TeXedores --- TUL-Análisis Matemático

Continuidad

A principios del siglo XIX Augustin Louis Cauchy y Bernard Bolzano dieron, de manera independiente, una definición de continuidad. Llamaron continua a una función que tomaba valores arbitrariamente cercanos para valores suficientemente cercanos de la variable. Esta definición es exacta pero imprecisa. La definición usual hoy en día, en términos de $\varepsilon$ ’s y $\delta$ ’s, fue introducida por Karl Weierstrass a finales del siglo XIX.

Karl Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) nació en Ostenfelde, Westfalia (actualmente Alemania). Estudió matemáticas en la Universidad de Münster. Fue profesor en la Universidad de Berlín y tuvo entre sus discípulos a Georg Cantor, Ferdinand Georg Frobenius y Sofia Kovalévskaya. Llamado el padre del análisis moderno, Weierstrass dio las definiciones de continuidad, límite y derivada de una función, que continúan vigentes hoy en día.

La noción de continuidad de una función entre espacios métricos es formalmente idéntica a la de continuidad de una función entre espacios euclidianos que ya conocemos. En este capítulo estudiaremos este concepto y daremos varias caracterizaciones de la continuidad.

Definiciones y ejemplos

Sean $X=(X,d_{X})$ y $Y=(Y,d_{Y})$ espacios métricos.

Una función

$\phi\colon X\rightarrow Y$ es continua en el punto

$x_{0}\in X$ si, para cada

$\varepsilon >0$ , existe

$\delta >0$ (que depende de

$x_{0}$ y de

$\varepsilon$ ) tal que

$\begin{equation*} d_{Y}(\phi (x),\phi (x_{0}))<\varepsilon \qquad\text{si }d_{X}(x,x_{0})<\delta. \end{equation*}$ Decimos que

$\phi$ es continua si lo es en todo punto de

$X$ .

La continuidad de $\phi$ depende de las métricas que estamos considerando en $X$ y $Y$ . Para hacer énfasis en ello usaremos en ocasiones la notación $\begin{equation*} \phi\colon (X,d_{X})\rightarrow (Y,d_{Y}) \end{equation*}$ en vez de $\phi\colon X\rightarrow Y$ . Veamos algunos ejemplos.

La identidad

$\id\colon \mathbb{R}_{p}^{n}\rightarrow \mathbb{R}_{r}^{n}$ es una función continua para cualesquiera

$p,r\in [1,\infty ]$ .

Observa que

$\left( \max \left\{ a_{1}^{r},\ldots ,a_{n}^{r}\right\} \right)^{1/r}=\max \left\{ a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}$ si

$r\in [1,\infty )$ y

$a_{1},\ldots ,a_{n}\geq 0$ . En consecuencia, para cualesquiera

$p,r\in [1,\infty )$ y

$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}$ se tiene que

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\left\Vert x\right\Vert_{r}=\biggl( \sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}\right\vert^{r}\biggr)^{1/r}\leq \left( n\max_{i=1,\ldots ,n}\left\vert x_{i}\right\vert^{r}\right)^{1/r}=n^{1/r}\max_{i=1,\ldots ,n}\left\vert x_{i}\right\vert =n^{1/r}\left\Vert x\right\Vert_{\infty }, \\ &\left\Vert x\right\Vert_{\infty }=\max_{i=1,\ldots ,n}\left\vert x_{i}\right\vert =\left( \max_{i=1,\ldots ,n}\left\vert x_{i}\right\vert ^{p}\right)^{1/p}\leq \biggl( \sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}\right\vert^{p}\biggr)^{1/p}=\left\Vert x\right\Vert_{p}. \end{aligned} \end{equation*}$ Combinando ambas desigualdades obtenemos

$\begin{equation} \left\Vert x\right\Vert_{r}\leq n^{1/r}\left\Vert x\right\Vert_{p},\quad\left\Vert x\right\Vert_{\infty }\leq \left\Vert x\right\Vert _{p},\quad\forall x\in \mathbb{R}^{n},\text{ }p\in [1,\infty ],\text{ }r\in [1,\infty ).\label{Rn} \end{equation}$ Dados

$x_{0}\in \mathbb{R}^{n}$ y

$\varepsilon >0$ definimos

$\delta :=n^{-1/r}\varepsilon$ si

$r\in [1,\infty )$ y

$\delta :=\varepsilon$ si

$r=\infty$ . De las desigualdades (

$\ref{Rn}$ ) se sigue que

$\begin{equation*} \left\Vert x-x_{0}\right\Vert_{r}<\varepsilon \qquad\text{si }\left\Vert x-x_{0}\right\Vert_{p}<\delta . \end{equation*}$ Esto prueba que

$\id\colon\mathbb{R}_{p}^{n}\rightarrow \mathbb{R}_{r}^{n}$ es continua.

La identidad

$\id\colon\mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]$ es continua, mientras que la identidad

$\id\colon\mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]$ no lo es.

La Proposición 2.23 asegura que

$\begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{1}\leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }\qquad\text{}\forall f\in \mathcal{C}^{0}[0,1]. \end{equation*}$ En consecuencia, dadas

$f_{0}\in \mathcal{C}^{0}[0,1]$ y

$\varepsilon >0$ , para

$\delta =\varepsilon$ se cumple que

$\begin{equation*} \left\Vert f-f_{0}\right\Vert_{1}<\varepsilon \qquad\text{si }\left\Vert f-f_{0}\right\Vert_{\infty }<\delta . \end{equation*}$ Esto prueba que

$\id\colon\mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]$ es continua.

Denotemos por $0$ a la función constante con valor $0$ en $[0,1]$ . Probaremos que $\id\colon\mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]$ no es continua en $0$ (de hecho no lo es en ningún punto de $\mathcal{C}^{0}[0,1]$ ). Sea $\varepsilon :=\frac{1}{2}$ . Afirmamos que para cualquier $\delta \in (0,1)$ existe $g_{\delta }\in \mathcal{C}^{0}[0,1]$ tal que $\left\Vert g_{\delta }\right\Vert_{1}<\delta$ y $\left\Vert g_{\delta }\right\Vert_{\infty }=1>\varepsilon$ . En efecto, la función $\begin{equation*} g_{\delta }(x)= \begin{cases} 1-\frac{1}{\delta }x & \text{si $0\leq x\leq \delta$,} \\ 0 & \text{si $\delta \leq x\leq 1$,} \end{cases} \end{equation*}$ tiene estas propiedades.

Por tanto, la identidad

$\id\colon\mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]$ no es continua en

$0$ .

Una función

$\phi\colon X\rightarrow Y$ es un homeomorfismo si

$\phi$ es continua y biyectiva y su inversa

$\phi^{-1}\colon Y\rightarrow X$ es continua. Se dice que

$X$ y

$Y$ son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos.

Los ejemplos anteriores afirman que $\id\colon\mathbb{R}_{p}^{n}\rightarrow \mathbb{R}_{r}^{n}$ es un homeomorfismo para cualesquiera $p,r\in [1,\infty ]$ , mientras que $\id\colon\mathcal{C}_{\infty }^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{C}_{1}^{0}[a,b]$ no lo es.

Sean

$\phi\colon X\rightarrow Y$ y

$\psi\colon Y\rightarrow Z$ funciones entre espacios métricos.

Si $\phi$ y $\psi$ son continuas entonces la composición $\psi \circ \phi\colon X\rightarrow Z$ es continua.
Si $\phi$ es un homeomorfismo, entonces $\psi$ es continua si y sólo si $\psi \circ \phi$ es continua.
Si $\psi$ es un homeomorfismo, entonces $\phi$ es continua si y sólo si $\psi \circ \phi$ es continua.

