El teorema de punto fijo de Banach y aplicaciones

El teorema de punto fijo de Banach, también llamado el principio de contracción, garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertas funciones de un espacio métrico completo en sí mismo. A diferencia de otros teoremas de punto fijo, éste da un método constructivo para obtenerlo mediante un proceso de iteración.

El teorema de punto fijo de Banach tiene multitud de aplicaciones a resultados de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones numéricas, ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. Daremos aquí algunos ejemplos.

Una de las aplicaciones más importantes es el teorema de Picard-Lindelöf que asegura la existencia y unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que satisface una condición inicial prescrita. A este problema se le conoce como el problema de Cauchy y es uno de los problemas fundamentales de la teoría de ecuaciones diferenciales.

El teorema de punto fijo de Banach

Sea $X=(X,d)$ un espacio métrico.

Es decir, una contracción es una función de un espacio métrico en sí mismo que es Lipschitz continua con constante de Lipschitz estrictamente menor que $1$. Es importante observar que el que $\phi \colon X\rightarrow X$ sea o no contracción depende de la métrica que le demos a $X$ [Ejercicio 6.20].

Denotamos por $\phi^{k}$ a la composición \begin{equation*} \phi^{k}:=\underset{k\text{ veces}}{\underbrace{\phi \circ \cdots \circ \phi }}\quad\text{ si }k\in \mathbb{N},\qquad\phi^{0}:=\id_{X}, \end{equation*} donde $\id_{X}\colon X\rightarrow X$ es la función identidad. El siguiente resultado sencillo y profundo de Stefan Banach tiene aplicaciones muy importantes.

El teorema anterior no sólo afirma la existencia de un único punto fijo para una contracción $\phi \colon X\rightarrow X$. También nos dice cómo encontrarlo, o cómo encontrar una buena aproximación de él: basta tomar cualquier punto $x_{0}\in X$ y considerar la sucesión de iteradas $(\phi ^{k}(x_{0}))$. La desigualdad (\ref{error}) nos da una estimación del error en cada paso de la iteración, es decir, nos dice qué tan cerca está $\phi^{k}(x_{0})$ del punto fijo. A este método se le conoce como el método de aproximaciones sucesivas. Veremos algunas aplicaciones en las siguientes secciones.

Los siguientes ejemplos muestran que las condiciones del teorema de punto fijo de Banach son necesarias.

Esta condición también es necesaria para la unicidad del punto fijo [Ejercicio 6.22].

La siguiente generalización del teorema de punto fijo de Banach tiene aplicaciones importantes (ver Teorema 6.12).

Sistemas de ecuaciones lineales

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales \begin{equation} Ax-x=b\label{sl} \end{equation} donde $A=(a_{ij})$ es una matriz real de $n\times n$ y $b=(b_{1},\ldots ,b_{n})\in \mathbb{R}^{n}$. Observa que $x\in \mathbb{R}^{n}$ es una solución de este sistema si y sólo si $x$ es un punto fijo de la función $\phi \colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ dada por $\phi (x):=Ax-b$. De modo que, si $\phi $ es una contracción, podemos aplicar el método de aproximaciones sucesivas para encontrar una solución. El que $\phi $ sea una contracción depende de la métrica que le demos a $\mathbb{R}^{n}$. Por ejemplo, si le damos la métrica del Ejemplo 2.5, inducida por la norma $\left\Vert \cdot \right\Vert_{1}$, obtenemos el siguiente resultado.

Si consideramos otras métricas en $\mathbb{R}^{n}$ obtendremos condiciones, distintas de (\ref{sl1}), que también garantizan la existencia y unicidad de soluciones del sistema (\ref{sl}) para cada $b$ [Ejercicio 6.28].

