\left\Vert f_{k}\right\Vert_{\infty }\rightarrow \infty $.
Concluye que no existe ninguna constante $c\in \mathbb{R}$ tal que
\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert_{\infty }\leq c\left\Vert f\right\Vert_{1}\qquad \forall f\in \mathcal{C}^{0}[0,1].
\end{equation*}
¿Es posible construir una sucesión de funciones
continuas $g_{k}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $\left\Vert
g_{k}\right\Vert_{\infty }=1$ para toda $k\in \mathbb{N}$, y
$\left\Vert g_{k}\right\Vert_{1}\rightarrow \infty $? Justifica tu
respuesta.
Sea $f_{k}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$, la función
\begin{equation*}
f_{k}(x)=
\begin{cases}
1-kx & \text{si $0\leq x\leq \frac{1}{k}$,} \\
0 & \text{si $\frac{1}{k}\leq x\leq 1$.}
\end{cases}
\end{equation*}
Para cada $p\in [1,\infty )$ y $k\in \mathbb{N}$ calcula
\begin{equation*}
\left\Vert f_{k}\right\Vert_{p}:=\biggl( \int_{0}^{1}\left\vert
f_k(t)\right\vert^{p}dt\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
Demuestra si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
- Si $p,r\in [1,\infty ]$ y $p\menorque r$, entonces existe
una constante $c>0$ tal que
\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert_{p}\leq c\left\Vert f\right\Vert_{r}\qquad \forall f\in \mathcal{C}^{0}[0,1].
\end{equation*}
- Si $p,r\in [1,\infty ]$ y $p>r$, entonces existe
una constante $c>0$ tal que
\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert_{p}\leq c\left\Vert f\right\Vert_{r}\qquad \forall f\in \mathcal{C}^{0}[0,1].
\end{equation*}
Sea $\mathcal{C}^{r}[a,b]$ el conjunto de las funciones
$f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ que son $r$-veces continuamente
diferenciables en $[a,b]$, es decir, tales que todas sus derivadas
$f^{\prime },f^{\prime \prime },\dots,f^{(r)}$ hasta la de orden $r$
existen en $(a,b)$ y son continuas en $[a,b]$. Para cada $p\in
[1,\infty ]$ definimos
\begin{equation*}
\bigl\Vert f\bigr\Vert_{r,p}:=\bigl\Vert f\bigr\Vert_{p}+\bigl\Vert
f^{\prime }\bigr\Vert_{p}+\cdots +\bigl\Vert f^{(r)}\bigr\Vert_{p}.
\end{equation*}
Prueba que
$\mathcal{C}_{p}^{r}[a,b]=(\mathcal{C}^{r}[a,b],\left\Vert \cdot
\right\Vert_{r,p})$ es un espacio normado.
Sean $S$ un conjunto y $V=(V,\left\Vert \cdot
\right\Vert ) $ un espacio normado. Prueba que $\mathcal{B}(S,V)$ es
un espacio vectorial con las operaciones dadas por
\begin{equation*}
(f+g)(z):=f(z)+g(z),\qquad (\lambda f)(z):=\lambda f(z),
\end{equation*}
$z\in S$, $f,g\in \mathcal{B}(S,V)$, $\lambda \in \mathbb{R}$, y que
\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert_{\infty }:=\sup_{z\in S}\left\Vert f(z)\right\Vert
\end{equation*}
es una norma en $\mathcal{B}(S,V)$.
Sean $X=(X,d_{X})$ y $Y=(Y,d_{Y})$ espacios
métricos. Considera el producto cartesiano
\begin{equation*}
X\times Y:=\left\{(x,y):x\in X,\text{ }y\in Y\right\}.
\end{equation*}
Dados $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in X\times Y$, definimos
\begin{align*}
&d_{p}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})):=\left(
d_{X}(x_{1},x_{2})^{p}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{p}\right)^{1/p}\qquad\text{si }p\in [1,\infty ), \\
&d_{\infty }((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})):=\max \left\{
d_{X}(x_{1},x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\right\} .
\end{align*}
- Prueba que $d_{p}$ es una métrica en $X\times Y$ para
todo $p\in [1,\infty ]$.
