Compacidad
Los subconjuntos de $\mathbb{R}^{n}$ que son cerrados y
acotados tienen una propiedad fundamental: cualquier sucesión de
puntos en ellos contiene una subsucesión convergente. En general,
no cualquier subconjunto cerrado y acotado de un espacio métrico
tiene esta propiedad. A los subconjuntos que la tienen se les llama
compactos. Este término fue introducido por Fréchet en
1906.
La compacidad tiene consecuencias muy importantes. Por ejemplo, toda
función continua en un espacio métrico compacto alcanza su
máximo y su mínimo. Veremos que la compacidad permite
concluir la existencia de una solución de una ecuación
diferencial tomando el límite de ciertas aproximaciones
elementales, como ocurre en el teorema de existencia de Peano que
demostraremos más adelante (ver Teorema 7.14).
Existen varias nociones equivalentes de compacidad en espacios
métricos. Una de ellas afirma que un subconjunto $K$ de un
espacio métrico es compacto si de cualquier familia de conjuntos
abiertos cuya unión contiene a $K$ podemos extraer una familia
finita cuya unión también contiene a $K$. Esta es la
definición que usaremos aquí como punto de partida.
Conjuntos compactos
Sean $X$ un espacio métrico y $A$ un subconjunto de $X$.
Una cubierta de $A$ en $X$ es una familia
$\mathfrak{C}=\left\{ X_{i}:i\in \mathcal{I}\,\right\} $ de
subconjuntos de $X$ tal que
\begin{equation*}
A\subset \bigcup_{i\in \mathcal{I}}X_{i}.
\end{equation*}
Si además $X_{i}$ es abierto en $X$ para toda $i\in
\mathcal{I}$, se dice que $\mathfrak{C}$ es una cubierta
abierta de $A$ en $X$. Un subconjunto
$\mathfrak{C}^{\prime } $ de $\mathfrak{C}$ que a su vez es cubierta
de $A$ se llama una subcubierta de
$\mathfrak{C}$.
Un subconjunto $K$ de $X$ es compacto
si cada cubierta abierta\break
$\mathfrak{C}=\left\{ X_{i}:i\in \mathcal{I}\,\right\} $ de $K$ en $X$
contiene una subcubierta finita, es decir, si existen
$X_{i_{1}},\ldots ,X_{i_{m}}\in \mathfrak{C}$ tales que
\begin{equation*}
K\subset X_{i_{1}}\cup \cdots \cup X_{i_{m}}.
\end{equation*}
Veamos algunos ejemplos. Denotemos por
\begin{equation*}
B(x_{0},r):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert x-x_{0}\right\Vert \menorque r\right\}
\end{equation*}
a la bola abierta en $\mathbb{R}^{n}$ con centro en $x_{0}$ y radio
$r$.
$\mathbb{R}^{n}$ no es compacto.
$\mathfrak{C}:=\left\{B(0,k):k\in \mathbb{N}\right\}$ es una cubierta abierta
de $\mathbb{R}^{n}$, pero ningún subconjunto finito de
$\mathfrak{C}$ es cubierta de $\mathbb{R}^{n}$.
Por tanto, $\mathbb{R}^{n}$ no es compacto.
La bola abierta $B(0,1)$ en $\mathbb{R}^{n}$ no es
compacta.
$\mathfrak{C}:=\left\{B(0,1-\frac{1}{k}):k\in \mathbb{N}\right\}$ es una
cubierta abierta de $B(0,1)$, pero ningún subconjunto finito de
$\mathfrak{C}$ es cubierta de $B(0,1)$.
Por tanto, $B(0,1)$ no es compacta.
A continuación probaremos algunas propiedades importantes de los
conjuntos compactos.
Si $K$ es un subconjunto compacto de $X$, entonces
toda sucesión $(x_{k})$ de elementos de $K$ contiene una
subsucesión que converge en $X$ a un elemento de $K$.
Sea $(x_{k})$ una sucesión en $K$. Probaremos primero que existe
un punto $y_{0}\in K$ tal que, para cada $\varepsilon >0$, la bola
abierta $B_{X}(y_{0},\varepsilon )$ con centro en $y_{0}$ y radio
$\varepsilon $ contiene alguna subsucesión de $(x_{k})$.
Argumentando por contradicción, supongamos que para cada $y\in
K$ existe $\varepsilon_{y}>0$ tal que $B_{X}(y,\varepsilon_{y})$
no contiene ninguna subsucesión de $(x_{k})$. Entonces existe
$k_{y}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
x_{k}\notin B_{X}(y,\varepsilon_{y})\qquad \forall k\geq k_{y}.
\end{equation*}
Como $K$ es compacto y $\mathfrak{C}:=\left\{B_{X}(y,\varepsilon
_{y}):y\in K\right\}$ es una cubierta abierta de $K$, existen
$y_{1},\dots,y_{m}\in K$ tales que
\begin{equation*}
K\subset B_{X}(y_{1},\varepsilon_{y_{1}})\cup \cdots \cup
B_{X}(y_{m},\varepsilon_{y_{m}}).
\end{equation*}
Esto implica que $x_{k}\notin K$ para todo $k\geq \max
\left\{k_{y_{1}},\dots,k_{y_{m}}\right\}$, lo cual es falso.
En consecuencia, existe $y_{0}\in K$ tal que toda bola abierta con
centro en $y_{0}$ contiene a una subsucesión de $(x_{k})$. Esto
nos permite escoger, inductivamente, para cada $j\in \mathbb{N}$ un
punto $x_{k_{j}}\in B_{X}(y_{0},\frac{1}{j})$ tal que
$k_{j}>k_{j-1}$. La sucesión $(x_{k_{j}})$ es una
subsucesión de $(x_{k})$ que converge a $y_{0}$.
Más adelante veremos que el recíproco también es
válido, es decir, que $K$ es un subconjunto compacto de $X $si y
sólo si toda sucesión $(x_{k})$ en $K$ contiene una
subsucesión convergente en $K$ (ver Teorema 7.4).
Un subconjunto $A$ de un espacio métrico
$X$ es acotado si existen $x\in X$
y $\varepsilon >0$ tales que $A\subset B_{X}(x,\varepsilon )$.
Si $K$ es un subconjunto compacto de $X$, entonces $K$
es cerrado y acotado.
Sea $K$ un subconjunto compacto de $X$. Si $x_{0}\in \overline{K}$,
existe una sucesión $(x_{k})$ en $K$ que converge a $x_{0} $ en $X$
(ver Proposición
3.32). Por la Proposición
4.5,
$(x_{k})$ contiene una subsucesión $(x_{k_{j}})$ que converge a un
punto $y_{0}\in K$. De la Proposición
3.29 se sigue que
$x_{0}=y_{0}\in K$. Esto prueba que $K$ es cerrado.