(a): Sean

$x_{0}\in X$ y

$\varepsilon >0$ . Como

$\psi$ es continua en

$y_{0}:=\phi (x_{0})$ , existe

$\gamma >0$ tal que

$\begin{equation*} d_{Z}(\psi (y),\psi (y_{0}))<\varepsilon \qquad\text{si }d_{Y}(y,y_{0})<\gamma . \end{equation*}$ Y, como

$\phi$ es continua en

$x_{0}$ , existe

$\delta >0$ tal que

$\begin{equation*} d_{Y}(\phi (x),\phi (x_{0}))<\gamma \qquad\text{si }d_{X}(x,x_{0})<\delta . \end{equation*}$ En consecuencia,

$\begin{equation*} d_{Z}(\psi (\phi (x)),\psi (\phi (x_{0})))<\varepsilon \qquad\text{si }d_{X}(x,x_{0})<\delta . \end{equation*}$ Es decir,

$\psi \circ \phi\colon X\rightarrow Z$ es continua.
(b): Si

$\phi$ es un homeomorfismo, de la afirmación (a) se sigue que

$\psi \circ \phi$ es continua si y sólo si

$\left( \psi \circ \phi \right) \circ \phi^{-1}=\psi$ lo es.
(c): Análogamente, si

$\psi$ es un homeomorfismo, entonces

$\psi \circ \phi$ es continua si y sólo si

$\psi ^{-1}\circ \left( \psi \circ \phi \right) =\phi$ lo es.

La proposición anterior nos permite concluir que $f\colon\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es continua si y sólo si $f\colon\mathbb{R}_{p}^{n}\rightarrow \mathbb{R}_{r}^{m}$ es continua para cualesquiera $p,r\in [1,\infty ]$ [Ejercicio 3.38].

Algunas propiedades importantes de los espacios métricos, como la completitud (que estudiaremos más adelante), no se preservan bajo homeomorfismos. Por ello conviene introducir los siguientes conceptos.

Una función

$\phi\colon X\rightarrow Y$ es Lipschitz continua, si existe

$c>0$ tal que

$\begin{equation*} d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq c\,d_{X}(x,y)\qquad\text{}\forall x,y\in X. \end{equation*}$ La constante

$c$ se llama una constante de Lipschitz para

$\phi$ .

La función $\phi$ es una equivalencia si $\phi$ es Lipschitz continua y biyectiva y su inversa $\phi^{-1}\colon Y\rightarrow X$ es Lipschitz continua.

Rudolf Lipschitz

Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (1832-1903) nació en Königsberg (entonces parte de Alemania). Se doctoró en Berlín bajo la supervisión de Lejeune Dirichlet. Fue profesor en la Universidad de Bonn.

Esta noción es más fuerte que la de continuidad, es decir, se cumple lo siguiente.

$\phi$ es Lipschitz continua entonces

$\phi$ es continua.

Sea

$c>0$ una constante de Lipschitz para

$\phi$ . Entonces, dada

$\varepsilon >0$ , para

$\delta :=\frac{\varepsilon }{c}>0$ se cumple que

$\begin{equation*} d_{Y}(\phi (x),\phi (x_{0}))<\varepsilon \qquad\text{si }d_{X}(x,x_{0})<\delta . \end{equation*}$ Por tanto,

$\phi$ es continua.

Nota que en este caso $\delta$ no depende del punto $x_{0}\in X$ . El inverso no es cierto en general, es decir, no toda función continua es Lipschitz continua [Ejercicio 3.45].

Dos métricas

$d_{1}$ y

$d_{2}$ en un conjunto

$X$ son equivalentes si la identidad

$\id\colon (X,d_{1})\rightarrow (X,d_{2})$ es una equivalencia, es decir, si existen constantes

$c_{1},c_{2}>0$ tales que

$\begin{equation*} c_{1}\,d_{2}(x,y)\leq d_{1}(x,y)\leq c_{2}\,d_{2}(x,y)\qquad\text{}\forall x,y\in X. \end{equation*}$ Análogamente, dos normas

$\left\Vert \cdot \right\Vert_{1}$ y

$\left\Vert \cdot \right\Vert_{2}$ en un espacio vectorial

$V$ son equivalentes si las métricas inducidas son equivalentes, es decir, si existen constantes

$c_{1},c_{2}>0$ tales que

$\begin{equation*} c_{1}\,\left\Vert v\right\Vert_{2}\leq \left\Vert v\right\Vert_{1}\leq c_{2}\,\left\Vert v\right\Vert_{2}\qquad\text{}\forall v\in V. \end{equation*}$

Las desigualdades ( $\ref{Rn}$ ) muestran que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ y $\left\Vert \cdot \right\Vert_{r}$ son normas equivalentes en $\mathbb{R}^{n}$ para cualesquiera $p,r\in [1,\infty ]$ , mientras que el Ejemplo 3.3 muestra que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{1}$ y $\left\Vert \cdot \right\Vert _{\infty }$ no son normas equivalentes en $\mathcal{C}^{0}[0,1]$ . De hecho, $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ y $\left\Vert \cdot \right\Vert_{r}$ no son normas equivalentes en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ para ningún par de números $1\leq p\menorque r\leq \infty$ [Ejercicio 3.47].

La siguiente noción nos permite visualizar el concepto de continuidad.

Sean

$X=(X,d_{X})$ un espacio métrico,

$x_{0}\in X$ y

$\varepsilon >0$ . La bola abierta en

$X$ con centro en

$x_{0}$ y radio

$\varepsilon$ es el conjunto

$\begin{equation*} B_{X}(x_{0},\varepsilon ):=\left\{ x\in X:d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \right\} . \end{equation*}$

Dados un subconjunto $A$ de $X$ y una función $\phi\colon X\rightarrow Y$ , denotamos por $\begin{equation*} \phi (A):=\left\{ \phi (x)\in Y:x\in A\right\} \end{equation*}$ a la imagen de $A$ bajo $\phi$ . Con estos conceptos podemos reformular la definición de continuidad como sigue:

$\phi\colon X\rightarrow Y$ es continua en el punto $x_{0}$ de $X$ si, dada $\varepsilon >0$ , existe $\delta >0$ tal que $\begin{equation} \phi (B_{X}(x_{0},\delta ))\subset B_{Y}(\phi (x_{0}),\varepsilon ). \label{carcont} \end{equation}$

Revisemos algunos de los ejemplos anteriores bajo esta nueva óptica.

Denotemos por

$B_{p}(x_{0},\varepsilon )$ a la bola abierta en

$\mathbb{R}_{p}^{n}$ con centro en

$x_{0}$ y radio

$\varepsilon$ .

De las desigualdades ( $\ref{Rn}$ ) se sigue que existe $c>0$ (que depende de $n$ y $r$ ) tal que $\begin{equation*} B_{p}(x_{0},c\varepsilon )\subset B_{r}(x_{0},\varepsilon )\qquad \forall p,r\in [1,\infty ],\text{ }\forall x_{0}\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*}$ La caracterización ( $\ref{carcont}$ ) de la continuidad asegura entonces que $\id\colon\mathbb{R}_{p}^{n}\rightarrow \mathbb{R}_{r}^{n}$ es un homeomorfismo.

Denotemos por

$B_{p}(f_{0},\varepsilon )$ a la bola abierta en

$\mathcal{C}_{p}^{0}[0,1]$ con centro en la función continua

$f_{0}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ y radio

$\varepsilon$ . Si

$p=\infty$ ,

$\begin{equation*} B_{\infty }(f_{0},\varepsilon )=\left\{f\in \mathcal{C}^{0}[0,1]:\left\vert f(x)-f_{0}(x)\right\vert <\varepsilon \text{ }\forall x\in [0,1]\right\}, \end{equation*}$ es decir,

$B_{\infty }(f_{0},\varepsilon )$ es el conjunto de las funciones continuas cuya gráfica está contenida en la franja

$\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}:x\in [0,1],\; \left\vert y-f_{0}(x)\right\vert <\varepsilon \right\}$ .

