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Teoremas de aproximación

Cuando hacemos cálculos con números reales usamos siempre una aproximación decimal de éstos, es decir, usamos algún número racional suficientemente cercano al número real que nos interesa. Por motivos análogos, es conveniente aproximar funciones por otras más sencillas.

En este capítulo probaremos que toda función continua $f\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ se puede aproximar uniformemente por una función polinomial. Este resultado se conoce como el teorema de aproximación de Weierstrass y tiene relevancia desde el punto de vista teórico y práctico, ya que los polinomios son funciones sencillas y fáciles de calcular. De hecho, exhibiremos una sucesión explícita de polinomios que converge uniformemente a $f$ en $[a,b]$: los polinomios de Bernstein.

La versión original del teorema de aproximación fue formulada por Weierstrass en 1885. En 1937 Stone generalizó considerablemente este resultado, y simplificó su demostración. El resultado de Stone se conoce como el teorema de Stone-Weierstrass, y extiende el resultado original de Weierstrass en dos sentidos: permite reemplazar al intervalo $[a,b]$ por cualquier espacio métrico compacto $K$, y permite reemplazar a los polinomios por subconjuntos más generales del espacio de funciones continuas $\mathcal{C}^{0}(K,\mathbb{R})$. En este capítulo expondremos también este resultado.

El teorema de aproximación de Weierstrass

El objetivo de esta sección es demostrar que toda función continua $f\colon\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}$ se puede aproximar uniformemente por polinomios, es decir, por funciones de la forma \begin{equation*} p\left( t\right) =a_{0}+a_{1}t+\cdots +a_{n}t^{n},\text{\qquad }a_{k}\in \mathbb{R},\text{\quad }n\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}\text{.} \end{equation*} Este resultado se conoce como el teorema de aproximación de Weierstrass. Más aún, exhibiremos una sucesión explícita de polinomios que converge uniformemente a la función $f$ en $[a,b]$.

Para $0\leq k\leq n$ consideremos los polinomios \begin{equation*} \gamma_{n,k}(t)=\binom{n}{k} t^{k}(1-t)^{n-k}, \end{equation*} donde \begin{equation*} \binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{equation*} es el coeficiente binomial. De la conocida fórmula binomial \begin{equation*} (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{k}b^{n-k} \end{equation*} se sigue que \begin{equation} \sum_{k=0}^{n}\gamma_{n,k}(t)=1.\label{for1} \end{equation} Multiplicando por $t$ la igualdad (\ref{for1}) para $n-1$ en vez de $n$, obtenemos \begin{align*} t &=t\sum_{j=0}^{n-1}\gamma_{n-1,j}(t) \\ &=\sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} t^{j+1}(1-t)^{n-1-j} \\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\tfrac{j+1}{n} \binom{n}{j+1} t^{j+1}(1-t)^{n-(j+1)} \\ &=\sum_{k=1}^{n}\tfrac{k}{n}\gamma_{n,k}(t) \\ &=\sum_{k=0}^{n}\tfrac{k}{n}\gamma_{n,k}(t). \end{align*} En consecuencia, \begin{equation} nt=\sum_{k=0}^{n}k\gamma_{n,k}(t).\label{for2} \end{equation} De manera análoga, multiplicando por $t^{2}$ la igualdad (\ref{for1}) para $n-2$ en vez de $n$, es sencillo probar que \begin{equation} (n^{2}-n)t^{2}=\sum_{k=0}^{n}(k^{2}-k)\gamma_{n,k}(t)\label{for3} \end{equation} Proponemos la demostración de esta fórmula como ejercicio [Ejercicio~\ref{ejfor3}].

\begin{figure}[H] \centering \input{./figuras-tikz/gama3-3.tikz}\qquad\qquad \input{./figuras-tikz/gama3-2.tikz}\\[10pt] \input{./figuras-tikz/gama3-1.tikz}\qquad\qquad \input{./figuras-tikz/gama3-0.tikz} \caption{}\label{fig:8.1} \end{figure}

Sea $f\colon[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua. El $n$-ésimo polinomio de Bernstein\footnote{Sergei Natanovich Bernstein (1880-1968) nació en Odessa, entonces parte del Imperio Ruso. Estudió en Göttingen bajo la supervisión de David Hilbert. En su tesis doctoral, presentada en 1904 en la Sorbonne de Paris, resolvió el 19º problema de Hilbert sobre la solución analítica de ecuaciones diferenciales elípticas.} de $f$ \index{polinomio!de Bernstein}es el polinomio \begin{equation*} \beta_{n}(t)=\beta_{f,n}(t):=\sum_{k=0}^{n} f\bigl( \tfrac{k}{n}\bigr) \gamma_{n,k}(t). \end{equation*}

\begin{bio}[H] \centering \includegraphics[width=.3\textwidth]{./fotos/calcasdos/Snbernstein.jpg}\\[5pt] \includegraphics[width=.27\textwidth]{./fotos/calcasdos/Snbernstein.pdf}\\[5pt] \bfseries Sergei Bernstein \end{bio}

Se tiene el siguiente resultado.