Probemos ahora que $K$ es acotado. Fijemos un punto $x_{0}\in X$. El
conjunto $\mathfrak{C}:=\left\{B_{X}(x_{0},k):k\in \mathbb{N}\right\}$ es una
cubierta abierta de $K$. Como $K$ es compacto, existen
$k_{1},\dots,k_{m}\in \mathbb{N}$ tales que
\begin{equation*}
K\subset B_{X}(x_{0},k_{1})\cup \cdots \cup B_{X}(x_{0},k_{m}).
\end{equation*}
Sea $k_{0}:=\max \left\{k_{1},\dots,k_{m}\right\}$. Entonces $K\subset
B_{X}(x_{0},k_{0})$, es decir, $K$ es acotado.
El recíproco no es cierto en general, como lo muestra el
siguiente ejemplo.
La bola cerrada $ \bar{B}_{\ell
_{2}}(0,1):=\left\{(x_{n})\in \ell_{2}:\sum_{n=1}^{\infty
}x_{n}^{2}\leq 1\right\}$ no es compacta en $\ell_{2}$.
Para cada $k\in \mathbb{N}$ denotemos por $\overline{e}_{k}\in \ell
_{2}$ a la sucesión cuyo $k$-ésimo término es $1$ y
todos los demás términos son $0$. Claramente
$\overline{e}_{k}\in \bar{B}_{\ell_{2}}(0,1)$. Observa que
\begin{equation*}
\left\Vert \overline{e}_{j}-\overline{e}_{k}\right\Vert_{2}=\sqrt{2}\qquad \forall j\neq k.
\end{equation*}
Supongamos que una subsucesión $(\overline{e}_{k_{j}})$ converge
a $\overline{e}$ en $\ell_{2}$. Entonces existe $j_{0}\in
\mathbb{N}$ tal que $\left\Vert
\overline{e}_{k_{j}}-\overline{e}\right\Vert
_{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}$ para todo $j\geq j_{0}$. En consecuencia,
\begin{equation*}
\left\Vert \overline{e}_{k_{j}}-\overline{e}_{k_{i}}\right\Vert_{2}\leq
\left\Vert \overline{e}_{k_{j}}-\overline{e}\right\Vert_{2}+\left\Vert
\overline{e}-\overline{e}_{k_{i}}\right\Vert_{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\qquad \forall i,j\geq j_{0},
\end{equation*}
lo cual es imposible. Esto prueba que $(\overline{e}_{k})$ no
contiene ninguna subsucesión convergente. La
Proposición
4.5 implica que $\bar{B}_{\ell_{2}}(0,1)$ no es
compacta.
En general, las bolas cerradas en espacios de dimensión infinita
nunca son compactas (ver Ejercicio 5.39). Veremos en la
próxima sección que en $\mathbb{R}^{n}$ sí lo son.
Sea $K$ un subconjunto compacto de $X$. Si $C\subset
K$ y $C$ es cerrado en $X$, entonces $C$ es compacto.
Sea $C$ un subconjunto cerrado de un conjunto compacto $K$. Si
$\mathfrak{C}=\left\{ U_{i}:i\in \mathcal{I}\right\} $ es una
cubierta abierta de $C$ en $X$, entonces $\mathfrak{C}^{\prime
}:=\left\{ U_{i}:i\in \mathcal{I}\right\} \cup \left\{
X\smallsetminus C\right\} $ es una cubierta abierta de $K$ en $X$.
Como $K$ es compacto, existen $U_{i_{1}},\dots,U_{i_{m}}\in
\mathfrak{C}$ tales que
\begin{equation*}
K\subset U_{i_{1}}\cup \cdots \cup U_{i_{m}}\cup (X\smallsetminus C).
\end{equation*}
En consecuencia, $C\subset U_{i_{1}}\cup \cdots \cup U_{i_{m}}$.
Esto prueba que $C$ es compacto.
La compacidad se preserva bajo funciones continuas, es decir, se
cumple lo siguiente.
Si $\phi\colon X\rightarrow Y$ es continua y $K$ es un
subconjunto compacto de $X$, entonces $\phi (K)$ es un subconjunto
compacto de $Y$.
Sea $\mathfrak{C}=\left\{ V_{i}:i\in \mathcal{I}\right\} $ una
cubierta abierta de $\phi (K)$ en $Y$. Como $\phi $ es continua,
$\phi^{-1}(V_{i})$ es abierto en $X$ (ver
Proposición
3.24). Por tanto, $\mathfrak{C}^{\prime
}:=\left\{ \phi ^{-1}(V_{i}):i\in \mathcal{I}\right\} $ es una
cubierta abierta de $K$ en $X$ y, como $K$ es compacto, existen
$\phi ^{-1}(V_{i_{1}}),\dots,\phi^{-1}(V_{i_{m}})\in
\mathfrak{C}^{\prime }$ tales que $K\subset \phi^{-1}(V_{i_{1}})\cup
\cdots \cup \phi ^{-1}(V_{i_{m}})$. En consecuencia, $\phi
(K)\subset V_{i_{1}}\cup \cdots \cup V_{i_{m}}$. Esto prueba que
$\phi (K)$ es compacto.
Si $K$ es un espacio métrico compacto y
$\phi\colon K\rightarrow X$ es continua, entonces $\phi $ es una función
acotada.
Por la proposición anterior, $\phi (K)$ es un subconjunto
compacto de $X$. La Proposición
4.7 asegura entonces
que $\phi (K)$ es acotado, es decir, $\phi $ es una función
acotada (ver Definición
2.24).
El teorema de Heine-Borel
Resulta difícil decidir a partir de la definición si un conjunto es
compacto o no lo es. A continuación daremos una caracterización
sencilla de los subconjuntos compactos de $\mathbb{R}^{n}$. Probaremos
que son precisamente aquéllos que son cerrados y acotados. A este
resultado se le conoce como el teorema de Heine-Borel.
Empezaremos probando la siguiente afirmación.
El cubo cerrado
\begin{equation*}
Q:=\left\{(x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}:x_{i}\in [-r,r]\text{, }i=1,\dots,n\right\},\qquad r>0,
\end{equation*}
es compacto.