Por otra parte, si $p=1$ , $\begin{equation*} B_{1}(f_{0},\varepsilon )=\left\{g\in \mathcal{C}^{0}[0,1]:\int_{0}^{1}\left\vert g(x)-f_{0}(x)\right\vert dx<\varepsilon \right\} \end{equation*}$ es el conjunto de las funciones continuas $g$ tales que el área de la región comprendida entre las gráficas de $g$ y $f_{0}$ es menor que $\varepsilon$ .

Resulta claro entonces que $B_{\infty }(f_{0},\varepsilon )\subset B_{1}(f_{0},\varepsilon )$ . Y también que, para cada $\varepsilon >0$ y cada $\delta >0$ , podemos encontrar una función continua $g$ tal que $g\in B_{1}(f_{0},\delta )$ pero $g\notin B_{\infty }(f_{0},\varepsilon )$ :

De la caracterización ( $\ref{carcont}$ ) de la continuidad se sigue que $\id\colon \mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]$ es continua y que $\id\colon \mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]$ no lo es.

Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

Sea $X=(X,d)$ un espacio métrico y sea $A$ un subconjunto de $X$ .

Un punto

$x\in X$ se llama un punto interior de

$A$ si existe

$\varepsilon >0$ tal que

$B_{X}(x,\varepsilon )\subset A$ . El conjunto de todos los puntos interiores de

$A$ se llama el interior de

$A$ en

$X$ y se denota

$\Int_{X}(A)$ , o simplemente

$\Int(A)$ . Decimos que

$A$ es abierto en

$X$ si

$A=\Int(A)$ .

Observa que $\Int_{X}(A)\subset A$ . Veamos que la bola abierta es un abierto en este sentido.

En cualquier espacio métrico

$X=(X,d)$ , la bola abierta

$\begin{equation*} B_{X}(x_{0},\varepsilon ):=\left\{ x\in X:d(x,x_{0})<\varepsilon \right\} \end{equation*}$ con centro en

$x_{0}$ y radio

$\varepsilon$ es un subconjunto abierto de

$X.$

Sea

$x\in B_{X}(x_{0},\varepsilon )$ . Tomemos

$\delta :=\varepsilon -d(x,x_{0})>0$ . Para todo

$z\in B_{X}(x,\delta )$ , se cumple que

$\begin{equation*} d(z,x_{0})\leq d(z,x)+d(x,x_{0})<\delta +d(x,x_{0})=\varepsilon , \end{equation*}$ es decir,

$z\in B_{X}(x_{0},\varepsilon )$ . Por tanto,

$B_{X}(x,\delta )\subset B_{X}(x_{0},\varepsilon )$ .

Esto muestra que

$x\in\Int(B_{X}(x_{0},\varepsilon ))$ para todo

$x\in B_{X}(x_{0},\varepsilon )$ . En consecuencia

$B_{X}(x_{0},\varepsilon )=\Int(B_{X}(x_{0},\varepsilon ))$ .

El interior

$\Int(A)$ de cualquier subconjunto

$A$ de

$X$ es abierto en

$X$ .

Sea

$x\in\Int(A)$ . Entonces existe

$\varepsilon >0$ tal que

$B_{X}(x,\varepsilon )\subset A$ . Probaremos ahora que

$B_{X}(x,\varepsilon )\subset\Int A$ . En efecto, por la Proposición 3.13, para cada

$z\in B_{X}(x,\varepsilon )$ existe

$\delta >0$ tal que

$B_{X}(z,\delta )\subset B_{X}(x,\varepsilon )\subset A$ . Por tanto,

$z\in\Int A$ .

Es fácil ver que $\Int(A)$ es el mayor subconjunto abierto de $X$ contenido en $A$ [Ejercicio 3.65].

El que un subconjunto $A$ de $X$ sea abierto en $X$ o no lo sea depende de la métrica que le demos a $X$ . Veamos un ejemplo.

El conjunto

$\begin{equation*} A:=\left\{f\in \mathcal{C}^{0}[0,1]:\left\vert f(x)\right\vert <\tfrac{1}{2}\text{ }\forall x\in [0,1]\right\} \end{equation*}$ es abierto en

$\mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]$ , pero no es abierto en

$\mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]$ .

Observa que

$A=B_{\mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]}(0,\frac{1}{2})$ . La Proposición 3.13 asegura que

$A$ es abierto en

$\mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1]$ .

Probaremos ahora que $A$ no es abierto en $\mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]$ . Para cada $0<\delta \menorque 1$ consideremos la función $\begin{equation*} g_{\delta }(x)= \begin{cases} 1-\frac{1}{\delta }x & \text{si $0\leq x\leq \delta$,} \\ 0 & \text{si $\delta \leq x\leq 1$.} \end{cases} \end{equation*}$ Entonces $\left\Vert g_{\delta }\right\Vert_{1}=\frac{\delta }{2}$ y $\left\Vert g_{\delta }\right\Vert_{\infty }=1$ . Por tanto, $g_{\delta }\in B_{\mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]}(0,\delta )$ , pero $g_{\delta }\not\in A$ .

Es decir, $B_{\mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]}(0,\delta )$ no está contenida en $A$ para ningún $\delta >0$ . En consecuencia, la función $0$ no es un punto interior de $A$ en $\mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]$ .

De hecho, el conjunto $A$ del ejemplo anterior tiene interior vacío en $\mathcal{C}_{1}^{0}[0,1]$ [Ejercicio 3.59].

Un punto

$x\in X$ se llama un punto de contacto de

$A$ si

$B_{X}(x,\varepsilon )\cap A\neq \emptyset$ para toda

$\varepsilon >0$ . El conjunto de todos los puntos de contacto de

$A$ se llama la cerradura de

$A$ en

$X$ y se denota

$\cerr_{X}(A)$ , o simplemente

$\overline{A}$ . Decimos que

$A$ es cerrado en

$X$ si

$A=\overline{A}$ .

Nota que todo punto de $A$ es punto de contacto de $A$ , es decir, $A\subset \overline{A}$ .

La bola cerrada en

$X$ con centro en

$x_{0}$ y radio

$\varepsilon$ es el conjunto

$\begin{equation*} \bar{B}_{X}(x_{0},\varepsilon ):=\left\{ x\in X:d(x,x_{0})\leq \varepsilon \right\} . \end{equation*}$

$\bar{B}_{X}(x_{0},\varepsilon )$ es un subconjunto cerrado de

$X$ .

Sea

$x\in \overline{\bar{B}_{X}(x_{0},\varepsilon )}$ . Entonces, para todo

$\delta >0$ , existe

$x_{\delta }\in B_{X}(x,\delta )\cap \bar{B}_{X}(x_{0},\varepsilon )$ . De la desigualdad del triángulo se sigue que

$\begin{equation*} d(x,x_{0})\leq d(x,x_{\delta })+d(x_{\delta },x_{0})<\delta +\varepsilon \qquad\text{}\forall \delta >0. \end{equation*}$ En consecuencia

$d(x,x_{0})\leq \varepsilon$ , es decir,

$x\in \bar{B}_{X}(x_{0},\varepsilon )$ .

Denotaremos por $X\smallsetminus A$ al complemento de $A$ en $X$ , es decir, $\begin{equation*} X\smallsetminus A:=\left\{ x\in X:x\notin A\right\} . \end{equation*}$ Los abiertos y los cerrados son duales en el siguiente sentido.

Para cualquier subconjunto

$A$ de un espacio métrico

$X$ se cumple que

$\begin{equation*} X\smallsetminus \overline{A}=\Int(X\smallsetminus A). \end{equation*}$ En consecuencia,

$A$ es cerrado en

$X$ si y sólo si

$X\smallsetminus A$ es abierto en

$X$ .