Sabemos que el sistema (\ref{sl}) tiene solución única si y sólo si $\det (A-I)\neq 0$, donde $I$ es la matriz identidad. En consecuencia, la condición (\ref{sl}) y las del Ejercicio 6.28 garantizan que $\det (A-I)\neq 0$. En este caso, la matriz $A-I$ es invertible y la solución del sistema está dada por $x:=(A-I)^{-1}b$. Sin embargo, en problemas que involucran un número grande de variables, encontrar la inversa de una matriz tiene un costo prohibitivo, incluso con la potencia de las mejores computadoras disponibles. Por ello se utilizan métodos iterativos, como el de Jacobi o el de Gauss-Seidel, para encontrar la solución mediante aproximaciones sucesivas a partir de una estimación inicial. Para ecuaciones no lineales los métodos iterativos son, en general, la única opción.

Ecuaciones integrales

Aplicaremos el teorema de punto fijo de Banach para probar la existencia y unicidad de soluciones de dos tipos de ecuaciones integrales importantes: la ecuación integral de Fredholm y la ecuación integral de Volterra.

La ecuación integral de Fredholm del segundo tipo

Sean $\mathcal{K}\colon [a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$  y $ g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ funciones continuas, y sea $\lambda $ un número real. Una ecuación integral de la forma \begin{equation} \lambda f(x)-\int_{a}^{b}\mathcal{K}(x,y)f(y)dy=g(x),\qquad x\in [a,b],\label{fred} \end{equation} se llama una ecuación integral de Fredholm. Se dice que es del primer tipo si $\lambda =0$ y del segundo tipo si $\lambda \neq 0$.

Una función continua $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ que satisface (\ref{fred}) para todo $x\in [a,b] $se llama una solución de (\ref{fred}). Nos preguntamos, ¿para qué valores $\lambda $ tiene la ecuación (\ref{fred}) una única solución?

Queremos expresar este problema como un problema de punto fijo. Es decir, queremos encontrar una función $\phi_{\lambda }\colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[a,b]$ cuyos puntos fijos sean las soluciones de la ecuación (\ref{fred}). Para ello, procederemos del siguiente modo. A cada $f\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$ le asociamos la función $\mathfrak{F}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \left( \mathfrak{F}f\right) (x):=\int_{a}^{b}\mathcal{K}(x,y)f(y)dy. \end{equation*} En términos de esta función la ecuación (\ref{fred}) se escribe como \begin{equation*} \lambda f(x)-\left( \mathfrak{F}f\right) (x)=g(x)\qquad\forall x\in [a,b], \end{equation*} es decir, $f$ es solución de (\ref{fred}) si y sólo si satisface la ecuación funcional \begin{equation*} \lambda f-\mathfrak{F}f=g. \end{equation*} Si $\lambda \neq 0$ esta ecuación es equivalente a \begin{equation*} f=\frac{1}{\lambda }(\mathfrak{F}f+g). \end{equation*} Probaremos que $\mathfrak{F}f\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$ (ver Lema 6.8). Esto nos permite definir una función de $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ en sí mismo como sigue: \begin{equation*} \phi_{\lambda }\colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[a,b],\qquad\phi_{\lambda }(f):=\frac{1}{\lambda }(\mathfrak{F}f+g). \end{equation*} Las soluciones de (\ref{fred}) son justamente los puntos fijos de $\phi_{\lambda }$.

Para poder aplicar el teorema de punto fijo de Banach requerimos que $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ sea completo. De acuerdo con el Teorema 5.21 este espacio, dotado de la norma uniforme \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{\infty }=\max_{x\in [a,b]}\left\vert f(x)\right\vert , \end{equation*} es un espacio de Banach. Probaremos que para ciertos valores de $\lambda $ la función $\phi_{\lambda }\colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[a,b]$ es una contracción. El Teorema 6.3 asegura entonces que $\phi _{\lambda }$ tiene un único punto fijo, es decir, que la ecuación (\ref{fred}) tiene una única solución (ver Teorema 6.9). A continuación damos los detalles.