Argumentando por contradicción, supongamos que $Q$ no es
compacto. Entonces existe una cubierta abierta
$\mathfrak{C}=\left\{ U_{i}:i\in \mathcal{I}\right\} $ de $Q$ en
$\mathbb{R}^{n}$ tal que ningún subconjunto finito de
$\mathfrak{C}$ es cubierta de $Q$. En consecuencia, si subdividimos
a $Q$ en $2^{n}$ cubos cerrados de lado $r$, se cumple que al menos
uno de ellos, llamémoslo $Q_{1}$, no está contenido en la
unión de un número finito de elementos de $\mathfrak{C}$.
Subdividamos ahora $Q_{1}$ en $2^{n}$ cubos cerrados de lado
$\frac{r}{2}$ y repitamos este argumento para obtener una
sucesión decreciente de cubos cerrados
\begin{equation*}
Q\supset Q_{1}\supset \cdots \supset Q_{k}\supset \cdots ,
\end{equation*}
tales $Q_{k}$ es un cubo de lado $\frac{r}{2^{k-1}}$ y $Q_{k}$ no
esta contenido en la unión de ningún subconjunto finito de
$\mathfrak{C}$.
Denotemos por $\xi^{k}=(\xi_{1}^{k},\dots,\xi_{n}^{k})$ al centro
de $Q_{k}$. Entonces,
\begin{equation}
\left\vert \xi_{i}^{k}-x_{i}\right\vert \leq \frac{r}{2^{k}}\qquad \forall x=(x_{1},\dots,x_{n})\in Q_{k}.\label{centrcuad}
\end{equation}
En particular, como $\xi^{j}\in Q_{k}$ para $j\geq k$, se tiene que
\begin{equation}
\left\vert \xi_{i}^{k}-\xi_{i}^{j}\right\vert \leq \frac{r}{2^{k}}\qquad \forall j\geq k,\text{ }\forall i=1,\dots,n.\label{centrcau}
\end{equation}
Así pues, para cada $i=1,\dots,n$, la sucesión $(\xi
_{i}^{k})$ es de Cauchy en $\mathbb{R}$ y, en consecuencia, existe
$\xi_{i}\in \mathbb{R}$ tal que $\xi_{i}^{k}\rightarrow \xi_{i}$
en $\mathbb{R}$. Pasando al límite cuando $j\rightarrow
\infty $ en la desigualdad (\ref{centrcau}) obtenemos que
\begin{equation}
\left\vert \xi_{i}^{k}-\xi_{i}\right\vert \leq \frac{r}{2^{k}}\qquad\text{
}\forall k\in \mathbb{N},\text{ }\forall i=1,\dots,n.\label{centrconv}
\end{equation}
Dado que $\xi_{i}^{j}\in [-r,r]$, se tiene que $\xi_{i}\in
[-r,r]$. Es decir, $\xi =(\xi_{1},\dots,\xi_{n})\in Q$. Y,
puesto que $\mathfrak{C}$ es cubierta de $Q$, existe $U_{\ast }\in
\mathfrak{C}$ tal que $\xi \in U_{\ast }$.
Ahora bien, como $U_{\ast }$ es abierto, existe $\varepsilon >0$ tal
que $B(\xi ,\varepsilon )\subset U_{\ast }$. Si $x\in Q_{k}$, usando
las desigualdades (\ref{centrcuad}) y (\ref{centrconv}) obtenemos
\begin{equation*}
\left\Vert x-\xi \right\Vert \leq \left\Vert x-\xi^{k}\right\Vert
+\left\Vert \xi^{k}-\xi \right\Vert \leq \frac{r\sqrt{n}}{2^{k}}+\frac{r\sqrt{n}}{2^{k}}=\frac{r\sqrt{n}}{2^{k-1}}
\end{equation*}
y, en consecuencia,
\begin{equation*}
Q_{k}\subset B(\xi ,\varepsilon )\subset U_{\ast }\qquad\text{ si }\frac{r\sqrt{n}}{2^{k-1}}<\varepsilon \text{.}
\end{equation*}
Esto contradice nuestra suposición de que $Q_{k}$ no puede ser
cubierto por un número finito de elementos de $\mathfrak{C}$. En
consecuencia, $Q$ es compacto.
El teorema de Heine-Borel da una caracterización sencilla de los
subconjuntos compactos de $\mathbb{R}^{n}$.
[Heine-Borel]
Sea $K$ un subconjunto de
$\mathbb{R}^{n}$. Entonces, $K$ es compacto si y sólo si $K$ es
cerrado y acotado.
Por la Proposición
4.7, si $K$ es compacto entonces es
cerrado y acotado. Inversamente, supongamos que $K$ es cerrado y
acotado. Entonces existe $r>0$ tal que $K$ está contenido en el
cubo
\begin{equation*}
Q=\left\{(x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}:x_{i}\in [-r,r]\text{, }i=1,\dots,n\right\},
\end{equation*}
que es compacto. La Proposición
4.9 implica que $K$
también lo es.
Otra consecuencia importante de la Proposición 4.12 es el
siguiente resultado, que se conoce como el teorema de
Bolzano-Weierstrass.
[Bolzano-Weierstrass]
Toda sucesión
acotada en $\mathbb{R}^{n}$ contiene una subsucesión
convergente.
Si $(\zeta_{k})$ es una sucesión acotada en $\mathbb{R}^{n}$,
entonces existe $r>0$ tal que $\zeta_{k}\in Q$ para todo $k\in
\mathbb{N}$, donde $Q$ es el cubo
\begin{equation*}
Q=\left\{(x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}:x_{i}\in [-r,r]\text{, }i=1,\dots,n\right\},
\end{equation*}
que es compacto. Por la Proposición
4.5, la
sucesión $(\zeta_{k})$ contiene una subsucesión
convergente.
Existencia de máximos y mínimos
Sean $X$ un espacio métrico y $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\infty ,-\infty \right\}$ una función.
Decimos que $f$ alcanza su mínimo en $X$ si existe
$x_{0}\in X$ tal que
\begin{equation*}
f(x_{0})\leq f(x)\qquad \forall x\in X.
\end{equation*}
Decimos que $f$ alcanza su máximo en $X$ si existe
$x_{1}\in X$ tal que
\begin{equation*}
f(x_{1})\geq f(x)\qquad \forall x\in X.
\end{equation*}
El punto $x_{0}$ se llama un mínimo
de $f$ en $X$ y el punto
$x_{1}$ se llama un máximo de $f$ en~$X$.
Una función continua no alcanza, en general, su mínimo o su
máximo. Veamos un ejemplo.
La función $\arctan\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ está
acotada inferior y superiormente pero no alcanza ni su mínimo
ni su máximo en $\mathbb{R}$.
Una consecuencia importante de la compacidad es la siguiente.