La primera afirmación es inmediata. En efecto,

$x\in\Int(X\smallsetminus A)$ si y sólo si existe

$\varepsilon >0$ tal que

$B_{X}(x,\varepsilon )\cap A=\emptyset$ , es decir, si y sólo si

$x\in X\smallsetminus \overline{A}$ .
En consecuencia, si

$A$ es cerrado, entonces

$X\smallsetminus A=X\smallsetminus \overline{A}=\Int(X\smallsetminus A)$ , es decir,

$X\smallsetminus A$ es abierto. E inversamente, si

$X\smallsetminus A$ es abierto, entonces

$X\smallsetminus A=\Int(X\smallsetminus A)=X\smallsetminus \overline{A}$ y, en consecuencia,

$A=\overline{A}$ , es decir,

$A$ es cerrado.

La cerradura

$\overline{A}$ de cualquier subconjunto

$A$ de

$X$ es cerrada en

$X$ .

Por el Corolario 3.14 sabemos que

$\Int(X\smallsetminus A)$ esabcer abierto en

$X$ . En consecuencia, por la Proposición 3.19, se tiene que

$\overline{A}=X\smallsetminus\Int(X\smallsetminus A)$ es cerrado en

$X$ .

Es sencillo comprobar que $\overline{A}$ es el menor subconjunto cerrado de $X$ que contiene a~ $A$ [Ejercicio 3.66].

Existen subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Por ejemplo, el intervalo $[a,b)$ no es ni abierto ni cerrado en $\mathbb{R}$ . Más aún, un subconjunto puede ser simultáneamente abierto y cerrado como lo muestra el siguiente ejemplo.

Todo subconjunto de un espacio métrico discreto

$X_{\disc}$ es abierto en

$X_{\disc}$ . En consecuencia, todo subconjunto de

$X_{\disc}$ es cerrado en

$X_{\disc}$ .

Observemos que, para cada punto

$x\in X$ ,

$\begin{equation*} B_{\disc}(x,1):=\left\{y\in X:d_{\disc}(y,x)\menorque 1\right\}=\left\{x\right\}. \end{equation*}$ Para cualquier subconjunto

$A$ de

$X$ se tiene entonces que

$B_{\disc}(x,1)\subset A$ para todo

$x\in A$ . Por tanto,

$A$ es abierto en

$X_{\disc}$ . De la Proposición 3.19 se sigue que

$A$ también es cerrado en

$X_{\disc}$ .

En general no es cierto que la cerradura de una bola abierta sea la correspondiente bola cerrada. Veamos un ejemplo.

$X_{\disc}$ es un espacio métrico discreto con al menos dos puntos entonces, puesto que todos los subconjuntos de

$X_{\disc}$ son cerrados, se tiene que

$\begin{equation*} \overline{B_{\disc}(x,1)}=B_{\disc}(x,1)=\left\{x\right\}\qquad\text{}\forall x\in X. \end{equation*}$ Por otra parte,

$\begin{equation*} \bar{B}_{\disc}(x,1):=\left\{y\in X:d_{\disc}(y,x)\leq 1\right\}=X\qquad\text{}\forall x\in X. \end{equation*}$

Esto no ocurre en un espacio normado.

$V=(V,\left\Vert \cdot \right\Vert )$ es un espacio normado, entonces la cerradura de la bola abierta

$B(v_{0},\varepsilon ):=\left\{ v\in V:\left\Vert v-v_{0}\right\Vert <\varepsilon \right\}$ es la bola cerrada

$\bar{B}(v_{0},\varepsilon ):=\left\{ v\in V:\left\Vert v-v_{0}\right\Vert \leq \varepsilon \right\}$ .

Como

$\bar{B}(v_{0},\varepsilon )$ es cerrado y contiene a

$B(v_{0},\varepsilon )$ se tiene que

$\overline{B(v_{0},\varepsilon )}\subset \bar{B}(v_{0},\varepsilon )$ [Ejercicio 3.66].
Probaremos ahora que

$\bar{B}(v_{0},\varepsilon )\subset \overline{B(v_{0},\varepsilon )}$ . Es decir, probaremos que, para todo

$v\in \bar{B}(v_{0},\varepsilon )$ y

$\delta >0$ , se cumple que

$B(v,\delta )\cap B(v_{0},\varepsilon )\neq \emptyset$ . Sin perder generalidad podemos tomar

$\delta \menorque 2\varepsilon$ . El punto

$\begin{equation*} v_{\delta }:=v+\frac{\delta }{2\varepsilon }(v_{0}-v)\in V \end{equation*}$ satisface

$\begin{align*} \left\Vert v_{\delta }-v\right\Vert &=\frac{\delta }{2\varepsilon }\left\Vert v_{0}-v\right\Vert \leq \frac{\delta }{2}<\delta ,\text{ y} \\ \left\Vert v_{\delta }-v_{0}\right\Vert &=\left(1-\frac{\delta }{2\varepsilon }\right)\left\Vert v-v_{0}\right\Vert \leq \left(1-\frac{\delta }{2\varepsilon }\right)\varepsilon <\varepsilon . \end{align*}$

Por tanto,

$v_{\delta }\in B(v,\delta )\cap B(v_{0},\varepsilon )$ .

Daremos ahora una caracterización de la continuidad en términos de conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. La imagen inversa de un subconjunto $B$ de $Y$ bajo la función $\phi\colon X\rightarrow Y$ es el conjunto $\begin{equation*} \phi^{-1}(B):=\left\{ x\in X:\phi (x)\in B\right\} . \end{equation*}$

Sean

$X$ y

$Y$ espacios métricos, y sea

$\phi\colon X\rightarrow Y$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$\phi\colon X\rightarrow Y$ es continua.
$\phi^{-1}(U)$ es abierto en $X$ para todo subconjunto abierto $U$ de $Y$ .
$\phi^{-1}(C)$ es cerrado en $X$ para todo subconjunto cerrado $C$ de $Y$ .

(a)

$\Rightarrow$ (b): Sea

$U$ un subconjunto abierto de

$Y$ . Para cada

$x\in \phi^{-1}(U)$ tomemos

$\varepsilon >0$ tal que

$B_{Y}(\phi (x),\varepsilon )\subset U$ . Como

$\phi$ es continua, existe

$\delta >0$ tal que

$\phi (B_{X}(x,\delta ))\subset B_{Y}(\phi (x),\varepsilon )$ . Entonces

$B_{X}(x,\delta )\subset \phi^{-1}(U)$ . Esto prueba que

$\phi^{-1}(U)$ es abierto en

$X$ .
(b)

$\Rightarrow$ (a): Sean

$x\in X$ y

$\varepsilon >0$ . Como

$B_{Y}(\phi (x),\varepsilon )$ es abierta en

$Y$ , se tiene que

$\phi^{-1}(B_{Y}(\phi (x),\varepsilon ))$ es abierto en

$X$ . En particular, existe

$\delta >0$ tal que

$B_{X}(x,\delta )\subset \phi^{-1}(B_{Y}(\phi (x),\varepsilon ))$ , es decir,

$\phi (B_{X}(x,\delta ))\subset B_{Y}(\phi (x),\varepsilon )$ . Esto prueba que

$\phi$ es continua en

$x$ .
(b)

$\Leftrightarrow$ (c): Observa que

$X\smallsetminus \phi^{-1}(B)=\phi^{-1}(Y\smallsetminus B)$ para todo subconjunto

$B$ de

$Y$ . La equivalencia entre (b) y (c) es consecuencia inmediata de la Proposición 3.19. En efecto, si

$\phi$ satisface (b) y

$C$ es cerrado en

$Y$ , entonces

$Y\smallsetminus C$ es abierto en

$Y$ . En consecuencia,

$\phi^{-1}(Y\smallsetminus C)=X\smallsetminus \phi^{-1}(C)$ es abierto en

$X$ y, por tanto

$\phi^{-1}(C)$ es cerrado en

$X$ . Esto prueba que (b)

$\Rightarrow$ (c). La otra implicación se demuestra de manera análoga.