- Prueba que, para cualquiera de estas métricas y para
cualquier $y_{0}\in Y$, la inclusión
\begin{equation*}
\iota \colon X\rightarrow X\times Y,\qquad \iota (x)=(x,y_{0}),
\end{equation*}
es una isometría.
- ¿Es la proyección
\begin{equation*}
\pi \colon X\times Y\rightarrow X,\qquad \pi (x,y)=x,
\end{equation*}
una isometría?
Prueba que, si $\phi \colon X\rightarrow Y$ es una isometría y es
biyectiva, entonces su inversa $\phi^{-1}\colon Y\rightarrow X$ es una
isometría.
¿Cuáles de las siguientes funciones son
isometrías y cuáles no? Justifica tu afirmación.
- La identidad $ \id\colon\mathbb{R}_{p}^{2}\rightarrow
\mathbb{R}_{r}^{2},\quad \id(x)=x,\quad \text{con } p\neq r$.
- La identidad $ \id\colon\mathcal{C}_{p}^{0}[0,1]\rightarrow
\mathcal{C}_{r}^{0}[0,1],\quad\id(f)=f,\quad \text{con } p\neq r$.
- La inclusión $ \iota\colon
\mathcal{C}_{2}^{1}[0,1]\hookrightarrow
\mathcal{C}_{2}^{0}[0,1],\quad \iota (f)=f$.
- La inclusión $ \iota\colon\mathcal{C}_{\infty
}^{0}[0,1]\hookrightarrow \mathcal{B}([0,1],\mathbb{R}),\quad
\iota (f)=f$.
- La función $\phi\colon
\mathcal{B}(\mathbb{N},\mathbb{R})\rightarrow \ell_{\infty
},\quad \phi (f)=(f(k))$.
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión
finita y sea $\left\{e_{1},\dots,e_{n}\right\}$ una base de $V$. Expresamos a
cada $v\in V$ como $v=\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ con $x_{i}\in
\mathbb{R}$, y definimos
\begin{equation*}
\left\Vert v\right\Vert_{\ast }:=\biggl( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\biggr)
^{1/2}.
\end{equation*}
Demuestra las siguientes afirmaciones:
- $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\ast }$ es una norma en
$V$.
- Si a $V$ le damos la norma $\left\Vert \cdot \right\Vert
_{\ast }$, entonces la función $\phi\colon\mathbb{R}^{n}\rightarrow V$ dada por
\begin{equation*}
\phi (x_{1},\dots,x_{n}):=\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}
\end{equation*}
es una isometría.
Sean $X\subset \mathbb{R}^{n}$, $x,y\in X$ y
$\mathcal{T}_{x,y}(X)$ el conjunto de todas las trayectorias de $x$
a $y$ en $X$. Definimos
\begin{equation*}
d(x,y):=\inf \left\{\mathfrak{L}(\sigma ):\sigma \in \mathcal{T}_{x,y}(X)\right\},
\end{equation*}
donde $\mathfrak{L}(\sigma )$ es la longitud de la trayectoria
$\sigma $, definida en
(1.1)
.
- Prueba que, si para cada $x,y\in X$ existe $\sigma
_{x,y}\in \mathcal{T}_{x,y}(X)$ con $\mathfrak{L}(\sigma
_{x,y})\menorque\infty $, entonces $d$ es una métrica en $X$.
- ¿En cuáles de los siguientes
ejemplos coincide esta métrica con la inducida por la
métrica usual de $\mathbb{R}^{n}$? Justifica tu
afirmación.
- $X=\mathbb{R}^{n}$,
- $X=\mathbb{B}^{n}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert
x\right\Vert \leq 1\right\}$,
- $X=\left\{x\in \mathbb{B}^{n}:x\neq 0\right\}$, $n\geq 2$,
- $X=\left\{x\in \mathbb{B}^{n}:x\notin D\right\}$, donde $n\geq
2$ y
\begin{equation*}
D:=\left\{(x_{1},\dots,x_{n-1},0)\in \mathbb{R}^{n}:x_{1}^{2}+\cdots
+x_{n-1}^{2}\leq \tfrac{1}{2}\right\},
\end{equation*}
- $X=\mathbb{S}^{n-1}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert
x\right\Vert =1\right\}$, $n\geq 2$.