Si $K$ es un espacio métrico compacto y no
vacío, entonces toda función continua $f\colon K\rightarrow
\mathbb{R}$ alcanza su mínimo y su máximo en $K$.
El Corolario
4.11 asegura que $f(K)$ es un subconjunto
acotado en $\mathbb{R}$ y, dado que no es vacío, se tiene que
\begin{equation*}
m_{0}:=\inf_{z\in K}f(z)\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
Escojamos $z_{k}\in K$ tal que
\begin{equation}
m_{0}\leq f(z_{k})\menorque m_{0}+\tfrac{1}{k}\qquad \forall k\in \mathbb{N}\text{.}\label{mini}
\end{equation}
Como $K$ es compacto, la Proposición
4.5 asegura que la
sucesión $(z_{k})$ contiene una subsucesión $(z_{k_{j}})$
que converge a un punto $z_{0}$ en $K$. Dado que $f$ es continua, se
tiene entonces que $f(z_{k_{j}})\rightarrow f(z_{0})$ en
$\mathbb{R}$. De la desigualdad (\ref{mini}) se sigue que
\begin{equation*}
m_{0}=\lim_{j\rightarrow \infty }f(z_{k_{j}})=f(z_{0}).
\end{equation*}
Es decir, $z_{0}$ es un mínimo de $f$.
De manera análoga se prueba que $f$ alcanza su máximo en $K$
[Ejercicio
4.39].
En particular, se tiene el siguiente resultado, al que nos referimos
en el Capítulo 1.
Sea $K\neq \emptyset $ un subconjunto cerrado y
acotado de $\mathbb{R}^{n}$. Entonces toda función continua
$f\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ alcanza su máximo y su mínimo
en $K$.
Esta afirmación es consecuencia inmediata de los
Teoremas
4.17 y
4.13.
Una consecuencia importante del Teorema 4.17 es el siguiente
resultado.
Cualesquiera dos normas en un espacio
vectorial de dimensión finita son equivalentes.
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y sea
$\left\{e_{1},\dots,e_{n}\right\}$ una base de $V$. Dado $v\in V$ lo expresamos
como $v=\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ con $x_{i}\in \mathbb{R}$, y
definimos
\begin{equation*}
\left\Vert v\right\Vert_{\ast }:=\biggl( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\biggr)
^{1/2}.
\end{equation*}
Es sencillo comprobar que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\ast }$ es
una norma en $V$. Denotemos por $V_{\ast }:=(V,\left\Vert \cdot
\right\Vert_{\ast })$ al espacio $V$ provisto de esta
norma. Entonces la función $\phi\colon\mathbb{R}^{n}\rightarrow
V_{\ast }$ dada por
\begin{equation*}
\phi (x_{1},\dots,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}
\end{equation*}
es una isometría (ver Ejercicio
2.56). Como el
conjunto $S:=\left\{v\in V:\left\Vert v\right\Vert_{\ast }=1\right\}$ es la
imagen bajo $\phi $ de la esfera unitaria $\mathbb{S}^{n-1}:=\left\{x\in
\mathbb{R}^{n}:\left\Vert x\right\Vert =1\right\}$, que es cerrada y
acotada en $\mathbb{R}^{n}$, el teorema de Heine-Borel y la
Proposición
4.10 aseguran que $S$ es compacto en
$V_{\ast }$.
Sea $\left\Vert \cdot \right\Vert $ una norma en $V$. Para probar la
afirmación del teorema, bastará probar que $\left\Vert \cdot
\right\Vert_{\ast }$ y $\left\Vert \cdot \right\Vert $ son normas
equivalentes.
Sea $c_{1}:=\biggl( \sum_{i=1}^{n}\left\Vert e_{i}\right\Vert
^{2}\biggr)^{1/2}$. Usando la desigualdad del triángulo para
$\left\Vert \cdot \right\Vert $ y la desigualdad de Hölder en
$\mathbb{R}^{n}$ con $p=q=2$ (ver Proposición
2.12)
obtenemos que
\begin{equation}
\left\Vert v\right\Vert \leq \sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}\right\vert
\left\Vert e_{i}\right\Vert \leq \biggl( \sum_{i=1}^{n}\left\vert
x_{i}\right\vert^{2}\biggr)^{1/2}\biggl( \sum_{i=1}^{n}\left\Vert
e_{i}\right\Vert^{2}\biggr)^{1/2}\leq c_{1}\left\Vert v\right\Vert_{\ast
}\qquad \forall v\in V.\label{connor}
\end{equation}
Como consecuencia de esta desigualdad, la función $\left\Vert
\cdot \right\Vert \colon V_{\ast }\rightarrow \mathbb{R}$ es Lipschitz
continua, ya que
\begin{equation*}
\bigl\vert \left\Vert w\right\Vert -\left\Vert v\right\Vert \bigr\vert \leq
\left\Vert w-v\right\Vert \leq c_{1}\left\Vert w-v\right\Vert_{\ast }\qquad
\forall v,w\in V.
\end{equation*}
Aplicando el Teorema
4.17 concluimos que existe $v_{0}\in
S$ tal que $\left\Vert v_{0}\right\Vert \leq \left\Vert v\right\Vert
$ para todo $v\in S$, es decir,
\begin{equation*}
c_{2}:=\left\Vert v_{0}\right\Vert \leq \left\Vert \frac{v}{\left\Vert
v\right\Vert_{\ast }}\right\Vert =\frac{\left\Vert v\right\Vert }{\left\Vert v\right\Vert_{\ast }}\qquad \forall v\in V,\text{ }v\neq 0.
\end{equation*}
O, equivalentemente,
\begin{equation}
c_{2}\left\Vert v\right\Vert_{\ast }\leq \left\Vert v\right\Vert \qquad
\forall v\in V.\label{connor2}
\end{equation}
Nota que $c_{2}>0$ porque $v_{0}\neq 0$. Las desigualdades
(\ref{connor}) y (\ref{connor2}) aseguran que las normas $\left\Vert
\cdot \right\Vert_{\ast } $ y $\left\Vert \cdot \right\Vert $ son
equivalentes.
Denotamos por
\begin{equation}
\mathcal{C}^{0}(X,Y):=\left\{\phi \colon X\rightarrow Y:\phi \text{ es continua}\right\}.
\label{efc}
\end{equation}
El
Corolario 4.11 asegura que, si $K$ es un espacio
métrico compacto, entonces $\mathcal{C}^{0}(K,Y)$ está
contenido en el espacio de funciones acotadas $\mathcal{B}(K,Y)$ (ver
Sección 2.4). Podemos entonces darle a
$\mathcal{C}^{0}(K,Y)$ la métrica uniforme
\begin{equation*}
d_{\infty }(\phi ,\psi )=\sup_{x\in K}d_{Y}(\phi (x),\psi (x)).