Cualquier función

$\phi\colon X_{\disc}\rightarrow Y$ de un espacio métrico discreto a un espacio métrico cualquiera

$Y$ es continua, ya que todo subconjunto de

$X_{\disc}$ es abierto (ver Ejemplo 3.22).

Para finalizar esta sección veamos algunas propiedades importantes de los abiertos.

En cualquier espacio métrico

$X=(X,d)$ se cumple lo siguiente:

El conjunto vacío $\emptyset$ es abierto en $X$ .
$X$ es abierto en $X$ .
La unión $\bigcup_{i\in \mathcal{I}}U_{i}$ de cualquier familia $\left\{U_{i}:i\in \mathcal{I}\right\}$ de subconjuntos abiertos de $X$ es abierta en $X$ .
La intersección $U\cap V$ de dos subconjuntos abiertos $U$ y $V$ de $X$ es abierta en $X$ .

(a) se cumple por vacuidad: todo punto de

$\emptyset$ es punto interior de

$\emptyset$ .
(b):

$B_{X}(x,\varepsilon )\subset X$ para cualquier

$x\in X$ y cualquier

$\varepsilon >0$ , es decir, cualquier

$x\in X$ es punto interior de

$X$ .
(c): Si

$x\in \bigcup_{i\in \mathcal{I}}U_{i}$ entonces

$x\in U_{i_{0}}$ para algún

$i_{0}\in \mathcal{I}$ y, como

$U_{i_{0}}$ es abierto, existe

$\varepsilon >0$ tal que

$B_{X}(x,\varepsilon )\subset U_{i_{0}}$ . Pero entonces

$B_{X}(x,\varepsilon )\subset \bigcup_{i\in \mathcal{I}}U_{i}$ . Esto prueba que

$x\in$ int

$\left( \bigcup_{i\in \mathcal{I}}U_{i}\right)$ .
(d): Si

$x\in U\cap V$ , como

$U$ y

$V$ son abiertos, existen

$\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}>0$ tales que

$B_{X}(x,\varepsilon_{1})\subset U$ y

$B_{X}(x,\varepsilon _{2})\subset V$ . Tomando

$\varepsilon :=\min \left\{\varepsilon _{1},\varepsilon_{2}\right\}$ se tiene que

$B_{X}(x,\varepsilon )\subset (U\cap V)$ . Esto prueba que

$x\in$ int

$(U\cap V)$ .

Dado que los subconjuntos cerrados de $X$ son los complementos de los abiertos, las afirmaciones duales son ciertas para dichos subconjuntos [Ejercicio 3.64].

Las propiedades (a)-(d) se usan como definición de los abiertos de un espacio topológico. Como la continuidad se puede caracterizar en términos de abiertos (ver Proposición 3.24), los espacios topológicos son el ámbito natural para estudiar la continuidad.

Convergencia de sucesiones

Como ocurre en $\mathbb{R}^{n}$ , es posible dar una caracterización de la continuidad en términos de sucesiones en un espacio métrico.

Una sucesión en un espacio métrico

$X=(X,d)$ es una función

$\overline{x}\colon\mathbb{N}\rightarrow X$ . El valor de dicha función en

$k$ se llama el $k$ -ésimo término de la sucesión y se denota por

$x_{k}:=\overline{x}(k)$ . Una sucesión se suele denotar simplemente por

$\overline{x}=(x_{k})$ .

Decimos que $(x_{k})$ converge a un punto $x\in X$ si, dada $\varepsilon >0$ , existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $d(x_{k},x)<\varepsilon$ para todo $k\geq k_{0}$ . El punto $x$ se llama el límite de la sucesión $(x_{k})$ .

Usaremos la notación $\begin{equation*} x_{k}\rightarrow x\text{ en }X,\qquad\text{o bien}\qquad\lim_{k\rightarrow \infty }x_{k}=x, \end{equation*}$ para decir que $(x_{k})$ converge a $x$ en $X$ . Observa que $\begin{equation*} x_{k}\rightarrow x\text{ en }X\quad \Longleftrightarrow \quad d(x_{k},x)\rightarrow 0\text{ en }\mathbb{R}\text{.} \end{equation*}$

Una subsucesión de

$\overline{x}=(x_{k})$ es la composición de

$\overline{x}$ con una función estrictamente creciente

$k\colon\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ . Su

$j\text{-ésimo}$ término se denota por

$x_{k_{j}}:=\overline{x}(k(j))$ .

Se cumple lo siguiente:

El límite de una sucesión convergente es único.
Si $(x_{k})$ converge a $x$ en $X$ entonces cualquier subsucesión $(x_{k_{j}})$ converge a $x$ en~ $X$ .

(a): Si

$x_{k}\rightarrow x$ y

$x_{k}\rightarrow y$ en

$X$ entonces

$\begin{equation*} 0\leq d(x,y)\leq d(x_{k},x)+d(x_{k},y) \rightarrow 0\text{ en }\mathbb{R}. \end{equation*}$ Por tanto,

$d(x,y)=0$ , es decir,

$x=y$ .
(b): Sean

$(x_{k_{j}})$ una subsucesión de

$(x_{k})$ y

$\varepsilon >0$ . Como

$k\colon\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ es estrictamente creciente,

$k_{j}\geq j$ para todo

$j\in \mathbb{N}$ . Y, como

$x_{k}\rightarrow x$ , existe

$k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que

$d(x_{k},x)<\varepsilon$ para todo

$k\geq k_{0}$ . Por tanto,

$d(x_{k_{j}},x)<\varepsilon$ para todo

$j\geq k_{0}$ .

Una sucesión

$(x_{k})$ en

$X$ está acotada si existen

$x\in X$ y

$c\in \mathbb{R}$ tales que

$d(x_{k},x)\leq c$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ .

Toda sucesión convergente está acotada.

$x_{k}\rightarrow x$ en

$X$ entonces existe

$k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que

$d(x_{k},x)\menorque 1$ para todo

$k\geq k_{0.}$ Tomando

$c:=\max \left\{d(x_{1},x),\dots,d(x_{k_{0}-1},x),1\right\}$ obtenemos que

$d(x_{k},x)\leq c$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ .

Daremos ahora una caracterización de la cerradura de un conjunto en términos de sucesiones en dicho conjunto.

Sea

$A$ un subconjunto de

$X$ y sea

$x\in X$ . Entonces

$x\in \overline{A}$ si y sólo si existe una sucesión

$(x_{k})$ tal que

$x_{k}\in A$ para todo

$k\in \mathbb{N}$ y

$x_{k}\rightarrow x$ en

$X$ .

$x\in \overline{A}$ entonces existe

$x_{k}\in B(x,\frac{1}{k})\cap A$ para cada

$k\in \mathbb{N}$ . Es decir,

$x_{k}\in A$ y

$0\leq d(x_{k},x)\leq \frac{1}{k}$ para toda

$k\in \mathbb{N}$ . En consecuencia,

$x_{k}\rightarrow x$ en

$X$ .
Inversamente, sea

$(x_{k})$ una sucesión de puntos en

$A$ tal que

$x_{k}\rightarrow x$ en

$X$ . Sea

$\varepsilon >0$ . Entonces existe

$k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que

$d(x_{k},x)<\varepsilon$ para todo

$k\geq k_{0}$ . En particular,

$x_{k_{0}}\in B_{X}(x,\varepsilon )\cap A$ .
Por tanto,

$x\in \overline{A}$ .

Podemos caracterizar la continuidad de una función en términos de sucesiones como sigue.

$\phi\colon X\rightarrow Y$ es continua en el punto

$x\in X$ si y sólo si para cualquier sucesión

$(x_{k})$ en

$X$ tal que

$x_{k}\rightarrow x$ en

$X$ se cumple que

$\phi (x_{k})\rightarrow \phi (x)$ en

$Y$ .