Es sencillo comprobar que la función $\mathfrak{F}\colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[a,b]$, que a cada $f$ le asocia $\mathfrak{F}f$, es lineal y continua [Ejercicio 6.30]. Si $g=0$, la ecuación integral de Fredholm se convierte en la ecuación de valores propios* \begin{equation*} \mathfrak{F}f=\lambda f \end{equation*} para el operador de Fredholm  $\mathfrak{F}$. Nota que la función $f=0$ satisface esta ecuación. El teorema anterior asegura que ésta es la única solución si $\left\vert \lambda \right\vert >\left\Vert \mathcal{K}\right\Vert_{\infty }(b-a)$. En consecuencia, los valores propios de $\mathfrak{F}$ están contenidos en el intervalo cerrado $[-\left\Vert \mathcal{K}\right\Vert_{\infty }(b-a)$, $\left\Vert \mathcal{K}\right\Vert_{\infty }(b-a)]$.

La ecuación integral de Volterra del segundo tipo

Consideremos ahora la ecuación \begin{equation} \lambda f(x)-\int_{a}^{x}\mathcal{K}(x,y)f(y)dy=g(x)\qquad\forall x\in [a,b],\label{volterra} \end{equation} donde $\mathcal{K}\colon [a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ y $g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ son funciones continuas dadas y $\lambda $ es un número real. Nota que ahora la variable $x$ aparece también en el extremo superior de la integral. Una ecuación de este tipo se llama una ecuación integral de Volterra. Se dice que es del primer tipo si $\lambda =0$ y del segundo tipo si $\lambda \neq 0$.

Queremos expresar a las soluciones de (\ref{volterra}) como los puntos fijos de una función $\phi_{\lambda }\colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[a,b]$. Para ello, a cada función $f\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$ le asociamos la función $\mathfrak{V}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \left( \mathfrak{V}f\right) (x):=\int_{a}^{x}\mathcal{K}(x,y)f(y)dy. \end{equation*} En términos de esta función, la ecuación (\ref{volterra}) se escribe como \begin{equation*} \lambda f-\mathfrak{V}f=g. \end{equation*} Probaremos que $\mathfrak{V}f\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$ (ver Lema 6.10). Si $\lambda \neq 0$, podemos entonces definir una función de $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ en sí mismo como sigue: \begin{equation*} \phi_{\lambda }\colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[a,b],\qquad\phi_{\lambda }(f):=\frac{1}{\lambda }(\mathfrak{V}f+g). \end{equation*} Sus puntos fijos son las soluciones de la ecuación (\ref{volterra}). Probaremos que para cada $\lambda \neq 0$ existe $k\in \mathbb{N}$ tal que la función $\phi_{\lambda }^{k}$ es una contracción (ver Lema 6.11). El Corolario 6.6 asegura entonces que $\phi_{\lambda }$ tiene un único punto fijo, es decir, que la ecuación (\ref{volterra}) tiene una única solución.

Dados $\lambda \neq 0$ y $g\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$, definimos $\phi _{\lambda }\colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[a,b]$ como \begin{equation*} \phi_{\lambda }(f):=\frac{1}{\lambda }\left( \mathfrak{V}f+g\right) . \end{equation*} El lema anterior asegura que $\phi_{\lambda }$ es, efectivamente, una función de $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ en sí mismo. Probaremos el siguiente resultado.

Este resultado asegura en particular que, si $\lambda \neq 0$, la solución trivial es la única solución de la ecuación de valores propios \begin{equation*} \mathfrak{V}f=\lambda f \end{equation*} para el operador de Volterra $\mathfrak{V}$. Es decir, ningún $\lambda \neq 0$ es un valor propio de $\mathfrak{V}$. La ecuación integral de Volterra del primer tipo, $\mathfrak{V}f=g$, es bastante más complicada y no la estudiaremos aquí.

El problema de Cauchy

Sea $\Omega$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$. Un campo vectorial en $\Omega $ es una función continua de $\Omega $ en $\mathbb{R}^{n}$. Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para modelar, por ejemplo, la velocidad de un líquido móvil, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, como la fuerza electromagnética.