\end{equation*}
Observa que, si $\phi ,\psi \in \mathcal{C}^{0}(K,Y)$, la función
$f\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=d_{Y}(\phi (x),\psi (x))$
es continua. Si $K$ es compacto y no vacío, esta función
alcanza su máximo en $K$ y, en consecuencia,
\begin{equation}
d_{\infty }(\phi ,\psi )=\max_{x\in K}d_{Y}(\phi (x),\psi (x)).
\label{dinfmax}
\end{equation}
Semicontinuidad
Volvamos ahora a nuestro problema de partida, el Problema
1.1, que inquiere lo siguiente: ¿Alcanza la
función longitud su mínimo en el conjunto de trayectorias
$\mathcal{T}_{p,q}(X)$?
El conjunto $\mathcal{T}_{p,q}(X)$ es un espacio métrico con la
métrica uniforme, pero la función longitud no es continua,
así que no podemos aplicar el Teorema 4.17 para obtener
una respuesta a esta pregunta.
En cierto sentido las condiciones de compacidad y continuidad son
opuestas la una de la otra ya que, mientras más abiertos tenga
$X$, más fácil es que una función $X\rightarrow Y$ resulte
continua pero más difícil es que $X$ sea compacto. Y
viceversa. Esta disyuntiva se presenta con frecuencia en las
aplicaciones. Resulta pues conveniente contar con un resultado de
existencia de mínimos para funciones que no son continuas.
Empecemos extendiendo el concepto de trayectoria a un espacio
métrico arbitrario $X=(X,d_{X})$.
Una trayectoria en $X$
es una función continua
$\sigma\colon [a,b]\rightarrow X$. La longitud de $\sigma$
se define como
\begin{equation*}
\mathfrak{L}(\sigma ):=\sup \left\{ \sum_{k=1}^{m}d_{X}(\sigma
(t_{k-1}),\sigma (t_{k})):a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{m}=b,\text{ }m\in \mathbb{N}\right\} .
\end{equation*}
La longitud de una trayectoria no es necesariamente finita [Ejercicio
4.48]. Denotemos por
\begin{equation*}
\mathfrak{L}\colon\mathcal{C}^{0}([a,b],X)\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}
\end{equation*}
a la función que a cada trayectoria le asocia su longitud.
Sabemos que esta función no es continua en general (ver Ejercicio
3.48). Esto se debe a que pueden existir trayectorias
arbitrariamente largas tan cercanas como queramos a una trayectoria
dada.
Sin embargo, no pueden existir trayectorias arbitrariamente cortas tan
cercanas como queramos a una trayectoria dada, como lo muestra el
siguiente resultado.
Dadas $\sigma \in \mathcal{C}^{0}([a,b],X)$ y
$c<\mathfrak{L}(\sigma )$, existe $\delta >0$ tal que
\begin{equation*}
c<\mathfrak{L}(\tau )\qquad\text{ si }d_{\infty }(\tau ,\sigma )<\delta .
\end{equation*}
Sean $\sigma\colon [a,b]\rightarrow X$ una trayectoria en $X$ y
$c<\mathfrak{L}(\sigma )$. Escojamos $\delta_{0}>0$ tal que
$c+\delta_{0}<\mathfrak{L}(\sigma )$ y una partición
$a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{m}=b$ tal que
\begin{equation*}
c+\delta_{0}<\underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}d_{X}(\sigma
(t_{k-1}),\sigma (t_{k})).
\end{equation*}
Sea $\delta :=\frac{\delta_{0}}{2m}$. Si $d_{\infty }(\sigma ,\tau
)<\delta $, se tiene que
\begin{align*}
d_{X}(\sigma (t_{k-1}),\sigma (t_{k})) &\leq d_{X}(\sigma (t_{k-1}),\tau
(t_{k-1}))+d_{X}(\tau (t_{k-1}),\tau (t_{k}))+d_{X}(\tau (t_{k}),\sigma
(t_{k})) \\
&<\delta +d_{X}(\tau (t_{k-1}),\tau (t_{k}))+\delta =d_{X}(\tau
(t_{k-1}),\tau (t_{k}))+\frac{\delta_{0}}{m}.
\end{align*}
Sumando estas desigualdades para todo $k=1,\dots,m$ obtenemos que
\begin{equation*}
c+\delta_{0}<\underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}d_{X}(\sigma
(t_{k-1}),\sigma (t_{k}))<\underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}d_{X}(\tau
(t_{k-1}),\tau (t_{k}))+\delta_{0}\leq \mathfrak{L}(\tau )+\delta_{0}.
\end{equation*}
En consecuencia, $c<\mathfrak{L}(\tau )$.
A continuación estudiaremos a las funciones que tienen esta
propiedad.
Una función $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{
\infty \right\} $ es semicontinua inferiormente en el
punto $x_{0}\in X$ si, dada $c\menorque f(x_{0})$, existe $\delta >0$ tal
que
\begin{equation*}
c\menorque f(x)\qquad\text{ si }d_{X}(x,x_{0})<\delta .
\end{equation*}
Se dice que $f$ es semicontinua inferiormente (s.c.i.)
si lo es en
todo punto $x_{0}\in X$.
Análogamente, se define el siguiente concepto.
Una función $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{
-\infty \right\} $ es semicontinua superiormente en el
punto $x_{0}\in X$ si, dada $c>f(x_{0})$, existe $\delta >0$ tal
que
\begin{equation*}
f(x)\menorque c\qquad\text{ si }d_{X}(x,x_{0})<\delta .
\end{equation*}
Se dice que $f$ es semicontinua superiormente (s.c.s.)
si lo es en
todo punto $x_{0}\in X$.
Observa que $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ es continua si y sólo si
$f$ es s.c.i. y s.c.s. [Ejercicio 4.43].
- La función $\left\lceil \cdot \right\rceil
\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por
\begin{equation*}
\left\lceil t\right\rceil :=n\text{ si }n-1\menorque t\leq n,\text{ }n\in \mathbb{Z}.
\end{equation*}
es s.c.i. pero no es continua.
- La función parte entera $\left\lfloor \cdot
\right\rfloor\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por
\begin{equation*}
\left\lfloor t\right\rfloor :=n\text{ si }n\leq t\menorque n+1,\text{ }n\in
\mathbb{Z},
\end{equation*}
es s.c.s. pero no es continua.
