(a): Si $A\subset X$ es compacto entonces, para toda $\varepsilon >0$, la cubierta abierta $\left\{B_{X}(x,\varepsilon ):x\in A\right\}$ de $A$ contiene una subcubierta finita. Es decir, existen $x_{1},\dots,x_{m}\in A$ tales que \begin{equation*} A\subset B_{X}(x_{1},\varepsilon )\cup \cdots \cup B_{X}(x_{m},\varepsilon ). \end{equation*}

(b): Si $A\subset X$ es totalmente acotado entonces existen $a_{1},\dots,a_{m}\in A$ tales que \begin{equation*} A\subset B_{X}(a_{1},1)\cup \cdots \cup B_{X}(a_{m},1). \end{equation*} En consecuencia, $A\subset B_{X}(a_{1},r+1)$ donde $r:=\max \left\{d_{X}(a_{1},a_{j}):j=2,\dots,m\right\}$, es decir, $A$ es acotado.

(c): Sean $A$ un subconjunto totalmente acotado de $X$, $D\subset A$ y $\varepsilon >0$. Entonces existen $a_{1},\dots,a_{m}\in A$ tales que \begin{equation*} A\subset B_{X}(a_{1},\tfrac{\varepsilon }{2})\cup \cdots \cup B_{X}(a_{m},\tfrac{\varepsilon }{2}). \end{equation*} Sea $J:=\left\{j\in \left\{1,\dots,m\right\}:B_{X}(a_{j},\frac{\varepsilon }{2})\cap D\neq \emptyset \right\}$. Para cada $j\in J$ elegimos un punto $b_{j}\in B_{X}(a_{j},\frac{\varepsilon }{2})\cap D$. Entonces se cumple que \begin{equation*} D\subset \bigcup_{j\in J}B_{X}(b_{j},\varepsilon ). \end{equation*} Esto prueba que $D$ es totalmente acotado.

(d): Sean $A$ un subconjunto totalmente acotado de $X$, $\varepsilon >0$, y $a_{1},\dots,a_{m}\in A$ tales que \begin{equation*} A\subset B_{X}(a_{1},\tfrac{\varepsilon }{2})\cup \cdots \cup B_{X}(a_{m},\tfrac{\varepsilon }{2}). \end{equation*} Como  $\bar{B}_{X}(a_{1},\frac{\varepsilon }{2})\cup \cdots \cup \bar{B}_{X}(a_{m},\frac{\varepsilon }{2})$  es cerrado, se tiene que \begin{equation*} \overline{A}\subset \bar{B}_{X}(a_{1},\tfrac{\varepsilon }{2})\cup \cdots \cup \bar{B}_{X}(a_{m},\tfrac{\varepsilon }{2}). \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \overline{A}\subset B_{X}(a_{1},\varepsilon )\cup \cdots \cup B_{X}(a_{m},\varepsilon ). \end{equation*} Esto prueba que $\overline{A}$ es totalmente acotado.

(b)  $\Rightarrow $  (c):  Sea $(x_{k})$ una sucesión de Cauchy en $X$. Si $X$ satisface (b) entonces $(x_{k})$ contiene una subsucesión que converge a un punto $x\in X$. En consecuencia, $(x_{k})$ converge a $x$ en $X$ (ver Ejercicio subconvcau). Esto prueba que $X$ es completo.

Supongamos ahora que $X$ no es totalmente acotado. Entonces existe $\varepsilon_{0}>0$ tal que $X$ no puede ser cubierto por un número finito de bolas abiertas de radio $\varepsilon_{0}$. Por consiguiente, podemos escoger, inductivamente, una sucesión de puntos $x_{k}\in X$ tales que \begin{equation*} x_{k}\notin B_{X}(x_{1},\varepsilon_{0})\cup \cdots \cup B_{X}(x_{k-1},\varepsilon_{0}). \end{equation*} Por tanto, $d_{X}(x_{j},x_{k})\geq \varepsilon_{0}$ para toda $j\neq k$ y, en consecuencia, ninguna subsucesión de $(x_{k})$ es de Cauchy. Esto implica que $(x_{k})$ no contiene ninguna subsucesión convergente. Es decir, si $X$ no es totalmente acotado, entonces (b) no se cumple.