[Bernstein] \label{teoaproxb}\index{teorema!de aproximación de Bernstein}Sea $f\colon[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua. La sucesión de polinomios de Bernstein $(\beta_{f,n})$ converge uniformemente a $f$ en $[0,1]$.

Sea $\varepsilon >0$. Como $f$ es uniformemente continua, existe $\delta >0$ tal que \begin{equation} \left\vert f(s)-f(t)\right\vert <\tfrac{\varepsilon }{2}\text{\qquad si }\left\vert s-t\right\vert <\delta . \label{conu} \end{equation} Fijemos $t\in [0,1]$. Multiplicando la igualdad (\ref{for1}) por $f(t) $ obtenemos que \begin{equation*} f(t)=\sum_{k=0}^{n}f(t)\gamma_{n,k}(t)\text{\qquad }\forall n\in \mathbb{N}. \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation} \left\vert f(t)-\beta_{f,n}(t)\right\vert =\left\vert \sum_{k=0}^{n}\bigl(f(t)-f\bigl( \tfrac{k}{n}\bigr)\bigr)\gamma _{n,k}(t)\right\vert \leq \sum_{k=0}^{n}\left\vert f(t)-f\bigl( \tfrac{k}{n}\bigr) \right\vert \gamma_{n,k}(t).\label{for9} \end{equation} Probaremos que el lado derecho de esta desigualdad es menor que $\varepsilon $ si $n$ satisface \begin{equation} n\geq \max \left\{ \frac{1}{\delta^{4}},\frac{\left\Vert f\right\Vert _{\infty }^{2}}{\varepsilon^{2}}\right\} .\label{for5} \end{equation}

Para ello consideremos los conjuntos \begin{align*} I_{1} &:=\Bigl\{ k\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}:0\leq k\leq n,\text{ }\left\vert \tfrac{k}{n}-t\right\vert <\left( \tfrac{1}{n}\right)^{\frac{1}{4}}\Bigr\} , \\ I_{2} &:=\bigl\{k\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}:0\leq k\leq n,\text{ }k\notin I_{1}\bigr\}, \end{align*} y tomemos una $n$ que cumpla (\ref{for5}). Entonces $\left( \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{4}}\leq \delta $, y se sigue de (\ref{conu}) y de (\ref{for1}) que \begin{equation} \sum_{k\in I_{1}}\left\vert f(t)-f\bigl( \tfrac{k}{n}\bigr) \right\vert \gamma_{n,k}(t)<\sum_{k\in I_{1}}\frac{\varepsilon }{2}\gamma_{n,k}(t)\leq \frac{\varepsilon }{2}\sum_{k=0}^{n}\gamma_{n,k}(t)=\frac{\varepsilon }{2}.\label{for8} \end{equation} Por otra parte, si $k\in I_{2}$ entonces $\bigl(t-\frac{k}{n}\bigr)^{-2}\leq \sqrt{n}$ y, en consecuencia, \begin{align} \sum_{k\in I_{2}}\left\vert f(t)-f\bigl( \tfrac{k}{n}\bigr) \right\vert \gamma_{n,k}(t) &\leq \sum_{k\in I_{2}}2\left\Vert f\right\Vert_{\infty }\gamma_{n,k}(t) \notag \\ &=2\left\Vert f\right\Vert_{\infty }\sum_{k\in I_{2}}\frac{\bigl(t-\frac{k}{n}\bigr)^{2}}{\bigl(t-\frac{k}{n}\bigr)^{2}}\gamma_{n,k}(t) \notag \\ &\leq 2\left\Vert f\right\Vert_{\infty }\sqrt{n}\sum_{k\in I_{2}}\bigl( t-\tfrac{k}{n}\bigr)^{2}\gamma_{n,k}(t).\label{for7} \end{align} Probaremos ahora que \begin{equation} \sum_{k=0}^{n}\bigl( t-\tfrac{k}{n}\bigr)^{2}\gamma_{n,k}(t)\leq \frac{1}{4n}\text{\qquad }\forall n\in \mathbb{N}.\label{for4} \end{equation} Multiplicando la igualdad (\ref{for1}) por $t^{2}$, la igualdad (\ref{for2}) por $-\frac{2}{n}t$, y la suma de las igualdades (\ref{for2}) y (\ref{for3}) por $\frac{1}{n^{2}}$ obtenemos, respectivamente, \begin{align*} t^{2} &=\sum_{k=0}^{n}t^{2}\gamma_{n,k}(t), \\ -2t^{2} &=\sum_{k=0}^{n}-2\tfrac{k}{n}t\gamma_{n,k}(t), \\ \left( 1-\tfrac{1}{n}\right) t^{2}+\tfrac{1}{n}t &=\sum_{k=0}^{n}\tfrac{k^{2}}{n^{2}}\gamma_{n,k}(t). \end{align*} Sumando estas tres igualdades obtenemos \begin{equation} \frac{1}{n}(t-t^{2})=\sum_{k=0}^{n}\bigl( t-\tfrac{k}{n}\bigr)^{2}\gamma _{n,k}(t).\label{for6} \end{equation} Observa que $\max_{t\in [0,1]}(t-t^{2})=\frac{1}{4}$. En consecuencia, (\ref{for6}) implica (\ref{for4}).