Supongamos que

$\phi$ es continua en

$x$ y que

$x_{k}\rightarrow x$ en

$X$ . Sea

$\varepsilon >0$ . Entonces, como

$\phi$ es continua, existe

$\delta >0$ tal que

$\phi (B_{X}(x,\delta ))\subset B_{Y}(\phi (x),\varepsilon )$ y, como

$x_{k}\rightarrow x$ , existe

$k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que

$x_{k}\in B_{X}(x,\delta )$ para todo

$k\geq k_{0}$ . Por lo tanto

$\phi (x_{k})\in B_{Y}(\phi (x),\varepsilon )$ para todo

$k\geq k_{0}$ . Esto prueba que

$\phi (x_{k})\rightarrow \phi (x)$ .
Inversamente, supongamos que

$\phi$ no es continua en

$x$ . Entonces existe

$\varepsilon_{0}>0$ con la siguiente propiedad: para cada

$k\in \mathbb{N}$ hay un punto

$x_{k}\in B_{X}(x,\frac{1}{k})$ tal que

$\phi (x_{k})\notin B_{Y}(\phi (x),\varepsilon_{0})$ . En consecuencia,

$(x_{k})$ converge a

$x$ en

$X$ pero

$(\phi (x_{k}))$ no converge a

$\phi (x)$ en

$Y$ .

Consideremos las funciones continuas

$f_{k}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ dadas por

$\begin{equation*} f_{k}(x)= \begin{cases} 1-kx & \text{si $0\leq x\leq \frac{1}{k}$,} \\ 0 & \text{si $\frac{1}{k}\leq x\leq 1$.} \end{cases} \end{equation*}$ Entonces

$f_{k}\rightarrow 0$ en

$\mathcal{C}_{1}^{0}\left[ 0,1\right]$ , pero

$(f_{k})$ no converge en

$\mathcal{C}_{\infty }^{0}\left[ 0,1\right]$ . Esto demuestra que

$\id\colon\mathcal{C}_{1}^{0}\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathcal{C}_{\infty }^{0}\left[ 0,1\right]$ no es continua en

$0$ .

Se tiene que

$\begin{equation*} \left\Vert f_{k}\right\Vert_{1}=\int_{0}^{1}\left\vert f_{k}(x)\right\vert dx=\frac{1}{2k}\rightarrow 0. \end{equation*}$ Por tanto,

$f_{k}\rightarrow 0$ en

$\mathcal{C}_{1}^{0}\left[ 0,1\right]$ .
Supongamos que

$f_{k}\rightarrow f$ en

$\mathcal{C}_{\infty }^{0}\left[ 0,1\right]$ . Entonces, como

$\begin{equation*} \left\vert f_{k}(x)-f(x)\right\vert \leq \left\Vert f_{k}-f\right\Vert _{\infty }\qquad\text{para cada }x\in [0,1], \end{equation*}$ se tiene que la sucesión de números reales

$(f_{k}(x))$ converge a

$f(x)$ en

$\mathbb{R}$ para cada

$x\in [0,1]$ . En consecuencia

$\begin{equation*} f(x)=\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x)= \begin{cases} 1 & \text{si $x=0$,}\\ 0 & \text{si $0 \menorque x\leq 1$.} \end{cases} \end{equation*}$ Esta función no es continua en

$[0,1]$ , lo que contradice nuestra suposición.

Ejercicios

Prueba que en la definición de continuidad se puede reemplazar la desigualdad estricta por la no estricta, es decir, prueba que una función

$\phi\colon X\rightarrow Y$ es continua en

$x_{0}$ si, dada

$\varepsilon >0$ , existe

$\delta >0$ (que depende de

$x_{0}$ y de

$\varepsilon$ ) tal que

$\begin{equation*} d_{Y}(\phi (x),\phi (x_{0}))\leq \varepsilon \qquad\text{si }d_{X}(x,x_{0})<\delta . \end{equation*}$

Sean

$V=(V,\left\Vert \cdot \right\Vert_{V})$ y

$W=(W,\left\Vert \cdot \right\Vert_{W})$ espacios normados, y sea

$L\colon V\rightarrow W$ una transformación lineal. Prueba que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$L$ es continua.
$L$ es continua en $0$ .
Existe $c>0$ tal que $\left\Vert Lv\right\Vert_{W}\leq c\left\Vert v\right\Vert_{V}$ para todo $v\in V$ .
$L$ es Lipschitz continua.

Sea

$X$ un espacio métrico.

Prueba que, si $f,g\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ son continuas, entonces las funciones $\max \left\{f,g\right\}$ , $\min \left\{f,g\right\}\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ dadas por $\begin{equation*} (\max \left\{f,g\right\})(x):=\max \left\{f(x),g(x)\right\},\quad (\min \left\{f,g\right\})(x):=\min \left\{f(x),g(x)\right\}), \end{equation*}$ son continuas.
¿Es cierto que, si $f,g\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ son Lipschitz continuas, $\max \left\{f,g\right\}$ y $\min \left\{f,g\right\}$ son Lipschitz continuas?

Prueba que

$f\colon\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es continua si y sólo si

$f\colon\mathbb{R}_{p}^{n}\rightarrow \mathbb{R}_{r}^{m}$ es continua para cualesquiera

$p,r\in [1,\infty ]$ .

Sea

$g_{0}\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$ . Prueba que, para toda

$p\in [1,\infty ]$ , la función

$\phi\colon \mathcal{C}_{p}^{0}[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por

$\begin{equation*} \phi (f):=\int_{a}^{b}fg_{0} \end{equation*}$ es Lipschitz continua. (Sugerencia: Usa la desigualdad de Hölder para integrales.)

Prueba que, si

$1\leq p\leq r\leq \infty$ , entonces la inclusión

$\iota\colon\ell_{p}\hookrightarrow \ell_{r}$ es Lipschitz continua.

Prueba que, para toda

$p\in [1,\infty ]$ , la $k$ -ésima proyección

$\begin{equation*} \pi_{k}\colon\ell_{p}\rightarrow \mathbb{R},\qquad\text{}\pi_{k}(x)=x_{k}, \end{equation*}$ con

$x=(x_{k})\in \ell_{p}$ , es Lipschitz continua.

Dados dos conjuntos

$S$ y

$S^{\prime }$ , una función

$\phi\colon S^{\prime }\rightarrow S$ y un espacio métrico

$X$ , considera la función

$\phi^{\ast }\colon\mathcal{B}(S,X)\rightarrow \mathcal{B}(S^{\prime },X)$ dada por la composición

$\begin{equation*} \phi^{\ast }(f):=f\circ \phi . \end{equation*}$ Demuestra las siguientes afirmaciones:

$\phi^{\ast }$ está bien definida (es decir, que $f\circ \phi$ es acotada si $f$ lo es) y es Lipschitz continua.
Si $\phi$ es suprayectiva, entonces $\phi^{\ast }$ es una isometría.

Demuestra las siguientes afirmaciones:

Toda isometría es Lipschitz continua.
Si $\phi\colon X\rightarrow Y$ y $\psi\colon Y\rightarrow Z$ son Lipschitz continuas entonces la composición $\psi \circ \phi \colon X\rightarrow Z$ es Lipschitz continua.
Si $\phi\colon X\rightarrow Y$ es una equivalencia, entonces $\psi\colon Y\rightarrow Z$ es Lipschitz continua si y sólo si $\psi \circ \phi\colon X\rightarrow Z$ lo es.
Si $\psi\colon Y\rightarrow Z$ es una equivalencia, entonces $\phi\colon X\rightarrow Y$ es Lipschitz continua si y sólo si $\psi \circ \phi\colon X\rightarrow Z$ lo es.