(c)  $\Rightarrow $  (a): \ Argumentando por contradicción, supongamos que $X$ es completo y totalmente acotado pero no es compacto. Entonces $X$ tiene una cubierta abierta $\mathcal{U}=\left\{U_{i}:i\in \mathcal{I}\right\}$ que no contiene ninguna subcubierta finita. Como $X$ es totalmente acotado, está contenido en la unión de un número finito de bolas abiertas de radio $1$. Por tanto, existe un punto $x_{0}\in X$ tal que $B_{X}(x_{0},1)$, no puede ser cubierta por un número finito de elementos de $\mathcal{U}$. Como $B_{X}(x_{0},1)$ es totalmente acotado (ver Proposición propta), está contenido en la unión de un número finito de bolas abiertas de radio $\frac{1}{2}$ cuyos centros están en $B_{X}(x_{0},1)$. Por consiguiente, existe $x_{1}\in B_{X}(x_{0},1)$ tal que $B_{X}(x_{1},\frac{1}{2})$, no puede ser cubierta por un número finito de elementos de $\mathcal{U}$. De este modo construímos, inductivamente, una sucesión $(x_{k})$ tal que $x_{k}\in B_{X}(x_{k-1},\frac{1}{2^{k-1}}) $  y \ $B_{X}(x_{k},\frac{1}{2^{k}})$  no puede ser cubierta por un número finito de elementos de $\mathcal{U}$. Para toda $j\geq k$, se tiene entonces que \begin{equation} d_{X}(x_{k},x_{j})\leq d_{X}(x_{k},x_{k+1})+\cdots +d_{X}(x_{j-1},x_{j})<\tfrac{1}{2^{k}}+\cdots +\tfrac{1}{2^{j-1}}<\tfrac{1}{2^{k-1}},\label{desta} \end{equation} es decir, la sucesión $(x_{k})$ es Cauchy. Como $X$ es completo, esta sucesión converge a un punto $x^{\ast } $en $X$. Haciendo tender $j\rightarrow \infty $ en la desigualdad (\ref{desta}) obtenemos que \begin{equation*} d_{X}(x_{k},x^{\ast })\leq \tfrac{1}{2^{k-1}}\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} Por otra parte, como $x^{\ast }\in X$, existe $U^{\ast }\in \mathcal{U}$ tal que $x^{\ast }\in U^{\ast }$. Como $U^{\ast }$ es abierto, existe $\varepsilon >0$ tal que $B_{X}(x^{\ast },\varepsilon )\subset U^{\ast }$. Sea $k$ tal que $\frac{1}{2^{k-1}}<\frac{\varepsilon }{2}$. Entonces, para todo $x\in B_{X}(x_{k},\frac{1}{2^{k}})$, se tiene que \begin{equation*} d_{X}(x,x^{\ast })\leq d_{X}(x,x_{k})+d_{X}(x^{\ast },x_{k})<\tfrac{1}{2^{k}}+\tfrac{1}{2^{k-1}}<\varepsilon , \end{equation*} es decir, \begin{equation*} B_{X}(x_{k},\tfrac{1}{2^{k}})\subset B_{X}(x^{\ast },\varepsilon )\subset U^{\ast }. \end{equation*} Esto es una contradicción, ya que habíamos supuesto que $B_{X}(x_{k},\frac{1}{2^{k}})$ no puede ser cubierta por un número finito de elementos de $\mathcal{U}$.