La demostración es sencilla y se propone como ejercicio [Ejercicio 4.44].
La
Proposición 4.21 asegura que la función
longitud
\begin{equation*}
\mathfrak{L}\colon\mathcal{C}^{0}([a,b],X)\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{
\infty \right\} ,\qquad \sigma \mapsto \mathfrak{L}(\sigma ),
\end{equation*}
es s.c.i.
Una caracterización muy útil de la semicontinuidad inferior
está dada en términos del siguiente concepto.
Sea $(t_{k})$ una sucesión en
$\mathbb{R}\cup \left\{\infty ,-\infty \right\}$. El límite
inferior de $(t_{k})$ se define como
\begin{equation*}
\liminf_{k\rightarrow \infty }t_{k}:=\sup_{m\geq 1}\inf_{k\geq m}t_{k}\in \mathbb{R}\cup \left\{\infty ,-\infty \right\},
\end{equation*}
y el límite superior de $(t_{k})$
como
\begin{equation*}
\limsup_{k\rightarrow \infty }t_{k}:=\inf_{m\geq 1}\sup_{k\geq m}t_{k}\in \mathbb{R}\cup \left\{\infty ,-\infty \right\}.
\end{equation*}
Si $t_{k}:=(-1)^{k}$ entonces la sucesión $(t_{k})$ no converge,
y se tiene que
\begin{equation*}
\liminf_{k\rightarrow \infty }t_{k}=-1\qquad\text{ y\qquad }\limsup_{k\rightarrow \infty }t_{k}=1.
\end{equation*}
Es fácil ver [Ejercicio 4.45] que, si una sucesión
de números reales $(t_{k})$ converge en~$\mathbb{R}$, entonces
\begin{equation}
\liminf_{k\rightarrow \infty }t_{k}=\lim_{k\rightarrow \infty
}t_{k}=\limsup_{k\rightarrow \infty }t_{k},\label{limi}
\end{equation}
$f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{ \infty
\right\} $ es semicontinua inferiormente en $x_{0}$ si y sólo si
para cualquier sucesión $(x_{k})$ en $X$ tal que
$\underset{k\rightarrow \infty }{\lim }x_{k}=x_{0} $ se cumple que
\begin{equation*}
f(x_{0})\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }f(x_{k}).
\end{equation*}
$\Rightarrow )$: Supongamos que $f$ es semicontinua inferiormente
en $x_{0}$. Sea $(x_{k})$ una sucesión en $X$ tal que
$\underset{k\rightarrow \infty }{\lim }x_{k}=x_{0}$. Entonces, para
cada $c\menorque f(x_{0})$, existe $\delta >0$ tal que
\begin{equation*}
c\menorque f(x)\qquad\text{ si }d_{X}(x,x_{0})<\delta .
\end{equation*}
Sea $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
x_{k}\in B_{X}(x_{0},\delta )\qquad \forall k\geq k_{0}.
\end{equation*}
Entonces,
\begin{equation*}
c\leq \inf_{k\geq k_{0}}f(x_{k})\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }f(x_{k}).
\end{equation*}
Como esta desigualdad se cumple para todo $c\menorque f(x_{0})$, concluimos
que
\begin{equation*}
f(x_{0})\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }f(x_{k}).
\end{equation*}
$\Leftarrow )$: Supongamos que $f$ no es semicontinua
inferiormente en $x_{0}$. Entonces, para algún $c_{0}\menorque f(x_{0})$
existe una sucesión $(x_{k})$ en $X$ tal que
\begin{equation*}
x_{k}\in B_{X}\left(x_{0},\tfrac{1}{k}\right)\qquad\text{ y\qquad }c_{0}\geq f(x_{k})\qquad \forall k\in \mathbb{N}\text{.}
\end{equation*}
Esto implica que $(x_{k})$ converge a $x_{0}$ en $X$ y que
\begin{equation*}
\liminf_{k\rightarrow \infty }f(x_{k})\leq c_{0}\menorque f(x_{0}),
\end{equation*}
lo que demuestra la implicación deseada.
Dado $a\in \mathbb{R}$, denotamos
\begin{equation*}
f^{\leq a}:=\left\{x\in X:f(x)\leq a\right\}.
\end{equation*}
El siguiente resultado tiene aplicaciones importantes. Por lo pronto,
como la función longitud es s.c.i., nos da esperanzas de obtener
alguna respuesta al Problema 1.1.
Si $f\colon X\rightarrow \mathbb{R\cup \left\{\infty \right\}}$ s.c.i. y
si $f^{\leq a}$ es compacto y no vacío para algún $a\in
\mathbb{R}$, entonces $f$ alcanza su mínimo en $X$.
Sea $m_{0}:=\inf_{x\in X}f(x)$. Como $f^{\leq a}\neq \emptyset $, se
tiene que $-\infty \leq m_{0}\leq a$. Sea $(x_{k})$ una sucesión
en $f^{\leq a} $ tal que $f(x_{k})\rightarrow m_{0}$. Como $f^{\leq
a}$ es compacto, $(x_{k})$ contiene una subsucesión
$(x_{k_{j}})$ tal que $x_{k_{j}}\rightarrow x_{0}$ en $X$. De la
proposición anterior y la observación (\ref{limi}) se sigue
que
\begin{equation*}
m_{0}\leq f(x_{0})\leq \liminf_{j\rightarrow \infty
}f(x_{k_{j}})=\lim_{j\rightarrow \infty }f(x_{k_{j}})=m_{0}.
\end{equation*}
Por lo tanto, $f(x_{0})=m_{0}>-\infty$, es decir, $x_{0}$ es un mínimo
de $f$.
Para aplicar este resultado al Problema 1.1
deberemos investigar si para algún $a\in \mathbb{R}$ el conjunto de
trayectorias en $\mathcal{T}_{p,q}(X)$ de longitud a lo más $a$ es
compacto y no vacío. Es sencillo comprobar que no es así
[Ejercicio 4.49]. Volveremos al
Problema 1.1 en el Capítulo 7.
Continuidad uniforme
La noción de continuidad de una función es una propiedad
local, es decir, una función es continua si lo es en cada punto. A
continuación daremos una noción de continuidad, que no depende
de cada punto en particular, sino únicamente de la distancia entre
los puntos. Esta propiedad es importante, por ejemplo, para garantizar
la continuidad de ciertas funciones definidas en espacios de funciones
[Ejercicio 4.52].
Sean $(X,d_{X})$ y $(Y,d_{Y})$ espacios métricos.