Sea

$\mathcal{I}$ un intervalo en

$\mathbb{R}$ (abierto, cerrado, finito o infinito). Prueba que, si

$f\colon\mathcal{I}\rightarrow \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable en

$\mathcal{I}$ y existe

$C\in \mathbb{R}$ tal que

$\left\vert f^{\prime }(t)\right\vert \leq C$ para todo

$t\in \mathcal{I}$ , entonces

$f$ es Lipschitz continua.

¿Cuáles de las siguientes funciones son Lipschitz continuas y cuáles son equivalencias?

$\phi\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , $\phi (x)=x^{2}$ .
$\phi\colon[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ , $\phi (x)=\sqrt{x}$ .
$\phi\colon\mathbb{R}\rightarrow (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ , $\phi (x)=\arctan x$ .

Dada

$f\in \mathcal{C}^{1}[0,1]$ definimos

$\begin{align*} \opnorm[\big]{f}_{1} &:=\bigl\Vert f^{\prime }\bigr\Vert_{\infty }, \\ \opnorm[\big]{f}_{2} &:=\bigl\vert f(0)\bigr\vert +\bigl\Vert f^{\prime }\bigr\Vert_{\infty }, \\ \opnorm[\big]{f}_{3} &:=\max \left\{ \left\vert \int_{0}^{1}f(x)dx\right\vert ,\bigl\Vert f^{\prime }\bigr\Vert_{\infty }\right\} , \\ \opnorm[\big]{f}_{4} &:=\left( \bigl\Vert f\bigr\Vert_{2}+\bigl\Vert f^{\prime }\bigr\Vert_{2}\right)^{1/2}. \end{align*}$

¿Es $\opnorm{f}_{i}$ una norma en $\mathcal{C}^{1}[0,1]$ ? Responde esta pregunta para cada $i=1,\dots,4$ .
Si $\opnorm{f}_{i}$ es una norma, ¿es $\opnorm{f}_{i}$ equivalente a la norma $\begin{equation*} \bigl\Vert f\bigr\Vert_{1,\infty }:=\bigl\Vert f\bigr\Vert_{\infty }+\bigl\Vert f^{\prime }\bigr\Vert_{\infty } \end{equation*}$ del

Ejercicio 2.51

Considera la función $D\colon\mathcal{C}^{1}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[0,1]$ que a cada $f\in \mathcal{C}^{1}[0,1]$ le asocia su derivada $f^{\prime }\in \mathcal{C}^{0}[0,1]$ . Prueba que $\begin{equation*} D\colon(\mathcal{C}^{1}[0,1],\left\Vert \cdot \right\Vert_{1,\infty })\rightarrow \mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1] \end{equation*}$ es continua.
Para aquellas $\opnorm{\cdot }_{i}$ que sí son normas investiga si $\begin{equation*} D\colon(\mathcal{C}^{1}[0,1],\opnorm{\cdot }_{i})\rightarrow \mathcal{C}_{\infty }^{0}[0,1] \end{equation*}$ es o no una función continua.

Sean

$p,r\in [1,\infty ]$ .

Investiga en qué casos $\id\colon C_{p}^{0}[0,1]\rightarrow C_{r}^{0}[0,1]$ es Lipschitz continua y en qué casos no lo es.
Investiga en qué casos $\id\colon C_{p}^{0}[0,1]\rightarrow C_{r}^{0}[0,1]$ es continua y en qué casos no lo es.
¿En qué casos es $\id\colon C_{p}^{0}[0,1]\rightarrow C_{r}^{0}[0,1]$ una equivalencia?
¿En qué casos es $\id\colon C_{p}^{0}[0,1]\rightarrow C_{r}^{0}[0,1]$ un homeomorfismo?

Considera las trayectorias $\sigma_{k},\sigma\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ dadas por $\begin{equation*} \sigma_{k}(x)=\left(x,\frac{1}{\sqrt{k}}\sen(\pi kx)\right),\qquad \sigma (x)=(x,0). \end{equation*}$

Prueba que $\sigma_{k}\rightarrow \sigma$ en $\mathcal{B}([0,1],\mathbb{R}^{2})$ .
Sea $\mathcal{T}_{(0,0),(1,0)}^{\ast }(\mathbb{R}^{2})$ \ el conjunto de todas las trayectorias de longitud finita de $(0,0)$ a $(1,0)$ en $\mathbb{R}^{2}$ con la métrica uniforme $\begin{equation*} d_{\infty }(\sigma ,\tau )=\max_{t\in [0,1]}\left\Vert \sigma (t)-\tau (t)\right\Vert ,\qquad\text{}\sigma ,\tau \in \mathcal{T}_{(0,0),(1,0)}^{\ast }(\mathbb{R}^{2}), \end{equation*}$

(ver Ejemplo 2.27)

$\begin{equation*} \mathfrak{L}\colon\mathcal{T}_{(0,0),(1,0)}^{\ast }(\mathbb{R}^{2})\rightarrow \mathbb{R}\text{,} \end{equation*}$

(1.1)

Sean

$X=(X,d_{X})$ ,

$Y=(Y,d_{Y})$ y

$Z=(Z,d_{Z})$ espacios métricos.

Prueba que todas las métricas del

Ejercicio 2.53

$X\times Y:=\left\{(x,y):x\in X, y\in Y \right\}$

$X\times Y$

producto de los espacios métricos

$X$

$Y$

Prueba que las proyecciones $\begin{align*} \pi_{X} &\colon X\times Y\rightarrow X,\qquad\text{}\pi_{X}(x,y)=x, \\ \pi_{Y} &\colon X\times Y\rightarrow Y,\qquad\text{}\pi_{Y}(x,y)=y, \end{align*}$ son Lipschitz continuas.
Prueba que $\phi\colon Z\rightarrow X\times Y$ es continua si y sólo si las composiciones $\begin{equation*} \pi_{X}\circ \phi\colon Z\rightarrow X\qquad\text{y\qquad }\pi_{Y}\circ \phi \colon Z\rightarrow Y \end{equation*}$ son continuas.
Prueba que la distancia $d_{X}\colon X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ es continua.

Sea

$(V,\left\Vert \cdot \right\Vert )$ un espacio normado.

Demuestra que las siguientes funciones son continuas. $\begin{align*} V\times V &\rightarrow V,\qquad\text{}(v,w)\mapsto v+w, \\ \mathbb{R}\times V &\rightarrow V,\qquad\text{}(\lambda ,v)\mapsto \lambda v, \\ V &\rightarrow \mathbb{R},\qquad\text{}v\mapsto \left\Vert v\right\Vert . \end{align*}$
¿Cuáles de ellas son Lipschitz continuas?

Sean

$V$ un espacio vectorial y

$d$ una métrica en

$V$ . Demuestra las siguientes afirmaciones:

Si $d$ satisface $\begin{equation} d(v+z,w+z)=d(v,w)\qquad\text{}\forall v,w,z\in V,\label{invtras} \end{equation}$ entonces la suma $V\times V\rightarrow V$ , $(v,w)\mapsto v+w$ , es continua.
Si $d$ satisface

( $\ref{invtras}$ )

$\begin{equation} d(\lambda v,\lambda w)=\left\vert \lambda \right\vert d(v,w)\qquad\text{}\forall v,w\in V,\text{ }\forall \lambda \in \mathbb{R},\label{invdil} \end{equation}$

$\mathbb{R}\times V\rightarrow V$

$(\lambda ,v)\mapsto \lambda v$

Si $d$ satisface

( $\ref{invtras}$ )

( $\ref{invdil}$ )

$\left\Vert \cdot \right\Vert$

$V$

$d$

Sean

$X=(X,d)$ un espacio métrico,

$A$ un subconjunto no vacío de

$X$ y

$x\in X$ . Definimos la distancia de

$x$ a

$A$ como

$\begin{equation*} \dist(x,A):=\inf_{y\in A}d(x,y). \end{equation*}$ Demuestra las siguientes afirmaciones:

La función $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\dist(x,A)$ es Lipschitz continua. \

(Sugerencia: Usa el Ejercicio 2.32)

Si $A$ es un subconjunto cerrado de $X$ , entonces $\dist(x,A)=0$ si y sólo si $x\in A$ .