$\Leftarrow )$:  Inversamente, supongamos que $A$ es totalmente acotado. La Proposición propta afirma que $\overline{A}$ es totalmente acotado. Por otra parte, como $X$ es completo y $\overline{A}$ es cerrado en $X$, se tiene que $\overline{A}$ es completo (ver Proposición complcerr). El Teorema caractcomp asegura entonces que $\overline{A}$ es compacto.

Por otra parte, como $K$ es compacto, cada $g_{i}$ es uniformemente continua. En consecuencia, existe $\delta_{i}>0$ tal que, para cualesquiera $y,z\in K$, \begin{equation} d_{X}\left( g_{i}(y),g_{i}(z)\right) <\frac{\varepsilon }{3}\text{\qquad si }d_{K}(y,z)<\delta_{i}.\label{gunifcon} \end{equation} Definimos $\delta :=\min \left\{\delta_{1},\dots,\delta_{m}\right\}$. Dada $f\in \mathcal{H}$ existe $i\in \left\{1,\dots,m\right\}$ tal que $d_{\infty }(f,g_{i})<\frac{\varepsilon }{3}$. Usando (\ref{gunifcon}) obtenemos que \begin{align*} d_{X}(f(y),f(z)) &\leq d_{X}(f(y),g_{i}(y))+d_{X}(g_{i}(y),g_{i}(z))+d_{X}\left( g_{i}(z),f(z)\right) \\ &<\varepsilon \text{\qquad si  }d_{K}(y,z)<\delta . \end{align*} Esto prueba que $\mathcal{H}$ es equicontinuo.

$\Leftarrow )$:  Supongamos ahora que $\mathcal{H}$ es equicontinuo y que $\mathcal{H}(z)$ es relativamente compacto en $X$ para todo $z\in K$. Queremos probar que $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}(K,X)$. Como $X$ es completo, $\mathcal{C}^{0}(K,X)$ también lo es (ver Teorema funcacotcompl). Por el Corolario relcomp=ta\ basta entonces probar que $\mathcal{H}$ es totalmente acotado.