Una función $\phi\colon X\rightarrow Y$ es uniformemente
continua si dada
$\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ (que depende únicamente de
$\varepsilon $) tal que, para cualesquiera $x_{1},x_{2}\in X$,
\begin{equation*}
d_{Y}(\phi (x_{1}),\phi (x_{2}))<\varepsilon
\qquad\text{ si }d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta .
\end{equation*}
Claramente toda función uniformemente continua es continua. Pero
el recíproco no es cierto en general [Ejercicio
4.51]. El siguiente resultado afirma que, si la
función está definida en un espacio compacto, ambas nociones
coinciden.
Sea $K$ un espacio métrico compacto. Entonces
toda función continua $\phi\colon K\rightarrow Y$ es uniformemente
continua.
Argumentando por contradicción, supongamos que $K$ es compacto y
que $\phi\colon K\rightarrow Y$ es continua pero no es uniformemente
continua. Entonces para algún $\varepsilon_{0}>0$ y para cada
$k\in \mathbb{N}$ existen $x_{k},\widetilde{x}_{k}\in K$ tales que
\begin{equation*}
d_{K}(x_{k},\widetilde{x}_{k})<\tfrac{1}{k}\qquad\text{y}\qquad d_{Y}(\phi
(x_{k}),\phi(\widetilde{x}_{k}))\geq \varepsilon_{0}.
\end{equation*}
Como $K$ es compacto, la sucesión $(x_{k})$ contiene una
subsucesión $(x_{k_{j}})$ tal que $x_{k_{j}}\rightarrow x$ en
$K$ (ver Proposición
4.5). De la desigualdad del
triángulo
\begin{equation*}
d_{K}(x,\widetilde{x}_{k_{j}})\leq d_{K}(x,x_{k_{j}})+d_{K}(x_{k_{j}},\widetilde{x}_{k_{j}})
\end{equation*}
se sigue que $\widetilde{x}_{k_{j}}\rightarrow x$ en $K$ y, como
$\phi$ es continua, se cumple entonces que\break $\phi
(x_{k_{j}})\rightarrow \phi (x)$ y $\phi
(\widetilde{x}_{k_{j}})\rightarrow \phi (x)$ en $Y$ (ver
Proposición
3.33). En consecuencia,
\begin{equation*}
d_{Y}(\phi (x_{k_{j}}),\phi (\widetilde{x}_{k_{j}}))\leq d_{Y}(\phi
(x_{k_{j}}),\phi (x))+d_{Y}(\phi (x),\phi (\widetilde{x}_{k_{j}}))<\varepsilon_{0}
\end{equation*}
para $j$ suficientemente grande. Esto contradice nuestra
suposición.
Ejercicios
Sea $V$ un espacio normado y sea $S_{V}:=\left\{x\in V:\left\Vert
x\right\Vert =1\right\}$ la esfera unitaria en $V$. En cada uno de los
siguientes casos investiga si la esfera unitaria es o no compacta.
- $\dim V<\infty$.
- $V=\ell_{p}$ con $p\in [1,\infty ]$.
- $V=\mathcal{C}_{p}^{0}[0,1]$ con $p\in [1,\infty
]$.
Demuestra las siguientes afirmaciones:
- Si $K$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$,
$\delta >0$ y $p\in [1,\infty]$, entonces
\begin{equation*}
\widehat{K}:=\bigcup_{\xi \in K}\bar{B}_{p}(\xi ,\delta )
\end{equation*}
es compacto, donde $\bar{B}_{p}(\xi ,\delta ):=\left\{x\in
\mathbb{R}^{n}:\left\Vert x-\xi \right\Vert_{p}\leq \delta \right\}$.
- La afirmación anterior no es válida en general en un
espacio métrico arbitrario. (Sugerencia: Toma
$K:=\left\{0\right\}$ en $\ell_{2}$ y usa el
Ejemplo 4.8.)
¿Es cierto en general que, si $\phi\colon
X\rightarrow Y$ es continua y $K$ es un subconjunto compacto de
$Y$, entonces $\phi^{-1}(K)$ es un subconjunto compacto de $X$?
Justifica tu respuesta.
Prueba que, si $\phi\colon X\rightarrow Y$ es un
homeomorfismo, entonces $K$ es compacto en $X$ si y sólo si
$\phi (K)$ es compacto en $Y$.
Sea $X$ un espacio discreto. Prueba que $X$ es compacto
si y sólo si es finito.
Prueba que, si $\phi\colon X\rightarrow Y$ es continua y
biyectiva y $X$ es compacto, entonces $\phi^{-1}\colon Y\rightarrow X$ es
continua (es decir, $\phi$ es un homeomorfismo).
Sea $\mathbb{S}^{1}:=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}$ el
círculo unitario en $\mathbb{R}^{2}$. Considera la función
\begin{equation*}
f\colon [0,2\pi )\rightarrow \mathbb{S}^{1},\qquad f(t)=(\cos
t,\sen t).
\end{equation*}
Prueba que
- $f$ es continua y biyectiva,
- $f^{-1}\colon\mathbb{S}^{1}\rightarrow [0,2\pi )$ no es
continua.
Es decir, la compacidad de $X$ es esencial en la afirmación del
ejercicio anterior.
Prueba que, si un espacio métrico $X$ es compacto y
no vacío, entonces toda función continua $f\colon X\rightarrow
\mathbb{R}$ alcanza su máximo en $X$.
Sean $A$ un subconjunto no vacío de un espacio
métrico $X$ y $x\in X$. Como en el
Ejercicio 3.52
definimos la distancia de $x$ a $A$ como
\begin{equation*}
\dist(x,A):=\inf_{y\in A}d_{X}(x,y).
\end{equation*}
- Prueba que, si $A$ es compacto, entonces para cada $x\in
X$ existe $z\in A$ tal que
\begin{equation*}
d_{X}(x,z)=\dist(x,A).
\end{equation*}
- ¿Es cierta la afirmación anterior si
$A$ es un subconjunto arbitrario de $X$?
La distancia entre dos subconjuntos no vacíos $A$
y $B$ de un espacio métrico $X$ se define como
\begin{equation*}
\dist(A,B):=\inf \left\{d_{X}(x,y):x\in A,\, y\in B\right\}.
\end{equation*}
- Prueba que, si $A$ es compacto, $B$ es cerrado y $A\cap
B=\emptyset$, entonces $\dist(A,B)>0$.
- ¿Es cierta la afirmación anterior si
$B$ es abierto en vez de cerrado?
- ¿Es cierto en general que la distancia
entre dos cerrados ajenos es positiva?