Si $n$ satisface (\ref{for5}) entonces $\frac{\left\Vert f\right\Vert_{\infty }}{\sqrt{n}}\leq \varepsilon $. Por tanto, (\ref{for7}) y (\ref{for4}) implican que \begin{equation} \sum_{k\in I_{2}}\left\vert f(t)-f\bigl( \tfrac{k}{n}\bigr) \right\vert \gamma_{n,k}(t)\leq \frac{\varepsilon }{2}.\label{for11} \end{equation} De las desigualdades (\ref{for9}), (\ref{for8}) y (\ref{for11}) obtenemos que, si $n$ satisface (\ref{for5}), entonces \begin{align*} \left\vert f(t)-\beta_{f,n}(t)\right\vert &\leq \sum_{k=0}^{n}\left\vert f(t)-f\bigl( \tfrac{k}{n}\bigr) \right\vert \gamma_{n,k}(t) \\ &=\sum_{k\in I_{1}}\left\vert f(t)-f\bigl( \tfrac{k}{n}\bigr) \right\vert \gamma_{n,k}(t)+\sum_{k\in I_{2}}\left\vert f(t)-f\bigl( \tfrac{k}{n}\bigr) \right\vert \gamma_{n,k}(t)<\varepsilon \end{align*} para toda $t\in [0,1]$. Es decir, \begin{equation} \left\Vert f-\beta_{f,n}\right\Vert_{\infty }<\varepsilon \text{\qquad si }n\geq \max \left\{ \frac{1}{\delta^{4}},\frac{\left\Vert f\right\Vert _{\infty }^{2}}{\varepsilon^{2}}\right\} .\label{for10} \end{equation} Esto concluye la demostración.

Observa que la fórmula (\ref{for10}) nos da una estimación del error, en términos de $f$, en cada paso de la aproximación.

El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema anterior.

[de aproximación de Weierstrass] \label{teoaproxw}\index{teorema!de aproximación de Weierstrass}Sea $f\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua. Entonces existe una sucesión de polinomios $(p_{n})$ que converge uniformemente a $f$ en $[a,b]$.

Este resultado se obtiene del anterior mediante un cambio de variable. Específicamente, sea $\rho \colon[0,1]\rightarrow [a,b]$ la función dada por $\rho (t):=(1-t)a+tb$. Aplicando el Teorema~\ref{teoaproxb} a la función $g:=f\circ \rho $ obtenemos que \begin{equation*} \beta_{g,n}\rightarrow g\text{\qquad en }\mathcal{C}^{0}[0,1]. \end{equation*} La función $p_{n}:=\beta_{g,n}\circ \rho^{-1}$ es un polinomio y cumple que \begin{equation*} \left\Vert p_{n}-f\right\Vert_{\infty }=\max_{s\in [a,b]}\left\vert p_{n}(s)-f(s)\right\vert =\max_{t\in [0,1]}\left\vert \beta _{g,n}(t)-g(t)\right\vert =\left\Vert \beta_{g,n}-g\right\Vert_{\infty }. \end{equation*} En consecuencia, $p_{n}\rightarrow f$ en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$.

La compacidad del dominio de $f$ jugó un papel importante en la demostración del Teorema~\ref{teoaproxb} para asegurar la continuidad uniforme de $f$. El siguiente ejemplo muestra que el Teorema~\ref{teoaproxw} no es válido, en general, si el dominio no es compacto.

Sea $f(t)=\sen\frac{1}{t}$, $t\in (0,1]$. Ninguna sucesión de polinomios converge uniformemente a $f$ en $(0,1]$. \begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/sen-1-entre-t.tikz} \caption{}\label{fig:8.2} \end{figure}