Sea $\varepsilon >0$. Para cada $z\in K$ tomemos $\delta_{z}>0$ tal que, para toda $f\in \mathcal{H}$, \begin{equation} d_{X}\left( f(y),f(z)\right) <\frac{\varepsilon }{4}\text{ \quad si }d_{K}\left( y,z\right) <\delta_{z}.\label{Hequi} \end{equation} Como $K$ es compacto, existen $z_{1},\dots,z_{m}\in K$ tales que \begin{equation} K\subset B_{K}(z_{1},\delta_{z_{1}})\cup \cdots \cup B_{K}(z_{m},\delta _{z_{m}})\label{Xcomp} \end{equation} y, como cada $\mathcal{H}(z_{i})$ es totalmente acotado, existen $x_{1},\dots,x_{k}\in X$ tales que \begin{equation} \mathcal{H}(z_{1})\cup \cdots \cup \mathcal{H}(z_{m})\subset B_{X}(x_{1},\tfrac{\varepsilon }{4})\cup \cdots \cup B_{X}(x_{k},\tfrac{\varepsilon }{4}). \label{Hta} \end{equation} Denotemos por $S$ al conjunto (finito) de todas las funciones $\sigma \colon \left\{1,\dots,m\right\}\rightarrow \left\{1,\dots,k\right\}$. Para cada $\sigma \in S$ definimos \begin{equation*} \mathcal{H}_{\sigma }:=\left\{f\in \mathcal{H}:f(z_{i})\in B_{X}(x_{\sigma (i)},\tfrac{\varepsilon }{4})\text{  }\forall i=1,\dots,m\right\}. \end{equation*} Se sigue de (\ref{Hta}) que, para cada $f\in \mathcal{H}$ y cada $i\in \left\{1,\dots,m\right\}$, existe $\sigma (i)\in \left\{1,\dots,k\right\}$ tal que $f(z_{i})\in B_{X}(x_{\sigma (i)},\frac{\varepsilon }{4})$. En consecuencia, \begin{equation} \mathcal{H}\subset \bigcup_{\sigma \in S}\mathcal{H}_{\sigma }.\label{Hta1} \end{equation} Probaremos ahora que cada $\mathcal{H}_{\sigma }$ está contenida en una bola de radio $\varepsilon $ con centro en $\mathcal{H}$. Sean $f,g\in \mathcal{H}_{\sigma }$ y sea $z\in K$. Se sigue de (\ref{Xcomp}) que existe $i\in \left\{1,\dots,m\right\}$ tal que $d_{K}(z,z_{i})<\delta_{z_{i}}$ y, en consecuencia, (\ref{Hequi}) implica que $d_{X}\left( h(z),h(z_{i})\right) <\frac{\varepsilon }{4}$ para toda $h\in \mathcal{H}$. Por tanto, \begin{align*} d_{X}(f(z),g(z)) &\leq d_{X}\left( f(z),f(z_{i})\right) +d_{X}(f(z_{i}),x_{\sigma (i)}) \\ &\qquad{}+d_{X}(g(z_{i}),x_{\sigma (i)})+d_{X}\left( g(z),g(z_{i})\right) <\varepsilon . \end{align*} Tomando el máximo sobre toda $z\in K$ concluimos que $d_{\infty }(f,g)<\varepsilon $ para todas $f,g\in \mathcal{H}_{\sigma }$. En consecuencia, para cualquier elección de $g_{\sigma }\in \mathcal{H}_{\sigma }$, se cumple que \begin{equation} \mathcal{H}_{\sigma }\subset B_{\infty }(g_{\sigma },\varepsilon ). \label{Hta2} \end{equation} De (\ref{Hta1}) y (\ref{Hta2}) se sigue que \begin{equation*} \mathcal{H}\subset \bigcup_{\sigma \in S}B_{\infty }(g_{\sigma },\varepsilon ). \end{equation*} Por tanto, $\mathcal{H}$ es totalmente acotado.

$\Leftarrow )$:  Inversamente, supongamos que $\mathcal{H}$ es equicontinuo y acotado en $\mathcal{C}^{0}(K,\mathbb{R}^{n})$. Entonces existen $f_{0}\in \mathcal{H}$ y $C>0$ tales que \begin{equation*} \left\Vert f-f_{0}\right\Vert_{\infty }=\max_{z\in K}\left\Vert f(z)-f_{0}(z)\right\Vert \leq C\text{\qquad }\forall f\in \mathcal{H}. \end{equation*} En consecuencia, $\mathcal{H}(z)$ está acotado en $\mathbb{R}^{n}$ para todo $z\in K$ y, por el teorema de Heine-Borel (ver Teorema hb), $\mathcal{H}(z)$ es relativamente compacto en $\mathbb{R}^{n}$ para todo $z\in K$. El Teorema aa asegura entonces que $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}(K,\mathbb{R}^{n})$.