Sean $V$ y $W$ espacios normados. Demuestra las
siguientes afirmaciones:
- Si $\dim V=\dim W<\infty $, entonces existe una
equivalencia $\phi \colon V\rightarrow W$ que es además un
isomorfismo lineal.
- Si $\dim V<\infty $ y $K\subset V$, entonces $K$ es
compacto si y sólo si $K$ es cerrado y acotado en $V$.
- Si $\dim V<\infty$, entonces toda transformación lineal
$L\colon V\rightarrow W$ es Lipschitz continua. (Sugerencia:
Prueba que existe $c\in \mathbb{R}$ tal que
$\left\Vert Lv\right\Vert_{W}\leq c$ si
$\left\Vert v\right\Vert_{V}=1$, y demuestra que se cumple la
afirmación (c) del Ejercicio 3.36.)
Sea $x_{0}\in X$. Prueba que $f\colon X\rightarrow
\mathbb{R}$ es continua en $x_{0}$ si y sólo si $f$ es s.c.i. y
s.c.s. en $x_{0}$.
- La función $\left\lceil \cdot \right\rceil
\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por
\begin{equation*}
\left\lceil t\right\rceil :=n\quad\text{si}\quad n-1\menorque t\leq
n,\quad n\in \mathbb{Z}.
\end{equation*}
es s.c.i.
- La función parte entera $\left\lfloor \cdot
\right\rfloor\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por
\begin{equation*}
\left\lfloor t\right\rfloor :=n\quad \text{si}\quad n\leq t\menorque n+1,\quad n\in
\mathbb{Z},
\end{equation*}
es s.c.s.
Sea $(t_{k})$ una sucesión en en $\mathbb{R}$.
Demuestra las siguientes afirmaciones:
- Se cumple la siguiente desigualdad:
\begin{equation*}
\liminf_{k\rightarrow \infty }t_{k}\leq \limsup_{k\rightarrow \infty }t_{k}.
\end{equation*}
- La sucesión $(t_{k})$ converge en $\mathbb{R}$ si y
sólo si
\begin{equation*}
\liminf_{k\rightarrow \infty }t_{k}=\limsup_{k\rightarrow \infty }t_{k},
\end{equation*}
y, en ese caso,
\begin{equation*}
\liminf_{k\rightarrow \infty }t_{k}=\lim_{k\rightarrow \infty
}t_{k}=\limsup_{k\rightarrow \infty }t_{k}.
\end{equation*}
Prueba que son equivalentes las siguientes
afirmaciones:
- $f$ es s.c.i.
- $f_{>a}:=\left\{ x\in X:f(x)>a\right\} $ es abierto para
toda $a\in \mathbb{R}$.
- $f^{\leq a}:=\left\{ x\in X:f(x)\leq a\right\} $ es
cerrado para toda $a\in \mathbb{R}$.
- Prueba que $f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{-\infty \right\}$
es s.c.s. si y sólo si $-f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup
\left\{\infty \right\}$ es s.c.i.
- Para una función s.c.s.
$f\colon X\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{-\infty \right\}$
enuncia y demuestra los resultados correspondientes al
Ejercicio 4.46, la
Proposición 4.28, y el Teorema 4.29.
Da un ejemplo de una trayectoria $\sigma\colon
[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ de longitud infinita.
Considera la sucesión de trayectorias
$\sigma_{k}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$,
\begin{equation*}
\sigma_{k}(t)=
\begin{cases}
2^{k}t & \text{si $0\leq t\leq \frac{1}{2^{k}}$,} \\
1 & \text{si $\frac{1}{2^{k}}\leq t\leq 1$.}
\end{cases}
\end{equation*}
Demuestra las siguientes afirmaciones:
- $\sigma_{k}$ es un mínimo de la función
longitud $\mathfrak{L}\colon\mathcal{T}_{0,1}(\mathbb{R})\rightarrow
\mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ para todo $k\in \mathbb{N}$.
- $(\sigma_{k})$ no contiene ninguna subsucesión
convergente en $\mathcal{C}^{0}[0,1]$ (Sugerencia: Prueba
que $\left\Vert \sigma_{j}-\sigma_{k}\right\Vert_{\infty
}\geq \frac{1}{2}$ $\forall j\neq k$).
- $\mathfrak{L}^{\leq a}:=\left\{\sigma \in
\mathcal{T}_{0,1}(\mathbb{R}):\mathfrak{L}(\sigma )\leq a\right\}$ no es
un subconjunto compacto de $\mathcal{C}^{0}[0,1]$ para ningún
$a\geq 1$.
- $\mathfrak{L}\colon\mathcal{T}_{0,1}(\mathbb{R})\rightarrow
\mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ no satisface las hipótesis del
Teorema 4.29.
Sean $\mathbb{S}^{1}:=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}$ el
círculo unitario en $\mathbb{R}^{2}$, $p=(1,0)$,
\begin{equation*}
\mathcal{T}_{p,p}(\mathbb{S}^{1}):=\left\{\sigma \in \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{S}^{1}):\sigma (0)=p=\sigma (1)\right\}
\end{equation*}
y $\mathfrak{L}\colon\mathcal{T}_{p,p}(\mathbb{S}^{1})\rightarrow
\mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ la función
longitud. ¿Para qué valores de $a\in
\mathbb{R}$ es
\begin{equation*}
\mathfrak{L}^{\leq a}:=\left\{\sigma \in \mathcal{T}_{p,p}(\mathbb{S}^{1}):\mathfrak{L}(\sigma )\leq a\right\}
\end{equation*}
un subconjunto compacto de $\mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{S}^{1})$?
¿Cuáles de las siguientes
funciones son uniformemente continuas?
- $f\colon(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R},\quad
f(t)=\frac{1}{t}$.
- $f\colon[a,\infty )\rightarrow \mathbb{R},\quad
f(t)=\frac{1}{t},\quad \text{con }a>0$.
- $f\colon X\rightarrow \mathbb{R},\quad
f(x):=\dist(x,A),\quad \text{donde } A$ es un subconjunto
arbitrario del espacio métrico $X$.
Sean $\mathcal{K}\colon[a,b]\times [a,b]\rightarrow
\mathbb{R} $ y $f\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ funciones
continuas. Definimos $\hat{f}\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ como
\begin{equation*}
\widehat{f}(x):=\int_{a}^{b}\mathcal{K}(x,y)f(y)dy.
\end{equation*}
Prueba que $\hat{f}$ es continua. (Sugerencia: Usa la
continuidad uniforme de $\mathcal{K}$.)
Investiga si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones.
- Toda función Lipschitz continua es uniformemente
continua.
- Toda función uniformemente continua es Lipschitz
continua.