Argumentando por contradicción, supongamos que existe una sucesión de polinomios $(p_{k})$ que converge uniformemente a $f$ en $(0,1]$. Entonces $(p_{k})$ converge a $f$ en $\mathcal{B}((0,1],\mathbb{R})$ (ver Proposición~\ref{convB=cu}) y, por tanto, es de Cauchy en $\mathcal{B}((0,1],\mathbb{R})$. Es decir, dada $\varepsilon >0$ existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left\vert p_{k}(t)-p_{j}(t)\right\vert <\varepsilon \text{\qquad }\forall t\in \left( 0,1\right] \text{, }\forall k,j\geq k_{0}. \end{equation*} Como la función $t\mapsto \left\vert p_{k}(t)-p_{j}(t)\right\vert $ es continua en todo $\mathbb{R}$, la desigualdad anterior implica que \begin{equation*} \left\vert p_{k}(0)-p_{j}(0)\right\vert \leq \varepsilon \text{\qquad }\forall k,j\geq k_{0}. \end{equation*} Esto demuestra que $(p_{k})$ es de Cauchy en $\mathcal{C}^{0}[0,1]$. Por tanto, como $\mathcal{C}^{0}[0,1]$ es completo (ver Teorema~\ref{funcacotcompl}), existe $g\in \mathcal{C}^{0}[0,1]$ tal que \begin{equation*} p_{k}\rightarrow g\text{\qquad en }\mathcal{C}^{0}[0,1]. \end{equation*} En particular, se cumple que \begin{equation*} g(t)=\lim_{k\rightarrow \infty }p_{k}(t)=\sen\tfrac{1}{t}\text{\qquad }\forall t\in (0,1]. \end{equation*} Como $g$ es continua en $[0,1]$, se tiene entonces que \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty }\sen\tfrac{n\pi }{2}=\lim_{n\rightarrow \infty }g\left( \tfrac{2}{n\pi }\right) =g(0), \end{equation*} lo cual es una contradicción, ya que la sucesión $\left( \sen\frac{n\pi }{2}\right) $ no converge.

El teorema de Stone-Weierstrass

Sea $X$ un espacio métrico.

Un subconjunto $A$ de $X$ es denso en $X$ si $\ \overline{A}=X$, \index{conjunto!denso}es decir, si para todo $x\in X$ existe una sucesión $(a_{k})$ en $A$ tal que $a_{k}\rightarrow x$ en $X$.

Por ejemplo, el conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales es denso en $\mathbb{R}$.

Denotemos por $\mathbb{R}[t]$ al conjunto de todos los polinomios \begin{equation*} p\left( t\right) =\alpha_{0}+\alpha_{1}t+\cdots +\alpha_{n}t^{n},\text{\qquad }n\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\},\text{ }\alpha_{i}\in \mathbb{R}\text{,} \end{equation*} con coeficientes reales. El Teorema~\ref{teoaproxw} afirma que el conjunto de funciones polinomiales en $[a,b]$, \begin{equation*} \mathcal{P}\left[ a,b\right] :=\left\{p\mid_{[a.b]}\,:p\in \mathbb{R}\!\left[ t\right] \right\}, \end{equation*} es denso en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$. En esta sección probaremos una generalización de este resultado, conocido como el teorema de Stone\footnote{Marshall Harvey Stone (1903-1989) nació en Nueva York. Estudió en la Universidad de Harvard, donde obtuvo el doctorado bajo la supervisión de George David Birkhoff. Fue profesor en esa universidad.}-Weierstrass. \begin{bio}[H] \centering \includegraphics[width=.3\textwidth]{./fotos/calcasdos/Frechet.png}\\[5pt] \includegraphics[width=.3\textwidth]{./fotos/calcasdos/Stone_3.pdf}\\[5pt] \bfseries Marshall Stone \end{bio}

Supondremos de aquí en adelante que $K$ es un espacio métrico compacto y, por simplicidad, denotaremos por \index{espacio!C ala0K@$\mathcal{C}^{0}(K)$} \begin{equation*} \mathcal{C}^{0}(K):=\mathcal{C}^{0}(K,\mathbb{R}) \end{equation*} al espacio de funciones continuas $f\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ con la norma uniforme \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{\infty }=\max_{x\in K}\left\vert f(x)\right\vert . \end{equation*} Observa que $\mathcal{C}^{0}(K)$ no sólo es un espacio vectorial sino que cuenta además con un producto, definido como sigue: \begin{equation*} fg\colon K\rightarrow \mathbb{R},\text{\qquad }(fg)(x):=f(x)g(x). \end{equation*} Este producto le da al espacio vectorial $\mathcal{C}^{0}(K)$ la estructura de una $\mathbb{R}$-álgebra con unidad [Ejercicio \ref{algebra}]. La unidad es la función constante igual a $1$, a la que denotamos por $1$.

El siguiente resultado da condiciones suficientes para que un subconjunto $\mathcal{A}$ de $\mathcal{C}^{0}(K)$ sea denso en $\mathcal{C}^{0}(K)$.

[Stone-Weierstrass] \label{teosw}\index{teorema!de Stone-Weierstrass}Sea $K$ un espacio métrico compacto y sea $\mathcal{A}$ un subconjunto de $\mathcal{C}^{0}(K)$ con las siguientes propiedades:

\begin{enumerate} \item[(a)] $\lambda \varphi +\mu \psi \in \mathcal{A}$\quad para cualesquiera $ \varphi ,\psi \in \mathcal{A}$ y $\lambda ,\mu \in \mathbb{R} $.