Como $u_{1/k_{j}}(t)\rightarrow u^{\ast }(t)$ para cada $t\in \left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] $, la propiedad (b)\ implica que \begin{equation*} \left\Vert u^{\ast }(t)-x_{0}\right\Vert \leq r\text{\qquad }\forall t\in \left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] . \end{equation*} Se sigue de (\ref{r}) que $u^{\ast }(t)\in \Omega $ para todo $t\in \left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] $. Además, la propiedad (a) implica que $u^{\ast }(t_{0})=x_{0}$. Demostraremos que $u^{\ast }$ satisface \begin{equation} u^{\ast }(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}\chi (s,u^{\ast }(s))ds\text{\qquad }\forall t\in [t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ].\label{ecint} \end{equation} Sea $\varepsilon >0$. Como $\chi $ es uniformemente continua en $K$, existe $\eta >0$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \chi (s,x)-\chi (s,y)\right\Vert <\frac{\varepsilon }{3\delta }\text{\qquad si  }(s,x),(s,y)\in K\text{ y }\left\Vert x-y\right\Vert <\eta . \end{equation*} Tomemos $j_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{\delta }{k_{j}}<\frac{\varepsilon }{3}$ para todo $j\geq j_{0}$ y tal que \begin{equation*} \left\Vert u_{1/k_{j}}-u^{\ast }\right\Vert_{\infty }<\min \left\{\eta ,\frac{\varepsilon }{3}\right\}\text{\qquad si  }j\geq j_{0}. \end{equation*} Entonces, usando el Lema lemcotint, para cada $t\in [t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ]$ obtenemos \begin{multline*} \left\Vert \int_{t_{0}}^{t}\left[ \chi (s,u_{1/k_{j}}(s))-\chi (s,u^{\ast }(s))\right] ds\right\Vert\\ {}\leq\left\vert t-t_{0}\right\vert \max_{\left\vert s-t_{0}\right\vert \leq \delta }\left\Vert \chi (s,u_{1/k_{j}}(s))-\chi (s,u^{\ast }(s))\right\Vert <\tfrac{\varepsilon }{3}\text{\qquad si } j\geq j_{0}. \end{multline*} Usando además el teorema fundamental del cálculo y la propiedad (d) obtenemos \begin{align*} \left\Vert u_{1/k_{j}}(t)-x_{0}-\int_{t_{0}}^{t}\chi (s,u_{1/k_{j}}(s))ds\right\Vert &=\left\Vert \int_{t_{0}}^{t}\left[ u_{1/k_{j}}^{\prime }(s)-\chi (s,u_{1/k_{j}}(s))\right] ds\right\Vert \\ &\leq\left\vert t-t_{0}\right\vert \frac{1}{k_{j}} \\ &<\tfrac{\varepsilon }{3}\text{\qquad si } j\geq j_{0}. \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} \left\Vert u^{\ast }(t)-x_{0}-\int_{t_{0}}^{t}\chi (s,u^{\ast }(s))ds\right\Vert &\leq\left\Vert u^{\ast }(t)-u_{1/k_{j}}(t)\right\Vert\\ &\qquad{}+\left\Vert u_{1/k_{j}}(t)-x_{0}-\int_{t_{0}}^{t}\chi (s,u_{1/k_{j}}(s))ds\right\Vert \\ &\qquad{}+\left\Vert \int_{t_{0}}^{t}\left[ \chi (s,u_{1/k_{j}}(s))-\chi (s,u^{\ast }(s))\right] ds\right\Vert \\ &<\varepsilon, \end{align*} para toda $\varepsilon >0$. Esto demuestra (\ref{ecint}). El Lema int asegura entonces que $u^{\ast }$ es solución del problema (\ref{pc2}).

Argumentando por contradicción, supongamos que $\mathfrak{L}^{\leq c}$ es compacto. Entonces $(\sigma_{k})$ contiene una subsucesión tal que $\sigma_{k_{j}}\rightarrow \sigma^{\ast }$ en $\mathcal{C}^{0}([0,1],X)$. En particular, esta subsucesión converge puntualmente, es decir, \begin{equation*} \sigma^{\ast }(t)=\lim_{j\rightarrow \infty }\sigma_{k_{j}}(t)= \begin{cases} x & \text{si $t=0$,} \\ y & \text{si $t\in (0,1]$,} \end{cases} \end{equation*} lo que contradice la continuidad de $\sigma^{\ast }$. Esto prueba que $\mathfrak{L}^{\leq c}$ no es compacto.