Consideraremos campos vectoriales que cambian continuamente con el tiempo, es decir, funciones continuas $\chi \colon (a,b)\times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n}$. El intervalo abierto $(a,b)$ puede ser infinito. Las siguientes figuras ilustran el campo vectorial $\chi (t,x,y)=(tx-y,x+ty)$ para $t=0$ y $t=1$.

Dado un tiempo inicial $t_{0}\in (a,b)$ y una posición inicial $x_{0}\in \Omega $, nos preguntamos si existe una trayectoria $u(t)$ en $\Omega $ tal que $u(t_{0})=x_{0}$ cuya velocidad $u^{\prime }(t)$ en cada tiempo $t$ sea precisamente $\chi (t,u(t))$.

Empezaremos mostrando que el problema (\ref{cauchy}) es equivalente a una ecuación integral. Dada una función continua $f=(f_{1},\dots,f_{n})\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{n}$, denotamos por \begin{equation*} \int_{a}^{b}f(t)dt:=\biggl( \int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\dots,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\biggr) \in \mathbb{R}^{n} \end{equation*} al vector cuyas componentes son las integrales de las componentes de $f$.

Queremos expresar la ecuación integral (\ref{intcau}) como un problema de punto fijo. Para ello requerimos una condición adicional sobre el campo $\chi $. Denotemos por \begin{equation*} \bar{B}(x_{0},\delta ):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert x-x_{0}\right\Vert \leq \delta \right\} \end{equation*} a la bola cerrada de radio $\delta $ y centro $x_{0}$ en $\mathbb{R}^{n}$ con la norma usual.

En el resto de esta sección supondremos que $\chi \colon (a,b)\times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es localmente Lipschitz continua en la segunda variable.

Para la condición inicial $(t_{0},x_{0})$ del problema (\ref{cauchy}) escogemos $\delta_{0}>0$ y $C>0$ como en la Definición 6.15. Escogemos además $M\geq 1$ tal que \begin{equation} \left\Vert \chi (t,x)\right\Vert \leq M\qquad\forall (t,x)\in [t_{0}-\delta_{0},t_{0}+\delta_{0}]\times \bar{B}(x_{0},\delta _{0}).\label{defM} \end{equation} Tal $M$ existe gracias al Corolario 4.11. Finalmente, escogemos $\delta \in \left( 0,\min \left\{\frac{1}{C},\frac{\delta _{0}}{M}\right\}\right) $.

Definimos \begin{equation*} X:=\left\{u\in \mathcal{C}^{0}([t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ],\mathbb{R}^{n}):\left\Vert u-x_{0}\right\Vert_{\infty }\leq \delta M\right\} \end{equation*} donde $x_{0}$ es la función constante con valor $x_{0}$ y \begin{equation*} \left\Vert u\right\Vert_{\infty }=\max_{t\in [t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ]}\left\Vert u(t)\right\Vert \end{equation*} es la norma uniforme en $\mathcal{C}^{0}([t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ],\mathbb{R}^{n})$. Recuerda que $\mathcal{C}^{0}([t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ],\mathbb{R}^{n})$ es un espacio de Banach (ver Teorema 5.21). Le damos a $X$ la métrica inducida por esta norma.

Para cada $u\in X$ definimos la función $\phi (u)\colon [t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ]\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ como \begin{equation*} \phi (u)(t):=\int_{t_{0}}^{t}\chi (s,u(s))ds+x_{0}. \end{equation*} Nota que el integrando está bien definido porque, de acuerdo con el lema anterior, $u(s)\in \Omega $ para todo $s\in [t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ]$. Requerimos la siguiente desigualdad.

La demostración de esta desigualdad es sencilla y se propone como ejercicio [Ejercicio 6.34].

Probaremos ahora que $\phi $ es una función de $X$ en sí mismo.

El siguiente teorema es uno de los resultados fundamentales de la teoría de ecuaciones diferenciales. Fue publicado por primera vez en 1890 por Lindelöf. Simultáneamente, Picard desarrolló un método de aproximación sucesiva de soluciones. El método de iteración de Picard es justamente el método iterativo del teorema de punto fijo de Banach para este caso particular.

Ejercicios