\item[(b)] $\varphi \psi \in \mathcal{A}$\quad para cualesquiera $\varphi ,\psi \in \mathcal{A}$.

\item[(c)] $1\in \mathcal{A}$.

\item[(d)] Dados $x_{1}\neq x_{2}$ en $K$, existe $\varphi \in \mathcal{A}$ tal que $\varphi (x_{1})\neq \varphi (x_{2})$. \end{enumerate}

Entonces $\mathcal{A}$ es denso en $\mathcal{C}^{0}(K)$, es decir, dada una función continua $f\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ existe una sucesión $(\varphi_{k})$ de funciones en $\mathcal{A}$ que converge uniformemente a $f $ en $K$.

En términos algebraicos, las primeras tres condiciones (a), (b) y (c) se expresan diciendo que $\mathcal{A}$ es una $\mathbb{R}$-subálgebra con unidad de la $\mathbb{R}$-álgebra de funciones continuas $\mathcal{C}^{0}(K)$. La propiedad (d) suele expresarse diciendo que $\mathcal{A}$ separa puntos.

Para demostrar el teorema de Stone-Weierstrass usaremos los siguientes cuatro lemas.

Dados $x_{1}\neq x_{2}$ en $K$ y $ c_{1},c_{2}\in \mathbb{R}$, existe $\psi \in \mathcal{A}$ tal que $\psi (x_{1})=c_{1}$ y $\psi (x_{2})=c_{2}$.

Sea $\varphi \in \mathcal{A}$ tal que $\varphi (x_{1})\neq \varphi (x_{2})$. Como el determinante \begin{equation*} \begin{vmatrix} \varphi (x_{1}) & 1 \\ \varphi (x_{2}) & 1 \end{vmatrix} \neq 0, \end{equation*} existen $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ tales que \begin{align} \lambda \varphi (x_{1})+\mu &=c_{1}\label{c1} \\ \lambda \varphi (x_{2})+\mu &=c_{2}\label{c2} \end{align} De las propiedades (a) y (c) se sigue que la función $\psi :=\lambda \varphi +\mu 1\in \mathcal{A}$. Las igualdades (\ref{c1}) y (\ref{c2}) afirman que $\psi (x_{1})=c_{1}$ y $\psi (x_{2})=c_{2}$.

La cerradura $\overline{\mathcal{A}}$ de $\mathcal{A}$ en $\mathcal{C}^{0}(K)$ también tiene las propiedades (a), (b) y (c).

Es sencillo comprobar que $\overline{\mathcal{A}}$ tiene la propiedad (a) [Ejercicio~\ref{cerrev}]. La propiedad (c) es inmediata. Probemos (b)\textsl{. }Dadas $\varphi ,\psi \in \overline{\mathcal{A}} $ existen $\varphi _{k},\psi_{k}\in \mathcal{A}$ tales que $\varphi_{k}\rightarrow \varphi $ y $\psi_{k}\rightarrow \psi $ en $\mathcal{C}^{0}(K)$ (ver Proposición~\ref{cerrsuc}). Como toda sucesión convergente está acotada, existe $C>0$ tal que $\left\Vert \psi _{k}\right\Vert_{\infty }\leq C$ para toda $k$. En consecuencia, \begin{align*} \left\Vert \varphi \psi -\varphi_{k}\psi_{k}\right\Vert_{\infty } &\leq \left\Vert \varphi (\psi -\psi_{k})\right\Vert_{\infty }+\left\Vert (\varphi -\varphi_{k})\psi_{k}\right\Vert_{\infty } \\[5pt] &\leq \left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\left\Vert (\psi -\psi _{k})\right\Vert_{\infty }+\left\Vert (\varphi -\varphi_{k})\right\Vert _{\infty }\left\Vert \psi_{k}\right\Vert_{\infty } \\[5pt] &\leq \left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\left\Vert (\psi -\psi _{k})\right\Vert_{\infty }+C\left\Vert (\varphi -\varphi_{k})\right\Vert _{\infty } \end{align*} Tomando el límite cuando $k\rightarrow \infty $ en ambos lados de la desigualdad obtenemos que $\varphi_{k}\psi_{k}\rightarrow \varphi \psi $. Dado que $\varphi_{k}\psi_{k}\in \mathcal{A}$, concluimos que $\varphi \psi \in \overline{\mathcal{A}}$ (ver Proposición~\ref{cerrsuc}).

Si $\varphi \in \overline{\mathcal{A}}$, entonces $\left\vert \varphi \right\vert \in \overline{\mathcal{A}}$.