Ahora definimos $\hat{\sigma}\colon [0,1]\rightarrow X$ como \begin{equation*} \hat{\sigma}(t):=\widetilde{\sigma }(\mathfrak{L}(\sigma )t). \end{equation*} Claramente, $\hat{\sigma}$ es continua y satisface \begin{equation*} \mathfrak{L}(\hat{\sigma}\mid_{[0,t]})=\mathfrak{L}(\widetilde{\sigma }\mid_{[0,\mathfrak{L}(\sigma )t]})=\mathfrak{L}(\sigma )t\text{\qquad }\forall t\in [0,1]. \end{equation*} En particular, $\mathfrak{L}(\hat{\sigma})=\mathfrak{L}(\sigma )<\infty $. Por tanto, $\hat{\sigma}\in \mathcal{\hat{T}}_{x,y}(X)$.

Supongamos pues que existe $\tau \in \mathcal{T}_{x,y}(X)$ tal que $\mathfrak{L}(\tau )=:c<\infty $. Entonces, por el Lema existla, \begin{equation*} \mathcal{H}:=\left\{\sigma \in \mathcal{\hat{T}}_{x,y}(X):\text{ }\mathfrak{L}(\sigma )\leq c\right\}\neq \emptyset . \end{equation*} Veamos que este conjunto satisface las hipótesis del teorema de Arzelà-Ascoli. Como $X$ es compacto, cualquier subconjunto de $X$ es relativamente compacto en él. En particular, \begin{equation*} \mathcal{H}(t):=\left\{\sigma (t):\sigma \in \mathcal{H}\right\} \end{equation*} es relativamente compacto en $X$ para todo $t\in [0,1]$. Probemos ahora que $\mathcal{H}$ es equicontinuo. Sean $t_{0}\in [0,1]$ y $\varepsilon >0$. Para toda $\sigma \in \mathcal{H}$ se cumple que \begin{align*} d(\sigma (t),\sigma (t_{0})) &\leq \left\vert \mathfrak{L}(\sigma \mid _{[0,t]})-\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[0,t_{0}]})\right\vert \\ &=\mathfrak{L}(\sigma )\left\vert t-t_{0}\right\vert \leq c\left\vert t-t_{0}\right\vert <\varepsilon \text{\qquad si  }\left\vert t-t_{0}\right\vert <\tfrac{\varepsilon }{c}. \end{align*} Esto prueba que $\mathcal{H}$ es equicontinuo. El teorema de Arzelà-Ascoli asegura entonces que $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}([0,1],X)$.

Denotemos por $\mathcal{K}:=\overline{\mathcal{H}}$ a la cerradura de $\mathcal{H}$ en $\mathcal{C}^{0}([0,1],X)$ y consideremos la restricción $\mathfrak{L}\mid_{\mathcal{K}}$ de la función $\mathfrak{L} $a $\mathcal{K}$. Como $\mathfrak{L}$ es s.c.i. (ver Proposición Lsci), se tiene que $\mathfrak{L}^{\leq c}$ es cerrado en $\mathcal{C}^{0}([0,1],X)$ (ver Ejercicio subnivelsci). En consecuencia, $\left( \mathfrak{L}\mid _{\mathcal{K}}\right)^{\leq c}=\mathfrak{L}^{\leq c}\cap \mathcal{K}$ es compacto. El Teorema sci asegura entonces que existe $\sigma_{0}\in \mathcal{K}$ tal que \begin{equation*} \mathfrak{L}(\sigma_{0})\leq \mathfrak{L}(\sigma )\text{\qquad }\forall \sigma \in \mathcal{K}. \end{equation*} Dado que $\hat{\sigma}\in \mathcal{H}\subset \mathcal{K}$ para todo $\sigma \in \mathcal{T}_{x,y}(X)$ con $\mathfrak{L}(\sigma )\leq c$, el Lema existla asegura que \begin{equation*} \mathfrak{L}(\sigma_{0})\leq \mathfrak{L}(\hat{\sigma})=\mathfrak{L}(\sigma )\text{\qquad }\forall \sigma \in \mathcal{T}_{x,y}(X), \end{equation*} es decir, $\sigma_{0}$ es una trayectoria de longitud mínima de $x$ a $y$ en $X$.