Sean

$A$ y

$B$ subconjuntos cerrados no vacíos de un espacio métrico

$X$ tales que

$A\cap B=\emptyset$ . Demuestra las siguientes afirmaciones:

Existe una función continua $\eta\colon X\rightarrow [0,1]$ tal que $\eta^{-1}(0)=A$ y $\eta^{-1}(1)=B$ , donde $\eta^{-1}(a):=\left\{ x\in X:\eta (x)=a\right\}$ .

(Sugerencia: Considera la función

$\begin{equation*} \eta (x):=\frac{\dist(x,A)}{\dist(x,A)+\dist(x,B)}. \end{equation*}$

Prueba que está bien definida y que tiene las propiedades deseadas.)

Existen subconjuntos abiertos $V$ y $W$ de $X$ tales que $A\subset V$ , $B\subset W$ y $V\cap W=\emptyset$ .

Sean

$X$ un espacio métrico y

$Y$ un subespacio métrico de

$X$ . Demuestra las siguientes afirmaciones:

Si $U$ es abierto en $X$ entonces $U\cap Y$ es abierto en $Y$ .
Si $A$ es cerrado en $X$ entonces $A\cap Y$ es cerrado en $Y$ .

Sean

$X=(X,d)$ un espacio métrico,

$x_{0}\in X$ y

$r>0$ . Prueba que la esfera

$\begin{equation*} S_{X}(x_{0},r):=\left\{x\in X:d(x_{0},x)=r\right\} \end{equation*}$ es un subconjunto cerrado de

$X$ . (Sugerencia: Usa el Ejercicio 3.52 y la Proposición 3.24)

Sea

$p\in [1,\infty ]$ . Demuestra las siguientes afirmaciones:

$U$ es abierto en $\mathbb{R}^{n}$ si y sólo si $U$ es abierto en $\mathbb{R}_{p}^{n}$ .
$C$ es cerrado en $\mathbb{R}^{n}$ si y sólo si $C$ es cerrado en $\mathbb{R}_{p}^{n}$ .

Sea

$X=[-1,1]$ con la métrica inducida por la de

$\mathbb{R}$ .

Describe las bolas abiertas $B_{X}(1,\varepsilon )$ y $B_{X}(-1,\varepsilon )$ , $\varepsilon >0$ .
¿Cuál es el interior en $X$ de los siguientes conjuntos? $\begin{equation*} (0,1],\qquad[0,1],\qquad \left(0,\tfrac{1}{2}\right), \qquad\left[0,\tfrac{1}{2}\right),\qquad[-1,1]. \end{equation*}$ Observa que el interior de estos conjuntos en $X$ a veces no coincide con su interior en $\mathbb{R}$ .
¿Cuáles de estos conjuntos son abiertos en $X$ ?
¿Cuáles de ellos son cerrados en $X$ ?

¿Para cuáles $p\in [1,\infty ]$ es $\begin{equation*} A_{1}:=\left\{g\in \mathcal{C}^{0}\left[ 0,1\right] :\int_{0}^{1}\left\vert g(x)\right\vert dx \menorque 1\right\} \end{equation*}$ un subconjunto abierto de $\mathcal{C}_{p}^{0}\left[ 0,1\right]$ ?
¿Para cuáles $p\in [1,\infty ]$ es $\begin{equation*} A_{2}:=\left\{g\in \mathcal{C}^{0}\left[ 0,1\right] :\int_{0}^{1}\left\vert g(x)\right\vert dx\leq 1\right\} \end{equation*}$ un subconjunto cerrado de $\mathcal{C}_{p}^{0}\left[ 0,1\right]$ ?

(Sugerencia: Usa la Proposición 3.24.)

Para cada

$p\in [1,\infty ]$ calcula el interior y la cerradura de los siguientes conjuntos en

$\mathcal{C}_{p}^{0}[0,1]$ .

$A_{3}:=\left\{f\in \mathcal{C}^{0}[0,1]:\left\vert f(x)\right\vert \leq 1\:\forall x\in [0,1]\right\}$ .
$A_{4}:=\left\{f_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ donde $f_{k}\in \mathcal{C}^{0}[0,1]$ es la función $\begin{equation*} f_{k}(x)= \begin{cases} 1-kx & \text{si $x\in [0,\frac{1}{k}]$,} \\ 0 & \text{si $x\in [\frac{1}{k},1]$.} \end{cases} \end{equation*}$

Prueba que una sucesión

$(x_{k})$ en un espacio métrico discreto

$X_{\disc}$ converge a

$x$ en

$X_{\disc}$ si y sólo si existe

$k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que

$x_{k}=x$ para todo

$k\geq k_{0}$ .

Sea

$c>0$ . Prueba que

$\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\frac{c^{k}}{k!}=0. \end{equation*}$

Prueba que en cualquier espacio métrico

$X$ la intersección de un número finito de subconjuntos abiertos

$U_{1}\cap \cdots \cap U_{m}$ es abierta en

$X$ .

Da un ejemplo de una familia numerable de abiertos

$\left\{U_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ en

$\mathbb{R}$ cuya intersección

$\bigcap_{k\in \mathbb{N}}U_{k}$ no es abierta en

$\mathbb{R}$ .

Demuestra que en cualquier espacio métrico

$X=(X,d)$ se cumple lo siguiente:

$X$ es cerrado en $X$ .
El conjunto vacío $\emptyset$ es cerrado en $X$ .
La intersección $\bigcap_{i\in \mathcal{I}}C_{i}$ de cualquier familia $\left\{C_{i}:i\in \mathcal{I}\right\}$ de subconjuntos cerrados de $X$ es cerrada en $X$ .
La unión $C\cup D$ de dos subconjuntos cerrados $C$ y $D$ de $X$ es cerrada en $X$ .

(Sugerencia: Aplica las Proposiciones 3.26 y 3.19).

Sean

$A$ y

$B$ subconjuntos de un espacio métrico

$X$ . Demuestra las siguientes afirmaciones:

$\Int(B)\subset\Int(A)$ si $B\subset A$ .
$\Int(A)$ es el máximo subconjunto abierto de $X$ contenido en $A$ .

Sean

$A$ y

$B$ subconjuntos de un espacio métrico

$X$ . Demuestra las siguientes afirmaciones:

$\overline{B}\subset\overline{A}$ si $B\subset A$ .
$\overline{A}$ es el mínimo subconjunto cerrado de $X$ que contiene a $A$ .

Sea

$A$ un subconjunto de un espacio métrico

$X$ . La frontera de

$A$ en

$X$ es el conjunto

$\begin{equation*} \partial A:=\overline{A}\smallsetminus \text{int}(A). \end{equation*}$ Prueba que

$x\in \partial A$ si y sólo si

$B_{X}(x,\varepsilon )\cap A\neq \emptyset$ y

$B_{X}(x,\varepsilon )\cap (X\smallsetminus A)\neq \emptyset$ para todo

$\varepsilon >0$ .

Prueba que la frontera

$\partial A$ de cualquier subconjunto

$A$ de

$X$ es un subconjunto cerrado de

$X$ .

¿Es cierto que la frontera de la bola abierta $B_{V}(v_{0},r)$ en un espacio normado $V$ es la esfera $\begin{equation*} S_{V}(v_{0},r):=\left\{v\in V:\left\Vert v-v_{0}\right\Vert =r\right\}\text{?} \end{equation*}$
¿Es cierto que la frontera de la bola abierta $B_{X}(x_{0},r)$ en un espacio métrico arbitrario $X$ es la esfera $\begin{equation*} S_{X}(x_{0},r):=\left\{x\in X:d_{X}(x,x_{0})=r\right\}\text{?} \end{equation*}$

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