Como $\varphi $ es continua y $K$ es compacto, se tiene que $\varphi (K)$ es acotado en $\mathbb{R}$ (ver Corolario~\ref{contencomp}). Por tanto, $\varphi (K)$ está contenido en algún intervalo $[a,b]$. Por el Teorema~\ref{teoaproxw} existe una sucesión de polinomios $p_{k}$ que converge uniformemente a la función valor absoluto $\left\vert \cdot \right\vert $ en el intervalo $[a,b]$, es decir, dada $\varepsilon >0$ existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left\vert p_{k}(t)-\left\vert t\right\vert \right\vert <\varepsilon \text{\qquad }\forall k\geq k_{0}\text{ }\forall t\in [a,b]. \end{equation*} Esta desigualdad se cumple, en particular, para $t=\varphi (x)$ con $x\in K$. Por tanto, \begin{equation*} \left\Vert p_{k}\circ \varphi -\left\vert \varphi \right\vert \right\Vert _{\infty }=\max_{x\in K}\left\vert p_{k}(\varphi (x))-\left\vert \varphi (x)\right\vert \right\vert <\varepsilon \text{\qquad }\forall k\geq k_{0}, \end{equation*} es decir, $p_{k}\circ \varphi \rightarrow \left\vert \varphi \right\vert $ en $\mathcal{C}^{0}(K)$.

Por otra parte, el Lema~\ref{lemsw2} asegura que, para cualquier polinomio $p(t)=\alpha_{0}+\alpha_{1}t+\cdots +\alpha_{m}t^{m}$, se cumple que \begin{equation*} p\circ \varphi =\alpha_{0}+\alpha_{1}\varphi +\cdots +\alpha_{m}\varphi ^{m}\in \overline{\mathcal{A}}. \end{equation*} Por tanto, $\left\vert \varphi \right\vert \in \overline{\mathcal{A}}$.

Dadas dos funciones $f,g\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ denotamos por $\max \left\{f,g\right\}$, $\min \left\{f,g\right\}\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ a las funciones \begin{equation*} (\max \left\{f,g\right\})(x):=\max \left\{f(x),g(x)\right\},\text{\qquad }(\min \left\{f,g\right\})(x):=\min \left\{f(x),g(x)\right\}. \end{equation*}

Si $\varphi ,\psi \in \overline{\mathcal{A}}$. entonces $ \max \left\{\varphi ,\psi \right\},\min \left\{\varphi ,\psi \right\}\in \overline{\mathcal{A}}$.

Basta observar que \begin{align} \max \left\{\varphi ,\psi \right\} &=\frac{1}{2}\left( \varphi +\psi +\left\vert \varphi -\psi \right\vert \right)\label{idmax} \\ \min \left\{\varphi ,\psi \right\} &=\frac{1}{2}\left( \varphi +\psi -\left\vert \varphi -\psi \right\vert \right)\label{idmin} \end{align} Como $\overline{\mathcal{A}}$ satisface la propiedad (a), el lema anterior implica que $\max \left\{\varphi ,\psi \right\},\min \left\{\varphi ,\psi \right\}\in \overline{\mathcal{A}}$.

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[Demostración del Teorema~\ref{teosw}.] Demostración del Teorema~\ref{teosw.\qquad } Sea $f\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua y sea $\varepsilon >0$. El Lema~\ref{lemsw1} asegura que, para cada par de puntos $x,y\in K$, podemos escoger $\varphi_{x,y}\in \mathcal{A}$ tal que $\varphi_{x,y}(x)=f(x)$ y $\varphi_{x,y}(y)=f(y)$.

Fijemos $x\in K$. Como $\varphi_{x,y}-f$ es continua y $\varphi _{x,y}(y)-f(y)=0$, existe $\delta_{y}>0$ tal que \begin{equation} \left\vert \varphi_{x,y}(z)-f(z)\right\vert <\varepsilon \text{\qquad }\forall z\in B_{K}(y,\delta_{y})\label{sw0} \end{equation} y, como $K$ es compacto, existen $y_{1},\dots,y_{m}\in K$ tales que \begin{equation*} K\subset B_{K}(y_{1},\delta_{y_{1}})\cup \cdots \cup B_{K}(y_{m},\delta _{y_{m}}). \end{equation*} Sea $\varphi_{x}:=\max \left\{\varphi_{x,y_{1}},\dots,\varphi _{x,y_{m}}\right\}$. El Lema~\ref{lemsw4} asegura que $\varphi_{x}\in \overline{\mathcal{A}}$. Puesto que cada $z\in K$ pertenece a alguna $B(y_{i},\delta_{y_{i}})$, la desigualdad (\ref{sw0}) implica que \begin{equation} \varphi_{x}(z)-f(z)>-\varepsilon \text{\qquad }\forall z\in K.\label{sw1} \end{equation}

Por otra parte, dado que $\varphi_{x,y}(x)=f(x)$ para todo $y\in K$, se tiene que $\varphi_{x}(x)=f(x)$ y, como $\varphi_{x}-f$ es continua, existe $\gamma_{x}>0$ tal que \begin{equation} \left\vert \varphi_{x}(z)-f(z)\right\vert <\varepsilon \text{\qquad }\forall z\in B_{K}(x,\gamma_{x}).\label{sw00} \end{equation} De la compacidad de $K$ se sigue que existen $x_{1},\dots,x_{n}\in K$ tales que \begin{equation*} K\subset B_{K}(x_{1},\gamma_{x_{1}})\cup \cdots \cup B_{K}(x_{n},\gamma _{x_{n}}). \end{equation*} Sea $\varphi :=\min \left\{\varphi_{x_{1}},\dots,\varphi_{x_{n}}\right\}$. El Lema~\ref{lemsw4} asegura que $\varphi \in \overline{\mathcal{A}}$. Puesto que cada $z\in K$ pertenece a alguna $B(x_{i},\gamma _{x_{i}})$, usando la desigualdad (\ref{sw00}) obtenemos que \begin{equation} \varphi (z)-f(z)<\varepsilon \text{\qquad }\forall z\in K.\label{sw2} \end{equation} Y, como la desigualdad (\ref{sw1}) vale para toda $x\in K$, se tiene además que \begin{equation} \varphi (z)-f(z)>-\varepsilon \text{\qquad }\forall z\in K.\label{sw3} \end{equation} Las desigualdades (\ref{sw2}) y (\ref{sw3}) implican que $\left\Vert \varphi -f\right\Vert_{\infty }<\varepsilon $. Por consiguiente, dado que $\varphi \in \overline{\mathcal{A}}$, concluimos que $f\in \overline{\mathcal{A}}$.

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Denotemos por $\mathbb{R}[ x_{1},\dots,x_{n}] $ al conjunto de polinomios \begin{equation*} p(x_{1},\dots,x_{n})=\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}x_{1}^{k_{i,1}}\cdots x_{n}^{k_{i,n}},\text{\qquad }a_{i}\in \mathbb{R},\text{\quad }k_{i,j}\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}, \end{equation*} en $n$ variables con coeficientes reales. Una consecuencia interesante del teorema de Stone-Weierstrass es la siguiente.

Sea $K$ un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$. Entonces, dada una función continua $f\colon K\rightarrow \mathbb{R}$, existe una sucesión de polinomios $\left( p_{k}\right) $ en $\mathbb{R}[ x_{1},\dots,x_{n}] $ que converge uniformemente a $f$ en $K$.

Obviamente el conjunto \begin{equation*} \mathcal{P}(K):=\left\{p\mid_{K}\,:p\in \mathbb{R}[ x_{1},\dots,x_{n}] \right\} \end{equation*} satisface las condiciones (a), (b) y (c) del Teorema~\ref{teosw}.

Consideremos los polinomios $\pi_{i}(x_{1},\dots,x_{n})=x_{i}$, $i=1,\dots,n$. Si $\xi ,\eta \in K$ son puntos distintos, entonces al menos una de sus coordenadas es distinta, digamos que $\xi_{i}\neq \eta_{i}$. Entonces, $\pi_{i}(\xi )=\xi_{i}\neq \eta_{i}=\pi _{i}(\eta )$. Esto prueba que $\mathcal{P}(K)$ satisface la condición (d).

El Teorema~\ref{teosw} asegura entonces que existe una sucesión de polinomios $\left( p_{k}\right) $ en $\mathbb{R}[ x_{1},\dots,x_{n}]$ que converge uniformemente a $f$ en $K$.

Ejercicios

Demuestra la igualdad (\ref{for3}).

Sea $X$ un espacio métrico. Prueba que, si $Z\subset Y\subset X$ y $Z$ es denso en $X$, entonces $Y$ es denso en $X$.

Prueba que, si $\phi \colon X\rightarrow Y$ es continua y suprayectiva y $A$ es denso en $X$, entonces $\phi (A)$ es denso en $Y$.

Prueba que el conjunto \begin{equation*} \mathbb{Q}^{n}:=\left\{(q_{1},\dots,q_{n})\in \mathbb{R}^{n}:q_{k}\in \mathbb{Q}\text{ }\forall k=1,\dots,n\right\} \end{equation*} es denso en $\mathbb{R}^{n}$.

Sea $\mathbb{Q}^{\infty }$ el conjunto de todas las sucesiones $(q_{1},\dots,q_{k},0,0,\dots)$ de números racionales tales que sólo un número finito de sus términos es distinto de cero.

\begin{enumerate} \item[(a)] Prueba que $\mathbb{Q}^{\infty }$ es denso en $\ell_{p}$ para todo $p\in [1,\infty )$.

\item[(b)] ¿Es $\mathbb{Q}^{\infty }$ denso en $\ell_{\infty }$? \end{enumerate}

Sea $\mathbb{Q}[ t]$ el conjunto de todos los polinomios \begin{equation*} q\left( t\right) =q_{0}+q_{1}t+\cdots +q_{n}t^{n},\text{ }n\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\},\text{ }q_{i}\in \mathbb{Q}\text{,} \end{equation*} con coeficientes racionales. Prueba que \begin{equation*} \mathcal{P}_{\mathbb{Q}}[ a,b] :=\left\{q\mid_{[a.b]}\,:q\in \mathbb{Q}[ t] \right\} \end{equation*} es denso en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$.

Se dice que un conjunto $A$ es a lo más numerable \index{conjunto!a lo más numerable}si existe una función inyectiva $i\colon A\rightarrow \mathbb{N}$. Demuestra las siguientes afirmaciones:

\begin{enumerate} \item[(a)] El conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales es a lo más numerable.

\item[(b)] El conjunto de todas las sucesiones $(b_{k})$ tales que $b_{k}\in \left\{0,1\right\}$ no es a lo más numerable.

\item[(c)] Prueba que $\mathbb{R}$ no es a lo más numerable. (Sugerencia: Usa el hecho de que todo número real tiene una representación binaria.) \end{enumerate}

Un espacio métrico $X$ se llama separable \index{espacio!separable}si contiene un subconjunto a lo más numerable que es denso en $X$. Demuestra las siguientes afirmaciones:

\begin{enumerate} \item[(a)] Ningún subconjunto propio de un espacio métrico discreto $X_{\disc}$ es denso en $X_{\disc}$.

\item[(b)] Un espacio métrico discreto $X_{\disc}$ es separable si y sólo si $X_{\disc}$ es a lo más numerable. \end{enumerate}

Investiga si los siguientes espacios métricos son o no separables.

\begin{enumerate} \item[(a)] $\mathbb{R}_{p}^{n}$ con $p\in [1,\infty ]$.

\item[(b)] $\ell_{p}$ con $p\in [1,\infty ]$.

\item[(c)] $\mathcal{C}_{p}^{0}[a,b]$ con $p\in [1,\infty ]$.

\item[(d)] $\mathcal{C}_{b}^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. \end{enumerate}

Prueba que todo espacio métrico compacto $X$ es separable. (Sugerencia: Para cada $k\in \mathbb{N}$, toma un conjunto finito de bolas de radio $\frac{1}{k}$ cuya unión es $X$. Considera el conjunto de centros de todas esas bolas.)

Sea $\Omega $ un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^{n}$. Denotemos por $\mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })$ al conjunto de todas las funciones $f\colon\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ que tienen derivadas parciales de todos los órdenes en $\Omega $ y dichas derivadas tienen una extensión continua a la cerradura de $\Omega $. Prueba que $\mathcal{C}^{\infty }(\overline{\Omega })$ es denso en $\mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$. (Sugerencia: Usa el Corolario~\ref{aproxpoli} y el Ejercicio~\ref{trans}.)

Sea $f\in \mathcal{C}^{0}[0,1]$ tal que \begin{equation*} \int_{0}^{1}f(x)x^{n}dx=0\text{\qquad }\forall n\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}. \end{equation*} Prueba que \begin{equation*} \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx=0 \end{equation*} y concluye que $f(x)=0$ para todo $x\in [0,1]$.

Sea $\mathbb{S}^{1}=\left\{(\cos \theta ,\sen \theta )\in \mathbb{R}^{2}:0\leq \theta \leq 2\pi \right\}$ el círculo unitario en $\mathbb{R}^{2}$. Prueba que cualquier función continua $f\colon\mathbb{S}^{1}\rightarrow \mathbb{R}$ es el límite uniforme de funciones de la forma \begin{equation*} \varphi (\cos \theta ,\sen \theta )=a_{0}+a_{1}\cos \theta +b_{1}\sen \theta +\cdots +a_{n}\cos n\theta +b_{n}\sen n\theta \end{equation*} con $a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}$, $n\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}$.

Sean $X$ y $Y$ espacios métricos compactos. Prueba que cualquier función continua $f\colon X\times Y\rightarrow \mathbb{R}$ es el límite uniforme de funciones de la forma \begin{equation*} \varphi (x,y)=f_{1}(x)g_{1}(y)+\cdots +f_{n}(x)g_{n}(y), \end{equation*} con $f_{1},\dots,f_{n}\in \mathcal{C}^{0}(X)$, $g_{1},\dots,g_{n}\in \mathcal{C}^{0}(Y)$ y $n\in \mathbb{N}$.

Investiga lo que es una $\mathbb{R}$-álgebra con unidad y prueba que, para cualquier espacio métrico $X$, el espacio $\mathcal{C}^{0}(X)$ es una $\mathbb{R}$-álgebra con unidad.

Sea $\mathcal{A}$ un subespacio vectorial de $\mathcal{C}^{0}(X)$. Prueba que $\overline{\mathcal{A}}$ es un subespacio vectorial de $\mathcal{C}^{0}(X)$. (Sugerencia: Usa el Ejercicio~\ref{contopev})

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